概率论模拟试题四套及答案
概率论模拟卷1~6及答案
一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。
已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
二、（12分）设随机变量X的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。
三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。
四、（12分）设,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。
五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。
求：（1）的矩估计量；（2）的方差。
七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。
试求常数，使得服从分布。
八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：,,,,一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。
若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x Ax x f ，求：（1）参数A ；（2）}35.0{<<X P ；（3）}{x X P <。
三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。
四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其它,010,10,),(y x y x y x f ． （1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。
概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)
《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
经济类专业学位联考综合能力数学基础概率论模拟试卷4_真题(含答案与解析)-交互
经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷4(总分56, 做题时间90分钟)计算题1.设A和B是任意两个事件，则下列事件中与事件相等的是( )．SSS_SINGLE_SELABCD该问题分值: 2答案:A解析：通过事件的恒等运算，将化简，即由知该事件与事件相等，故选A．2.假设事件A，B满足P(B|A)=1，则( )．SSS_SINGLE_SELA A是必然事件B P(B|)=0C A包含事件BD P(A－B)=0该问题分值: 2答案:D解析：推断可采用三种方法：解法1直接法．由P(B|A)=1，有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)，从而有 P(A－B)=P(A)－P(AB)=P(A)－P(A)=0．故选D．解法2排除法．反例，若设事件A={取－等品}，B={取一等品或二等品，统称合格品}，现任取1件产品，若已知为一等品，则该产品必为合格品，即有P(B|A)=1，但A并非必然事件，A也不包含事件B，且P(B|)≠0，因此，应选D．解法3图解法．如图3一7一2所示，A发生，则B必发生．显然，选项A，B，C不正确，故选D．3.n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率为( )．SSS_SINGLE_SELABCD该问题分值: 2答案:A解析：n张奖券，k个人购买，每人一张，是一个组合问题，共有Cnk种组合方式，即总样本点数为Cnk．其中至少有一个人中奖即为所有人都不中奖的对立事件，后者事件意味着抽取的k张奖券均取自n－m张不含奖部分，因此，所含的样本点数为Cn－mk，所以，其中至少有一个人中奖的概率为故选A．4.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则( )．SSS_SINGLE_SELA f(x)可以是奇函数B f(x)可以是偶函数C f(x)是连续函数D f(x)可以是单调增加函数该问题分值: 2答案:B解析：构成连续型随机变量X的密度函数f(x)，只需满足两个条件：一是非负性，f(x)≥0；二是∫－∞+∞ f(x)dx=1．在这两个条件下，对f(x)的函数类型没有特别限定．选项A，依题设，f(x)是连续型随机变量X的密度函数，则在(－∞，+∞)上总有f(x)≥0．若是奇函数，则有f(－x)=－f(x)≤0，与它的非负性矛盾．选项C，连续型随机变量X的密度函数未必连续，但一般只允许有若干间断点，如当X服从区间[a，b]上的均匀分布，其密度函数即为分段函数，有两个间断点．选项D，若f(x)是单调增加函数，又f(x)≥0，则至少有一个点x0，使得f(x)＞0，于是，当x＞x时，总有f(x)＞f(x)＞0，因此有∫－∞+∞ f(x)dx= f(x)(x－x)，知∫－∞+∞ f(x)dx发散．显然，选项D不正确．由排除法知，应选B．5.设连续型随机变量X的密度函数为则k=( )．SSS_SINGLE_SELA 2／3B 1／2C 1／3D 1／4该问题分值: 2答案:B解析：由∫－∞+∞ f(x)dx=1，有∫+∞ ke －x／2 dx=－2ke －x／2 |+∞=2k=1，解得k=1／2．故选B．6.离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ=( )．SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4该问题分值: 2答案:B解析：由于X服从参数为λ的泊松分布，则有P{X=k}=λ／k!e －λ=(λ＞0，k=0，1，2，…)，于是由题设，P{X=1}=P{X=2}，得λ／1!e －λ=λ 2／2!e －λ，从而有λ 2－2λ=0，解得λ=2(λ=0舍去)，所以λ=2．故选B．7.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ 2)(σ＞0)，且二次方程y 2 +4y+2X=0无实根的概率为1／2，则μ=( )．SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4该问题分值: 2答案:B解析：二次方程y 2 +4y+2X=0无实根的事件为{16－8X＜0}，即{X＞2}，于是依题设，有 P{x＞2}=1－P{X≤2}=1／2，即P{X≤2}=1／2，也即Ф( )=1／2，从而得2－μ=0，μ=2．故选B．8.已知各车站到站客流批次服从参数为λ的泊松分布，现对上海某公共汽车站客流量进行一次调查，统计了上午10：30到11：47每隔20秒乘客来到车站的批数(非人数)，得到230个数据，如下表所示：则乘客来到车站的批次的分布参数λ=( )．SSS_SINGLE_SELA 0．71B 0．79C 0．89D 1该问题分值: 2答案:C解析：泊松分布的参数λ即为其客流批次的期望，也即到站乘客批次的加权平均值．因此，由调查数据容易计算出每隔20秒出现的到站乘客批次的加权平均值为EX=0×0．43+1×0．35+2×0．15+3×0．04+4×0．03=0．89，9.设随机变量X的概率分布为P{X=k}=C／k!，k=0，1，2，…，则E(X 2 )=( )．SSS_SINGLE_SELA 2B 3C 4D 5该问题分值: 2答案:A解析：注意到X的概率分布为P{X=k}=C／k!，k=0，1，2，…，与服从参数λ=1的泊松分布的概率分布P{X=k)=1 k／k!e －1，k=0，1，2，…，结构完全一致，并可以推出C=e －1．于是知EX=DX=1，则E(X 2 )=DX+(EX) 2=λ+λ 2 =1+1=2．故选A．10.设随机变量X的密度函数为又知EX=3／4，则k，α分别为( )．SSS_SINGLE_SELA 2，3B 3，2C 3，4D 4，3该问题分值: 2答案:B解析：由∫－∞+∞f(x)dx=∫1 kx α dx =1，即k－α=1．又EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫1 kx α+1 dx 即4k－3α=6．联立两式，解得k=3，α=2．故选B．11.已知随机变量X的密度函数为f(x)=(－∞＜x＜+∞)，则EX，DX分别为( )．SSS_SINGLE_SELA 1，1／2B 1，1／4C 2，1D 2，2该问题分值: 2解析：将其化为正态分布的密度函数的标准形式，即由正态分布的密度函数一般形式中参数与其数字特征的关系，可得EX=μ=1，DX=σ 2 =1／2．故选A．12.设随机变量X服从区间[a，b]上的标准均匀分布，则[a，b]=( )．SSS_SINGLE_SELA [－1，1]B [－]C [1－]D [－3，3]该问题分值: 2答案:B解析：由X服从区间[a，b]上的标准均匀分布知，EX=0，DX=1．解法1由题设，直接计算EX=1／2(a+b)=0，DX=1／10(b－a) 2 =1．联立得方程组，解得a=－，故选B．解法2对各选项一一验证．知C不正确．选项D，由EX=1／2(－3+3)=0，DX=1／12(3+3) 2 =3，知D不正确．故选B．13.一批产品有12件，其中有4件次品，8件正品．现从中任取3件产品，试求取出的3件产品中有次品的概率．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：设事件A={取出3件中有次品}，Ai={取出3件中恰好有i件次品}，i=1，2，3．显然，A1，A2，A3两两互斥，且它们依次包含的样本点数分别为=C41 C82，=C42 C81，=C43，由事件的关系和运算，有A=A1 +A2+A3，又从12件产品中取3件产品，样本点总数为C123．因此 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 本题也可考虑从事件A的反面去计算，即14.10件产品中有5件一级品，3件二级品，2件次品，无放回地抽取，求取到二级品之前取到一级品的概率．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2正确答案：设Ak 为第k次取到一级品，Bk为第k次取到次品，A为取到二级品之前取到一级品，于是 A1 =A1，A2=B1A2，A3=B1B2A3，A=A1+B1 A2+B1B2A3，显然，事件A1，A2，A3互斥，从而有 P(A)=P(A1 )+P(B1A2)+P(B1B2A3)15.一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，在某个时间段每个元件无故障工作的概率为0．8．求该电路分别在三个元件串联和并联情况下无故障工作的概率．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：三个同种电气元件中有ξ个无故障工作的概率服从二项分布概型，即P{ξ=k}=C3k 0．8 k (1－0．8) 3－k (k=0，1，2，3)．于是在三个元件串联情况下，电路无故障工作，即在三个元件都处在正常工作状态，因此所求概率为P{ξ=3}=C33 0．8 3 (1－0．8) 3－3 =0．8 3 =0．512．在三个元件并联情况下，只要其中一个元件无故障工作，电路即正常工作，因此所求概率为 1－P{ξ=0)=1－C30 0．8 0 (1－0．8) 3 =1－0．2 3 =0．992．16.已知离散型随机变量X的分布函数为求X的分布阵，并计算P{x=1}，P{－1＜X＜3}，P{X＜0|－2≤X＜1}．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：X的正概率点即为F(x)的分段点：X=－1，0，2，且有 P{X=－1}=F(－1)－F(－1－0)=1／2， P{X=0}=F(0)=F(0－0)==3／14，P{X=2}=F(2)－F(2－0)=1－=2／7．于是X的分布阵为从而有P{X=1)=0 或P{X=1}=F(1)－F(1－0)==0； P{－1＜x＜3}=P{X=0}+P{X=2}=1／2，或P{－1＜X＜3}=F(3－0)－F(－1)=1－=1／2； P{X＜0|－2≤X＜1}17.设X是连续型随机变量，其密度函数为求Y的分布列．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：显然，Y的正概率点为0，1，2．于是 P{Y=0}=P{X＜1}=∫－∞1f(x)dx=∫01 1／6dx=1／6；P{Y=1}=P{1≤X＜4}=∫14 f(x)dxP{Y=2}=P{X≥4}=∫4+∞f(x)dx=∫45 1／4dx=1／4，或P{Y=2}=1－P{Y=0}－P{Y=1}=1－=1／4．