几种积分的特殊求解方法
定积分的算法及其特殊形式
定积分的算法及其特殊形式定积分是数学分析中非常重要的一种工具，它不仅可以用来求解函数的面积、体积等重要概念，还可以应用于众多实际问题的解决。
本文将主要讲述定积分的算法，以及一些特殊形式的定积分。
一、定积分的算法定积分的算法可以分为两种：牛顿-莱布尼茨公式法和基本公式法。
1. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式是定积分的核心衍生公式之一，它是由牛顿和莱布尼茨独立发明的。
该公式的形式如下：∫a~b f(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)为原函数，F为f(x)的不定积分。
该公式是一个非常重要的抽象概念，虽然很多人并不清楚它的实际应用意义，但它在实际问题的解决中发挥着重要的作用。
2. 基本公式法基本公式法是一种可以求解多种不同形式的定积分的算法。
它通过根据求解特定的积分形式来选择合适的基本公式进行计算，从而实现高效、准确地求解定积分。
常见的基本公式有：- 积分中含有幂函数该类型积分可以应用幂函数的反函数来求解。
例如：∫a~b x^2dx = [x^3/3]_a^b- 函数含有多项式的乘积该类型积分可以应用几何级数的原理进行求解。
例如：∫a~b (2x+1)(x+2)dx = [(x^2+5x)/2]_a^b- 积分为三角函数该类型积分可以应用三角函数的和差化积、倍角公式等来进行求解。
例如：∫0~π/2 sinx dx = [−cosx]_0^π/2二、特殊形式的定积分除了上述的基本算法之外，定积分还有一些特殊形式，这些形式的积分比较特殊，常常难以直接求解，需要使用特殊的算法进行处理。
1. 瑕积分瑕积分是指在一定区间内，函数在某一个点或多个点发生了突变或不连续的情况，这种函数在该区间上的积分即为瑕积分。
例如：∫0~1 1/√x dx该式中的分母在x=0处是无限大的，因此我们需要对该瑕积分进行处理。
方法有二，一种是进行主部分的积分，另一种是直接代入Cesaro可积条件进行计算。
2. 科特迪瓦积分科特迪瓦积分是一类复积分，它可以把一个点集划分成多个小块，然后在每个小块内使用复积分来求解。
几种特殊积分的计算方法
几种特殊积分的计算方法特殊积分是指在计算积分时，需要使用特殊方法或技巧才能得到结果的一类积分。
下面将介绍几种常见的特殊积分计算方法。
一、分部积分法分部积分法是一种常用的积分计算方法，适用于计算被积函数是两个函数的乘积的积分。
设有两个函数u(x)和v(x)，则根据分部积分法：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式表明，在被积函数的积分中，选择一个函数进行求导，而选择另一个函数进行积分，这样可以将原函数转化为另一个更容易处理的函数积分。
二、换元积分法换元积分法是一种利用变量的替换来简化积分的计算方法。
考虑函数f(g(x))，其中g(x)是可导的函数，如果存在一个可导函数h(x)，使得f(g(x))g'(x)=h'(x)，那么通过换元x=g(u)可以将原函数转化为更简单的函数积分。
三、三角代换法三角代换法是一种使用三角函数进行代换的积分计算方法。
通过选择合适的三角函数代换，可以将原函数转化为简单的三角函数的积分。
常用的三角代换有正弦代换、余弦代换和正切代换。
四、部分分式分解法部分分式分解法是一种将有理函数拆分为多个简单的函数的积分计算方法。
通过将有理函数进行部分分式展开，可以将复杂的积分转化为多个简单的积分。
五、瑕积分计算方法瑕积分是指在计算积分时，函数在一些点上不满足积分功能的函数积分。
在计算瑕积分时，可以分为主值积分和固定瑕积分两种情况。
主值积分是通过将瑕积分中的瑕值约化为一个主值来求解，固定瑕积分则是根据瑕积分的特定形式进行计算。
六、数值积分当无法使用解析方法计算积分时，可以通过数值积分来近似计算积分的真实值。
数值积分方法包括复化梯形法、复化辛普森法、龙贝格法等。
以上是几种常见的特殊积分计算方法。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的积分计算方法可以提高计算的效率和准确性。
求定积分的几种特殊技巧
求定积分的几种特殊技巧作为数学中最基础也是最重要的分支之一，积分在科学、工程等领域中有着广泛的应用。
其中，定积分是计算曲线下的面积、求平均值、做物理学中的力学功等问题时必不可少的工具之一。
但是对于某些比较复杂的函数，直接计算其定积分是非常困难的，因此本文将介绍一些求解定积分的技巧。
一、换元法换元法是求解定积分中最常用的方法之一。
它的原理在于将原式的变量替换为一个新的变量，以消除被积函数中的一些难以处理的形式。
常见的换元方式包括正逆三角函数的换元、指数函数的换元、以及复合函数的换元等。
例如，若要求$ \int_0^1\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$，则可以进行正弦函数换元$x=\sin t$，得到$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin t dt$$ 将以上式子简化即可得到答案。
