平面直角坐标系中面积及坐标的求法
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。
二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。
怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。
例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。
例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ）A 、（0，-2）B 、（2,0）C 、（4,0）D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。
解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。
直角坐标方程求面积
公司年终总结大会领导发言稿尊敬的各位领导、同事们：大家好！首先，我要感谢每一位在座的领导和同事，感谢你们一年来的辛勤付出和支持。
今天，我们齐聚一堂，举行年终总结大会，回顾过去一年的成绩和经验，总结过去，展望未来。
这是一个重要的时刻，也是一个令人激动的时刻。
回首过去一年，我们经历了许多挑战和困难，但是我们也获得了许多辉煌的成就。
在全体员工的努力下，我们完成了公司今年的各项目标，并实现了良好的经营业绩。
我们不仅在产品研发和技术创新方面取得了突破，同时也在市场拓展和客户服务方面取得了显著的进展。
这一切的成功，都离不开每一位员工的辛勤付出和团队合作，感谢大家！在过去的一年里，我们也遇到了一些问题和挑战。
市场环境的变化、竞争压力的加大等等，这些都给我们带来了一定的困扰。
但是，我相信，面对困难，我们团结一心，共同努力，就一定能够找到解决问题的办法。
这也是我们成为行业领先者的关键所在。
回顾过去，我们要善于总结经验，汲取教训。
我们要深入分析过去一年的工作，找出工作中存在的不足和问题，并及时采取有效措施加以改进。
只有这样，我们才能不断提高自身的竞争力，不断适应市场的变化，保持持续稳定的发展势头。
展望未来，我们要保持积极乐观的心态，勇于创新和突破。
当前，世界正处于飞速发展的时代，科技的进步和市场的竞争日趋激烈。
我们要不断提高综合素质和能力，保持敏锐的洞察力和创新思维，勇于改变和创造。
只有这样，我们才能在激烈的市场竞争中立于不败之地，才能实现公司的长远发展。
未来的道路并不会一帆风顺，但是只要我们团结一心，坚持不懈地努力奋斗，相信我们一定能够迎来更加美好的明天。
我相信，在全体员工的努力下，我们的公司一定能够取得更大的成就，不断追求卓越，成为行业的领导者。
最后，我要再次感谢每一位员工的辛勤付出和贡献，也感谢各位领导对公司的关心和支持。
让我们齐心协力，共同努力，为实现我们的梦想而奋斗！谢谢大家！。
坐标的面积公式
坐标的面积公式在数学中，我们经常需要计算平面上各种图形的面积。
当图形的边界由坐标轴上的点确定时，我们可以使用坐标的面积公式来计算图形的面积。
坐标的面积公式是一个基础且实用的数学工具，在几何学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
1. 点与坐标轴在平面直角坐标系中，我们将平面分成四个象限，我们通常用两个数来表示一个点在坐标系中的位置。
这两个数分别为x坐标和y坐标，分别对应横轴和纵轴的位置。
例如，点A的坐标为(x, y)。
2. 矩形的面积公式首先，让我们以矩形为例来介绍坐标的面积公式。
矩形是由四条边界分割的图形，两条边界分别与x轴和y轴平行。
假设矩形的两个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)和(Dx, Dy)。
则矩形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Bx - Ax) * (Cy - Ay)|上述公式表示矩形的面积为矩形两条边长之积的绝对值。
3. 三角形的面积公式接下来，我们来介绍计算三角形面积的公式。
假设三角形的三个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)和(Cx, Cy)。
三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Ax * (By - Cy) + Bx * (Cy - Ay) + Cx * (Ay - By)) / 2|上述公式使用了行列式的概念来计算三角形的面积，其中绝对值保证了面积的正值。
4. 多边形的面积公式除了矩形和三角形，我们还可以使用坐标的面积公式计算更复杂的多边形的面积。
对于n边形，我们可以将其划分为若干个三角形，然后使用三角形的面积公式分别计算每个三角形的面积，再将这些面积相加得到多边形的面积。
这个方法被称为三角剖分。
三角剖分方法的基本思想是找到多边形中一个顶点和相邻的两个顶点形成的三角形，计算该三角形的面积，并将它加入到总面积中。
然后，我们再移动到下一个顶点，重复相同的计算过程，直到遍历完所有的顶点。
最后，将得到的所有三角形的面积相加即可得到多边形的面积。
在平面直角坐标系中求几何图形的面积
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法三：
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1 s3
1 2 3 4
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
5P
x
S=S长方形OPMN– S1 – S2 –S3
二、坐标系中四边形面积的求法
例4.如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法一：
5 4 3
•
C(3,4)
• s1 A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1 2
s2
3
4
5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法二：
