概率论和数理统计(第三学期)第4章随机向量

φξ(x)、φη(y)分别是(ξ,η)的联合分布密度及边缘分 布密度，则ξ、η相互独立的充要条件是：对任意 点(x,y)，有
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：
～N(1,12 )
,
～N
(2
,
2 2
)
例2 设二维连续型随机变量(ξ,η)的分布函数为
F(x,y)=(A+Barctgx)(C+arctgy) （１）求常数Ａ，Ｂ，Ｃ； （２）求(ξ,η)的分布密度； （３）D={(x,y):x－y>0,x≤1} ，求 P{(ξ,η)∈D}。
解 （１）由二维分布函数性质，得
P{x1 ≤ ξ<x2，y1 ≤ η<y2} =P {ξ<x2，η<y2}－P {ξ<x2，η<y1}
－P {ξ<x1，η<y2}＋P {ξ<x1，η<y1} =F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1)
y
(x1,y2)
(x1,y1)
(x2,y2) (x2,y1)
第4章 随机向量
二维随机向量及其分布 二维离散型随机向量 二维连续型随机向量 边缘分布 随机变量的相互独立性 条件分布 随机变量函数的分布
§4.1 二维随机向量及其分布
定义1 设ξ1(ω)，ξ2(ω)，…，ξn(ω)是定义在样本空
间Ω上的随机变量，则 n维向量(ξ1(ω)，ξ2(ω)，…， ξn(ω))称为Ω 上的n维随机向量或n维随机变量。
则称(ξ,η) 是二维连续型的随机向量；f(x,y) 称为 (ξ,η)的密度函数。
密度函数f(x,y)具有以下性质：
（１）f(x,y) ≥0；
（２）
f u,vdudv F ,； 1
（３）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则
2Fx, y f (x, y)
xy
（４）若Ｄ是xoy平面内的任一区域，则
▪ 设 P{ξ=xi,η=yj}=pij ， (i，j=1,2, …)
则pij (i，j=1,2, …)称为(ξ,η)的(联合)概率分布律。
(ξ,η)的分布律常用下面的表格给出
x1 x2
xi
y1
y2
p11 p12
p21 p22
pi1 pi2
yi
p1j
p2 j
pij
根据pij的定义，立即得出它们具有下列两性质：
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
0
1
0
1
3
10
10
1
3
3
10
10
§4.3 二维连续型随机向量
定义 对于随机向量(ξ,η)，若存在函数f(x,y)≥0 (x、
y∈R) ，使得(ξ,η)的分布函数
Fx, y P x, y x y
f u,vdudv
0
ξ
0
4 25
1
6
25
p•j
2
i
5
1
pi•
j
6
2
25
5
9
3
25
5
3
1
5
表２ 不放回抽样的分布
pij η
ξ
0
1
0
1
p•j
i
1
3
10
10
3
3
10
10
2
3
5
5
pi•
j
2 5 3 5
1
连续型的边缘分布密度函数
设连续型随机变量(ξ,η)的密度函数为φ(x,y)，则
(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数Fξ(x)有
x,
y
1 ab
,
0,
x2 a2
y2 b2
1
x2 y2 1 a2 b2
求它的边缘密度。
解 (1)当︱x︱>a时， (x, y) 0
x
x,
ydy
0
(2)当︱x︱≤a时，
x
x,
y
dy
b 1 x2
b 1 x 2
a2 x, y dy a2 x, y dy
b 1 x 2
若ξ，η相互独立，即有
Fx, y F x• Fy
此式的两边对x及y求导，便可得到
x, y 2Fx, y
xy
FxFy x y
定理２ 设(ξ,η)是二维离散型随机变量，则ξ、η相
互独立的充要条件是：对(ξ,η)的任意一组可能值 (xi,yj)有
P xi , y j P xiP y j
(1) 0 pij 1, i, j 1, 2,
(2) pij 1
i 1 j1
例１ 袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，每次取出的产品进行检查 后放回袋中，设每次取出产品时，袋中每件产品被取 到的可能性相等，定义下列随机变量。
0, 第二次取出的是次品 1， 第二次取出的是正品
x, y
1
21 2 1 r 2
exp
2
1 1
r
2
x
1 2
2 1
2r
x
1y
1 2
2
y
2 2
2 1
求证边明缘：分布密度。
～N(1,12 )
,
～N
(2
,
2 2
)
证： 令u x 1 , v y 2
1
2
x
x,
y
dy
1
21 1 r2
exp
2
1
1
r
2
u2 2ruv v2 dv
5 5 25
0
1
4
6
0
25
25
1
6 25
9 25
例２ 在例１中，如果每次取出后不放回，求(ξ,η)的
分布律。
解 (ξ,η)的分布律为
P 0, 0 P 0 P 0 0 2 1 1 5 4 10
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
x
定理 设F(x,y)为随机向量(ξ,η)的分布函数，则
(１) 对x或y都是单调增的，即 当 x1<x2时，F(x1,y) ≤F(x2,y) 当y1<y2时，F(x,y1) ≤F(x,y2)
