平面解析几何双曲线

x2 y2 故所求方程为 8 － 8 ＝1.
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解析
答案
题组三 易错自纠
x y 4.(2016· 全国Ⅰ)已知方程 2 － 2 ＝1 表示双曲线，且该双曲线两 m ＋n 3m －n 焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 A.(－1,3) √ B.(－1， 3) C.(0,3) D.(0， 3)
知识梳理 1.双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值 双曲线的焦距 . 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2| 时，P点不存在. 等于常数(小于|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做
2 2
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x2 y2 ∵方程 2 － 2 ＝1 表示双曲线， m ＋n 3m －n
∴(m2＋n)· (3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，
由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，
∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，
∴－1<n<3，故选A.
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5 ∴25a ＝9c ，∴e＝3.故选 D.
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答案
1 6.已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝± x，则该双曲线的标准 2 x2 2 方程为_____________. 4 －y ＝1 1 解析 由双曲线的渐近线方程为 y＝± x ， 2 x2 2 可设该双曲线的标准方程为 4 －y ＝λ(λ≠0)，
x2 y2 (2)方程m－ n ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) x2 y2 x2 y2 (3)双曲线方程m2－n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是m2－n2＝0，
x y 即m± n＝0.( √ )
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(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) x2 y2 x2 y2 (5)若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)与b2－a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 1 1 e1，e2，则e2＋e2＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 1 2
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答案
x2 y2 5.若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双 曲线的离心率为 7 A. 3
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5 D.3 3b b 由条件知 y＝－ax 过点(3，－4)，∴ a ＝4，
5 B.4
4 C.3
√
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
几何画板展示
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答案
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程： 5 (1)虚轴长为12，离心率为 ； 4 解 设双曲线的标准方程为
x2 y2 y2 x2 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0). a b a b c 5 由题意知，2b＝12，e＝a＝4，
【知识拓展】
巧设双曲线方程
x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为a2－b2＝ t(t≠0). x2 y2 (2)过已知两个点的双曲线方程可设为m＋ n ＝1(mn<0).
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是 双曲线.( × )
2.双曲线的标准方程和几何性质
2 y x 2 － 2 ＝1 b a
2
标准方程
y2－ x2 ＝1 2 2 a b
(a>0，b>0)
(a>0，b>0)
图形
范围 对称性 顶点坐标 性 渐近线 离心率
x≥a或x≤－a，y∈R ______________________ 对称轴： 坐标轴 A1(－a,0)，A2(a,0) b y＝± x a _____________
2 c ∴e2＝a2＝5，∴e＝ 5.
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答案
3.[P54A组T6]经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 x2 y2 方程为__________. 8 － 8 ＝1
解析 x2 y2 设双曲线的方程为a2－a2＝± 1(a>0)，
把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，
x∈R，y≤－a或y≥a ___________________
_______________
对称中心： 原点
A1(0，－a)，A2(0，a) a y＝± x b ________
___________________________
质
c e＝ a ，e∈ (1，＋∞) ，其中c＝
a2＋b2
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ，线段 实虚轴 a，b，c的关系 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ；a叫做双曲 线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
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题组二 教材改编
x2 y2 2.[P53T1] 若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实 轴长，则该双曲线的离心率为 A. 5 √ B.5 C. 2 D.2
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长， x y 双曲线的渐近线方程为a± ay＝0， b＝0，即 bx± bc 2 2 2 2 2 ∴2a＝ 2 ＝ b . 又 a ＋ b ＝ c ， ∴ 5 a ＝ c . 2 a ＋b
4 2 已知该双曲线过点(4， 3)，所以 4 －( 3) ＝λ，即 λ＝1，
x2 2 故所求双曲线的标准方程为 4 －y ＝1.
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答案
题型分类
深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程
多维探究
命题点1 利用定义求轨迹方程
典例 已知圆C1： (x＋3)2 ＋ y2＝1 和圆C2 ：(x－3)2＋ y2 ＝9，动圆 M同时与 2 y x2－ 8 ＝1(x≤－1) 圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.