二、分部积分法分部积分法是求解定积分中比较常见的技巧之一。
它的基本思路在于将被积函数分解成两个因子的乘积形式，并运用导数和乘积的关系来求解。
常见的函数形式包括：多项式与三角函数、多项式与指数函数的积等。
例如，若要求$ \int x\cos xdx$，则可以将其分解为$\cos x$与$x$的乘积形式，然后使用分部积分法，依次求导即可得到积分答案。
三、待定系数法待定系数法是求解包含有多个函数的定积分时较为有效的一种技巧。
它的思路在于将被积函数拆解为若干简单因式之积的形式，并使用待定系数法解出其中的系数。
例如，若要求$ \int\dfrac{1}{x^3+1}dx$，则可以将被积函数看做是两个多项式之间的除法形式，然后使用待定系数法找到使得其成立的系数即可。
当然，在实际应用中，待定系数法的求解过程会相对比较冗长，需要考虑较多常数项的组合形式，因此建议尝试在纸上进行多次演练，以达到更好的掌握效果。
四、对称性法对称性法是一种比较基础的技巧，在解决一些具有对称形式的函数积分时比较有效。
其的核心思想在于利用函数在不同积分区间的对称性，将积分化简为一些更易于计算的部分。
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法有：
求积分的四种方法是：换元法、对称法、待定系数法、分部积分法。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
定积分对称性公式：f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式，只要x有一个正一个负，就有对称性。
至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。
如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几种常用求积分方法以及特别说明
几种常用求积分方法以及特别说明在微积分中，求积分是一个非常重要的问题，求解各种函数的不定积分可以帮助我们研究函数的性质和解决各种实际问题。
下面将介绍几种常用的求积分方法。
1. 分部积分法（Integration by Parts）利用分部积分法可以将一个复杂的积分转化为一个相对简单的积分。
分部积分法公式如下所示：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中u(x)和v(x)是两个可微函数，u'(x)和v'(x)是它们的导数。
例如，对于积分∫x sin(x) dx，我们可以让u(x) = x，v'(x) = sin(x)，然后根据分部积分法公式计算。
这样，原积分就变为了相对简单的积分∫sin(x)dx = -cos(x)。
通过分部积分法，我们成功地将原积分转化为了一个更容易求解的积分。
需要注意的是，在应用分部积分法时，我们通常选择u(x)和v'(x)使得转化后的积分更容易求解。
2. 代换法（Substitution）代换法是一种常用的求积分方法，通过引入一个新的变量来进行积分的转化。
设有函数F(u)和g(x)满足F'(u)=g(x)，那么根据链式法则有：∫g(x)dx = ∫F'(u)dx = ∫F'(u)u'(x)dx = ∫F'(u)du这样，原积分就转化为了相对简单的∫F'(u)du。
例如，对于积分∫x^2(1+x^3)^4dx，我们可以令u = 1+x^3，那么原积分就变为了∫(u-1)^4du。
通过这种代换，我们成功地将原积分转化为了一个更容易求解的积分。
需要注意的是，在进行代换时，我们通常选择使得转化后的积分更容易求解的变量替换。
3. 偏导法（Differentiation under the Integral Sign）偏导法是一种特殊的求积分方法，适用于形如∫F(x, t)f(t)dt的积分。
几种特殊积分的计算方法
几种特殊积分的计算方法特殊积分是指不能通过基本积分公式直接得到结果的积分，需要使用一些特殊的方法进行计算。
下面介绍几种常见的特殊积分计算方法。
1.分部积分法分部积分法是计算两个函数的乘积积分的一种方法，也可以看作是求导的逆过程。
假设有函数$u(x)$和$v(x)$，则根据分部积分法，可以得到以下公式：$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$$通过这个公式，可以将一个积分转化为两个更容易求解的积分。
2.换元积分法换元积分法是通过变量的代换，将原积分中的变量替换为新的变量，从而简化计算。
假设有函数$g(x)$和$f(g)$，其中$f(g)$的原函数可以求出来，则根据换元积分法，可以得到以下公式：$$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$$通过换元，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
3.偏函数法偏函数法是解决具有参数的积分问题的一种方法。
