期权定价的二项式方法

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期权的二项式定价模型研究

期权的二项式定价模型研究
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1 3 4- - — —
到原先的 u倍 , 即到达 S u ; 下降 到原 先的 d倍 . 即s d 。其 中,
u > l , d < 1 ( 如图 1 所示 ) 。股票价格上升 的风 险ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性概 率假 设
S u
f u
S d
图l 一个 时间段 内股票价格的变动
为P , 则下 降的概率假设 为 1 - p 。
Wo l r d ) 。对于“ 风险 中性世界” , 有一系列假设 , 在此不一一陈
二、 风 险 中性 定 价
风 险中性定价方 法有很多的应用 , 利 用它可以完成某项
述, 虽然对 于“ 风 险中性世界 ” 的假 设非 常苛刻 , 与现 实经济
环境有这巨大的差别 , 但对于简化讨论过程有着重大的帮助 。 按 照风险 中性的假设 可 以引 出两个重要 的结论 : ( 1 ) 在

资产 的定价 : 第一 , 确 定风险中性概率 ( 即使一项资产 的期望 回报率等 于无 风险利 率的概率 ) ; 第二 , 以此风险 中性概率作 为 资产未来价值 的权重得 出加权平均 价值 ; 第j, 用 无风险 利率对加权价值贴现 , 得 出无套利情况下资产的现值 。
风 险中性概率公式为 :
( 1 ) Q 和 Q是等 价测度 , 即对任 意事件 AcF, Q{ A } = O 舒
Q { A } = 0 。
r : 无风险利率 ; T : 衍 生证券 的有效期限 , 单 位为年。
u = 1 +标 的资产行情上升时 的每期 回报率 。
d = 1 +标的资产行情下 降时的每期 回报率 。
等价鞅测度 。 显然, 如果我们能够得到风险中性测度Q, 衍生证券 的价

二项式期权定价课件

二项式期权定价课件
0△+6, 得△=6/10=0.6。
• 第三步:投资组合的价值 到期时价值:30×0.6=20×0.6+6=18美元 当前价值:18×exp(-0.1×0.25)=17.56美 元
• 第四步:卖权的价值 根据p+25 △ =17.56 得p=17.56-25×0.6=2.56美元
二项式期权定价
• 上述投资组合既然是无风险的,在不存在套利 机会的情况下,其回报率一定等于无风险利率。
二项式期权定价
假定无风险利率为10%, 投资组合的期初价值为: 8美元×exp(-0.1×0.25)=8美元×0.975=7.8
美元 而投资组合的期初价值又等于25△-c 所以,25△-c=7.8美元 从而: C=25△-7.8美元=25×0.4-7.8美元=2.2美元 这个买权的价值或价格应该为2.2美元
尽管3个月时期权不能执行,但可以出售, 而其价格或价值根据一期的二项树模型可以从6个 月买权价值推出。 • 注意,我们仍以T代表一期即3个月的时间,因而 期权的到期时间为2T。
二项式期权定价
• f0=exp(-rT)[pfu+(1-p)fd] • =exp(-2rT)[p2fuu+2 p(1-p)fud+(1-p)2fdd]
= exp(-0.1×0.25)×2.620=2.56美元。
二项式期权定价
• 两期二项树模型 假定欧式买权约定价格为56美元,到期时间
为6个月,标的股票当前价格为60,每3个月上升 或下降20%,无风险利率为10%。 • 如何根据上述股票价格的变化情况得出期初的买 权价格呢?
如果知道节点c u和c d时期权的价值,期初的 买权价格根据一期的二项树模型即可计算得出。 但现在,c u和c d不能从3个月时的股票价格直接 得出,因为此时期权不能执行。

Option Pricing

Option Pricing

Option Pricing: A Simplified Approach的读书报告约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)的论文《期权定价:一种简化方法》提出了二项式模型(Binomial Model)。

(以下内容为结合Option Pricing: A Simplified Approach及查找资料后整理出的内容)一、期权定价的方法(1)Black—Scholes公式(2)二项式定价方法(3)风险中性定价方法(4)鞅定价方法等二、期权定价模型与无套利定价期权定价模型基于对冲证券组合的思想。

投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。

在均衡时,此确定报酬必须得到无风险利率。

期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。

所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报,任何非零投入的投资,只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报,而不能获得超额回报(超过与风险相当的报酬的利润)。

从Black-Scholes期权定价模型的推导中,不难看出期权定价本质上就是无套利定价。

三、B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;2、在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的;3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃);5、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施。