(２)对x或y都是左连续的，即 F(x－0,y)=F(x,y) F(x,y－0)=F(x,y)
（３）F(－∞,y)＝F(x,－∞)＝ F(－∞,－∞)＝0 F(+∞,+∞)＝1
P , D f x, ydxdy
D
例1 （二元正态分布）函数
x, y
1
21 2 1 r2
exp
2
1
1
r
2
x
1
2 1
2
2r
x
1 y
1 2
2
y
2
2 2
2
其中μ1,μ2,σ1,σ2,r为常数；且σ1 >0,σ2 >0, ∣r∣<1 ， 称为二元正态分布密度函数。
若随机向量(ξ,η)以φ(x,y)为密度函数，则称 (ξ,η)服从二元正态分布。
解 由概率密度性质，知
f x, ydxdy 1
即
f x, ydxdy
11
dx kxydy
0
x2
k 1 x(1 x2 )dx k
02 2
6
k 6
D {( x, y) x2 y x,0 x 1}
P{( ,) D} f (x, y)dxdy
D
6xydxdy
u2
e 2
1
v ru2
1
2
2 1 r 2
exp
2 1
r2
dv
则
1
u2
e 2 1
1 2
1
1
2
exp
x
1
2
2 1
2
～N
(1,
2 1
)
同理:
( y)
(x, y)dx
1
2 2
exp
y
2
2
2 2
2
～N
(2
,
2 2
)
其中用到：
e a2 x2 dx
ξi(ω) (i=1,2, …,n) 称为第i个分量（或坐标） (ξ1(ω)，ξ2(ω)，…，ξn(ω))简记为 (ξ1，ξ2，…， ξn)
联合分布函数
x, y
x} { y
x, y
定义２ 设(ξ,η)是二维随机变量，对任意实数x、y，
函数F(x,y) =P{ξ<x，η <y} 称为(ξ,η)的（联合）分 布函数。
D
1
x
dx 6xydy
0
x2
13x(x2 x4 )dx 0
1 4
1 y=x
y=x2
1
二维均匀分布
1
称以
f
x,
y
S
D
0
(x, y) D 其他
为密度函数的随机向量(ξ,η)服从二维均匀分布。 其中SD为平面区域D的面积。
§4.4 边缘分布
定义1：对随机向量(ξ,η)，若已知其联合分布，则ξ
离散型的边缘分布律
二维离散型随机向量(ξ,η)的分量ξ、η都是一维 离散型随机变量，ξ、η的分布律分别称为(ξ,η)关于 ξ、η的边缘分布律。
设(ξ,η)的联合分布律为P{ξ=xi , η=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布律有
P xi P xi ,
F x Fx,
x
u,
y
dy
du
其分量ξ是一维连续型随机变量，且ξ的分布密度为
x x, ydy
同理， y x, ydx
φξ(x) ，φη(y)分别称为随机变量(ξ,η)关于ξ，η的 边缘分布密度。
例２ 设(ξ,η)在椭圆
x2 a2
y2 b2
所1 围成的区域上服
从均匀分布。即其联合密度为
即
pij pi• p• j , i, j 1,2,
证明 只证充分性
设 P xi, yj P xiP yj
i, j 1,2,
Fx, y P xi, y j xi x y j y P xiP y j xi x y j y
P xi• P yj
a2
b 1 x2 x, y dy a2
b 1 x2
b 1 x 2
a2 0dy
a2
b 1 x 2
a2
1 dy ab
b 1 x2 0dy a2
2
a
1
x2 a2
0, x a
x
2
a
1
x于η的边缘密度
0, y b
y
2
b
1
y2 b2
,
y b
例３ 设 (ξ,η)服从二维正态分布，其联合分布密度为
0
2a
§4.5 随机变量的相互独立性
定义 F(x,y)及Fξ(x)、Fη(y) 分别是(ξ,η)的联合分布
函数及边缘分布函数，若对任意实数x、y有 F(x,y)= Fξ(x) ·Fη(y) 即
P x, y P xP y
则称随机变量ξ、η是相互独立。
定理１ 设(ξ,η)是二维连续型随机变量，φ(x,y)及
0, 第一次取出的是次品 1， 第一次取出的是正品 求(ξ,η)的分布律。
解: (ξ,η)的分布律为
P 0, 0 P 0 P 0 2 2 4
5 5 25
P 0, 1 P 0 P 1 2 3 6
5 5 25
P 1, 0 P 1 P 0 3 2 6
5 5 25
P 1, 1 P 1 P 1 3 3 9
F , y A BC arctgy 0
2
Fx, A BarctgxC 0
2
F
,
A
2
B
C
2
1
由以上三式可得到
A 1
2
B
1
2
C
2
F
x,
y
1 2
1
arctgx
1 2
1
arctgy
（２） (ξ,η)的分布密度
x,y
2Fx, y
xy
2
1
1 x2
1
y2
（３）
P xi , ( y j )
j 1
P ( xi , y j )
j1
P xi , y j j 1
pij j 1
简记为
pi• P xi pij , i 1,2,
j1
同理， (ξ,η)关于η的分布律为
p• j P y j pij , j 1,2,
P,D x, ydxdy
D
1x
1
2
1
x2
1 y2
dydx
1
1
2
1 1 x2
arctgx
2
dx
1
2
1 2
arctgx2
2
arctgx1
9 32
例3 已知二维随机向量（ξ，η）的密度为
f
x,
y
kxy
0
x2 y 1,0 x 1 其他
试 确 定 k 的 数 值 ， 并 求 ( ξ,η) 落 在 区 域 D={(x，y)|x2≤y≤x，0≤x≤1｝的概率。