《角的平分线的性质》优质ppt课件
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《角平分线的性质》课件
角平分线的应用
• 利用角平分线可以求解未知角度，解决几何问题。 • 通过实例演示角平分线的应用，帮助加深理解。
思考题
• 给定一个三角形，如何构造它的角平分线？ • 如果角平分线上的点不在三角形内怎么办？ • 如果角平分线所分割的边不是三角形的边怎么办？
结语
• 角平分线是几何学中重要的概念，有着广泛的应用。 • 总结角平分线的性质和应用，强调其重要性。 • 提供参考资料，供进一步学习和探索。
《角平分线的性质》PPT 课件
这是一份关于角平分线性质的PPT课件，让我们一起探索角平分线的定义、性 质、应用和相关问题。
什么是角平分线
• 角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。 • 作图方法有使用直尺和指南针、使用角度量具等。
角平分线的性质
• 角平分线定义了角的特殊性质，具有重要的几ห้องสมุดไป่ตู้意义。 • 角平分线和角相似，具有相等比例关系。 • 角平分线具有平行、垂直等重要性质。
人教版数学年级上册1.2角平分线的性质课件
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C 角平分线EB
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
P1
P3
P4
l3
l2
见角平分线就作两边垂线段。
课堂练习(p51.3) 如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为 D,E,BE,CD相交于点O， OB=OC,求证 ∠1= ∠2. A D 12 E
O
C B
证明：∵ CD ⊥AB,BE ⊥AC, ∴∠BDO=∠CEO=90 ° 在△BDO与△CEO中 ∠BDO=∠CEO（已证) ∠BOD=∠COE（对顶角相等）
已知:BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点 E,BD,CE交点F,CF=BF， 求证:点F在∠A的平分线上.
C D
F
A
EB
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C 角平分线EB
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
P1
P3
P4
l3
l2
见角平分线就作两边垂线段。
课堂练习(p51.3) 如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为 D,E,BE,CD相交于点O， OB=OC,求证 ∠1= ∠2. A D 12 E
O
C B
证明：∵ CD ⊥AB,BE ⊥AC, ∴∠BDO=∠CEO=90 ° 在△BDO与△CEO中 ∠BDO=∠CEO（已证) ∠BOD=∠COE（对顶角相等）
已知:BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点 E,BD,CE交点F,CF=BF， 求证:点F在∠A的平分线上.
C D
F
A
EB
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
角的平分线课件(共16张PPT)
6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?
角平分线的性质ppt课件
B
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图，在△ABC中，
A
AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求 AC的长；
E
（2）求证：AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画？
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
26
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图，在△ABC中，
A
AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求 AC的长；
E
（2）求证：AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画？
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
26
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
《角的平分线的性质》PPT优质课件
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
人教版八年级上册第十二章《12.3 角的平分线的性质》课件
人教版数学八年级上册
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
学习重点： 探索并证明角的平分线的性质； 学习难点： 证明以文字命题形式给出的角的平分线性质.
知识回顾
1. 判断两个三角形全等的判定有哪些？
（SSS) (SAS) (ASA) (AAS) (HL)
2.角平分线的定义： 222
一般的，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的 角的射线，叫这个角的角平分线。
A
几何符号语言
1
O
222 2 22
P
B
导入新课
问题1：在纸上画一个∠AOB，你有什么方法能得到
这个角的平分线呢？
A
① 量角器度量
② 折叠
B O
问题2：在生产生活中，是否可以用折叠方法得到角平分 线？
问题3 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC .将点A放
在角的顶点 , AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是
交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M, N为圆心，大于 MN的
O
长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于
点C.
（3）画射线OC. 射线OC即为所求.
A B
探索新知 二、 角平分线的性质
思考：角的平分线有什么样的性质？
如图：任意作一个角∠AOB, 做出∠AOB 的角平分线OC, 在OC上任取一点P,过点画PD⊥OA , PE⊥OB , 垂
角平分线，你能说明它的道理吗?
