熵理论与麦克斯韦妖

熵理论与麦克斯韦妖

熵是一个极其重要的物理概念，自从熵的概念提出以来，熵就在各个领域发挥了重要的作用。特别是近几年来，不仅在自然科学与工程技术的许多领域，如物理学、化学、生物学、信息科学与工程、动力工程及制冷工程等会遇到熵的踪迹，就是在社会科学，乃至于人文科学中也经常会碰到熵这一名词。

1.熵理论的发展历程

熵概念的发展从提出到今天跨科学的应用，大致可分为五个阶段。

第一阶段是熵概念的提出。热力学第二定律指出，一切实际自发的热力学过程都是不可逆的，是单项进行的。熵概念的提出为实际自发过程的方向做出了普遍适用的判据。同时，也为热力学第二定律的定量表述奠定了基础。

第二阶段是熵概念本质的揭示。玻耳兹曼方程的确立，赋予了熵的统计解释，即一切宏观自发的过程总是从概率小的方向向概率大的方向进行。他从微观的角度分析了熵是系统中混乱度的量度。大大地丰富了熵的物理内涵，明确了它的应用范围。

第三阶段是普利高津等人把传统的平衡态热力学推广到非平衡态，将孤立系统中熵的概念推广到开放系统中的熵，从而产生了非平衡态的热力学。从而熵的理论被进一步的深化了。

第四阶段是威廉·汤姆逊提出的“热寂”。宇宙的不断膨胀使它远离平衡的状态，宇宙的熵值不断增加，在遥远的将来熵值将达到极大值，将会发生宇宙的“热寂”。

第五阶段即由麦克斯韦妖的启示，西拉德又发现了熵与信息的关系，揭示了熵含义的新层次，进一步扩大了熵的应用面。成为了处理复杂信息问题的一个依据。

20世纪以来，产生很多不同的熵，熵的概念在不断地发展着，被应用着。形成了许多的交叉科学，显示出了熵的强大生命力。所以，对熵概念的学习也显示出了重要的意义，有人说，熵概念产生的重要性毫不低于能量概念的产生。

1.1熵概念的提出

热力学第二定律是有关过程进行方向的规律，它指出，一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的。若要方便判断过程可逆与不可逆性，更进一步地阐明不可逆性的本质，应能找到与不可逆性相关联的态函数。这个新的态函数就是克劳休斯找到的，他

称之为熵。

最初，克劳修斯在研究一个热机在其循环过程所必须的条件时引进了熵的概念，其

定义为： （1.1） 则从状态O 到状态A ，S 的变化为：

（1.2） 式中，S 为一个常数，对应于在状态O 的S 值。

图1 证明熵增加原理用图 由此，考虑一个由状态1到状态2的不可逆过程和从状态2返回到状态1的可逆过程构成的不可逆循环过程（如图1）根据克劳修斯不等式

（1.3） 可得 （1.4） 式中Q d 是不可逆过程中所吸收的微热量，r dQ 是可逆过程中所吸收的微热量。根据（1.2）

式有

（1.5） 其中1S 和2S 分别为系统在初态和终态的熵，代入（1.5）式即得

（1.6） 这里一个任意的不可逆过程所应遵从的不等式，是不可逆过程的热力学第二定律的数学

O p

可逆过程 不可逆过程

V

T

Q S d d =⎰=-A O T Q S S d 0⎰<

0d T Q 0d d 1212<+⎰⎰T

Q T Q r 2112d S S T

Q r -=⎰122

1d S S T Q

-<⎰

表述。

假如不可逆过程是绝热的，即0d =Q ，则（1.6）式化为

12S S > （1.7）

这就是说，经过一个不可逆绝热过程，熵的数值增加了。

假如可逆过程是绝热的，即0d =r Q ，则由式得

12S S = （1.8）

这就是说，可逆绝热过程，熵的数值不变，即为等熵过程。

绝热的不可逆过程总是朝向熵增大方向进行；绝热的可逆过程则是沿等熵线方向进行。由此可推论出：绝热的孤立系统，其中的自发过程都不可逆。因此，自发过程总是朝向熵的增大方向进行。所以据此可以判据孤立系统自发过程的方向。