5 4 3
•
C(3,4)
• A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1
s1
2 3
H
s2
4 =9+4 =13 5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
1
2
3
4
5
x
S=S梯形OAMN– S1 –S2
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法二：
5 4 3 2 1
B(3,4)
•
M
s1
• A(5,2)
s2
1 2 3 4 5P x
-2
o• -1 -1 -2
在平面直角坐标系中,求三角形面积的求法
在平面直角坐标系中，求三角形面积的求法在平面直角坐标系中, 求三角形面积的求法1. 引言在平面直角坐标系中，我们经常需要计算三角形的面积。
三角形的面积是一个基本的几何概念，它用于很多实际应用中，比如计算土地面积、建筑物的面积或者计算图形的面积等。
在这篇文章中，我们将学习在平面直角坐标系中求解三角形面积的几种不同方法。
2. 方法一：行列式法使用行列式法求解三角形的面积是最常见的方法之一。
该方法基于行列式的性质，通过计算三个点的坐标来求解。
在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B （x2，y2）和C（x3，y3）。
那么，三角形的面积可通过以下公式来计算：S = |(1/2) * (x1 * (y2-y3) + x2 * (y3-y1) + x3 * (y1-y2))|其中，竖线表示计算行列式的值。
3. 方法二：海伦公式海伦公式也是求解三角形面积的另一种常用方法。
该方法是基于三角形的三条边长来计算的。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，半周长为s = (a+b+c)/2，那么三角形的面积可以用以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))海伦公式的优点是在不知道三角形顶点坐标的情况下，只需知道边长即可计算三角形面积。
4. 方法三：向量法向量法是一种通过向量的运算来求解三角形面积的方法。
设三角形的两边向量为a和b，则三角形的面积S可以通过如下公式计算：S = (1/2) * |a × b|其中，× 表示向量的叉积。
叉积的结果是一个向量，其模表示平行四边形的面积，所以需要除以2来得到三角形的面积。
5. 总结和回顾在平面直角坐标系中，我们可以使用行列式法、海伦公式和向量法来求解三角形的面积。
根据不同的情况和已知条件，我们可以选择最合适的方法来计算。
行列式法基于三角形的顶点坐标，适用于已知三个顶点坐标的情况；海伦公式基于三角形的边长，适用于只知道边长的情况；向量法适用于已知两条边的向量的情况。
平面直角坐标系中三角形面积的计算
平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。
首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。
则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。
下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。
设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。
我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。
除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。
具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。
3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。
以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。
总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。
这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。
无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积在平面直角坐标系中，求解三角形的面积是几何学中的基本问题之一。
下面将介绍两种求解平面直角坐标系中三角形面积的方法。
方法一：行列式法行列式法是一种常用的求解三角形面积的方法。
设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
首先将三个顶点的坐标依次排列成行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)然后将A点的坐标复制到下方形成两行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)接下来按照主对角线往右上方的方向连线，并将相乘的结果写在对应的线上：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)计算两条斜线上的乘积之和，再减去两条副对角线上的乘积之和，最后除以2即可得到三角形的面积。
行列式法的计算较为繁琐，但是适用于所有类型的三角形。
方法二：海伦公式海伦公式是通过三角形的边长来求解三角形面积的一种方法。
假设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为p。
首先计算半周长p：p = (a + b + c) / 2然后套用海伦公式进行计算：面积S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))海伦公式较为简单，适用于已知三边长度的情况。
根据不同的题目要求和数据提供的形式，可以选择适合的方法进行计算。