已知： AAB=AD , BC=DC.
A
证明：在△ADC和△ABC中
D
B
AD=AB
DC=BC
ACC=AC
（SSS)
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
学习重点： 探索并证明角的平分线的性质； 学习难点： 证明以文字命题形式给出的角的平分线性质.
知识回顾
1. 判断两个三角形全等的判定有哪些？
（SSS) (SAS) (ASA) (AAS) (HL)
2.角平分线的定义： 222
一般的，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的 角的射线，叫这个角的角平分线。
A
几何符号语言
1
O
222 2 22
P
B
导入新课
问题1：在纸上画一个∠AOB，你有什么方法能得到
这个角的平分线呢？
A
① 量角器度量
② 折叠
B O
问题2：在生产生活中，是否可以用折叠方法得到角平分 线？
问题3 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC .将点A放
在角的顶点 , AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是
交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M, N为圆心，大于 MN的
O
长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于
点C.
（3）画射线OC. 射线OC即为所求.
A B
探索新知 二、 角平分线的性质
思考：角的平分线有什么样的性质？
如图：任意作一个角∠AOB, 做出∠AOB 的角平分线OC, 在OC上任取一点P,过点画PD⊥OA , PE⊥OB , 垂
角平分线，你能说明它的道理吗?
已知： AAB=AD , BC=DC.
A
证明：在△ADC和△ABC中
D
B
AD=AB
DC=BC
ACC=AC
（SSS)
角平分线的性质PPT课件
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
《角平分线的性质》课件
在解决பைடு நூலகம்际问题中的应用
实际应用
在建筑设计、工程绘图等领域， 角平分线性质可以帮助确定物体 的位置和方向，从而保证设计的 准确性和施工的顺利进行。
案例分析
在设计桥梁、建筑或管道时，可 以利用角平分线性质来确定结构 的支撑点或固定点，以确保结构 的稳定性和安全性。
在数学竞赛中的应用
竞赛题特点
数学竞赛中常常出现与角平分线性质相关的题目，这类题目 通常涉及多个知识点，需要学生具备较高的逻辑思维和推理 能力。
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用符号“∟”表 示角平分线。
例如，若射线OA是∠AOB的角平分线 ，则标记为“OA∟∠AOB”。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
角平分线定理：对于三角形中的角平分线 ，它所对的边与该角的对边之比等于其他 两边之比。即，在△ABC中，若AD是 ∠BAC的角平分线，则BD/DC=AB/AC。
在其他领域的应用
农业灌溉
在农田灌溉中，可以利用 角平分线性质优化灌溉管 道和水渠的布局，提高灌 溉效率。
航空导航
在航空导航中，可以利用 角平分线性质确定航向和 飞行高度，确保航行安全 。
军事战略部署
在军事战略部署中，可以 利用角平分线性质优化部 队的驻扎和部署，提高作 战效率。
THANKS
感谢观看
在道路规划中的应用
01
02
03
道路交叉口设计
利用角平分线性质，合理 规划道路交叉口的位置和 形状，提高交通流畅度和 安全性。
道路指示牌设置
根据角平分线性质，合理 设置道路指示牌的位置， 确保驾驶员能够清晰地获 取指示信息。
道路排水设计
在道路规划中，可以利用 角平分线性质优化排水系 统的布局，提高道路的排 水性能。
角的平分线的性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
三角形的三条角平分线交于一点。 4、角的平分线的辅助线作法：
见角平分线就作两边垂线段。
9月15日 1次 P22 -P23 习题11.3 第3、5题
按照折纸的次序画出一种角的三条折痕，并度量所画PD、PE与否等长？
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE．
性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
互逆性！
1、掌握角的平分线的性质. 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3、能应用这两个性质解决某些简朴的实际问题．
重点：角平分线的性质及其应用． 难点：灵活应用两个性质解决问题．
【画一画】哪个是点P到∠AOB两边的垂线段？
P 【 20 探究】折出如图所示的折痕PD、PE．
问题：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可
推出的事项，并用符号语言填写下表：
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． 鉴定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质能够解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？
成果展示： 1．应当是用第二个性质． 这个集贸市场应当建在公路与铁路 形成的角的平分线上，并且规定离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以 米为单位， 这就涉及一种单位换算问题了．1m=100cm，因此比 例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表达实际距离200m的意 思．作图以下：
见角平分线就作两边垂线段。
9月15日 1次 P22 -P23 习题11.3 第3、5题
按照折纸的次序画出一种角的三条折痕，并度量所画PD、PE与否等长？
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE．
性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
互逆性！
1、掌握角的平分线的性质. 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3、能应用这两个性质解决某些简朴的实际问题．
重点：角平分线的性质及其应用． 难点：灵活应用两个性质解决问题．
【画一画】哪个是点P到∠AOB两边的垂线段？
P 【 20 探究】折出如图所示的折痕PD、PE．
问题：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可
推出的事项，并用符号语言填写下表：
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． 鉴定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质能够解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？
成果展示： 1．应当是用第二个性质． 这个集贸市场应当建在公路与铁路 形成的角的平分线上，并且规定离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以 米为单位， 这就涉及一种单位换算问题了．1m=100cm，因此比 例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表达实际距离200m的意 思．作图以下：
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《角的平分线的性质》优质实用课件 （PPT优 秀课件 ）
A
ND
M
PF
B
E
C
《角的平分线的性质》优质实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题详解 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路， 铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D 即为所求。
A M
C
O
N
B
《角的平分线的性质》优质实用课件 （PPT优 秀课件 ）
知识点详解
利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分 线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC， 在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线， 分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你 得到什么结论？
《角的平分线的性质》优质实用课件 （PPT优 秀课件 ）
知识点详解 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平 分线上呢？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上。
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sD
C
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练习题
1、直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( D )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处。
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知识点详解 结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
几何语言: ∵P是∠AOB 内的一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分 线上)
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知识点详解
通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的 两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E。 求证：PD =PE。
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知识点详解
