数学物理方程与特殊函数 华中科技大学1第一章典型方程与定解条件
数学物理方程与特殊函数
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例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量：
温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅立叶试验定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S n
M V
S
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
热场
横向： T cos T 'cos '
纵向： T sin T 'sin ' gds ma y
其中： cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
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T T'
其中： m ds
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方 程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
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思考判断下列方程的类型
2u 2t
a2
2u 2x
x
2u x2
a2
u t
xu
2u x2
a2
2u t 2
u1u源自122u2
0
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
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2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
2u F f k
特别，如果 f 0,则 2u 0
位势(Poisson)方程
Laplace 方程
☆ 三种典型的数学物理方程
方程类型 方程形式
典型例子
弦振动方程
2u t 2
a2
2u x2
波动方程
2u t 2
a22u
膜的横振动方程
2u t 2
a2
(
2u x2
为Fx, y, z, t，由能量守恒定律有
t2 k2udVdt t2 FdVdt t2 c udVdt
t1 V
t1 V
t1 V
t
k2u F c u
t
u a22u f , t
非齐次热传导方程
其中a k 温度传导系数,k热传导系数，c比热，密度 c
u ( x, t ) t
a2
2u( x, t ) x2
( 热传导方程 )
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
一、 基本方程的建立
例1、均匀弦的微小横振动
假设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线方向拉紧，只受弦 本身的张力和重力影响。如下图所示，我们研究弦作微小横向
17世纪微积分产生后，人们开始把力学中的一些问题和规律 归结为偏微分方程进行研究。1747年，法国数学家、物理学家 达朗贝尔将弦振动问题归结为如下形式的偏微分方程并探讨了
它的解法：
2u( x, t ) t 2
a2
2u( x, t ) x2
( 弦振动方程 ) ( 波动方程 )
1752年欧拉在论文中首先出现位势方程，后来因为拉普拉 斯(Laplace)的出色工作，称为Laplace方程：
数学物理方程与特殊函数PPT课件
本课程的主要内容和收获
01
探讨了特殊函数在数学物理方程 中的应用，如贝塞尔函数、勒让 德函数等。
02
讲解了如何利用计算机软件求解 数学物理方程。
本课程的主要内容和收获
收获 掌握了数学物理方程的基本概念和分类，理解了其在实际问题中的应用。
特殊函数的计算方法
01
解析法
对于一些简单的特殊函数，可以通过解析方法直接计算出其值。例如，
三角函数可以通过三角恒等式进行计算；指数函数可以通过指数运算法
则进行计算。
02
级数展开法
对于一些复杂的特殊函数，可以通过级数展开的方法将其表示为一系列
简单函数的和或积，从而简化计算。例如，贝塞尔函数可以通过级数展
解决实际问题
数学物理方程是描述实际 问题中物理量的变化规律， 特殊函数能够提供解决问 题的有效方法。
数学工具
特殊函数是数学工具的重 要组成部分，能够促进数 学和物理学的发展。
特殊函数在解决数学物理方程中的应用实例
三角函数的应用
在解决波动方程、振荡器 等问题时，可以利用三角 函数
对于一些无法通过解析或级数展开法计算的特殊函数，可以使用数值计
算方法进行近似计算。例如，使用数值积分或数值微分的方法计算特殊
函数的值。
04 特殊函数在数学物理方程 中的应用
特殊函数在数学物理方程中的重要性
01
02
03
描述自然现象
特殊函数能够描述自然界 中的各种现象，如波动、 振动、电磁场等。
课程目标和意义
课程目标
使学生掌握数学物理方程的基本理论和方法，理解特殊函数 在解决实际问题中的应用，提高数学建模和解决实际问题的 能力。
第一章 典型方程与定解条件
初始条件 边界条件
第一章 典型方程和定解条件的推导
如果薄膜上有横向外力作用，设外力面密度为 F ( x, y, t ) ，则得 2u 2 a 2 u f ( x, y , t ) 2 t 其中 f ( x, y , t ) F ( x, y , t ) ， 2 2 为二维拉普拉斯算子。 2 2 2 x y
第一章 典型方程和定解条件的推导
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程 2 u u 2 a t x 2 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
例5 静电场的势方程
x
y
z
静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区
