第7讲 暑期数学建模 自适应过滤法与灰色预测法

EViews的自适应过 滤程序！
第二节 灰色预测理论 一、灰色预测的概念
简单来讲，灰色预测是通过将原始数据 进行生成处理来寻找系统变动的规律，建立 相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
第二节 灰色预测理论 二、灰色预测的四种类型
灰色时间序列预测； 畸变预测——预测异常值出现的时刻。 如地震等； 系统预测——建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中多个变量的协 调发展变化；
根据逐次逼近法，自适应系数的迭代公 式为： Fit=Fi(t-1)+2ketxt-i (2) 其中，i=1,2,…,p;t=p+1,p+2,…,n;k为调整系数， 控制着逐次逼近的收敛速度；et为剩余误差。
第一节 自适应过滤法 三、自适应过滤法的估计方法
为了使迭代次数尽可能的少且在逼近过 程中均方差不增大，k值必须小于或等于1/p。 运用自适应滤波首先的确定 F1 、 F2 、„ 的初始值。
k 1 [
p i 1
x i ] max
2
第一节 自适应过滤法 三、自适应过滤法的估计方法
另外，当序列波动性很大时，可能影响 迭代的收敛速度，为此可将原序列做标准化 处理（参见徐国祥.统计预测和决策，上海财 经大学出版社，2005.P122）
第一节 自适应过滤法 四、例子
序号 序列xt 序号 序列xt 序号 序列xt 序号 序列xt 1 2 3 4 4.2 5.8 6.9 7.62 6 7 8 9 3.34 2 1.7 2.02 11 12 13 14 3.636 5.18 7.11 8.26 16 17 18 19 6.78 5 5.04 6.02
关联系数
(0) (0) ˆ (0) ˆ (0) min X ( k ) X ( k ) max X ( k ) X ( k ) 1 k n (0) (0) ˆ (0) ˆ (0) X ( k ) X ( k ) max X ( k ) X ( k ) 1 k n
X
(1 )
{X
(1)
(1), X
(1)
( 2 ), , X
(1)
( n )}
第二节 灰色预测理论 三、生成列
累加 其中，
X
(1 )
(k )

k i 1
X
(0)
(i)
对于非负数据累加次数越多，则随机性 弱化越多，一般随机序列经多次累加后，大 多可用指数曲线逼近。
第二节 灰色预测理论 三、生成列
年份 GDP 1998 386.06 1999 476.57 2000 679.35 2001 873.89 2002 1085.33 2003 1252.33
累加序列：
386.06 862.63 1541.98 2415.87 3501.2 4753.53
第二节 灰色预测理论 六、GM(1,1)模型的例子
GM(1,1)模型的结构 解微分方程，即可得到预测模型：
ˆ (1 ) ( k 1) [ X ( 0 ) (1) m ] e ak m X a a
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的参数估计 由于函数的一阶导数，在离散情况下即 为序列的一阶差分，即
dX
(1)
dt X
(1 )
X
(0)
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的参数估计 所以对时间序列来讲，GM(1,1)模型相应的微 分方程可转化为：
X
(0)
m aX
(1 )
这样参数就可用普通最小二乘法来估计了。
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验 灰色模型的检验包括：参数估计时的假 设检验(类似回归模型的检验)、相对误差检 验、关联度检验和后验差检验。
第7讲 自适应过滤法与灰色预测
第一节 自适应过滤法 第二节 灰色预测理论
第一节 自适应过滤法 一、自适应过滤法
自适应滤波可以应用在如下的自回归模 型上：
xt=F1xt-1+F2xt-2+„+Fpxt-p+et
(1)
概括地说，自适应滤波是从 Fi 中的一组 初始值开始，逐次迭代，不断调整，以实现 自回归系数的最优化。
第二节 灰色预测理论 二、灰色预测的四种类型
拓扑预测——预测定值发生的时刻。
三、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，对原 始数据的处理，处理后的序列称为生成列。
第二节 灰色预测理论 三、生成列
累加 设原始序列为：
X
(0)
{X
(0)
(1), X
(0)
( 2 ), , X
(0)
( n )}
记生成列为：
第一节 自适应过滤法 三、自适应过滤法的估计方法
F1 、 F2 、„的初始值可以根据自相关系
数r1、r2、„利用Yule-Walker方程求得：
F1=r1(1-r2)/(1-r12)
F2=(r2-r12)/(1-r12)
第一节 自适应过滤法 三、自适应过滤法的估计方法
为了减少计算量或提高预测精度，还必 须考虑一下两个问题： （1）自回归的阶数 （2）调整系数k的取值
GM(1,1)模型的检验
后验差检验 （2）计算绝对误差序列的标准差

(0)
(i) X
(0)
ˆ (0) (i) X (i)
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
后验差检验 （2）计算绝对误差序列的标准差
S2

(
(0)
(i) n 1
(0)
( i ))
计算预测序列与原始序列的关联度，根据 经验，当0.5时，关联度大于0.6便满意了。
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
后验差检验 （1）计算原始序列标准差
S1