总之，无论使用哪种方法，都可以准确求解平面直角坐标系中三角形的面积。
三角形的面积计算在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，需要计算地基的面积以确定施工方案；在地理测量学中，需要求解地理图形的面积和边长，以准确描述地理实体特征。
因此，掌握求解三角形面积的方法是十分重要的。
总结起来，通过行列式法和海伦公式，我们可以准确求解平面直角坐标系中的三角形面积。
无论是使用繁琐的行列式法，还是简便的海伦公式，都能满足求解三角形面积的需求。
平面直角坐标系中面积及坐标的求法
平面直角坐标系中面积及坐标的求法一、利用点的坐标求面积1、2、二、利用面积求点的坐标3、在平面直角坐标系中，A （-5，0），B （3，0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积12，求点C 的坐标。
4、在平面直角坐标系中，A （1，4），点P 在坐标轴上，S △PAO =4，求P 点坐标．5、在直角坐标系中，A （﹣4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，且S △ABC =18．（1）求点C 的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，S △APC =S △PBC ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，说明理由．根据给出已知点的坐标，求△ABC 的面积6、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A ，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．三、动点和图形面积7、如图，已知长方形ABC0中，边AB=8，BC=4．以点0为原点，0A 、OC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系．（1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标；（2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向C0方向移动（不超过点O ），点Q 从原点0出发，以1单位/秒的速度向0A 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在它们移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 点在x 轴的负半轴上，其坐标为（﹣6，0），C 点在y 轴的正半轴上，其坐标为（0，8），以OA ，OC 为邻边在第二象限内作长方形OABC（1）点B 的坐标为（ ， ）；（2）动点P 从B 点出发，每秒2个单位长的速度沿折线B 高B →A →O 匀速移动，设点P 移动的时间为t 秒，用含t 的式子表示P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC 、CP ．求t 为何值时，三角形ACP 的面积与长方形OABC 的面积比为1：4，并求出此时点P 的坐标．。
(完整版)平面直角坐标系中的面积问题
陈玲萍
问题1 已知平面直角坐标系中，点A（1，-2）， B（-4，-2），C（1,3）.
则①线段AB与x轴的位置关系 平行，线段 AB的长度为 5 ； ②线段AC与y轴的位置关系 平行 ，线段 AC的长度为 5 。
平行x轴的直线上的AB两点间的距离为：AB= xA xB 平行y轴的直线上的AC两点间的距离为：AC= yA yC
AD
44 2
8
（2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
如图，过点C做CD⊥AB
∵A（0,5），B（0,3），C（3,1）
∴CD=3，AB=2
∴
SABC
1 ABCD 1 23 3
2
2
小结
平面直角坐标系中，求三角形的面积， 关键在于找到平行x轴或平行y轴的线 段作为规则图形的底和高。
F
∴BE=3,CF=3
∴ SABC SABD SACD
1 AD• BE 1 AD• CF
E
2
2
1 33 1 33
2
2
9
F
E
补
补
割
问题4
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点 坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(3，4)， C(0，3),计算这个四边形的面积。
方法总结
割
割
割
补
补
问题2
• 求下列三角形的面积： • （1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； • （2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
（1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； 由图，过点A作AD⊥BC
∵A（1,4），B（0,0），C（4,0）
∴AD=4，BC=4
坐标系的面积怎么求
坐标系的面积如何计算
在数学中，当我们需要计算坐标系中的区域的面积时，通常会使用几何学中的方法来解决。
坐标系上的面积计算可以应用于各种情况，比如计算图形的面积或者在坐标系中的某个区域的面积。
一、直角坐标系下的面积计算
在直角坐标系中，通常我们需要计算的是平面上的图形的面积。
一般来说，我们可以通过以下方法来计算不同形状的区域的面积：
矩形的面积计算
矩形是直角坐标系中最常见的图形之一。
矩形的面积可以通过矩形的长和宽来计算，公式为面积=长×宽。
三角形的面积计算
对于直角三角形，我们可以利用直角三角形的边长来计算面积，公式为面积=底边长×高÷2。
圆的面积计算
圆的面积计算涉及半径的概念，圆的面积公式为面积=π×半径的平方。
二、极坐标系下的面积计算
当我们需要计算极坐标系下的图形的面积时，通常也可以采用类似的方法。
极坐标系下的面积计算可能会涉及极坐标系的转换，但基本思路并无明显不同。