(二)B-S定价公式C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)其中:D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ•TD2=D1-σ•TC—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点:第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。

二项期权定价模型

二项期权定价模型

⼆项期权定价模型摘要:在可转债的定价过程中,期权部分的定价最为复杂,本⽂介绍了对可转债价值中期权部分的⼀种定价⽅法——⼆项期权定价模型,以单⼀时期内买权定价为例进⾏了。

⼀般来说,⼆项期权定价模型(binomal option price model , BOPM )的基本假设是在每⼀时期股价的变动⽅向只有两个,即上升或下降。

BOPM 的定价依据是在期权在第⼀次买进时,能建⽴起⼀个零风险套头交易,或者说可以使⽤⼀个证券组合来模拟期权的价值,该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格;反之,如果存在套利机会,投资者则可以买两种产品种价格便宜者,卖出价格较⾼者,从⽽获得⽆风险收益,当然这种套利机会只会在极短的时间⾥存在。

这⼀证券组合的主要功能是给出了买权的定价⽅法。

与期货不同的是,期货的套头交易⼀旦建⽴就不⽤改变,⽽期权的套头交易则需不断调整,直⾄期权到期。

⼀、对股票价格和期权价格变化的描述假设股票当期(t =0)的价格S 为100元,时期末(t =1)的价格有两种可能:若上升,则为120元,记做uS ;若下降,则为90元,记做dS 。

执⾏价格为110元。

相对应地来看,期权价格则分别记做0C 、up C 、down C ,则在t =1时,up C 、down C 分别等于max (120-110,0)、max (90-110,0),即10元和0。

此时的状态可以⽤下图描述:uS =120 股价上升时S =100分析师:⾼谦报告类型:可转换债券研究⼆项期权定价模型dS =90 股价下降时up C =10 max (120-110,0)0C =?down C =0 max (90-110,0)⼆、构建投资组合求解买权(⼀)构建投资组合在上图中,唯⼀需要求解的是0C 。

为求解0C ,也即给t =0时的买权定价,可以证明0C 的价格可以通过建⽴期权和相关资产的零风险套利交易来得到,具体来说,就是考虑⼀个包括股票和⽆风险债券在内的投资组合,该组合在市场上不存在⽆风险套利机会时等于买权的价格,因此可以⽤来模拟买权的价格。

期权二项式方法

期权二项式方法

一、关于均方差与时间单位关系的注解在上节的布莱克—绍勒斯定价模型中,我们假定时间单位为年,而σ是股票价格年变化率的均方差。

如果时间单位改换一下,例如采用以月为单位,股票价格月变化率的均方差1σ与σ有什么关系?在其他场合,我们也时常遇到与此类似的回报率时间单位转换问题。

设某项风险资产的年回报率为r。

我们知道r 是随机变量。

再设第i 月份的回报率为()1,,12i r i = 。

其中, ,i j r r 互相独立,且同分布,i j ≠。

按算术平均方法,则:121121i i r r r r ==++=∑又由于:()()()()11222111,,12i iE r E r E rr i σσσ=∆=∆=易得出:()()121112i i E r E r E ===∑ (22.24)()()()1222121cov ,12i i ji i jr r rr σσσ=≠=+=∑∑(22.25)(22.25)式之所以成立,是因为 ,j ir r 互相独立,故不相关,因此协方差()cov ,0i j rr = 。

把上式加以简化,我们得到: 221212E E σσ==月年月年 (22.26)其中E E 月年和分别表示年回报率和月回报率的期望值,22σσ月年和分别表示年回报率和月回报率的方差。

类似于(22.26)式,不同时间单位的回报率和均方差可以相互转换。

例如,年回报率的均方差为σ,则月回报率的均方差1σ为:1σ=不管采用什么样的时间单位,布莱克—绍勒斯模型中的的。

例如由年改为以月为单位,1σ==其中1T 是从现在到执行日的月份数,112T T =,所以布莱克—绍勒斯模型与采用何种时间单位无关。

二、二项式方法我们在上节讨论了风险中性方法。

二项式方法(Binomial method )是风险中性方法的一个扩充和推广。

把一年划分成n 期(例1,2,4,n = ),二项式方法假定标的物的价格在每期发生一次变化,而且变化只有两种可能性:上升某个百分比,或下降某个百分比。

期权的二项式定价模型研究

期权的二项式定价模型研究

期权的二项式定价模型研究作者:孔凡秋来源:《经济研究导刊》2014年第04期摘要:在一个所有投资者都是风险中性的世界里,衍生证券的价格一定与它在现实世界里的价格相同。