(X
(0)
(i) X n 1
(0)
( i ))
2
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
相对误差检验
相对误差都小于0.05，即为合格。预测 模型选取的原始序列的长度（称为维度）的 大小对模型的预测精度有一定的影响，相对 误差越小的维度越好。
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
关联度检验
( i ) 0 . 674S
2
}
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
后验差检验
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70 C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65 标准 好 合格 勉强合格 不合格
第二节 灰色预测理论 六、GM(1,1)模型的例子
第一节 自适应过滤法 三、自适应过滤法的估计方法
当序列中不存在季节效应时，一般p可取 2或3；当存在季节效应时，p取季节周期的长 度。 为了使迭代次数尽可能的少且在逼近过 程中均方差不增大，k值必须小于或等于1/p。
第一节 自适应过滤法 三、自适应过滤法的估计方法
k的值可以用序列中p个较大的实现值的 平方和的倒数来确定，亦即：
累减
累减方法与累加相仿。
第二节 灰色预测理论 四、关联度
关联系数 设： X ( 0 )
{X
(0)
(1), X
(0)
( 2 ), , X
(0)
( n )}
ˆ ( 0 ) { X (0) (1), X (0) ( 2 ), , X (0) ( n )} ˆ ˆ ˆ X
关联系数定义为：
第二节 灰色预测理论 四、关联度
(1)
(1), X
(1)
( 2 ), , X
(1)
( n )}
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的结构 则GM(1,1)模型相应的微分方程为：
dX dt
(1)
aX
Baidu Nhomakorabea
(1 )
m
其中，a称为发展灰度， m称为内生控制灰度。 a和m都需要估计。
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
2
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
后验差检验
（3）计算标准差之比
C S 2 S1
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
后验差检验
（4）计算小误差概率 假设绝对误差服从正态分布，计算概率：
P p{
(0)
(i)
(0)
(k)
1 k n
其中，是分辨率，0<<1，一般取0.5。
第二节 灰色预测理论 四、关联度
关联系数 对单位不一、初始值不同的序列，在计 算关联系数前应首先对序列进行初始化，即 将该序列所有数据分别除以第一个数据。
第二节 灰色预测理论 四、关联度
关联度 关联系数的均值称为关联度，即
5
5.57
10
2.71
15
7.96
20
7.61
第一节 自适应过滤法 四、例子
xt=F1xt-1+F2xt-2+et
F1=r1(1-r2)/(1-r12) F2=(r2-r12)/(1-r12)
workfile zshyglf u 1 150 scalar w1 scalar w2 series x x.fill 4.2,5.8,6.9,7.62,5.57,3.34,2,1.7,2.02,2.71,3.63,5.18,7.11,8.26,7.96,6.78,5.07,5.04,6.02,7.61 series f1 series f2 series e f1(3)=1.20 f2(3)=-0.55 for !j=1 to 150 for !i=3 to 20 e(!i)=x(!i)-f1(!i)*x(!i-1)-f2(!i)*x(!i-2) f1(!i+1)=f1(!i)+2*0.008*e(!i)*x(!i-1) f2(!i+1)=f2(!i)+2*0.008*e(!i)*x(!i-2) next f1(3)=f1(21) f2(3)=f2(21) w1=f1(21) w2=f2(21) next smpl 1 20 series yc yc=w1*x(-1)+w2*x(-2) series cc cc=x-yc group p1 x yc cc show p1.line
(i) X
(1)
ˆ (1) (i ) X (i)
关联度：r =0.696 标准差比：C=2.987
第二节 灰色预测理论 七、GM(1,1)残差模型
若用原始序列X(0) 建立的GM(1,1)模型检 验不合格或预测精度不理想，这时可对 GM(1,1)模型进行残差修正以提高模型的预测 精度。
第二节 灰色预测理论 七、GM(1,1)残差模型
设用原始序列X(0) 建立的GM(1,1)模型为：
得到的参数：
a=334.5912 m=0.203991
得到的模型：
0 . 203991k ˆ (1 ) X ( k 1) [ 386 . 06 1640 . 225 ] e 1640 . 225
第二节 灰色预测理论 六、GM(1,1)模型的例子
相对误差：
1.47E-16 0.03787 0.172326 0.210979 0.220931 0.172037
ˆ (1 ) ( k 1) [ X ( 0 ) (1) m ] e ak m X a a
用其对原始序列进行预测，得到的累加 序列X(1)的预测序列为：
X
(1 )
ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) { X (1), X ( 2 ), , X ( n )}
定义残差为：
e
(0)
r

n k 1
η(k) n
关联度越大，序列间的关联程度越强。
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的结构 设时间序列X(0)有n个观察值：
X
(0)
{X
(0)
(1), X
(0)
( 2 ), , X
(0)
( n )}
通过累加生成的新序列为X(1):
X
(1 )
{X
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
参数估计时的假设检验 相对误差检验； 关联度检验； 后验差检验。
第二节 灰色预测理论 五、GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的检验
相对误差检验
(i)
(0) ˆ (0) X (i) X (i)
X
(0)
100%
(i)
第一节 自适应过滤法 一、自适应过滤法
完整的自适性自回归滤波法模型表达式 为：
xt=F1txt-1+F2txt-2+„+Fptxt-p+et
(2)
第一节 自适应过滤法 二、自适应过滤法的特点
简单易行，可采取标准化程序运算； 适用于样本容量较小的情况；
不要求序列是平稳的；
是变系数模型
第一节 自适应过滤法 三、自适应过滤法的估计方法