因此，Y的分布列为设连续型随机变量X的密度函数为求：SSS_TEXT_QUSTI18.常数A；该问题分值: 2答案:正确答案：根据连续型随机变量密度函数的性质，有∫－∞+∞f(x)dx=∫100+∞ A／x 2 dx=－A／x|100+∞ =A／100=1，解得A=100．SSS_TEXT_QUSTI19.P(X≥1000)；该问题分值: 2答案:正确答案：P{X≥1000}=∫1000+∞ 100／x 2 dx=－100／x|1000+∞ =1／10．SSS_TEXT_QUSTI20.P{X=1000}；该问题分值: 2答案:正确答案：P{X=1000}=0．SSS_TEXT_QUSTI21.X的分布函数F(x)．该问题分值: 2答案:正确答案：F(x)=∫－∞x f(t)dt22.已知连续型随机变量X有密度函数为求系数k及分布函数F(x)，并计算P{1＜X＜5／2|X≤3}．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由连续型随机变量密度函数的性质，有∫－∞+∞f(x)dx=∫2(k+1)dx=( kx 2 +x)|2 =2k+2=1，解得k=－1／2．又当x＜0时，P{X≤x}=0；当x≥2时，P{X≤x}=1；当0≤x＜2时，P{X≤x}=∫x (－t+1)dt=－x 2 +x，从而得F(x)=P{X≤x}23.某地抽样调查考生的英语成绩(按百分制计算)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生占整个考生人数的2．3％，试求英语成绩在60分至84分之间的概率．(Ф(1)=0．8431，Ф(2)=0．977)SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：设X为考生的英语成绩，则X～N(μ，σ 2 )，其中μ=72，下面确定σ依题设，P{X≥96}=0．023，即有Ф(24／σ)=0．977，得24／σ=2，所以σ=12，因此X～N(72，12 2 )．所以P{60≤X≤84} =p{| |≤1}=2Ф(1)－1=0．6862．24.设一条自动生产线上生产的每台仪器以概率0．8可以出f，以概率0．2需要进一步调试，经调试后，以概率0．75可以出f，以概率0．25定为不合格品不能出f．现该生产线新生产出十台仪器，试求这十台仪器能够出f的期望．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：对于该生产线生产的每台仪器，设事件A表示“仪器能出厂”，B 表示“仪器需要进一步调试”，表示“仪器可以直接出厂”，AB表示“仪器经调试后可以出厂”．于是 A=∪AB，P(A)=P()+P(AB)=P()+P(B)P(A|B) =0．8+0．2×0．75=0．95．设随机变量X表示十台仪器中能够出厂的台数，则X服从二项分布B(10，0．95)，因此EX=10×0．95=9．5(台)．25.设随机变量X的分布函数为求EX，E(2X+5)，E(X 2 )，D(X 2 )．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：求X的期望与方差先求X的分布阵，依题设，有因此 EX=－1×0．2+0×0．6+1×0．2=0， E(2X+5)=2EX+5=5， E(X 2 )=(－1) 2×0．2+0 2×0．6+1 2×0．2=0．4， D(X 2 )=E(X 4 )－[E(X 2 )] 2 =(－1) 4×0．2+0 4)×0．6+1 4×0．2－0．4 2 =0．24．26.设随机变量X的分布函数为求EX；DX；E(X 2 )；D(2－3X)．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：求X的期望与方差必须先求X的密度函数，即有因此EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫13 ( x)dx=20／9； E(X 2)=∫－∞+∞ x 2f(x)dx=∫13( x 2 )dx=47／9； DX=E(X 2 )－(EX) 2D(2－3X)=9DX=23／9．27.某类型电话呼唤时间T为连续型随机变量，满足 P(T＞t)=ae －λt +(1－a)e －μ，t≥0，0≤α≤1，λ，μ＞0，求ET．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：依题设，先求T的密度函数，利用分布函数法．当t≥0时，F(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t}=1－αe －λt－(1－α)e －λt，由F(0)=0，F(t)单调非减非负知，当t＜0时，F(t)=0，所以T的分布函数为从而得T的密度函数为因此ET=∫－∞+∞tf(t)dt=∫+∞[αλte －λt+μ(1－α)te－μt ]dt 其中∫+∞ te －kt dt28.设随机变量X在[－1，2]上服从均匀分布，且 Y=X 2．求DX，DY．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由题设，X的密度函数为因此EX=∫－∞+∞xp(x)dx=∫－12 x／3dx=1／6x 2 |－12 =1／2， E(X 2)=∫－∞+∞ x 2p(x)dx=∫－12 x 2／3dx=1／9x 3 |－12 =1，所以DX=E(X 2 )－(EX) 2 =3／4 又EY=∫－∞+∞ x 2p(x)dx=∫－12 1／3x 2 dx=1／9x 3 |－12 =1，E(Y2)=∫－∞+∞ x 4p(x)dx=∫－12 1／3x 4 dx=1／15x 5 |－12 =33／15=11／5，所以DY=E(Y 2 )－(EY) 2 = －1=6／5．1。
概率论期末模拟题
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件，其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”，其概率为3p ，故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知，)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数，且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ，所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续，且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π，则=Y （ ）)1,0(~N(A) 23+X (B) 23+X (C) 23-X (D) 23-X解 X 的数学期望3-=EX ，方差2=DX ，令23+=X Y ，则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关，则下列等式中不成立的是（ ）(A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)( (C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ，故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ，DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(，但无论如何，都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（ ） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N X n (C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~n N X ，),0(~n N X n ，)1(~-⋅n t SXn ，只有C 选项成立.本题应选C.7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（ ）不是总体期望μ的无偏估计量 (A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知，∑=ni iX1不是无偏估计量，本题应选A.8、在假设检验中，记0H 为待检假设，则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立，经检验接受0H(B) 0H 成立，经检验拒绝0H(C) 0H 不成立，经检验接受0H (D) 0H 不成立，经检验拒绝0H 解 弃真错误为第一类错误，本题应选B. 二.填空题（每空2分，共14分）1、同时掷三个均匀的硬币，出现三个正面的概率是________，恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布，且31,3==DX EX ，则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ，则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a ， 4=b ， 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布， Y 服从参数为4的指数分布，则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6||{Y X P ________. 解 根据切比雪夫不等式，12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P .5、假设随机变量X 服从分布)(n t ，则21X 服从分布________（并写出其参数）.解 设)(~n t nZY X =，其中)1,0(~N Y ，)(~2n Z χ，且)1(~22χY ，从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本，对总体方差DX 进行估计时，常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11.三.(本题６分)设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率，(2) 若任取一个零件是废品，它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台，第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回再取一球，分别以Y X ,记第一次，第二次取得球上标有的数字，求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ，21)2(==X P ，41)3(==X P .41)1(==Y P ，21)2(==Y P ，41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ，故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ，试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ，从而41=A ;(2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时，0)(=y F Y ;当0≤y 时，)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，所以，两边关于y 求导可得，.e 4121e 4121e 41)(y yyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i )，X 表示购买该种商品的人数，则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品，依题意，由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DXEX X P n X P 997.0)240600(=-Φ≈n . 查正态分布表得75.2240600=-n ，解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球，黑球数与白球数之比为R . (1) 从罐内任取一球，取得黑球的个数X 为总体，即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其中有m 个白球，求比数R 的最大似然估计值. 