故 4E 倍，即 域内所含电量的 dV 4 dV div
即
E n dS 4 ( x , y , z ) dV divE 4 ( x, y, z )
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表 示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过 对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体 的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
第一章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程第一章、第二章习题全解
u x
d
x,
因此小段( x, x + d x) 的伸长( 压缩 ) 为 ud x, 其相对 伸长 (压 缩) 为 x
u x
,
即
x 点处的应变为
u x
(
x,
t)
。若 略
去垂
直杆 长方
向
的形
变
,
根
据
Hooke 定律 , 应力与应变 u 成正比 , 即 x
P=
E
u x
比例系数 E 称为杆的杨氏模量,故所求的纵振动方程为
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
nπl x
= φ( x )
得
∫ An =
2
l
φ(
x) sin
nπx d x
=
l0
l
∫ ∫ 2 l h xsin nπxd x + 2 l h ( l - x ) si n nπxd x =
华中科技大学文华学院数学物理方程与特殊函数新大纲草案
华中科技大学文华学院《数学物理方程与特殊函数》课程教学大纲一、课程名称：数学物理方程与特殊函数Equations of Mathematical Physics with Special functions二、课程编码：三、学时与学分：48/3四、先修课程：微积分、线性代数、复变函数与积分变换五、课程性质：必修六、课程教学目标及要求开设本课程的主要目的，在于通过典型物理问题数学模型的建立、定解条件的给出以及对模型实施具体求解和分析检验的全过程，搭建起贯通数学理论到实际应用的桥梁，在“缩微”的科研活动中进一步发展学生分析问题与解决问题的能力，使学生既能获得运用数学方法求解实际工程物理和技术问题的初步经验，又能了解Bessel函数与Legendre多项式等特殊函数的概念和基本性质，掌握求解数学物理方程常见定解问题的主要解法，特别是明确所述特殊函数在数学物理方程求解中的作用，进而为其进入各相关专业的深入学习，和深化其数学知识的积累，奠定良好的必要基础。
七、适用学科专业光信息、通信、电子、电力及相关专业（本科）八、基本教学内容与学时安排第一章数学物理方程基本概念（4学时）【内容】偏微方程基本概念，二阶线性方程的特征线与分类，典型方程的推导。
【基本要求】（1）了解三个典型方程(弦振动、热传导和Laplace方程)的推导过程；（2）掌握定解问题归属于初值、边值和混合问题的判识方法；（3）掌握二阶线性偏微方程的特征方程与特征线的求法，能以其为线索，用合适的变元代换将其化为标准方程。
【重点与难点】重点：各类泛定方程与定解问题的判识与解的确认，特征方程与特征线的求法，二阶线性偏微方程化为标准方程。
难点：推导三个典型方程。
第二章分离变量法（12学时）【内容】函数的Fourier级数展开理论与二阶常微方程的特征值理论；两端固定的弦自由振动、有限长杆上的热传导以及矩形薄板与圆盘上稳恒状态的温度分布；两端固定的弦的强迫振动、有热源的有限长杆上的热传导与Poisson 方程的特征函数展开求解法；非齐次边界条件齐次化的辅助函数法。
华中科技大学数理方程课件——数理方程复习
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法） 记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
n x l
n 2 n l 2 xd sin x x sin x |0 0 l n l n
l
l
0
sin
n为偶数 0, n l 2l n 2 2 cos x |0 2 2 (1) 1 4l , n为奇数 n l n n 2 2
l 4l u e 2 2 2 n1 2n 1
2hl2 2 l n Cn u ( x,0) sin xdx 2 c(l c)n 2 l 0 l
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
2. 解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 u (0, t ) u (l , t ) u ( x,0) x, 0, 0 x x 2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 x t u (l , t ) u (0, t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) x, u( x, t ) X ( x)T (t ) u (0, t ) X (0)T (t ) 0 x T X a 2TX u (l , t ) X (l )T (t ) 0 T X x 2 aT X X (0) 0, X (l ) 0
数学物理方程和特殊函数
常见类型
Pn ( x ),
Pn ( x )e x ,
e x ( A1 cos x A2 sin x )
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
1.
y py qy Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x )， 代入方程
Q( x ) pQ( x ) qQ( x ) Pn ( x )
q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn ( x ) 直接积分得到.