而在风险中性世界中,任何可交易证券的期望收益率是无风险利率。

更进一步,任何衍生证券预期的盈亏以无风险利率贴现就得到它的现值,很大程度上简化了衍生证券的定价。

主要讨论研究风险中性定价方法和它的推广——二项式定价模型,并结合期权的定价进行论述。

关键词:风险中性定价;二项式定价模型;风险中性假设中图分类号:F830 文献标志码:A 文章编号:1673-291X(2014)04-0134-03一、风险中性简介风险中性是相对于风险偏好和风险厌恶的概念,风险中性的投资者对自己承担的风险并不要求风险补偿。

我们把每个人都是风险中性的世界称之为风险中性世界(Risk-Neutral World)。

对于“风险中性世界”,有一系列假设,在此不一一陈述,虽然对于“风险中性世界”的假设非常苛刻,与现实经济环境有这巨大的差别,但对于简化讨论过程有着重大的帮助。

按照风险中性的假设可以引出两个重要的结论:(1)在一个风险中性的世界里,所有证券的预期收益率都是无风险利率;(2)在风险中性的世界里,将期望的现金流用无风险利率贴现即可获得现金流的现值。

这种风险中性定价理论的假设在很大程度上简化了衍生证券的定价分析。

风险中性定价的关键在于确定风险中性概率。

定义称概率测度为风险中性概率测度,如果满足以下两个条件:由于在风险中性测度下,资产的价格可以把将来价值按照无风险利率贴现得到,好像所有投资者的风险偏好都是风险中性的,所以称为风险中性测度。

有时,我们也称测度是等价鞅测度。

显然,如果我们能够得到风险中性测度,衍生证券的价格就是把衍生证券将来的价值按照无风险利率贴现得到。

我们称该方法为风险中性定价方法。

也称为等价鞅测度(方法)定价。

二、风险中性定价风险中性定价方法有很多的应用,利用它可以完成某项资产的定价:第一,确定风险中性概率(即使一项资产的期望回报率等于无风险利率的概率);第二,以此风险中性概率作为资产未来价值的权重得出加权平均价值;第三,用无风险利率对加权价值贴现,得出无套利情况下资产的现值。

2019外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义.doc

2019外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义.doc

外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义(作者:___________单位: ___________邮编: ___________)期权交易是八十年代以来国际金融市场颇具特色的合同交易,其最基本用途是为了转移利率和汇率变动风险,最大特点是在保留从有利价格变动中获取收益可能性的同时,也防止了不利价格变动可能带来的更大损失。

另外,期权是许许多多有价证券、金融工具的建筑砌块,因此无论怎样强调期权定价的重要性都不过分。

Black─Scholes(1973)假设股票价格的对数变化遵循Wiener-Levy过程,建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合,导致一个偏微分方程式,解一个热力学扩散方程,得到期权价格解析解,即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式;Garman与Kohlhagen(1983)及Grabbe(1983)等人基于同样思路,建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合,得到欧式外汇Call期权定价公式,以上计算都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。

期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein(1979)使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设,利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式,随后Geske和Johnson(1984)推导出美式期权定价精确解析式。

本文目的一是通过二项式定价公式推导过程,进一步解释推导中假设条件的经济涵义;二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。

首先,利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式;其次,给出一般表达式。

一、期权抛补的利率平价关系由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系联系在一起,与远期抛补利率平价(forward-cover IRP)类似,货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价(option-cover IRP)关系,以下就根据无风险资产组合(即套利)过程,不考虑佣金因素影响,应用单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。

期权定价二项式模型

期权定价二项式模型

二项期权定价模型二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向,且假设在整个考察期内,股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。

模型将考察的存续期分为若干阶段,根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径,并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。

对于美式权证,由于可以提前行权,每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

二项式期权定价模型概述1973年,布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式,对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。

随后,罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。

1976年,罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”,提出了风险中性定价理论。

1979年,罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价:一种简单的方法”,该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法,被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。

二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型,是两种相互补充的方法。

二项式期权定价模型推导比较简单,更适合说明期权定价的基本概念。

二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上,即在给定的时间间隔内,证券的价格运动有两个可能的方向:上涨或者下跌。

虽然这一假设非常简单,但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位,因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。