解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即RR R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=，两边取对数，)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=，两边再关于R 求导，并令其为0，得011=+-∑Rnx i ， 从而∑∑-=iixn xRˆ，又由样本值知，m n x i-=∑，故估计值为1ˆ-=mn R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽6件，测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137；B 批:0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141. 已知元件电阻服从正态分布，设05.0=α，问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ，15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H . 检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）， 由05.0=α，查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α，15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ，由于2/2/1ααF F F <<-，故不能拒绝10H ，即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H .统计量62221SS Y X T +-=)10(~t （在0H 成立时），查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得148.160000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ，因为2/||αt T <，故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件，则C B A 表示（ ） (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ，187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +，)2,1(~--N Y X ，故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量，且6.0,1,4===XY DY DX ρ，则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ，6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则2X 的数学期望是（ ）(A) λ (B)λ1(C) 2λ (D) λλ+2解 222)(λλ+=+=EX DX EX ，本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本方差，记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ (B) 1/2--=n S X t μ (C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ，)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ，再由t 分布的定义知，本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本，X 为样本方差，则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-ni i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分，共14分）1.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有1件是不合格品，则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品，B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布，则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且6.0}40{=<<X P ，则}0{<X P =________. 解 2=μ，即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布，其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0，1，0，1，1，0，1，1，则样本均值是________，样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布，现从X 中随机抽取10个样本，根据测得的结果计算知27101=∑=i ix，那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ. 6.设总体) ,(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设00μμ=：H 时，采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球，25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球.现在从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取球，B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342;(2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f ， 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π地次数，求2Y 的数学期望.解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ，)21 ,4(~B Y ，从而5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ， 所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ; (3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ，92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05，规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格，试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度，10,,2,1 =i ，X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ，0025.0=i DX ，且∑==101i iXX ，20=EX ，025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知，产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，当0,,,21>n x x x 时，似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ，两边取对数，∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ，关于θ求导，并令其为0，得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ，从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下: 东支:230.01=x ，1337.021=n s ， )9(1=n西支:269.02=x ，1736.022=n s ， )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ，90.4)8 ,7(025.0=F ，) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差，又没有说明方差是否相等的情况下，要求检验两总体均值是否相等的问题，故首先必须检验方差是否相等，在相等的条件下，检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=， 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，接受0H ，即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x ， 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分，共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 . 解 设A 表示一次射击中击中目标，依题意，四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ，解得31)(=A P ，从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ，B 独立，且p A P =)(，q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布，已知==)1(X P )2(=X P ，则λ= . 解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ，从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ，Y 具有同一分布律，且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 .解 Z 的可能取值为0，1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P . 43411)1(=-==Z P . 5.设随机变量X ，Y 的方差分别为25=DX ，36=DY ，相关系数4.0=XY ρ，则),(Y X Cov = . 