2.
py qy Pn ( x )e x y
代入原方程
Q( x ) (2 p )Q( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* Q( x )e x
例 求解下列定解问题 ( x at ) 1 x at ( x at ) U ( x, t ) xat ( )d 2 2a u u t sin x ( x , t 0) tt 1 xxx t u t 02 0 t sin x d x x 0 cos( ut t 1 sinxx ) 1 cos( x t) t 2 2 u( x , t ) U ( x , t ) V ( x , t ) 利用叠加原理
其中 f ( x , t ) F ( x , t ) /
齐次化原理
设 v( x, t; )是齐次cauchy问题
vtt a 2v xx 0 ( x , t ) (II) v 0 x t v t t f ( x , ) x
对应齐次方程 y py qy 0,
数理方程部分 第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1 波动方程及其定解条件
2）自由端点，即这个端点不受位移方向的外力 （即自由端点的定义），从而这个端点弦在位移 方向的张力为零（导出的结论），由前面的推 导可知边界条件满足： 2
T sin F u x 0
xa
u t 2
( 0, F 0) T
u x
2u [( q y ) y (q y ) y dy ]xzt k 2 xyzt. y
△t时间内沿z方向流入六面体的热量
2u [( qz ) z (qz ) z dz ]yxt k 2 xyzt. x
u k 2 u 0. t c
1.2 热传导方程及其定解条件
如果六面体没有其他热量来源，根据热量守恒定律，净流入
的热量等于介质在此时间内温度升高所需热量，
2u 2u 2u k ( 2 2 2 )xyzt xyz c u x y z
3）整理化简得方程
u k 2 u 0. t c
1）在介质内部隔离出一平行六面体（见图1.3），六个面 都和坐标面重合。
图1.3
[( q y ) y (q y ) y dy ]xzt [( k
1.2 热传导方程及其定解条件
2）分析建立等式
u u 2u ) y dy (k ) y ]xzt k 2 xyzt. y y y
2 0, cos1 1, cos 2 1,
tan 1
u sin 1 tan 1 , 2 x x 1 tan 1 u sin 2 tan 2 2 x 1 tan 2 tan 2 ,
x dx
1.1 波动方程及其定解条件
则方程可以写成
数学物理方程与特殊函数 华中科技大学1第一章典型方程与定解条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
3
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
波 的 传 播 的 相 关 模 拟
4
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
5
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
C C (D ) t x x
扩散流通过微小体积的情况
下午3时11分
件的推导
质量守恒与扩散方程 C 2C D 2 如果扩散系数为常数，则上式可写成 t x 一般称以下两式为菲克第二定律： 1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程
——电场的三维波动方程
9
下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.2 能量守恒与热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不 n S 均匀时，有热量从高温处流向低温处。 M V 热传导现象中所要研究的物理量是温度。 S 温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火 烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这 热场 说明温度分布与位置有关；同时，手握的一端也 会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。 给定一空间内物体 G，设其上的点 ( x, y, z ) 在时刻t 的温 度为 u( x, y, z , t ) ,研究温度 u( x, y, z , t ) 的运动规律。
第1章 典型方程和定解条件的推导
u( x dx, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) T gdx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
数理方程中典型方程和定解条件的推导ppt课件
P5 (1.5) ”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+
- v(x,t)
Ldx
i(x,t)
Cdx
P● ＋
－
i +di C L– L
GdxC v dv
x
●
图 12
x dx
iC
C
duC dt
di
u L
L
dt 19
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
x1d2x
3、忽略与近似
T cos Tcos 0
(1)
T sin T sin ds g ds utt
(2)
①对于小振动： 0; 0
cos 1 ; cos 1
sin
tg 1 tg2
tg u x
x
sin
tg 1 tg2
tg u x
x dx
于是（1）式变为：
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(utt g)
T u x
xdx T
u x
x
ds(ut t g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
Cdx
Gdx v dv
x
●
x dx
17
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
数学物理方程第一章定解问题
热传导方程可以是线性的，也可以是非线性的，这取决于所描述的 物理现象和材料的属性。
热传导方程的定解问题分类
1 2
初始条件
描述某一时刻物体内部和表面的温度分布。
边界条件
描述物体边界上的温度分布或热量交换情况。
3
混合条件
同时包含初始条件和边界条件的问题。
热传导方程的定解问题求解方法
分离变量法
01
02
03
04
常微分方程
描述物理量随时间变化的规律 ，不涉及空间变量。
偏微分方程
描述物理量在空间和时间上的 变化规律，如波动方程、热传
导方程等。
积分微分方程
结合了积分和微分形式的方程 ，用于描述连续分布的物理量
。
泛函微分方程
在泛函分析框架下定义的微分 方程，用于描述动态系统的行
为。
数学物理方程的解法
有限差分法
用差分近似代替微分，将微分方程转 化为差分方程进行求解。
有限元法
将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，对每个单元进行求解，再通过 组合得到原问题的解。
谱方法
利用傅里叶变换或其它正交函数变换， 将原问题转化为易于求解的代数问题。
定解问题的应用实例
01
02
03
波动方程
描述波动现象，如声波、 光波和水波等。
数学物理方程第一章定解 问
• 引言 • 数学物理方程的基本概念 • 定解问题的分类与求解方法 • 偏微分方程的定解问题 • 波动方程的定解问题 • 热传导方程的定解问题
01
引言
背景介绍
01
数学物理方程是描述物理现象和 过程的数学模型，广泛应用于科 学、工程和技术领域。
华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案
29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=习题二21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此，所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得， 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此，所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程，的通解：， ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件，得 ， 方程的通解: 由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标，则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时， 当时， 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解：由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为： ，其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题：(1) ， 解得： (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得： 其中， ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此，原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解：当时，方程的通解为 由边界条件，有， ； 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于，则，得故，固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解：方程通过自变量代换 或 得: 当时，方程的通解为 由边界条件，有 ， ； 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于，则，得 故，固有值 固有函数。
《数学物理方程》第1章典型方程和定解条件.