假设有函数$f(x,a)$，其中$a$是参数，当$a$取一定的值时，可以将积分问题转化为计算函数$f(x,a)$的积分。
常见的参数方程有指数函数、三角函数等。
4.求和化积分法求和化积分法是通过将积分转化为求和的形式，从而简化计算。
主要应用在连续函数可以用级数展开的情况下。
例如，可以将积分$\intf(x)dx$转化为和式$\sum f(x_i)\Delta x_i$来计算。
5.共轭函数法共轭函数法是解决带有共轭函数的积分问题的一种方法。
如果积分问题中出现共轭函数，可以通过将共轭函数分子和分母同时乘以共轭函数，从而简化计算，并得到更简洁的结果。
综上所述，这些是几种常见的特殊积分计算方法，通过应用这些方法，可以在一些情况下简化积分计算，并得到更简洁的结果。
几种特殊类型的函数的积分
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
三角函数定积分的四种求解方法
三角函数定积分的四种求解方法三角函数定积分是高等数学中一个重要的知识点，常常涉及到三角函数的性质和定积分的运算法则。
在解题过程中，我们可以使用四种不同的方法来求解三角函数定积分，分别是换元法、分部积分法、平均值定理和特殊代换法。
一、换元法换元法，也称为代换法，是求解不定积分的常用方法之一、对于三角函数定积分，我们可以通过选择一个合适的换元变量，将原问题转化为一个更容易求解的形式。
换元法的基本思想是将被积函数中的变量进行替换，以达到简化问题的目的。
在求解三角函数定积分的过程中，我们常常选择正弦函数和余弦函数作为换元变量。
具体而言，我们可以使用以下的换元公式：1. 用tan(x/2)来换元：利用tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x)) 或者 cos(x) / (1 +sin(x))的换元公式，将题目中的三角函数进行替换，从而将问题转化为一个更容易处理的形式。
2. 用sec(x)来换元：利用sec(x) = 1 / cos(x) 的换元公式，将题目中的三角函数进行替换，得到一个与原函数结构相似但更容易求解的新函数。
二、分部积分法分部积分法是求解不定积分的另一种常用方法。
对于三角函数定积分，我们可以通过选择合适的u和v来进行分部积分，以求得积分结果。
具体使用分部积分法求解三角函数定积分时，我们可以根据需要选择不同的u和v：1. 选择u = f(x)，dv = g(x)dx：这种情况下，我们需要计算u和v的导数，然后代入分部积分公式：∫[u(x)dv(x)]dx = u(x)v(x) - ∫[v(x)du(x)]dx，从而求得积分结果。
2. 选择du = f(x)dx，v = g(x)：这种情况下，我们需要计算du和v的导数，然后代入分部积分公式：∫[u(x)dv(x)]dx = u(x)v(x) - ∫[v(x)du(x)]dx，从而求得积分结果。
三、平均值定理平均值定理是一个重要的数学定理，可以用来求解定积分的近似值。
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法
积分是数学中的一个重要概念，它可以用来求解各种问题。
在本文中，我们将介绍几种以积分求解的方法。
1. 定积分法
定积分法是一种以积分求解的方法，它可以用来求解曲线下面的面积。
具体来说，我们可以将曲线分成若干个小区间，然后对每个小区间求出其面积，最后将所有小区间的面积相加即可得到整个曲线下面的面积。
2. 反常积分法
反常积分法是一种以积分求解的方法，它可以用来求解无穷级数的和。
具体来说，我们可以将无穷级数分成若干个小区间，然后对每个小区间求出其和，最后将所有小区间的和相加即可得到整个无穷级数的和。
3. 微积分法
微积分法是一种以积分求解的方法，它可以用来求解函数的导数和积分。
具体来说，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的变化率，从而得到函数的最大值和最小值；同时，我们也可以通过求解函数的积分来确定函数的面积和体积。
4. 线性积分法
线性积分法是一种以积分求解的方法，它可以用来求解线性方程组的解。
具体来说，我们可以将线性方程组表示为矩阵形式，然后通过求解矩阵的逆矩阵来得到线性方程组的解。
以积分求解的方法有很多种，每种方法都有其独特的应用场景。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解。
求积分的方法
求积分的方法一、换元法。
换元法是求解不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有较为复杂的函数时，可以通过引入新的变量来简化被积函数，从而更容易进行积分运算。
换元法的关键是选择合适的替换变量，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有平方根、三角函数等形式时，可以尝试使用三角代换或者根式代换来简化被积函数，然后进行积分运算。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数是两个函数的乘积形式时，可以通过对被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分运算。