解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在，总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ，则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ，μ未知，检验2020σσ=H ：，应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分，共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立，则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P(B) =)|(A B P )(A P(C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知，==)()|(A P B A P )(1A P -，故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，且6.1=EX ，28.1=DX ，则n ，p 的值为（ ） (A) n =8，p =2.0 (B) n =4，p =4.0 (C) n =5，p =32.0(D) n =6，p =3.0解 由6.1=np ，28.1)1(=-p np ，解得n =8，p =2.0，本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ，其概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -，),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F ， ),(∞+-∞∈x解 2=EX ，故其密度函数关于2=x 对称，故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=，则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=，可得0),cov(=Y X ，从而可知X 与Y 不相关，故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，令=Y 212)(σ∑=-ni iX X，则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本，可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知，2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ，故A 选择正确，同理验算其他选项，B ，C ，D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ，若进行假设检验，当（ ）时，一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知，检验2σ=20σ(B) μ已知，检验2σ=20σ(C) 2σ未知，检验 μ=0μ(D) 2σ已知，检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆，甲车床的产量是乙车床的5.1倍，甲车床的废品率为%2，乙车床的废品率为%1，现随机抽取一根螺杆检查，发现是废品，问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲，乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障获利润5万元，发生两次故障获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润，其分布律为:X0 5 10P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ，Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 061 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ，Y 的边际分布；(2) 判断X ，Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xyd e d )1(1210211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P . 解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ，)0(0)e (lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++，从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度，即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ，求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ，从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分，问在显著水平05.0下，是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ，选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t ， (0H 为真时)在05.0=α下，查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t .另一方面，计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ，从而接受原假设，即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元，样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元，假设年存款余额服从正态分布，试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=，由于t 检验必须在方差相等的条件下进行，因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=，统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，拒绝0H ，即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布，λ为未知参数，⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x X P x T TX T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ，所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分，共20分)1.设)(A P =0.4，)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布，即)1.0,5(~B X ，则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为6437，则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知，10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论，有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2，则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π，这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中，n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值，则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ，Y 是二维随机向量，DX ，DY 都不为零，若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ，这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和方差，则SnX )(μ-服从分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，X 与Y 相互独立.从X ，Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本，样本均值分别为Y X ,，则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为____________.解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分，共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在，由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( ) (A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ，则( ).(A) 5.0,1-==B A (B) 1,5.0=-=B A (C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A解 令1d )(10=+⎰x B Ax ，127d )(10=+⎰x x B Ax ，解得5.0,1==B A ，故本题应选D.4.若随机变量X 与Y 不相关，则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ，且αα=>)},({21n n F F P ，则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次，记事件:=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立，本题应选C.三.计算题(每小题８分，共48分)1.某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%.现从该厂产品中任意抽取一件，求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式， 0.09;(2) 运用贝叶斯公式， 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ，以X表示三个零件中合格品的个数，求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX ， (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ，故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ，2σ为未知参数，n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值，求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ，两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ，关于2σ求导，并令其为零，得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n ， 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ，Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) X 与Y 之间是否相互独立，判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =，故X 与Y 相互独立，因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.3415.某人乘车或步行上班，他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布，如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次，以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P . 6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时，))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度，⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i )，则∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数，且80=EX ，64=DX ，故由中心极限定理知，)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H . 采用统计量2221S n σχ-=，在0H 成立时，)9(~22χχ.由1.0=α，查得临界值325.3)9(295.022/1==-χχα， 919.16)9(205.022/==χχα，由样本值算得03.10165.1602≈=χ，由于22/222/1ααχχχ<<-，所以不拒绝0H ，即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ，对任意的R x ∈，满足:)()(x f x f -=，)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ，有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(.证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-aax x f x x f x x f a F 0d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21(令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