t2 (
t1
u k ds)dt
n
n
2) V内热源产生Q2
(t2
t1
Fdv)dt
•
VM
3) V内温升吸热Q3
c( t2 u dt)dv
t1 t
Q1
Q2
Q3和
k
u n
ds
(ku)dv
控制体法
[t2 t1
(cut (ku) F )dv]dt 0
y
*
(
x)
x x
k k
e e
xQn ( x ( Rn
x) (k 0,1,2) ( x)cosx S
n
(
x
当 f (x) )sinx) (k
e x Pn ( 0,1)
x
)时
当 f ( x) ex (Pn ( x)cosx Qn ( x)sinx)时
f (x) 其他，常数变易法
3 课程特点
涉及高等数学知识多 ：偏导, 积分, F 级数, 常微方程 作业计算量大，运算较繁
4 课程成绩
考试占70%，闭卷考试
平时作业30%
第1章 典型方程和定解条件
基本概念 三种基本类型方程, 三种典型定解问题
§1 典型方程的建立
一 波动方程 双曲型方程
1.弦振动方程 微小横振动中位移u(x,t)的方程
基尔霍夫定律vixxxx
LCitt LCvtt
( RC ( RC
GL)it GL)v t
GRi GRv
当G
R
0时，itt
数学物理方程与特殊函数精品文档
故域 内 所 含 电 量 的 d 4E i倍 d v ， V 即 4 dV
数学物理方程与特殊函数
制作：北京理工大学 闫桂峰等
2019/10/4
主讲教师： 闫桂峰 E-mail: Tel：68912131(中教630)
2019/10/4
参考书目
梁昆淼. 数学物理方法（第三版）. 高等教 育出版社,2019。
闫桂峰. 数学物理方法. 北京理工大学出版 社,2009。
即
E n d S 4 (x ,y ,z )dV
d E i4 v ( x ,y ,z )
2019/10/4
1.1 基本方程的建立
静电场 E是有势场，故存在势函数 u, 有 Egraud
故
d g iu r v 4 a ( x ,d y ,z )
热场
1.1 基本方程的建立
傅立叶实验定律:
dQkudSdt n
物体在无穷小时段dt内沿法线方向n
流过一个无穷小面积dS的热量dQ与
时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS
法线方向的方向导数成正比.