随着要考虑的价格变动数目的增加,二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布,二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。

二项式期权定价模型的优点,是简化了期权定价的计算并增加了直观性,因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

注册会计师财务成本管理--二项式定价模型

注册会计师财务成本管理--二项式定价模型

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二项式定价模型这里涉及到一些公式,还是很有计算量的,不过上课时,陈华亭老师告诉我们只要把他的思路理清发现这里还是不难的。

其实通过听课和理解,我们就会发现他也不过是个“纸老虎”,不就是个计算期权价值的方法吗!
二项式定价模型分为单期和多期两种模型,只要把单期模型掌握好了,多期模型其实就是单期模型的多次运用。

单期两状态模型思路:构造两个流量相同的证券组合,根据无套利原理可以推出,这两个组合的价值相同。

——买了一份股票和债券的组合,使这个组合与期权的流量相同,由于股价有上升和下降两种趋势,便可构造出方程组,将到期时的股票价值和债券价值计算出来,遍可得到期权的价值。

肯定没看明白吧?还是实践一下吧!
【例·计算题】假设甲公司股票现在的市价为10元,有1股以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为12元,到期时间是9个月。

9个月后股价有两种可能:上升25%或者降低20%,无风险利率为每年6%。

【答案】
(1)上行股价=10×(1+25%)=12.5(元)
下行股价=10×(1-20%)=8(元)
(2)股价上行时期权到期日价值
=上行股价-执行价格=12.5-12=0.5(元)
股价下行时期权到期日价值=0
(3)计算期权价值
(卖空债券,负投资)
C=投资成本=△S+B=0.11×10-0.84=0.26(元)。

期权定价的二项式方法

期权定价的二项式方法

期权定价的二项式方法期权定价是金融领域中的一个重要问题,涉及到投资者和交易者在期权市场中的交易行为和决策。

其中,二项式方法是一种常用的期权定价方法,该方法基于二项式模型,通过模拟将期权在到期日前的整个时间段分割为多个时间步,计算出各个时间步的期权价值,最后将这些期权的价值进行加权求和,得到最终的期权价格。

二项式方法的核心思想是将期权的到期日前的时间段分割成多个时间步,假设每一个时间步的期权价值只有两种可能性:上涨或下跌。

在每个时间步中,投资者可以选择买入或卖出期权,以及套期保值或不套期保值。

根据投资者的选择和市场的价格波动情况,可以计算出每一个时间步的期权价值。

二项式方法的计算过程非常简单。

首先,根据期权的当前价格、行权价格、到期日、无风险利率和价格波动率等参数,构建一个二项式树。

然后,从期权到期日开始,逆向推导每一个时间步的期权价值。

在每个时间步中,根据上涨和下跌的概率以及对应的期权价值,计算出当前时间步的期权价值。

最后,根据所有时间步的期权价值进行加权求和,得到期权的价格。

二项式方法的优点是简单易懂、计算量小。

它通过模拟将期权到期日前的时间段分割成多个时间步,能够较好地考虑到期权价格的波动性,并给出了一个时间步数足够大的近似解。

同时,该方法也提供了很多灵活的选择,可以根据不同投资者的需求和策略进行调整。

然而,二项式方法也存在一些局限性。

首先,该方法假设期权价格的变动只有两种可能性,即上涨和下跌,这限制了其在描述实际市场的多样性方面的能力。

其次,二项式方法在分割时间步时需要预先确定时间的粒度,如果时间步数过少,将导致对波动性的估计不准确;如果时间步数过多,将增加计算量。

此外,该方法在计算期权价格时忽略了其他因素的影响,如市场流动性、交易费用、税收等,因此得到的结果可能会有一定的偏差。

总体来说,二项式方法是一种简单易懂、计算量小的期权定价方法。

它通过将期权的到期日前的整个时间段分割成多个时间步,考虑期权价格的波动性,并给出了一个时间步数足够大的近似解。

金融数学第五讲期权定价 二叉树方法ppt课件

金融数学第五讲期权定价 二叉树方法ppt课件

推广到一般情形
一个依赖于股票的衍生证券,到期时间为 T
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
推广到一般情形
(continued)
考虑一个组合:持有D份股票,成为一份衍生证券的空头
当 D满足下面的条件时,组合为无Su风D –险ƒ:u
SuD

