第四章 向量代数与空间解析几何

解 根据向量积的定义，三角形ABC的面积为
1
SABC
| 2
AB |
AC
sinA
B
1 | AB AC | 2
A
C
由于AB (2,2,2), AC (1,2,4), 因此
i jk
AB AC 2 2 2 4i 6 j 2k,
124
于是 SABC
1 2
4i 6 j 2k
1 2
)a b)
a
a
a
b
例1 在平行四 边形ABCD中，设 AB a
AD b .
试用 a 和 b 表示向量 MA 、MB 、MC 和 M, D ,
这里M是平行四边形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线 D
C
互相a平b分,
所以
AC
2
AM
,
即
(ar
r b
)
2
AM
,
b
M
于是
1 A
MA (a b).
向自量由的向模量：的向相量等的：长大度小.相|等AB且|指，向|a相| 同.
单位向量：模为1的向量. 零向量：模等于零的向量，其方向任意.
向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反.
k个向量共面： k( 3)个有公共起点的向量的k个终点和起点
在一个平面上.
二、向量的线性运算
加1. 向法量 ：a的加b减法 c
第四章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程
第一节 向量及其线性运算
一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角
a
b
(a
x
i
a
y
j
azk )
(bxi
by
j
bz
k)
i i j j k k 0,
i j k, j k i , k i j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
Ⅷ
z
zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
向量
r
的坐标分解式：r
OM
xi
yj
zk
向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如r .
空间的点 有序数组 ( x, y, z)
特殊点的表示:坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
a
B
因为 MC
2 MA,
所以 MC
1
(a
b).
又因
a
b
BD
2MD,
2
所以
MD
1
(b
a).
由于MB
MD,所以
MB
1
(a
b).
2
2
设 的乘ea积表的示规与定非，零向量 a同方向的单位向量，按照向量与数
a
a | a | ea
| a| ea .
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向 量同方向的单位向量.
复习要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标 表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在 坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量 积与向量积的计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的条件。
一、向量概念
向符量号：表有示向：A线B段，.a，b，c，等.
向量的大小：长度的值.
向量的方向：箭头方向. 自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关.
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
由上式可推出
a//
b
ax
ay
az
bx by bz
bx 、by 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
例如， ax a y az 0 0 bz
ax 0, ay 0
补充：
|
a
b |表示以
a和
b
为邻边
解 作向量MA及MB，AMB 就是向量MA与MB的夹角.
这里， MA=(1,1,0)， MB=(1,0,1),从而
MA MB 11 1 0 01 1;
MA 12 12 02 2;
MB 12 02 12 2.
代入两向量夹角余弦的表达式，得
cosAMB MA MB MA MB
(ax bx , a y by , az bz )
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k;
(ax bx , a y by , az bz )
a
(ax
)i
(a y
)j
(az )k.（
为实数）
(ax , ay , az )
推论：a//
一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线 向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量 垂直.
|
a||
b|
cos
数量积也称为“点积”、“内积”.
b
a
关于数量积的说明：
(1) a a | a|2 .
证 0, a a | a|| a| cos | a|2 .
(2)
a
b
0
a b,
(a
0,
b
0).
证
()
a
b
0,
| a| 0,
| b | 0,
cos 0, , ab.
2
() ab, , cos 0,
通常取x轴、y轴水平放置； z轴竖直放
置，它们的正向符合右手法则.
X
Oxyz坐标系可记作[O；i ，j ，k]坐标系
坐标面：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOy面、 yOz面、xOz面.
卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
42 (6)2 22
14.
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
复习要求
（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。 会判定两平面的垂直、平行。
（2）会求点到平面的距离。 （3）了解直线的一般式方程，会求直线的 标准式方程、参数式方程。会判定两直线平 行、垂直。 （4）会判定直线与平面间的关系（垂直、 平行、直线在平面上）。
(a
0, b 0).
两向量夹角余弦的坐标表示式：
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
例 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB.
b
c
a
b
c
a
(b)
a
b
2. 向量与数的乘法
向量 a 与实数 的乘积记作a
(1) (2) (3)
000,,,aaa与 与aa0同反向向，，|| aa|||
|
|
a
|
|
a|
a
2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：(
(a
b
ax
ay
az
bx by bz
五、向量的模、方向角
1. 向量的模与两点的距离公式
r OM (x, y, z) 向量的模：| r|| OM | x2 y2 z2
设有点 A( x1, y1 , z1 )，B( x2 , y2 , z2 ) 则其距离为 | AB | AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
C( x,o, z)
r
o
x P( x,0,0)
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ),
则 a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k;
由此得 AMB .