概率论试题(附含答案)详细
事件表达式A B 的意思是事件A 与事件B 至少有一件发生假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B 是不可能事件. 这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从自由度为2的χ2分布. 因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。
已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则X +Y ~N (0,5). 因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有1233X X X ++是μ的无偏估计. 因为样本均值是总体期望的无偏估计.随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为3.5. 选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。
已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= 0.18. 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。
三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为0.784. 是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。
一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为0.25. 由古典概型计算得所求概率为31053210.254C ⨯⨯==。
已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=0.875，因P {X ≤1.5} 1.5()d 0.875f x x ==⎰假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )= 填 4.5，因E (X )=5⨯0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.5一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。
概率论综合测试题答案(4选3)
综合测试答案综合试题一参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.56； 12.0.6； 13.0.6； 14.33(),0,1,2,...!k P X k e k k -=== 15.4；22()x x --∞<<+∞； 17.0.15； 18.3；19.2(||)DXP X EX εε-≥≤,或2(||)1DXP X EX εε-<≥-； 20.0.816；21.F (3，5)； 22. 5； 23. 2； 24.22[,]X X αα；25.10:H μμ>.三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 26.解：()()(|)0.30.40.12P AB P A P B A ==⨯=；由(|)0.5P A B =得：(|)10.50.5P A B =-=，而()(|)()P AB P A B P B =，故 ()0.12()0.24(|)0.5P AB P B P A B ===.从而()()()()0.30.240.120.42.P A B P A P B P AB +=+-=+-=27．解：设样本观测值0,1,2,...,.i x i n >=则 似然函数111()()nii i nnx x n i i i L f x e eλλλλλ=--==∑===∏∏取对数ln 得：1ln ()ln ni i L n x λλλ==-⋅∑，令1ln ()0ni i d L n x d λλλ==-=∑，解得λ的极大似然估计为11ˆnii nxxλ===∑.或λ的极大似然估计量为1ˆX λ=. 四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28.解：(1)当x <0时，F (x )=0. 当02x ≤<时，2011()()24xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰. 当2x ≥时，221()()012xx F x f t dt tdt dt -∞==+=⎰⎰⎰.所以，X 的分布函数为： 20,01(),0241,2x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩.(2)1(1)2P X -<≤=111()(1)0.21616F F --=-=或1(1)2P X -<≤=11221011().216f t dt tdt -==⎰⎰(3)因为22014()23EX xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰，222301()22EX x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰，所以，11(21)213E X EX +=+=；222()9DX EX EX =-=. 29.解：(1)因为(0)0.3,(1)0.7P X P X ====,(0)0.4,(1)0.2,(2)0.4P Y P Y P Y ======,所以，边缘分布分别为：(2)因为(0,0)0.2P X Y ===,而(0)(0)0.30.40.12P X P Y ===⨯=,(0,0)(0)(0)P X Y P X P Y ==≠==,所以X 与Y 不独立；(3)计算得：0.7,1,()0.9EX EY E XY ===,所以(,)()Cov X Y E XY EXEY =-=0.9-0.7=0.2.五、应用题（本大题共10分）30.解：一个正态总体，总体方差28σ=已知，检验01:570:570H H μμ=≠对. 检验统计量为~(01).X U N =，检验水平=0.05α，临界值为0.0521.96u =，得拒绝域：|u |>1.96.计算统计量的值：575.2570575.2,|| 2.6 1.962x u -===>，所以拒绝H 0，即认为现在生产的钢丝折断力不是570.综合试题二参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 11. 0.75； 12. 0.2； 13. 0.8； 14.23； 15. 0.25； 16. 0.6826； 17. 16； 18. 3； 19.0.5； 20.N (5，4.95)； 21.2(10)χ； 22.21n n σ-；23.ˆX θ=； 24.22[(1),(1)]X n X n αα-+-； 25. 1.三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.解：因为~(2,4),~(10,0.1)X N Y B ，所以4,100.10.90.9DX DY ==⨯⨯=. 又X 与Y 相互独立，故D (X+3Y )=DX +9DY =4+8.1=12.1.27.解：B 表示取到白球，A 1，A 2，A 3分别表示取到甲、乙、丙口袋.由题设知，1231()()()3P A P A P A ===. 由全概率公式：112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++12111213333342=⨯+⨯+⨯=.四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.解：(1)由于连续型随机变量X 的分布函数F (x )是连续函数，所以11lim ()lim ()1x x F x F x -+→→==，即k =1，故20,0()01,1,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩； (2)(0.30.7)(0.30.7)(0.7)(0.3)P X P X F F <<=<≤=-=0.4；(3)因为对于()f x 的连续点，()()f x F x '=，所以2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它.1202()23EX xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰,122301()22EX x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰,22141()2918DX EX EX =-=-=. 29. 解：(1) 因为(0)0.4,(1)0.6P X P X ====,(1)0.5,(2)0.2,(3)0.3P Y P Y P Y ======,所以，边缘分布分别为：(2)因为(0,2)0.1,(0)(2)0.08,P X Y P X P Y ======(0,2)(0)(2)P X Y P X P Y ==≠==，所以，X 与Y 不独立；(3)()110.3120.1130.2 1.1E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 五、应用题（本大题共10分）30.解：总体方差未知，检验H 0：72μ=对H 1：72μ≠，采用t 检验法.选取检验统计量：~(35)X T t =由0.05α=，得到临界值0.025(35) 2.0301t =. 拒绝域为：|t |>2.0301 .因|| 1.8 2.0301t ==<，故接受H 0.即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分.综合试题三参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 11.14； 12.56； 13.Y ~ U[1，9]；14.15.x y e --； 16. 1； 17.12； 18.0.025； 19. 21DXε-； 20. 0.816； 21. t (n -1)； 22.无偏性、有效性、一致性（或相合性）； 23. 1；24.2222122(1)(1)[,](1)(1)n S n S n n ααχχ-----；25.X T =. 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.解：P (AB )=P (A ) P (B |A )= 0.8×0.25=0.2.P (A|B )=()()0.20.5()10.61()P AB P AB P B P B ===--. 27.解：由题设得，(X , Y )的分布律为：从而求得边缘分布为：四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.解：(1)X 的所有可能取值为1，2，3.且84(1)105P X ===，288(2)10945P X ==⨯=，2181(3)109845P X ==⨯⨯=.所以，X 的分布律为：(2)当1x <时，()()0F x P X x =≤=； 当12x ≤<时，4()()(1)5F x P X x P X =≤===； 当23x ≤<时，44()()(1)(2)45F x P X x P X P X =≤==+==； 当3x ≥时，()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以，X 的分布函数为：0,14,125()44,23451,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.(3)因为Y =2X +1，故Y 的所有可能取值为：3，5，7.且4(3)(1),58(5)(2),451(7)(3).45P Y P X P Y P X P Y P X ============得到Y 的分布律为：29.