正余弦定理教学课件PPT
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正弦定理余弦定理教学课件
∴ A 为锐角
A 30
5.9 正弦定理、余弦定理
例题讲解
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
2 h2
)
4
三角形面积公式
sin A B 6 2
5.9 正弦定理、余弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a2 b2 c2 a tan A A B 90
b
A
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？ Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sinC
即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？
sin B sinC
b c sin B 10 sin105 19
sinC
sin 30
5.9 正弦定理、余弦定理
例题讲解
例2 在 AB中C ，已知 a 4,b 4 2, B 45， 求 。A
解：由 a b sin A sin B
得 sin A a sin B 1 b2
∵ 在 ABC 中 a b
C
j AC cos90 j CB cos(90 C) j AB cos(90 A)
a sinC csin A
即 ac sin A sinC
同理，过C作单位向量j
垂直于CB
，可得
b sin
B
c sinC
5.9 正弦定理、余弦定理
a b c sin A sin B sinC
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
【全文】正弦定理和余弦定理课件PPT
1， 2
答案：120°
4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，则S△ABC=
.
【解析】因为a2+b2=c2，所以△ABC是以C为直角的直角三角
形，又因为A=30°，a=1，所以c=2，b=
所以S△ABC=
答案：
1 ab 3 . 22
3
2
c2 a2 3，
一、余弦定理及其证明
探究点2 正弦定理的基本作用
（1）已知三角形的任意两角与一边，求其他的边， 如 a bsin A. sin B
（2）已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A= a sin B.
b
（3）运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决边角之间的转换 关系.
=
3 5
,
所以sinA < sinB,由正弦定理 a = b 可知 sinA sinB
a < b,所以A < B,所以A只能为锐角，所以cosA = 4 . 5
所以sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnC = sin(A + B)= 63 . 65
1.正弦定理 a b c sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一.
探究1：如图，设
那么向量c的平方是
AB c，AC b，BC a，
什么？表示为对应的边可以得到什么式子？
提示：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b =a2+b2-2abcosC，所以c2=a2+b2-2abcosC.
探究2：利用探究1的结论思考下面的问题： (1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cosC.
6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
第六章6.4.3余弦定理、正弦定理PPT课件(人教版)
训练题
1.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶ 3 ∶2，
则其所对角之比是（ A ） A.1∶2∶3 B.1∶ 3 ∶2 C.1∶ 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 ∶2
2. ［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
训练题
1. 2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且cos A＝ 3 ，cos B＝ 5 ，b＝3，则c＝
5
13
14 5
.
2. ［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝ ，a2+b2-c2＝ab， 4
c＝3，则C＝
3 ，a＝
6.
3.已知两边及一边的对角解三角形 例5在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，求A，C，c.
【解】 ∵ A＝45°，C＝30°，∴ B＝180°-（A+C）＝105°.
由 a ＝ c 得a＝ csinA ＝10 sin45 ＝10 2 .
sinA sinC
sinC
sin30
由 b ＝ c 得b＝ csinB ＝10 sin105 ＝20sin 75°.
sinB sinC
sinC
sin30
∵ sin 75°＝sin （30°+45°）＝sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°＝
【解】 由正弦定理及已知条件，有 3 ＝ 2 ，得sin A＝ 3 .
sinA sin45
2
∵ a>b，∴ A>B＝45°.∴ A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，
《正弦定理余弦定理》课件
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REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
1。1.正弦定理和余弦定理ppt
2
30
A
B
2 3
a 6a 8 0
a 2, 或a 4
1 1 1 S ABC ac sin B 2 2 3 3 2 2 2 1 1 1 或S ABC ac sin B 4 2 3 2 3 2 2 2
小结
问题一：三角形中的边角运算 问题二：三角形的形状判断
例1.在 ABC中，a=5,b=6,c=8, ABC的形状是（ ）
52 6 2 8 2 1 0 25 6 20 2.如何判断最大的那个角是什么呢？
C是钝角。
例2。在 ABC中，a cosB b cos A, 判断三角形的形状。
解：由正弦定理得a 2R sinA, b 2R sin B,
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
a b c 2R sin A sin B sin C
问题三：三角形的面积求解
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
边角互化
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
作业
1.在三角形ABC中，a 2 c 2 b 2 ab, 求角C。
解：S ABC 1 边 边 sin 夹角 2
A
5
60
B
1 = 5 7sin 60 2
1 3 35 3 35 2 2 4
7
C
练一练
课本第10页 B组 2题
(1)在 ABC中，a cos A b cos B, 判断三角形的形状。
把边化成角
用正弦定理
a 2R sin A, b 2R sin B
(2)在 ABC中，B 30，AB 2 3，AC=2，求 ABC的面积。 1 （1）根据面积公式S ABC 边边sin 夹角，还需要求什么？ 思考 2 C
《正余弦定理的应用》课件
《正余弦定理的应用》 ppt课件
目录
Contents