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB。 ∴∠PDO＝∠PEO=90°。 在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC，OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)。 ∴PD＝PE。
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例题详解
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。 同理，PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
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知识点详解 角平分线性质: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两
边距离相等)。
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第十二章●第三节
角的平分线的性质
问题引入 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法。
你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法 是否可行呢？
问题引入
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶 点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE （已证）,DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
《角的平分线的性质》优质实用对应边相等）
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结论总结
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上。
知识点详解 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义) 在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO(公共边) PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上
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练习题
2、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴CD＝DE (角平分线的性质)
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知识点详解
由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几 何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和
求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程。
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角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
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证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
E
知识点详解
从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺 和圆规作一个角的平分线？
A
ND
M
PF
B
E
C
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例题详解 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路， 铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D 即为所求。
A M
C
O
N
B
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利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分 线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC， 在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线， 分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你 得到什么结论？
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知识点详解 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平 分线上呢？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上。
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sD
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练习题
1、直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( D )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处。
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知识点详解 结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
几何语言: ∵P是∠AOB 内的一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分 线上)
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通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的 两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E。 求证：PD =PE。
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证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB。 ∴∠PDO＝∠PEO=90°。 在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC，OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)。 ∴PD＝PE。
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例题详解
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。 同理，PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
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知识点详解 角平分线性质: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两
边距离相等)。
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角的平分线的性质
问题引入 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法。
你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法 是否可行呢？
问题引入
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶 点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE （已证）,DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
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结论总结
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上。
知识点详解 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义) 在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO(公共边) PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上
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2、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴CD＝DE (角平分线的性质)
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由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几 何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和
求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程。
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角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
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证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
E
知识点详解
从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺 和圆规作一个角的平分线？