ƒu
=
Sd
DS–dDƒd–
or ƒd
D ƒu fd Su Sd
S*(iDt)S(iDt)
当 iDt 时
S * (iD t) S (iD t) D e r( iD t) 当 iDt 时(表示红利)
在 iDt 时刻:
当 iDt 时,这个树上每个结点对应的证券价格为:S0*ujdijD er(iDt) 当 iDt 时,这个树上每个结点对应的证券价格为:S0*u jdi j
无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头
三个月后组合的价值为 22´0.25 – 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
期权的估值
资产组合为 持有 0.25份股票
成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 从而,期权的价格为 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
72 D0
48
E
4
32 F 20
美式期权该如何估值?
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20

基于二项式模型的期权定价研究

基于二项式模型的期权定价研究

基于二项式模型的期权定价研究期权定价经过多年的发展,目前已经非常成熟和精确。

其中,基于二项式模型的期权定价方法被广泛使用,因为它简单、易于理解、易于计算和准确等优点。

二项式模型是一种离散时间模型,用于模拟股票或指数价格的变化。

它的核心假设是:股票价格在每个时期(比如一天或者一周)内,只会有两种可能的价格变化,即上涨或者下跌。

这两种变化的概率和幅度都是已知的,而且是恒定的。

在这个基础上,我们可以通过递推计算出股票在未来任意时间点的价格概率分布,从而确定期权的价格。

在二项式模型中,期权的价格通常用两个因素来表示:现货价格和期权类型(看涨或看跌)。

现货价格是指标的当前价格,而期权类型则指期权对价格变化的看法。

具体而言,看涨期权表示投资者认为未来的价格将会上涨,而看跌期权则表示投资者认为未来的价格将会下跌。

这两种期权的价格的计算方法有所不同,但都可以使用二项式模型来计算。

在具体计算期权价格时,我们需要输入一些参数,包括期权到期时间、股票价格波动率、无风险利率和执行价格等。

这些参数中,股票价格波动率是重要的参数之一,它反映了股票价格的波动情况。

更大的波动率意味着更大的风险,也会导致期权价格的增加。

而无风险利率则反映了投资者的机会成本,同样也会影响期权价格。

需要注意的是,二项式模型只适用于欧式期权,而不适用于美式期权。

欧式期权是指只能在到期日行权的期权,而美式期权是指在任何时候都可以行权的期权。

美式期权因为更加灵活,所以价值通常会高于欧式期权。

总之,基于二项式模型的期权定价是一种简单而又准确的方法,它在实际中得到了广泛的应用。

如果您是从事期权交易的人,那么了解二项式模型定价方法是非常有必要的。

金融分析期权评价的二项式模型

金融分析期权评价的二项式模型

cu

(1-)
c
cud mu ax d X [S ,0]
1-
(1-)
c d (1 )2
图7.5
cddma d2x S [X,0]
利用一期的评价公式(7.5)来求出cu和cd,则 有:
cu
1 1 rf
[qucu(1q)cud ]
(7.9)
cd

1 1 rf
[qucd(1q)cdd ]
Sa
S0
S1S2 3
因为这个支付依赖于股价的运动过程本身 (即股价运动所实现的轨道),这类期权又 称为轨道相依期权 。
例 设S = 10,1+ rf =1.01/每月,u = 2,d = 0.5,X = 15,一期 = 1个月。考虑二期问题, 则股价运动模式如图。
uS=20
uuS = 40
例7.1 设S = 10,1+ rf =1.01/每月,u = 2, d = 0.5,X = 15,一期 = 1个月。考虑二期问
题,则股价运动模式如图7.7所示。
uuS = 40
uS=20
S =10
dS=5
0
1
图7.7
udS =10
ddS = 2.5 2
风险中性概率
q(1rf
)d 0.3
金融分析期权评价的二项式模型
1979年,科克斯(Cox)、罗斯(Ross)和卢宾斯坦 (Rubinsetein)的论文《期权定价:一种简化方法》 提出了二项式模型(Binomial Model),该模型建立了 期权定价数值法的基础,解决了美式期权定价的问题。
二项式模型的假设主要有:
1、不支付股票红利。 2、交易成本与税收为零。 3、投资者可以以无风险利率拆入或拆出资金。 4、市场无风险利率为常数。
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(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格. 期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格. 无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
克服困难不确定性, 以便采用无套利原理对 期权进行定价: 二项式定价方法, 布莱克—舒尔斯定价方法, 蒙特卡罗模拟法。 二项式方法 (二叉树方法) 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定 在每个时间区间内股票的价格只有上升和 下降两种状态, 且价格上升和下降的百分比 也已知,这样可以得出股票在期权到期日有 限个确定的价格状态,从而克服了不确定性.
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权,设股票的现行价格为S 0 60 元, S X 65元 期权确定的执行价格为 。设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段,预计股 票价格在每阶段要么上升10%,要么下降 5%,每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
n n i i n i i C qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i i 0
2 2 3 S X ,0} 6qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} 4qu qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3
4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有 限个确定的股票价格(期权的收益)来进行估 计. • 表面看把股票价格的变动只有两种可能,现 实中,股票价格可是千变万化.不过我们可以 通过增加期数来扩大股票价格变动的范围. 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价 格状态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计 越接近于真实的价格.
qu e rT (1 ) e 0.025 0.62658 0.611111
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无 风险资产的年收益率及每个阶段的时间长度 来确定. 在本例中,每阶段无风险资产的收益 率为 10%/4=0.025 确定期权的价格 无套利定价: 考虑组合 买入A股该股票和卖出该股票的一份买入期 权组成。 要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是 升还是降都应同无风险投资的收益相等。
4 4 i i qu q d max{ S 0 (1 u ) 4i (1 d ) i S X ,0} i 0 i
4
4 4! , i 0,1, 2,3, 4 i (4 i)!i !
0! 1
把持有期分成n个相同时段的情形 假定每阶段内股票价格上升或下降的因子 相同 ,无风险收益率相同.
计算相关数据