结语
总的来说，在不同的坐标系下计算图形的面积，主要还是要根据具体的图形类型，利用对应的面积公式进行计算。
这也正是数学中面积计算的基本思路。
希望以上内容可以帮助你更好地理解坐标系下面积的计算方法。
平面直角坐标系中的面积问题
突破数学压轴题解题策略平面直角坐标系中的面积问题解题策略1【专题攻略】面积问题是初中常考内容，一般应用以下几种方法解决：一是“直接法”，即套用求面积的公式.二是常用“割补法”.割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可.补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分.三是“平行线转化法”，即利用平行线之间的距离处处相等，同底等高模型转化面积来解决.在平面直角坐标系中求面积时，必然会用到线段长度，这里会涉及到利用两点之间的距离公式来求距离.在平面直角坐标系中有两点A（x1,y1）、B（x2,y2），则AB2=（x 1- x2）2 + （y1– y2）2 .若两点平行于坐标轴，则两点之间的距离可以直接用横或纵坐标的差来求.【复习回顾】：例1如图Δ ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，0），B（-2，0），C（2，4），求ΔABC的面积.例2如图2，点C为平面直角坐标系中的任意一点，已知点A （-5，0），点B （3, 0）Δ ABC的面积为12，试说明点C的坐标特点.例3如图Δ ABC三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.y >6 -5 - D4 - 3 - 2 - 1 -x-1 01 2 3 4 5 6 7 -1- -2 - 图4图5例4如图4，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为（0，2），（1，0），（6，2）（2, 4）求四边形 ABCD 的面积.类型3 三边均不与坐标轴平行例5在图5的直角坐标系中，Δ ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为 （2，一 1），则Δ ABC 的面积为 ________________________ .y,:4(?1)〆o123 4 1例6如图，已知Δ ABC中，A（4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.例7如图，以O A为边的ΔOAB的面积为2，试找出符合条件得且顶点是第一象限格点的点C，你能找出几个这样的例8已知：A（0,1）,B（2,0）,C（4，3）.（1）在坐标系中描出各点，画出ΔABC（2）求ΔABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且ΔABP与ΔABC的面积相等，求点P的坐标.。
【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法
1.面积公式：（1）三角形的面积：S三角形＝1/2×底×高（2）梯形的面积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×高2.两点间的距离：（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值基础篇——三角形面积的求法题型1 三角形有一边在坐标轴上【例1】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.题型2 三角形有一边与坐标轴平行【例2】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三角形ABC 的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边与坐标轴平行时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平行于坐标轴的一边作为底边.题型3 三角形三边均不与坐标轴平行【例3】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点.（1）写出图中所示各顶点的坐标；（2）求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边的三边均不与坐标轴平行时：（1）将原三角形围在一个梯形或长方形中，用长方形或梯形的面积，减去长方形或梯形边缘的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积，这种方法叫做补形法；（2）若三角形内一割线长度已知，并且它平行于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三角形拆分为两个三角形，则两高的长度可得，面积即可求得，这种方法叫做分割法.以上两种方法就是数学几何图形运算中常用的割补法.例题讲授视频三角形面积的求法同学们，例题看明白了吗？方法掌握了吧！快来试试下面的变式训练吧！变式训练【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为．。
小专题(四)：平面直角坐标系中图形面积的求法