解：(1) (|| 1.96)1(|| 1.96)p P X P X =>=-≤ 1[2(1.96)1]0.05=-Φ-=. (2)Y 服从二项分布B (3，0.05). 其分布律为：33()(0.05)(0.95),0,1,2,3.kk k P Y k C k -===(3)由二项分布知：30.050.15.EY np ==⨯= 五、应用题（本大题共10分）30.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%；甲厂产品的合格品率为90%，乙厂的合格品率为95%，若在市场上买到一只不合格灯泡，求它是由甲厂生产的概率是多少？解：设A 表示甲厂产品，A 表示乙厂产品，B 表示市场上买到不合格品. 由题设知：()0.6,()0.4,(|)10.90.1,(|)10.950.05.P A P A P B A P B A ===-==-= 由全概率公式得：()()(|)()(|)0.60.10.40.050.08.P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=由贝叶斯公式得，所求的概率为： ()(|)0.60.1(|)0.750.08()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+.综合试题四参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 11.1528； 12.223(1)p p -； 13.21()(1)f x x π=+； 14.N (1，25)； 15.0； 16.9.4； 17.22()μμσ+； 18.49； 19.2(3)χ； 20.43； 21.112； 22.22[,]X X αα+； 23.222(1)4n S χ-=； 24.第一类错误； 25.1121()()ˆ()niixy i nxxii x x yy L L x x β==--==-∑∑.三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.解：设B 表示飞机被击中，A i 表示三人中恰有i 个人击中，i =1,2,3. 由题设知：312013()0.60.216,()0.40.60.432P A P A C ===⋅⋅=,223233()0.40.60.288,()0.40.064P A C P A =⋅⋅===.0123(|)0,(|)0.2,(|)0.5,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 由全概率公式，得00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 0.21600.4320.20.2880.50.06410.2944.=⨯+⨯+⨯+⨯=27.解：(1)1101()(1)2EX xf x dx x dx θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰,令1,2X θθ+=+，解得θ的矩估计量为211X Xθ-=-. (2) 设12,,...n X X X ，的一次观测值为12,,...,n x x x ，且01,1,2,...,i x i n <<=.则 111()()(1)(1)()n n nni i i i i i L f x x x θθθθθ=====+=+∏∏∏取对数：1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑，令1ln ()ln 0,1ni i d L nx d θθθ==+=+∑解得：θ的极大似然估计值 11ln nii nxθ==--∑，θ的极大似然估计量11ln nii nXθ==--∑.28.解：(1)当0x <时，()00xF x dt -∞==⎰，当01x ≤<时，21()()2xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰， 当12x ≤<时，12011()()(2)212xx F x f t dt tdt t dt x x -∞==+-=-+-⎰⎰⎰，当2x ≥时，121()()(2)1x F x f t dt tdt t dt -∞==+-=⎰⎰⎰.所以，分布函数为：220,01,012()121,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩；(2) 1221()(2)1EX xf x dx x dt x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰，122232017()(2)6EX x f x dx x dt x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰， 所以，213EY EX =+=,221()6DX EX EX =-=. 29.解： (1)设X 表示一个人等车的时间，则X ~U [0，5]，其概率密度为：1,05~()50,x X f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.一个人等车不超过2分钟的概率为：21(2)0.45p P X dx =≤==⎰； (2)设Y 表示三个人中等车不超过2分钟的人数，则Y ~B (3，0.4). 三人中至少有两个人等车不超过2分钟的概率为：11 / 11 (2)(2)(3)P Y P Y P Y ≥==+=2233330.40.60.40.352C C =⋅⋅+⋅=.五、应用题（本大题共10分）30.解：设X i “第i 段测量产生的误差”（i =1.,2,…,1200).X i （i =1.,2,…,1200) 独立同分布，且EX i =0， DX i =1/12.12001200111()0,()120010012i i i i E X D X ====⨯=∑∑ ， 由中心极限定理得：12001~(0,100)i i XN =∑近似. 所以，12001200110(||20)210i i i i X P X P ==⎛⎫- ⎪⎪≤=≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑02(2)10.9545=Φ-=.[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)
《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 某校有100名学生，其中60名男生和40名女生。
随机抽取1名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.0答案：A2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，那么连续抛掷3次硬币，得到至少两次正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.875D. 0.625答案：D3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，那么两个球都是红球的概率是多少？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/5答案：D4. 如果事件A的概率是0.3，事件B的概率是0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？A. 0.7B. 0.5C. 0.6D. 0.4答案：A5. 一个骰子被抛掷，那么得到的点数是偶数的概率是多少？A. 0.5B. 0.33C. 0.25D. 0.16答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 概率论中的_______定义了事件发生的可能性大小。
答案：概率7. 如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = _______。
答案：P(A) * P(B)8. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为：P(X=k) = _______。
答案：(λ^k / k!) * e^(-λ)9. 在连续概率分布中，随机变量X的取值范围是无限的，其概率密度函数f(x)满足________。
答案：∫f(x)dx = 110. 两个事件A和B互斥的充分必要条件是P(A∩B) = _______。
答案：0三、解答题（共25分）11. 一个工厂有3台机器生产同一种零件，每台机器在一小时内正常运转的概率分别为1/2、2/3和3/4。
假设这些机器相互独立，求至少有两台机器在一小时内正常运转的概率。
答案：首先，我们可以计算出每台机器不正常运转的概率，然后找出至少两台机器正常运转的组合情况。
概率论与数理统计模拟试题5套带答案
06—07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A,B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2。
已知),2(~2σN X,且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________。
3。
设X 与Y 相互独立,且2)(=X E ,()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___4。
设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布。
5。
设),3(~),,2(~p B Y p B X,且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________。
二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】(A) 11a a b -+-；(B) (1)()(1)a a ab a b -++-；（C ） a a b +；(D)2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】（A ） 2; (B)12; （C) 3; （D ）13。
3． 设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4。
设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是【 】 ()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；()B []π,0; ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5。
设()2,~σμN X ,b aX Y -=，其中a 、b 为常数,且0≠a ，则~Y 【 】()A ()222,b a b a N +-σμ; ()B ()222,b a b a N -+σμ；()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分) 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0。
概率论模拟试题及答案
模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x A e x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为： 1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
《概率论》模拟试卷
《概率论》模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共15分）1、把9本书任意放在书架上，则其中指定的4本书放在一起的概率为 ..________11~5.______25.013.002104.____)2(____,123.____3.07.022=>========+==-=）（），则，（、设随机变量）（则，）（，）（，已知，，取值为、设随机变量全部可能）（的指数分布，则服从参数为、设随机变量）（，则）（，）（为随机事件，且、、设X P N X X P X P X P X D X E X AB P B A P A P B A σλ二、选择题（每小题3分，共15分）.0421231302010),(),(313232)(.3.022*******)(121}2{1不独立与）（）（）（）（）（）；（）（）（）（独立；与）（），则必有（），（，已知，、设随机变量）（；）（；）（；）（）（则其它，）的联合密度为：，、设（）（；）（；）；（或）次，则最有可能失败（，每次投中的概率为、某人独立地投篮三次）（；）（；；）（）（点数之和一次，则、掷两颗均匀的骰子各Y X D Y E X E XY E C Y D X D XY D B Y X A Y X Cov Y X D C B A a y x y x a y x f Y X D C B A D C B A P ====⎩⎨⎧<<<<+==≤5、设随机变5、量X ～B (n , p),且E(X) = 0.6, D(X) = 0.48,则n , p 的值为( )(A) n = 2 , p= 0.2 ; (B) n = 6 , p = 0.1 ; (C) n = 3 , p = 0.2 ; (D) n = 2 , p = 0.3 .三、从1，2，…，10共十个数字中任取一个，假定每个数字都以101的概率被取中，取后还原，先后取出7个数字，试求下列事件概率： （1） 7个数字全不相同；（2）不含10与1；（3）10恰好出现两次；（4）至少出现两次10。