3
1 1. 2 2 2
二、两向量的向量积
实例 设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F 作用于这
杠杆上 P 点处．力 F 与 OP 的夹角为 ，力 F 对支
点 O 的力矩是一向量 M ，它的模
F
| M || OQ || F |
| OP || F | sin
O
M 的方向垂直于OP 与F 所决定的
| a| 0,
| b | 0,
sin 0,
0,
a//
b
()
|aa/b/ b||
a||
b|
0或
sin
sin 0.
0
向量积符合下列运算规律：
（1）
a
b
b
a.
（2）分配律：(a
b)
c
a
c
b
c.
（3）若
为数：(a)
b
a
(b )
(a
b ).
设
a
a
x
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
r 的方向角：、 、
方向余弦:
cos
x r
,
0
,
cos
y r
,
0 ,
cos
z
.
0 .
r
P
方向余弦的特征: x
z R
O
M Qy
cos2 cos2 cos2 1
单位向量er的方向余弦为: e r
|
rr |
(cos ,
cos
,
cos
).
例 已知两点 M1(2,2, 2 )和 M2 (1,3,0，) 计算向量 M1M2
一、两向量的数量积
实例
一以物s表体示在位常移力，F则作力用F下所沿作直的线功从为点
W
|
F ||
s| cos
M1移动到点
F
s
M2，
M2
(其中 为F与 s的夹角).
M1
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义
向量a与b的数量积为a
b
a
b
|
a||
b|
cos
(
(a, b )).
a
b
的模、方向余弦和方向角.
解 M1M2 (1 2,3 2,0 2 ) (1,1, 2 );
M1M2 (1)2 12 ( 2)2 2;
cos 1 ,cos 1 ,cos
2 ;
2
2
2
2 , , 3 .
3
3
4
第二节 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
例 求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3) 三点为顶点的
三角形是一个等腰三角形.
解 因为 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, 同理可得 M2 M3 2 M3 M1 2 6, 所以, M2M3 M3M1 , 即 M1M 2 M 3为等腰三角形.
P
L
Q
平面, 指向符合右手系.
定义
向量a与b的向量积为
c
a
b
|
c||
a||
b|
sin
(其中
为
a与
b 的夹角)
c的方向既垂直于
a，又垂直于
b ，指向符合右手
系.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
证
()
a
b
0,
b k)
bx
i
by
j
bz
k
(bxi by j bzk )
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1.
a
b
a x bx
a yby
azbz
a
b
|
a||
b|
cos
cos | aa||bb|,
2. 方向角与方向余弦
两设向a量r的0,夹b角 的r0概, 念：
向量a 与向量b 的夹角
(a,
b)
(b,
a)
(0 )
B
b
a
A
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹
角可在0与 之间任意取值.
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角
设非零向量 r =(x,y,z)
a
b
|
a||
2
b | cos
0.
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：a
b
b
a;
（2）分配律：(a
b)
c
a
c
b
c;
（3）若
为数：(a)
b
a
(b )
(a
b ),
若
、为数：(a)
(
b )
(a
b ).
数量积的坐标表达式
设
aabax(iax
ay j i ay
az k , j az
的平行四边形的面积.
a
c
a
b
b
例
设
a
(2,1,1)
，b
(1,1,2)，计算
a
b
.
解
i j k i j k a b ax ay az 2 1 1
bx by bz 1 1 2
i 5 j 3k.
例 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)
和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积.
两个向量的平行关系
定要理条件设是向：量存a在唯0一，的那实么数，向量，使b 平b行于aa的充. 分必
三、空间直角坐标系
Z
坐标轴：取空间一个定点O,作三条互 相垂直的数轴，它们都以O为原点且一
般具有相同的长度单位，这三条轴分别
叫作x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴
O
Y
（竖轴);点O叫作坐标原点（或原点）.
(1) 三角形法则
a
b
a b
(2) 平行四边形法则
（（向12）量）交的结换加合律法律：符：aa合下bb列运cb算规(aa律. ：b)
bபைடு நூலகம்c
aa
b
a
(b
c).
多个向量相加，可以按照三角形法则.
负向量：大小相等但方向相反的向量.
a a
减法：a
b
a
(b)
a
b
b
a
a
b
特例：a
(a)
0.
b