u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
qu e rT (1 ) e 0.05 (1 0.324859) 0.642214
qd e
rT
0.309016
根据期权确定的执行价格以及股票在最后 阶段不同状态的价格,计算期权在最后阶 段各状态的价值 .
AS 0 (1 u ) Ru AS 0 (1 d ) Rd Ru Rd A S 0 (u d )
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方 程
S 0 A C [ AS 0 (1 u ) Ru ]e
将A代入得
rT
Ce
rT
[ Rd (1 ) Ru ]
Ru max{ 0 (1 u) S X ,0} S
期权在股票价格上升状态下的收益 Ru max{ S 0 (1 u) S X ,0}
期权在股票价格下降状态下的收益 Rd max{S0 (1 d ) S X ,0} 构建一个组合,买入A股股票,卖出一份买 入期权组成,要求在期权到期日无论何种 情况出现,组合的价值相同
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关,而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
2 4.69 qu 7.14 q d 0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}

e
rT
(1 u ) u (e 1) ud ud
rT
qu e rT (` ) 市场的上升状态价格因子 1
q d e rT
市场的下降状态价格因子
C qu Ru qd Rd
qu max{ S 0 (1 u) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) S X ,0}
期权定价的二项式方法
1). 2). 3). 4). 5). 定价原理 二项式定价的基本过程 期权定价的二项式公式 二项式定价公式推导 美式期权的定价
1). 定价原理
无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。 在到期日现金流完全相同的两个组合,它们 期初的现金流必定也完全相同 (债券期货为 例). 期权在到期日的执行与否是不确定的,这种 不确定性使得在到期日的收益变得不确定, 因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
2 0.22 qu 0.33 q d 0 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
• 买权未来价值是不确定的,有风险.买权和股票 组合可以消除这种风险.同时来考虑是否能从 中找到期权的价值. • 如果按比例持有股票和卖出相应的期权,股票 上涨的收益可能被期权的损失弥补
首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的 收益在两种状态(价升或价降)下都相同。 如果股票价格上升至33元,组合在到期日 的价值为 33 A 2 , 其中2是期权被执行后投资者的付出; 如果股票价格下降至27元,期权不被执行, 组合的价值为 27A 。 在到期日这两个值应相等,且应等于无风 解之得 A 1/ 3 , 即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份 该股票的买入期权组成。无论股票的价格 是升还是降,组合在期末的价值 1 1 33 2 27 9 3 3
根据无套利原理,这就要求无风险投资在 期末的收益同为9元,因而期初用于无风险 投资的资金应为
计算期权在不同状 态的价值
13.79 10.3 7.57 4.69
22.846
18.03 10.867 7.14 0.5215
3.08
0.22
0.33
0 0.0
0
期权价格树
4). 二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
18.03 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}
2 3 3qu qd max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
3 2 3.08 qu 4.69 q d 0.22 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} 3qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d )
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
9 e
0.10.25
8.78
这也应该是期初用于投资组合的资金,由 此得
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3
买入期权的价格应该定为1.22元
3). 期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
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