概率论部分习题及答案
7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(636271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。
概率论与数理统计模拟试题参考答案
概率论与数理统计模拟试题参考答案概率论与数理统计模拟试题参考答案LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020练习题一一、填空题。
1、已知P(A)=，P(A+B)=，则当 A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。
2、已知X ～),(p n B ,且8EX =, 4.8DX =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。
3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。
4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为：则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立_ ____________（填独立或不独立）。
5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n=++服从__________。
6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为, , , 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为。
7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 0()1 010 x x x x x ?+≤<??=-≤≤其它，则E ξ=__________。
二、判断题。
1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ，它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。
（）2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，S 是样本方差，则222(1)~()n S n χσ-。
（）3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。
（）4、已知θ是θ的无偏估计，则2θ一定是2θ的无偏估计。
（）5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为。
（）三、选择题。
1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A和B是互斥的，那么下列哪个说法是正确的？A. P(A∪B) = P(A) + P(B)B. P(A∩B) = 0C. P(A∪B) = P(A) - P(B)D. P(A∩B) = P(A) + P(B)答案：B2. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么以下哪个是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 以下哪个是条件概率的定义？A. P(A|B) = P(A) / P(B)B. P(A|B) = P(A∩B) / P(B)C. P(A|B) = P(B) / P(A)D. P(A|B) = P(A∪B) / P(B)答案：B4. 如果随机变量X和Y是独立的，那么以下哪个是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) - P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)答案：A5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 样本均值收敛于总体均值B. 样本方差收敛于总体方差C. 样本中值收敛于总体中值D. 样本众数收敛于总体众数答案：A6. 以下哪个是中心极限定理的表述？A. 样本均值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布B. 样本方差的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布C. 样本中值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布D. 样本众数的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布答案：A7. 以下哪个是二项分布的参数？A. n和pB. n和σC. μ和pD. μ和σ答案：A8. 如果随机变量X服从泊松分布，那么其期望值E(X)等于？A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A9. 以下哪个是随机变量X的方差的定义？A. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2B. Var(X) = E(X) - [E(X)]^2C. Var(X) = E(X) - E(X^2)D. Var(X) = E(X^2) - E(X)答案：A10. 以下哪个是随机变量X的标准差的定义？A. SD(X) = √E(X^2) - [E(X)]^2B. SD(X) = √Var(X)C. SD(X) = E(X) - [E(X)]^2D. SD(X) = Var(X) - E(X^2)答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么其期望值E(X)为________。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1)等于：A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：B2. 随机变量X和Y相互独立，且都服从二项分布，其中X~B(3, 0.5)，Y~B(2, 0.5)，则P(X+Y=3)等于：A. 0.5B. 0.375C. 0.25D. 0.75答案：B3. 设随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则P(X=1)等于：A. 0.2707B. 0.1353C. 0.5000D. 0.2707答案：B4. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)等于：A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A5. 设随机变量X服从指数分布，其参数为λ=2，则D(X)等于：A. 1/4B. 1/2C. 2D. 4答案：C6. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=3，σ^2=4，则P(1<X<5)等于：A. 0.6826B. 0.9545C. 0.6830D. 0.9500答案：B7. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，则P(X≥5)等于：A. 0.5B. 0.7C. 0.3D. 0.8答案：B8. 设随机变量X服从几何分布，其成功概率为p=0.4，则P(X=3)等于：A. 0.064B. 0.256C. 0.064D. 0.256答案：A9. 设随机变量X服从超几何分布，其中总体大小为N=20，成功状态的个体数为M=5，样本大小为n=4，则P(X=2)等于：A. 0.4B. 0.6C. 0.2D. 0.8答案：C10. 设随机变量X服从t分布，自由度为10，则P(|X|<2)等于：A. 0.9500B. 0.9545C. 0.975D. 0.9800答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从二项分布B(5, 0.2)，则P(X=3)=________。
概率论模拟练习(含答案)
学号
密
fY (y ) = fX
(
1 2√y · √ ) ′ , 2 y h(y ) h (y ) = 0,
0<
√ y<1
其他
1, = 0,
0<y<1 其他
专业
福建师范大学协和学院试卷纸
共 5 页, 第 3 页
3. 已知二维随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为 24(1 − x)y, 0 < x < 1, 0 < y < x f (x, y ) = 0, 其他 (1) 求边缘概率密度 fX (x), fY (y );(2)X 与 Y 是否独立?(3) 求 P (X + Y ⩾ 1)
0, 若第二次取出正品, Y = 1, 若第二次取出次品,
线
0
16 25 4 25
1
4 25 1 25
姓名 学号 专业 密 座位号 封
福建师范大学协和学院试卷纸
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解：X 可能取的值为 0,1,Y 可能取的值也为 0,1, 且 8×8 16 P (X = 0, Y = 0) = = , P (X = 0, Y = 1) = 10 × 10 25 2×8 4 P (X = 1, Y = 0) = = , P (X = 1, Y = 1) = 10 × 10 25 即 (X, Y ) 的联合分布律为: Y X 0 1 8×2 4 = , 10 × 10 25 2×2 1 = , 10 × 10 25
姓名
= 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.014斯公式得 P (B |D) = P (B )P (D|B ) 0.35 × 0.04 28 = = , P (D ) 0.0345 69
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案
1、（10分）甲箱中有 个红球， 个黑球，乙箱中有 个黑球， 个红球，先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后，再从乙箱取出一球，
（1）求从乙箱中取出的球是红球的概率；
（2）若已知从乙箱取出的是红球，求从甲箱中取出的是黑球的概率；
2、（8分）设二维随机变量的联合概率密度为：
求关于 的边缘概率密度，并判断 是否相互独立？
7、（8分）设有一种含有特殊润滑油的容器，随机抽取9个容器，测其容器容量的样本均值为10.06升，样本标准差为0.246升，在 水平下，试检验这种容器的平均容量是否为10升？假设容量的分布为正态分布。
（ ， ）
第二套
一、 判断题（2分 5）
1、设 ， 是两事件，则 。（）
2、若 是离散型随机变量，则随机变量 的取值个数一定为无限个。（）
2、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：
求边缘概率密度 ，并判断 与 是否相互独立？
3、（8分）设随机变量 的分布函数为：
求：（1） 的值；
（2） 落在 及 内的概率；
4、（8分）设随机变量 在 服从均匀分布，求 的概率密度；
5、（10分）设 及 为 分布中 的样本的样本均值和样本方差，求 （ ）
第一套
一、 判断题（2分 5）
1、设 ， 是两事件，则 。（）
2、若随机变量 的取值个数为无限个，则 一定是连续型随机变量。（）
3、 与 独立，则 。（）
4、若 与 不独立，则 。（）
