数学物理方程与特殊函数 华中科技大学1第一章典型方程与定解条件

10
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.2 能量守恒与热传导方程
两个物理定律 1、热量守恒定律:
S
n
温度变化吸 收的热量

通过边界流 热源放出 的热量 入的热量

V
M
S
2、傅里叶(Fourier)热传导定律(试验定律):
热场
傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版的著作《热 的解析理论》中提出的。傅立叶是导热理论的奠基人，他 通过实验，分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立 叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间的内 在联系。

T
M M'
T'
ds
'
gds
x x dx x
m ds
2 u ( x dx, t ) u( x, t ) u ( x, t ) T gds ma 其中： a x x t 2 ds dx
6 下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程
扩散过程
16
扩散通量J的方向与 浓度降低的方向一致
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程 如图所示，在扩散方向上取体积元 Ax, J x 和 J x x 分 别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
u a 2u f ( x, y, z ) t
(2)
14
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程
1858年,菲克(Fick)参照了傅里叶于1822年建立的导热方程,
获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式:菲克 第一定律。假设有一单相固溶体,横截面积为A,浓度C不均匀, 在dt时间内,沿法向通过点x处截面A所迁移的物质的量与该处 的浓度梯度成正比： C dm C
C C (D ) t x x
扩散流通过微小体积的情况
下午3时11分
17
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程 C 2C D 2 如果扩散系数为常数，则上式可写成 t x 一般称以下两式为菲克第二定律： 1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程
11
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.2 能量守恒与热传导方程
傅立叶试验定律：在任意时刻，各向同性的连续
S
V
n
介质内任意位置处的热流密度在数值上与该点的
温度梯度成正比，而方向相反，即 q ku
方向与温度梯度方向相反。
M
S
其中k为导热系数，公式中的负号表示热量的传递
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
一、 二、 三、 四、 基本物理定律与典型方程的建立 各种定解条件的数学描述 偏微分方程定解问题的基本概念 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 数学物理方程定解问题的提法
数学物理方程与特殊函数
泛定方程（传输方程、波动方程、热传导方程、 定解问题：拉普拉斯方程等） 定解条件（初始条件，边界条件）
——电场的三维波动方程
9
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.2 能量守恒与热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不 n S 均匀时，有热量从高温处流向低温处。 M V 热传导现象中所要研究的物理量是温度。 S 温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火 烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这 热场 说明温度分布与位置有关；同时，手握的一端也 会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。 给定一空间内物体 G，设其上的点 ( x, y, z ) 在时刻t 的温 度为 u( x, y, z , t ) ,研究温度 u( x, y, z , t ) 的运动规律。
确定所要研究的物理量：电势u 根据物理规律建立微分方程： u
C C (D ) t x x
C C D 2 t x
2
E
对方程进行化简：
2
E /
2 E (u) u u /
u / 泊松方程
(ku)dV dt t1 , t 2 的任意性知
V
t1
u c t dVdt V
u 1 u u u [ (k ) (k ) (k )] t c x x y y z z
下午3时11分
它反映了导热物体内的能量守恒关系。
1 下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程
一、 基本物理定律与典型方程的建立
条件：均匀柔软的不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小 横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x, t ) 弦线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
2
下午3时11分
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x 2u ( x, t ) 2u ( x, t ) [T g ]dx dx 忽略重力作用： 2 2 x t 2 2 2u 2u u ( x, t ) u ( x, t ) a2 2 T g 2 2 t 2 x x t 令： --齐次方程 2 2 T u 2 2 u a a g ………一维波动方程 2 2 t x
8 下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
对第一方程两边取旋度， 得： H ( E ) t 根据矢量运算： 2 H ( H ) H 2 H H 2 2 H ) 由此得： H ( t t t 2 即：
热场
u dQ1 ku (n )dSdt ku ndSdt k dSdt n 从时刻t1到t2通过S 流入V 的热量为 t t2 Q1 [ ku ndS]dt t (ku )dV dt
2
根据傅立叶试验定律， t 时间内从dS 流入V 的热量为： 在d
流入的质量导致V 内的浓度发生变化 ( x, y, z, t1 ) ( x, y, z, t2 )
从而，V 内的质量增量满足 t V ( t t t t )dV t ( v )dV dt V t 即 [ t ( v )]dV dt 0
第1章 典型方程和定解条件的推导
u( x dx, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) T gdx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
m
由扩散通量的定义:单位时间内通过单位横截面的粒子数，有 C 菲克第一定律 （1）
x
At
Adt
D(
x
)
J D
式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； C x 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。
x
15
下午3时11分
高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分)
t1
S
1
V
12
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
流入的热量导致V 内的温度发生变化 u( x, y, z, t1 )u( x, y, z, t 2 ) ,温度发生变化需要的热量为： Q2 c u ( x, y, z , t 2 ) u ( x, y, z , t1 )dV
而 m C ( x, t t ) Ax C ( x, t ) Ax 于是 C ( x, t t ) C ( x, t ) J x J x x t x
即扩散物Байду номын сангаас的浓度满足扩散方程：
m ( J x A J xx A)t
C J t x
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
3
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
波 的 传 播 的 相 关 模 拟
4
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
5
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
S
V
n
c
V
V
t2
t1
由热量守恒定律得：
Q1 Q2
t2 t1
t2 u u dtdV c dVdt t1 t t V t2
M
S
热场
由V及
由此得到热传导方程：
u 1 1 u u u (ku ) [ (k ) (k ) (k )] t c c x x y y z z
n
dM v ndSdt
t2
dS V
M dt
t1
S
v ndS
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
M
t2
t1
( v )dV dt
V
19
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： y 横向： T cos T 'cos ' 其中：cos 1 cos ' 1 u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x T T ' 纵向： T sin T 'sin ' gds ma
2 u 0 拉普拉斯方程
18
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.4 质量守恒与连续性方程
所要研究的物理量：时刻t流体在位置M(x,y,z)处的密度 ( x, y, z, t ) 假设流体在无源的区域内流动，流速为
v {u, v, w}
在dt 时间内从dS 流入V 的质量为： 从时刻t1到t2通过S 流入V 的质量为
自由项 ------非齐次方程
7
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例1 时变电磁场与三维波动方程
从麦克斯韦方程出发： D H Jc t B E t D v B 0 在没有场源的自由空间： c 0, v 0 J E H t H D E E t B H E 0 H 0
13
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
对均匀且各向同性物体，即物体的热物性参数 c, , k 均为常数，则有
k a 为热扩散系数。 c
2
u k u a 2u t c
S
V
n
(1)
M
S
热场
如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程
对应地，称(1)为齐次热传导方程。 称f为非齐次项(自由项)。
2 H 1 2 H 2 H 2 H ( 2 2 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 t x y z
2 E 1 2 同理可得： E 2 t
E H t H E t E 0 H 0