小专题（四）《平面直角坐标系中图形面积的求法》方法1 直接利用点的坐标求图形的面积 方法指导当图形有边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可考虑直接将点的坐标转化为线段长，进而计算图形面积.1.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 的顶点坐标分别为(3,0),(0,3)A B -，(0,1)C -，则三角形ABC 的面积为___________.2.如图，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为(4,2)A ，(4,6),(1,3)B C -，三角形ABC 的面积为___________.方法2 利用补形法求图形的面积 方法指导ABCOBCOACOABSSSS=+- ABCBCDOABOACD SS SS=--四边形ABCACDOABOBCD SS SS=+-四边形 ABCACDBCEOABOADE SS SSS--=-四边形3.如图，在平面直角坐标系中，已知点(3,1)A --，(1,3),(2,3)B C -，你能求出三角形ABC 的面积吗？方法3 利用分割法求图形的面积ACDOACB ODCB S SS =+四边形四边形 ADEBCFABCD EFCD S SSS =++四边形四边形4.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是(0,0)O ，(4,10),(12,8),(14,0)A B C ---，求四边形OABC 的面积.方法4 根据已知图形的面积利用逆向思维求点的坐标 方法指导已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将点的横（纵）坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积来解决线段数量关系，从而求出点的坐标.5.如图，(1,0),(1,4)-，点B在x轴上，且3A CAB=.（1）点B的坐标为_____________；（2）三角形ABC的面积为_____________；（3）在y轴上是否存在点P，使以A B P，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案 1.6 2.10 3.解：14.4.解：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，过点B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，则(4,0)D -，(12,0)E -.8,10,4,8,2BE AD OD DE CE ∴=====.111()222OABC AOD BCE ABED S S S S OD AD CE BE BE AD DE ∴=++=⋅+⋅++⋅=四边形三角形三角形梯形11141028(810)8100222⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=. 5.解：（1）(2,0)或(4,0)-（2）6（3）设点P 到x 轴的距离为h ，则13102h ⨯=，解得203h =.①当点P 在y 轴正半轴时，点P 的坐标为200,3⎛⎫⎪⎝⎭；②当点P 在y 轴负半轴时，点P 的坐标为200,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，点P 的坐标为20200,0,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或.。
公式法求面积平面直角坐标系
公式法求面积平面直角坐标系在我们学习数学的漫长旅程中，有一个超级实用的工具，那就是公式法求面积，特别是在平面直角坐标系这个神奇的领域里。
这就像是给了我们一把神奇的钥匙，能够打开许多数学难题的大门。
记得我曾经带过一个学生小明，那时候他对于用公式法求面积在平面直角坐标系中的应用简直是一头雾水。
有一次课堂练习，我出了一道这样的题目：在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为 A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，求这个三角形的面积。
小明看着题目，抓耳挠腮，半天也没理出个头绪来。
其实呀，公式法求面积在平面直角坐标系中的应用，关键就在于找到合适的方法和公式。
比如说，如果我们知道三角形三个顶点的坐标，就可以用行列式的方法来求面积。
咱先来说说最简单的矩形面积公式。
在平面直角坐标系中，如果一个矩形的四个顶点坐标分别为 (x1, y1)、(x2, y1)、(x2, y2)、(x1, y2) ，那么它的面积 S 就等于长乘以宽，也就是 |x2 - x1| × |y2 - y1| 。
这就像是盖房子，先把框架搭好了，面积自然就出来了。
再比如，对于三角形，如果知道了它的三个顶点坐标，我们可以通过割补法，把它变成一个我们熟悉的图形来求面积。
就像刚才提到的小明做的那道题，我们可以以三角形的一边为底边，然后求出这条底边对应的高的长度，再用三角形面积公式 S = 1/2 ×底 ×高来计算。
还有一种方法就是利用向量。
如果我们把三角形的两个边看成向量，通过向量的叉乘运算，也能求出三角形的面积。
这就像是给数学问题来了一场“魔法变身”，让难题变得不再那么可怕。
咱们继续说小明。
后来，我专门给他开了小灶，一点点地给他讲解这些公式和方法的原理，带着他做了好多练习题。
慢慢地，他开始摸到了门道，不再像之前那样迷茫。
经过一段时间的努力，又碰到了类似的题目，小明终于能够熟练地运用公式法求出面积了。
看到他脸上露出的那种成就感满满的笑容，我心里也特别欣慰。
例谈平面直角坐标系内图形面积的求法
象上的任意一点 分别作 轴 ， Ｙ轴 的垂线可得 矩形 ， 矩形 的长 ， 宽为 ， ｌ矩形 面积 为 Ｉ ・Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ而 ｌ ， ｙ Ｉ Ｙ ＝ｌ ＝ｌ ｋ， 图象上任 意一点 与原点的连线 ， 和过 点所作 坐标 轴 的垂 线段 与坐标轴 围成的直三角形面积 为
图 ３
Ｒ ＡＡ Ｂ 积 为 Ｓ ， ｔ Ｃ Ｄ面 ｔ Ｏ 面 。Ｒ Ａ Ｏ
Ｊ
三角形 的一 边在 Ｙ轴上时 ，两个顶点纵坐 标差 的绝对值 ， 这边上 的高就 等 于另一个 顶点横坐标 的绝对值．
—√ Ｂ ０
图
例 ３ 如 图 ３ ＡＡ Ｃ 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 ， Ｂ
Ａ ２２ ， 一 ， ３ ， （ ，） ＡＡ Ｃ的面积． （一 ）日（ ２ 一 ） ｃ ２ １ ， Ｂ
，
积为５， 则
Ａ． Ｓｌ＞Ｓ２
Ｂ． ＜ Ｓ Ｓｌ ２
ｌ Ｖ
）
４
Ｃ． Ｓｌ＝Ｓ ２
３
Ｄ Ｓ 与 ． 的大 小关 系 无 法 确 定 ． ｓ
丁 一 １： 一 ．