5、若 服从二维正态分布， 与 不相关与 与 相互独立等价。（）
二、选择题（3分 5）
1、对于任意两个事件 和 （）
5、袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）
概率统计模拟试卷四答案
概率论与数理统计模拟试卷四答案一、选择题〖每小题5分，共计20分〗 1.C 2.C 3.A 4.B 5.B二、填空题 〖每空4分，共计20分〗 1. 0.3 0.5 2. 0.92 3. 34. (60.97, 193.53)三、解答题 〖每小题12分，共计60分〗1. 某人去武汉参加会议，他乘火车、汽车和飞机去的概率分别为0.2, 0.3和0.5.假设乘坐火车、汽车和飞机去迟到的概率分别为11,123和14. 结果他迟到了，问他坐汽车去的概率为多少？解： 以 123,,A A A 分别表示乘火车、汽车和飞机，于是123()0.2,()0.3,()0.5P A P A P A ===.以A 表示迟到，于是123111(),(),()1234P A A P A A P A A ===.所求为2()P A A . 由全概公式和贝叶斯公式得2222112233()()()12()()()()()()()()29P A P A A P AA P A A P A P A A P A P A A P A P A A P A ===++.2．设随机变量X 的概率密度函数,01,()0,kx x f x α⎧<<=⎨⎩其它, 其中0,0k α>>。
又X 的数学期望()E X ＝0.75.求：（1）k 和α的值；（2）11{}32P X -<< ； (3) X 的分布函数解：（1）由()d 1f x x +∞-∞=⎰和()d 0.75xf x x +∞-∞=⎰得 3,2k α==. （2）11222103111{}()d 3d 328P X f x x x x --<<===⎰⎰.（3）2300,0;()()3d ,01;1, 1.xx x F x f t dt t t x x x -∞<⎧⎪⎪===≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰3．设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为222,01,01,(,)0,ax xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩其它, 求（1）常数a 的值；（2）求边缘密度函数(),()X Y f x f y ， 并判断X 和Y 是否相互独立.解：（1）由2(,)d d 1R f x y x y =⎰⎰得2a =.（2）222,01;()(,)d 30,X x x x f x f x y y +∞-∞⎧+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它.2Y 2,01;()(,)d 30,y y f y f x y x +∞-∞⎧+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它. (,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 和Y 不相互独立.4． 设总体X 的密度函数e ,0,(,)0,,x x f x θθθ-⎧>=⎨⎩其它 其中0θ>为未知参数. 设12,,,n x x x 是来自总体X 的一个样本值，求参数θ的最大似然估计值. 解：似然函数为12()121211e ,0;(,,,,)(,)(,)(,)0,d ln ()ln ()ln ,,d n x x x n i n n nni i i i x L x x x f x f x f x L n L n x x θθθθθθθθθθθθ-++==⎧>⎪=⋅=⎨⎪⎩=-=-∑∑其它.解方程d ln ()0d L θθ=得θ的最大似然估计值为 121.n n x x x xθ∧==++5． 设某次考试的考生成绩22(,),X N μσσ且未知， 现从中随机抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为x ＝72.25分，样本标准差为S =8分，问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为这次考试全体学生的平均成绩为75分？（注：0.0250.05(24) 2.0639, 1.7109t t ==（24）） 解： 00:75H μμ==，1:75H μ≠,选取统计量0758X X T S μ----==， 又由(24)T t 知拒绝域为 (,2,0639)(2.0639,)-∞-⋃+∞ 计算 1.75T ∧=，显然， 1.75T ∧=不在拒绝域中，故接受0H ，即可以认为这次考试全体学生的平均成绩为75分.。
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模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ； 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
1）求参数θ的极大似然估计量ˆθ； 2）验证估计量ˆθ是否是参数θ的无偏估计量。
三、 应用题（20分）1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。
现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。
现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 附表：0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======答 案（模拟试题一）四、 填空题（每空3分，共45分）1、0.8286 ， 0.988 ；2、 2/3 ；3、14212661112C C ⨯，61266!12C ； 4、 1/2, F (x )= 1,021,02241,2xe x xx x ⎧≤⎪⎪⎪+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩， {0.51}P X -<<= 0.53142e --；5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；7、当k~(3)Y t =；8、θ的矩估计量为：2X 。
9、 [9.216，10.784]；五、 计算题（35分）1、解 1） 9{|21|2}{0.5 1.5}16P X P X -<=-<<=2）(0()0,01,0440,X X Y y y y y ϕϕϕ+>=≤⎩⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它3）45(21)212133E X EX -=-=⨯-=2、解：1）1,02,02()(,)420,0,x X xx dy x x x x y dy ϕϕ+∞--∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它2||11,||2(2||),||24()(,)40,0,y Y dx y y y y x y dx ϕϕ+∞-∞⎧⎧<-<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它 2）显然，(,)()()X Y x y x y ϕϕϕ≠，所以X 与Y 不独立。
又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。
3）22()(,)11,04,044280,0,Z z z x z x dxz dx z z ϕϕ+∞-∞=-⎧⎧<<-<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它3、解1）112111(,,,,)niii x x nn ni L x x x eeθθθθθ=--=∑==∏12ln (,,,,)ln n nxL x x x n θθθ=--令2ln 0d L n nxd θθθ=-+= 解出：ˆX θ= 2）ˆE EX EX θθ=== ˆθθ∴是的无偏估计量。
六、 应用题（20分）1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。
现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0 则41{)()(|)i i i P B P A P B A ===∑23120111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B ==，222()(|)8(|)()23P A P B A P A B P B ==333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B ==，444()(|)(|)0()P A P B A P A B P B == 由概率判断他乘火车的可能性最大。
2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布2(,)N a σ。
现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.5H a >拒绝域为：00.95(4)}x t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==0.952.2857(4)x t t ==>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。
附表：0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======模拟试题二一、填空题(45分，每空3分)1．设()0.5,(|)0.6,()0.1,P A P B A P AB === 则()P B = ，()P AB = 。
2．设,,A B C 三事件相互独立，且()()()P A P B P C ==，若37()64P A B C ⋃⋃=，则()P A = 。
3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X 表示取出的3件产品中的次品件数，则X 的分布律为。
4．设连续型随机变量X 的分布函数为 ()arctan(),F x A B x x R =+∈则(,)A B = ，X 的密度函数()x ϕ= 。
5．设随机变量~[2,2]X U -，则随机变量112Y X =+的密度函数 ()Y y ϕ= 。
6．设,X Y 的分布律分别为X -1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2且{0}0P X Y +==，则(,)X Y 的联合分布律为； 和{1}P X Y +== 。
7．设(,)~(0,25;0,36;0.4)X Y N ，则cov(,)X Y = ，1(31)2D X Y -+= 。
8．设1234(,,,)X X X X 是总体(0,4)N 的样本，则当a = ，b = 时，统计量221234(2)(34)X a X X b X X =-+-服从自由度为2的2χ分布。
9．设12(,,,)n X X X 是总体2(,)N a σ的样本，则当常数k = 时，221ˆ()ni i k X X σ==-∑是参数2σ的无偏估计量。
10．设由来自总体2~(,0.9)X N a 容量为9的样本，得样本均值x =5，则参数a 的置信度为0.95的置信区间为 。
二、计算题(27分)1．(15分)设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1(),02,02(,)80,x y x y x y ϕ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（1） 求X Y 与的边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； （2） 判断X Y 与是否独立？为什么？ （3） 求Z X Y =+的密度函数()Z z ϕ。
2．(12分)设总体X 的密度函数为(),()0,x e x x x θθϕθ--⎧≥=⎨<⎩ 其中0θ>是未知参数，12(,,,)n X X X 为总体X 的样本，求（1）参数θ的矩估计量1ˆθ； （2）θ的极大似然估计量2ˆθ。
三、应用题与证明题(28分)1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， （1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。