分部积分法的关键是选择合适的分解方式，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有指数函数、三角函数等形式时，可以尝试使用指数函数、三角函数的导数和原函数之间的关系来进行分解，然后进行积分运算。
三、换限积分法。
换限积分法是求解定积分中常用的一种方法。
当被积函数的自变量的取值范围较为复杂时，可以通过引入新的变量来简化定积分的计算。
换限积分法的关键是选择合适的变量替换方式，通常要根据定积分的积分区间和被积函数的形式来选择。
例如，当定积分的积分区间为无穷大区间时，可以尝试使用新的变量替换无穷大，然后进行积分运算。
四、利用积分表。
在实际应用中，有些函数的积分可以通过积分表来直接查找得到。
积分表中包含了许多常见函数的不定积分和定积分的结果，可以直接利用积分表来求解一些特定函数的积分。
在使用积分表时，需要注意查找的函数形式和积分的范围，以确保得到正确的积分结果。
五、数值积分法。
当无法通过解析方法求解积分时，可以通过数值积分法来进行近似计算。
数值积分法通过将积分区间进行等分，然后利用数值计算方法对每个小区间进行积分运算，最后将各个小区间的积分结果相加得到整个积分的近似值。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
总结。
求解积分是数学中的一个重要问题，通过合理选择求积分的方法，可以更加高效地进行积分运算。
不定积分的几种形式及求解技巧
不定积分的几种形式及求解技巧不定积分是微积分中的重要概念，通常用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们有几种不同的形式和求解技巧。
1. 一般形式不定积分：一般形式的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
求解一般形式的不定积分的方法主要有以下几种：- 直接积分法：根据不同函数的性质，应用相关的积分求法，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
例如，对于多项式函数f(x)=x^n，不定积分为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。
- 分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的函数积分转化为两个简单函数的乘积积分。
公式表达为：∫u dv = uv - ∫v du。
通过选取适当的u和dv，进行分部积分求解不定积分。
例如，对于函数f(x)=x*sin(x)，可以令u=x，dv=sin(x)dx，然后进行分部积分求解。
- 代换法：代换法是通过选择一个新的变量来简化不定积分的求解过程。
通过选择适当的代换变量可以将复杂的函数转化为一个简单的函数。
例如，对于函数f(x)=e^x，我们可以令u=e^x，然后进行代换求解。
- 部分分式分解法：当不定积分的被积函数可以使用部分分式分解时，就可以将其转化为一组简单的分式的和的形式，然后依次求解。
例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，可以将其分解为1/((x+1)(x-1))的形式，然后再分别进行不定积分求解。
2. 特殊形式不定积分：特殊形式的不定积分是指一些常见的函数在积分过程中的特殊形式。
这些特殊形式的不定积分可以通过特定的方法进行求解。
常见的特殊形式不定积分有以下几种：- 三角函数不定积分：对于一些常见的三角函数，例如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其不定积分可以通过特定的恒等变换和公式进行求解。
例如，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
求反常积分方法
求反常积分方法反常积分是一种特殊的积分形式，在某些情况下可能会出现无穷，因此需要采用一些特殊的方法来解决。
以下是几种求反常积分的方法：1. 改写式子有时候我们可以通过改写式子的形式来使得积分的结果更加明显，从而更容易求解。
例如，对于无穷积分，我们可以通过将积分区间分成两个部分来进行计算，例如：∫_0^∞ (1-e^(-x))/x dx = ∫_0^1 (1-e^(-x))/x dx + ∫_1^∞ (1-e^(-x))/x dx然后我们再将两部分积分分别求解即可。
2. 极限对比法对于一些积分难以求解的函数，我们可以采用极限对比法来判断其是否收敛。
具体实现过程是先找到一个比原函数更容易处理的函数，然后比较两个函数的极限值是否相等。
如果相等，那么原函数也是收敛或发散的，如果不相等，则判定原函数是发散的。
例如，对于积分∫_0^1 1/x^2 dx，我们可以和∫_0^1 1/x dx 进行对比。