当三 角形有一边 在 轴上 时 ， 以 轴 上 的 则
点评
边为底边 ， 长 等 于 轴上 两 个 顶 点 横坐 标 差 的 绝对 其
的 图象 上 任 意 两点 ， Ａ 过
＼
／
ｃ Ｄ
值， 这边上 的 高就等 于另 一个顶 点纵 坐标 的绝对 值 ； 当
一
作 轴 的垂 线 ， 足 为 Ｂ， Ｃ 垂 过 作 Ｙ轴 的 垂 线 ， 足 为 Ｄ， 垂 记
［ ｋ＋ｂ＝ 一３． ２
Ｅ
‘
．
．
Ｙ＝ 一６ ＋９ ．
．
．
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、 有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。
二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。
怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。
例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。
例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ） A 、（0，-2） B 、（2,0） C 、（4,0） D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。
解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。
例3：已知点Q （8,4m 222++++m m m ）在第一象限的角平分线上，则m=_________.四、对称点对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系，点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标上（a ，-b ）；关于y 轴对称的点的坐标是（-a ，b ）；关于原点对称的点的坐标是（-a ，-b ）；关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是（b ，a ）；关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是（-b,-a ）. 例4：点（-1,4）关于原点对称的点的坐标是（ ）A、（-1，-4）B、（1，-4）C、（1,4）D、（4，-1）五、平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上点的横坐标相同。
专题05平面直角坐标系中求图形面积(解析版)
专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。
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平面直角坐标系中面积及坐标的求法
1 、平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？
2、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。
3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。
求这个四边形的面积。
4、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。
5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积；
6、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积12，
求点C的坐标。
7、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。
8、已知，点A（-2，0）B（4，0）C（2，4）
（1）求△ABC的面积；
（2）设P为x轴上一点，若
1
2
APC PBC
S S
=，试求点P的坐标。
9、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，4
PAO
S=，求点P的坐标
10、在直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，18
ABC
S=，（1）求点C的坐标；
（2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得
1
2
APC ABC
S S
=。
若存在，请求出P的坐标，若
不存在，说明理由。
11、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A 、B 分
别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。
（1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积； （2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使
1
2
APB
ABDC S
S
四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。
12、如图，已知长方形ABCO 中，边AB=8，BC=4。
以O 为原点，OAOC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系。
（1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标；
（2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向CO 方向移动（不超过点O ）,点Q 从原点O 出发，以1单位/秒的速度向OA 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
y x Q P C B
A O。