n
S
M
VS
热场
从时刻 t 1 到时刻 t 2 经过曲面S 流入区 域V 的热量为
Q1
c u t xku x yku y zku z
(非均匀的各向同性体的热传导方程)
对于均匀的各向同性物体，
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.2 能量守恒与热传导方程
两个物理定律 1、热量守恒定律:
S
n
温度变化吸 收的热量
通过边界流 热源放出 的热量 入的热量
V
M
S
2、傅里叶(Fourier)热传导定律(试验定律):
热场
傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版的著作《热 的解析理论》中提出的。傅立叶是导热理论的奠基人，他 通过实验，分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立 叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间的内 在联系。
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x 2u ( x, t ) 2u ( x, t ) [T g ]dx dx 忽略重力作用： 2 2 x t 2 2 2u 2u u ( x, t ) u ( x, t ) a2 2 T g 2 2 t 2 x x t 令： --齐次方程 2 2 T u 2 2 u a a g ………一维波动方程 2 2 t x
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
波 的 传 播 的 相 关 模 拟
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下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
T
M M'
T'
ds
'
gds
x x dx x
m ds
2 u ( x dx, t ) u( x, t ) u ( x, t ) T gds ma 其中： a x x t 2 ds dx
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数学物理方程与特殊函数
n
dM v ndSdt
t2
dS V
M dt
t1
S
v ndS
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
M
t2
t1
( v )dV dtVLeabharlann 19下午3时11分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
第1章 典型方程和定解条件的推导
u( x dx, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) T gdx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程
扩散过程
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扩散通量J的方向与 浓度降低的方向一致
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第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程 如图所示，在扩散方向上取体积元 Ax, J x 和 J x x 分 别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
确定所要研究的物理量：电势u 根据物理规律建立微分方程： u
C C (D ) t x x
C C D 2 t x
2
E
对方程进行化简：
2
E /
2 E (u) u u /
u / 泊松方程
热场
u dQ1 ku (n )dSdt ku ndSdt k dSdt n 从时刻t1到t2通过S 流入V 的热量为 t t2 Q1 [ ku ndS]dt t (ku )dV dt
2
根据傅立叶试验定律， t 时间内从dS 流入V 的热量为： 在d
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程
一、 基本物理定律与典型方程的建立
条件：均匀柔软的不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小 横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x, t ) 弦线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
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下午3时11分
自由项 ------非齐次方程
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第1章 典型方程和定解条件的推导
例1 时变电磁场与三维波动方程
从麦克斯韦方程出发： D H Jc t B E t D v B 0 在没有场源的自由空间： c 0, v 0 J E H t H D E E t B H E 0 H 0
而 m C ( x, t t ) Ax C ( x, t ) Ax 于是 C ( x, t t ) C ( x, t ) J x J x x t x
即扩散物质的浓度满足扩散方程：
m ( J x A J xx A)t
C J t x
(ku)dV dt t1 , t 2 的任意性知
V
t1
u c t dVdt V
u 1 u u u [ (k ) (k ) (k )] t c x x y y z z
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它反映了导热物体内的能量守恒关系。
C C (D ) t x x
扩散流通过微小体积的情况
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程 C 2C D 2 如果扩散系数为常数，则上式可写成 t x 一般称以下两式为菲克第二定律： 1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
对均匀且各向同性物体，即物体的热物性参数 c, , k 均为常数，则有
k a 为热扩散系数。 c
2
u k u a 2u t c
S
V
n
(1)
M
S
热场
如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程
对应地，称(1)为齐次热传导方程。 称f为非齐次项(自由项)。
2 u 0 拉普拉斯方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1.4 质量守恒与连续性方程
所要研究的物理量：时刻t流体在位置M(x,y,z)处的密度 ( x, y, z, t ) 假设流体在无源的区域内流动，流速为
v {u, v, w}
在dt 时间内从dS 流入V 的质量为： 从时刻t1到t2通过S 流入V 的质量为
u a 2u f ( x, y, z ) t
(2)
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
质量守恒与扩散方程
1858年,菲克(Fick)参照了傅里叶于1822年建立的导热方程,
获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式:菲克 第一定律。假设有一单相固溶体,横截面积为A,浓度C不均匀, 在dt时间内,沿法向通过点x处截面A所迁移的物质的量与该处 的浓度梯度成正比： C dm C
S
V
n
c
V
V
t2
t1
由热量守恒定律得：
Q1 Q2
t2 t1
t2 u u dtdV c dVdt t1 t t V t2
M
S
热场
由V及
由此得到热传导方程：
u 1 1 u u u (ku ) [ (k ) (k ) (k )] t c c x x y y z z
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
对第一方程两边取旋度， 得： H ( E ) t 根据矢量运算： 2 H ( H ) H 2 H H 2 2 H ) 由此得： H ( t t t 2 即：
高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分)
t1
S
1
V
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
流入的热量导致V 内的温度发生变化 u( x, y, z, t1 )u( x, y, z, t 2 ) ,温度发生变化需要的热量为： Q2 c u ( x, y, z , t 2 ) u ( x, y, z , t1 )dV
m
由扩散通量的定义:单位时间内通过单位横截面的粒子数，有 C 菲克第一定律 （1）
x
At
Adt
D(
x
)
J D
式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； C x 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。
x
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下午3时11分
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： y 横向： T cos T 'cos ' 其中：cos 1 cos ' 1 u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x T T ' 纵向： T sin T 'sin ' gds ma