因为在 0 处取极限时，两个函数的极限值都是无穷大，因此可以得出积分∫_0^1 1/x^2 dx 是发散的。
3. 洛朗级数展开法洛朗级数展开法是一种比较特殊的求反常积分的方法，主要是利用了泰勒级数展开式来化简积分的结果。
具体过程是先将被积函数在某一点进行展开，然后将积分式子分为若干部分求解，最后再将结果合并。
例如，对于积分∫_0^π/2 ln(sin x) dx，我们可以将其分为两个不同的部分，即：然后我们将被积函数在π/4 点进行泰勒级数展开，即ln(sin 2x) = -ln 2 - Σ_1^∞ ((-1)^n * 2^(2n-1)) / (n * (2n-1) * cos^(2n-1) π/4) * (2x - π/4)^(2n-1)展开之后，我们就可以将其作为新的被积函数来求解积分。
总的来说，求反常积分的方法有很多种，以上只是其中的几种常用方法。
在具体问题中，我们需要根据情况选择最合适的方法来进行求解。
无论采用何种方法，我们都需要通过严谨的数学推导来确保求解的正确性。
定积分的几种特殊计算方法
定积分的几种特殊计算方法定积分是数学中一项重要的运算，它可以用于解决很多实际问题。
在定积分的计算中，有一些特殊的方法，可以帮助我们更快更准确地得出答案。
本文将介绍几种常见的特殊计算方法。
方法一：分部积分法分部积分法是指，将被积函数分解成两个函数的乘积后，利用积分换元公式，逐步求解出定积分的值。
具体步骤如下：1. 将被积函数分解成 $u(x) v'(x)$ 的形式，其中 $u(x)$ 和$v(x)$ 是两个函数。
2. 计算 $u'(x)$ 和 $v(x)$ 的值。
3. 将 $u(x)$ 和 $v'(x)$ 分别代入积分公式，得到 $\int u(x)v'(x)dx=u(x) v(x)-\int v(x) u'(x)dx$。
4. 逐步求解出定积分的值。
例如，对于定积分 $\int x\sin x dx$，我们可以令 $u(x)=x$，$v'(x)=\sin x$，则 $u'(x)=1$，$v(x)=-\cos x$。
代入公式得：$\begin{aligned} \int x\sin x dx & =x(-\cos x)-\int (-\cos x)dx \\ &=x(-\cos x)+\sin x+C \end{aligned}$方法二：换元积分法换元积分法是指，将被积函数中的变量用一个新的变量替换掉，从而让积分变得更容易计算。
具体步骤如下：1. 选取一个新变量 $t$，并找到一个式子 $x=f(t)$，使得被积函数中的 $x$ 可以表示成 $t$ 的函数。
2. 计算出 $\frac{dx}{dt}$ 的值。
3. 将被积函数中的 $x$ 替换为 $t$，并将 $\frac{dx}{dt}$ 代入积分公式，得到 $\int f(t) g(f(t))\frac{dx}{dt}dt=\int g(u)du$。
4. 逐步求解出定积分的值。
几种特殊类型函数地积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221． 最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2． 例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1． 解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ． 令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ． 解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x ⎰+2cos 311． 解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分 这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6） （6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11． 解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。
定积分的几种特殊计算方法
定积分的几种特殊计算方法定积分在数学中广泛应用，它描述了曲线下面的面积或者一个区域内部的体积。
虽然定积分的定义是相对简单的，但是实际进行计算可能会比较困难。
本文将介绍一些定积分的特殊计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。
一、换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法。
这种方法的核心思想是将被积函数中的变量用一个新的变量替代，然后再进行积分。
通常使用的换元法需要满足两个条件：第一，被积函数中的变量只有一个；第二，新的变量应至少是可导的。
例如，考虑计算$ \int_{0}^{1} e^{x^{2}}xdx $。