1.2.熵概念本质的揭示

熵与概率间也存在着某种联系。玻耳兹曼于1872年推导了玻耳兹曼方程，于1877年论证了玻耳兹曼关系式，赋予了熵的统计解释，大大丰富了熵的物理内涵，明确了熵的应用范围。

图2 4个分子在盒子的位置分布

设有一盒子，其中装有一种气体的4个分子a ，b ，c ，d （如图2）。想象把盒子的容积分成两半，那么在热运动中，这4个分子在这两半容积中的位置分布有多少种可能的方式，就有多少种微观状态数。如果对分子不加以区别，那么有多少分子数目的分配方式，就有多少宏观状态数。从而确定一个宏观状态对应的微观状态数W 。4个分子在容器左右部分的分布共有16种可能，既有16种微观状态（如表1）。

表2-1 4个分子的位置分布

微观态 左

0 abcd a b c d bcd acd abd abc ab ac ad bc bd cd

右 abcd 0 bcd acd abd abc a b c d cd bd bc ad ac ab

宏观态 左 0 4 1 3 2 2

a

b c

d

右

4 0 3 1 2 W 1 1 4 4 6

从表2-1可以看出，4个分子同时位于左室的可能性是存在的，其概率为： 但比一个分子位于左室的概率1/4少多了。相应的计算可以证明：如果共有N

个分子，则全部N 个分子都位于左室的概率为 。例如，对1mol 的气体来说，23106⨯≈A N ，所以当气体自由膨胀后，所有这些分子全部位于左半部的概率是 ，

这个概率是如此之小，实际上是不会实现的。所以自由膨胀的不可逆性，实质上是反映了这个系统内部所发生的过程总是由概率小的宏观状态向概率大的宏观状态进行。这一结论对于孤立系统中进行的一切不可逆过程，如热传导，热功转化等过程都成立。采用经典统计的方法，可以证明熵与热力学概率W 存在着下列关系：

W k S e l o g = （1.9）

这就是著名的玻耳兹曼关系式，其中k 是玻耳兹曼常数。它是将热力学的宏观量（熵）和微观量（概率）联系起来的关系式。这个关系式表明，熵增加原理的微观实质是：孤立系统内部发生的过程总是从热力学概率小的状态向热力学概率大的状态过渡。

玻耳兹曼把S 和W log 等同起来，对于每一个宏观态的微观状态数W ，熵成为该宏观态的标志，意味着不可逆的热力学变化是一个趋向于概率增加的状态变化，而其终态是相应于最大概率的一个宏观态。玻耳兹曼关系式将宏观量S 与微观状态数W 联系起来，在宏观与微观之间架起了一座桥梁，说明了微观状态数W 的物理意义，也给出了熵函数的统计解释（微观意义）物理概念第一次用概率形式表达出来，具有深远的意义。

1.3熵的理论被进一步的深化

在物理学中，根据热力学第二定律，能量无时无刻不在贬值，系统间的差异不断减少，故热力学第二定律指向一个逐渐均匀的未来，这是一种从有序到无序的演变。而就生物进化而言，其方向却截然不同，他指向了相反的方向。即：由简单到复杂，由低级到高级，从无区别的结构到层次众多复杂无比的结构，从无序到有序的演变，这和孤立系统所描述的演化概念正好相反。

这些表面上的差异、矛盾，使人困惑、茫然。如果认为生物学的现象不能用物理学的规律来解释，二者之间存在一条不可逾越的鸿沟，那么存在差异是很自然的事。但是，现代科学的发展表明，生物学虽然有它自己的规律，而它的热现象仍属于物理学范畴，

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