我们可以通过令$u=x^2$，然后进行变量替换，得到$ \int_{0}^{1}\frac{1}{2}e^{u}du$。
这样，我们就将问题转化为了计算指数函数的积分，可以使用基本的积分求解。
二、分部积分法分部积分法是一种计算定积分的另一种重要方法。
与换元法不同的是，分部积分法的核心思想是将被积函数分解成两个乘积，并且其中一个因子可以被积分导出。
然后，我们就可以利用分部积分公式进行求解。
例如，考虑计算$ \int_{0}^{1} x^{2}\sin xdx $。
我们可以将被积函数分解为$x^{2}$和$\sin x$的乘积。
根据分部积分公式，我们有：$ \int_{0}^{1} x^{2}\sin xdx = -x^{2}\cos x\Big|_{0}^{1} + 2\int_{0}^{1} x\cos xdx$这里，我们使用了分部积分公式的第一项，也就是$\int u dv = uv - \int v du$。
然后，我们将同样的方法应用于右侧的积分项，得到：$ \int_{0}^{1} x^{2}\sin xdx = -x^{2}\cos x\Big|_{0}^{1} + 2(-x\sin x + \cos x)\Big|_{0}^{1}$最终，我们得到了该定积分的值为$ \frac{4}{e}-1 $三、极坐标法在某些函数的图形具有旋转对称性质时，我们可以使用极坐标法来计算定积分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
1
x sin ( 1nx ) dx = 0 = 因此
1 0
t
1 2 1 + ( 1 + t) 1 x - x ) dx x 1nx 1 b 2 d t = arctan ( 1 + t) ∣ a 1 + ( 1 + t)
b a
+∃
- 2a =
2
0
b 2 2 2 dt (a - b ) (a t + b )
容易地求出来。 给出求解不定积分和定积分问题的四种特殊方法 法、 积分符号下的积分法。 关键词 : 待定系数法; 分项积分法; 参数积分法 ; 积分符号下的积分法 中图分类号 : O 175 . 1 文献标识码: A
文章编号: 1671- 6558 ( 2009) 04- 86- 03
On Som e Special Integration M ethods
2asin x 2 2 dx a sin x + b cos x
2 2 2
0
2a( 1 - cos x ) d tanx 2 2 2 a tan x + b 87
北 京工 业 职业 技 术学 院 学报
第 8卷 1 ( t + 1) 2% 2 ( 1 + t) 1 + ( 1 + t)
2
2a tan x = 0 2 2 2 2 d tanx ( 1 + tan x ) ( a tan x + b ) 2 +∃ 2at 令 t = tanx 0 2 2 2 2 dt (1+ t ) (a t + b ) +∃ 1 = 2a 0 2 2 2 dt (a - b ) (1+ t )
0 前言 含有三角函数的积分问题比较复杂, 下面给出 几种特殊的积分方法, 对几类特殊的积分问题变得 简单, 容易理解和掌握。 1 待定系数积分法 当被积函数的分子、 分母含有 sinx, co sx 的一次 式时, 可以用待定系数法。 a1 sinx + b1 cosx dx = A x + B 1n asinx + bcosx ∣ asinx + bcosx ∣ + C, 其中 A, B 是待定常数, x ! 例 1 证明
第 8 卷 第 4期 2009年 10月
北京工业职业技术学院学报
JOURNAL OF BE IJING POLYTECH N IC COLLEGE
∀ 4 V o. l8 O ct . 2009
几种积分的特殊求解方法
吴翠兰
( 北京工业职业技术学院, 北京 100042) 摘 要 : 求解积分问题时比较麻烦, 甚至无从下手。 只要抓住积分问题的不同的特点, 找出规律就可以比较 待定系数法 、 分项积分法 、 参数积分
2 2
0
1n ( a sin x + b cos x )dx
2 2 2 2
2
2
2
2
解 设 F (a) =
2
0
1n ( a sin x + b cos x )dx, 则
2
F '= =
2
0
对最后一个积分 , 作万能代换 t = tan 1) < x < ( 2n + 1 ) ( n = # 1 , 2 , 3 ,... )
收稿日期 : 2009 - 09- 26
k - arctan
b 。 a
证令 a1 sinx + b1 cosx = A ( asinx + bcosx ) + B ( acosx - bsinx ) ( 1) 比较两端同类项系数 , 得 方程组得 A = a1 a + b 1 b ab 1 - ba1 2 2 2 2 , B = 2 2 ( a + b ! 0) a + b a + b a1 = A a - B b , 解此 b1 = A b + B a
2 2
2
sin ( 1n
b
=
a b 2 2 2 = a+ b a - b a - b
2
a
所以
0
1n ( a sin x + b cos x )dx =
2
2
2
2
1n∣ a + b ∣
= arctan ( 1 + b ) - arctan ( 1 + a ) 5 结束语 通过以上举例看出 , 正确分析所给题目的条件, 结合本文给出的几种特殊积分法 , 使得求解不定积 分和定积分问题更方便。
2
当一个积分可以找出一个或几个与原积分结构 相似时, 可以用分项积分法。 a1 sinx + b1 cosx 2 dx ( asinx + bcosx ) sinx 解 令 I1 = 2 dx, I 2 ( asinx + bcosx ) co sx = 2dx ( a sinx + b co sx ) 1 1 则 a I 1 + bI 2 = dx = 1n 2 2 asinx + bcosx a + b x ∣ tan ( + )∣ + C ( 1) 2 2 a b ( 其中 co s = , sin = ) 2 2 2 2 a + b a + b d ( asinx + bcosx ) aI2 - bI 1 = 2 ( asinax + bco sx ) 例 5 求不定积分 1 + C asinx + bco sx 由 ( 1) 和 ( 2 ) 得 = I1 =
W u Cuilan
( Be ijing Po ly technic Co llege , Be ijing 100042 , China) Abstract : It can be easy to so lv e the prob le m o f integ ration as long as w e f ind the characterist ics and ru les o f in te gration. Th is paper g ives four specia lm ethods to so lv e th e problem of indefinite in tegration and defin ite integ ration , such as: m ethod of undeter m ined- coe ff ic ien; t integ ration m ethod by subentry ; in tegration m ethod by param eter ; in tegrat io n m ethod by sig n of integra tio n . K ey w ord s : m ethod of undeter m ined- coefficien; t in teg ration m ethod by subentry ; integratio n m ethod by para me ter ; in tegration m ethod by sign o f in tegrat ion
解 ==1 0
sin( 1n 1 ) x - x dx x 1nx
1 0 b a b
sin( 1nx ) [
1
a
x d t ] dx
t
[
0
x sin( 1nx )dx ] d t
1
t
由分部积分法 x sin ( 1nx )dx =
t
1 t+ 1 1 x cos( 1nx ) dx 1+ t0 x
1 1 t+ 1 =co s( 1nx ) dx 2 ( 1 + t) 0 1 1 1 t = x sin( 1nx ) dx, 移项得 , 2 2 ( 1 + t) ( 1 + t) 0
( 责任编辑 : 段兆英 )
88
4 积分符号下的积分法 例 7
1 0
计算下列定积分 b a 1 x - x sin( 1n ) dx x 1nx
1 b a 0
( a > 0, b > 0 )
参考文献 [ 1] 孙续元 . 高等数学解 题构思与技 巧 [ M ]. 北 京 : 北 京广播 学院出版社 , 1995. [ 2] B. N 斯米尔诺夫 . 高等数学教 程第一 卷 [ M ]. 孙念 增译 . 北京 : 人民教育出版 社 , 1979 . [ 3] 吉林师范大学数学系 . 数学分析 讲义 [M ] . 北京 : 人民教 育出版社 , 1978. [ 4] 刘书田 . 高等数学 [M ]. 北京 : 北京大学出版社 , 2004 . [ 5] 清华大学数学教研组 . 高等数学 [ M ]. 北京 : 人民 教育出 版社 , 1978.
最后 , 将 ( 1) 代到原积分中 , 得
作者简介 : 吴翠兰 ( 1956- ) , 女 , 吉林九台人 , 副教授 , 主要从事应用数学教学及研究工作。
第 4期
吴翠兰: 几种积分的特殊求解方法
a1 sinx + b1 cosx dx = A asinx + bcosx dx + B asinx + bcosx asinx + bcosx acosx - b sinx dx = A dx + B acosx - bsinx dx = A x + asinx + bcosx asinx + bcosx B 1n ∣ asinx + bcosx ∣ + C (C 是积分常数 ) 例 2 求积分 sinx - cosx dx sinx + 2co sx