• 正余弦定理的基本概念 • 正余弦定理的应用场景 • 正余弦定理的实际应用案例 • 正余弦定理的扩展应用 • 总结与展望
01 正余弦定理的基本概念
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形边长和对应角正弦值之间 的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于其他两 边的比，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表三角形的三 边，A、B、C分别代表与三边对应的角，R代表三角形的外接圆半径。
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是三角形中另一个重要的定 理，它描述了三角形边长的平方和与 对应角的余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理是指在一个三角形中，任意 一边的平方和等于其他两边平方和减 去2倍的这两边与它们夹角的余弦的乘 积，即 a² = b² + c² - 2bc cosA。
正余弦定理的相互关系
总结词
正弦定理和余弦定理是相互关联的，它们可以互相推导。
详细描述
根据正弦定理，我们可以推导出余弦定理。例如，在△ABC中，由正弦定理可知 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R ，则 a² = (2RsinA)² = 4R²sin²A，同理 b² = 4R²sin²B，c² = 4R²sin²C。将这三个等式代入余弦定理的公式中， 即可得到余弦定理的证明。反之亦然，也可以由余弦定理推导出正弦定理。
02 正余弦定理的应用场景
三角形的边角关系问题
总结词
解决三角形边角关系问题时，正余弦定理可以提供重要的数 学工具。
目录
Contents
• 正余弦定理的基本概念 • 正余弦定理的应用场景 • 正余弦定理的实际应用案例 • 正余弦定理的扩展应用 • 总结与展望
01 正余弦定理的基本概念
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形边长和对应角正弦值之间 的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于其他两 边的比，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表三角形的三 边，A、B、C分别代表与三边对应的角，R代表三角形的外接圆半径。
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是三角形中另一个重要的定 理，它描述了三角形边长的平方和与 对应角的余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理是指在一个三角形中，任意 一边的平方和等于其他两边平方和减 去2倍的这两边与它们夹角的余弦的乘 积，即 a² = b² + c² - 2bc cosA。
正余弦定理的相互关系
总结词
正弦定理和余弦定理是相互关联的，它们可以互相推导。
详细描述
根据正弦定理，我们可以推导出余弦定理。例如，在△ABC中，由正弦定理可知 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R ，则 a² = (2RsinA)² = 4R²sin²A，同理 b² = 4R²sin²B，c² = 4R²sin²C。将这三个等式代入余弦定理的公式中， 即可得到余弦定理的证明。反之亦然，也可以由余弦定理推导出正弦定理。
02 正余弦定理的应用场景
三角形的边角关系问题
总结词
解决三角形边角关系问题时，正余弦定理可以提供重要的数 学工具。
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答案：56π
三基能力强化
5．在△ ABC 中，如果 A＝60°，c＝ 2， a＝ 6，则△ ABC 的形状是________．
答案：直角三角形
课堂互动讲练
考点一 正弦定理的应用
已知两角和一边，该三角形是确 定的，其解是唯一的；已知两边和一 边的对角，该三角形具有不唯一性， 通常根据正弦定理和大边对大角定理 进行判断．
基础知识梳理
1．正弦定理
(1)基
本形
式
：a sinA
＝b sinB
＝c sinC
＝
2R(2R 是△ ABC 外接圆的直径)．
(2)变形式： ①a＝ 2RsinA，b＝ 2RsinB，c＝ 2RsinC. ②S△ ABC＝ 12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
基础知识梳理
1.正弦定理的适用条件是什么？ 【思考·提示】 (1)已知一边和 两角解三角形； (2)已知两边和一边的对角解三角 形； (3)已知两边与夹角求面积．
课堂互动讲练
例1 已知下列各三角形中的两 边及其一边的对角解三角形， 先判断三角形是否有解？有解 的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
课堂互动讲练
【思路点拨】 已知三角形的两 边及其中一边的对角，可利用正弦定 理解三角形，但要注意解的判断．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：由余弦定理知
cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2，
将上式代入ccoossBC＝－2ab＋c，
得a2＋c2－ 2ac
b2 2ab ·a2＋b2－
c2＝－2ab＋
， c
整理得 a2＋c2－b2＝－ac.
∴cosB＝
a2＋c2－ 2ac
b2＝－2aacc＝－12.
三基能力强化
1．(2009 年高考福建卷改编)已知钝 角△ ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3， 则角 C 的大小为( )
A．60° C．135° 答案：B
B．120° D．150°
三基能力强化
2．在△ ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b ＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或135° C．45° 答案：C
课堂互动讲练
当 B＝120°时，C＝30°，c＝assininAC＝ 2 s3ins3in03°0°＝2 3.
∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝ 120°，C＝30°，c＝2 3.
【易误点评】 在(2)中容易漏掉 B＝120°的情形，对于已知两边和其 中一边的对角，解三角形问题，容易 出错，一定要注意是一解、二解还是 无解．
基础知识梳理
2．余弦定理
(1)基本形式：a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC.
(2)变形式：
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
cosA＝ 2bc ，cosB＝ 2ac ，
a2＋b2－c2
cosC＝ 2ab .
基础知识梳理
2.余弦定理的适用条件是什么？ 【思考·提示】 (1)已知两边与 夹角求第三边； (2)已知三边解三角形； (3)已知两边及一对角求第三边 (利用方程思想)．
课堂互动讲练
互动探究 若例 1 的要求不变，条件为(1)a＝7，
b＝8，A＝105°； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
课堂互动讲练
解：(1)a＝7，b＝8，a<b，∴B>A＝105°>90°.
∴本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，
∴B<C＝60°<90°.∴本题有一解．
∵sinB＝bsicnC＝10·5sin660°＝ 22，
课堂互动讲练
例2 在△ ABC 中，a、b、c 分别是
角
A、B、C
的对边，且cosB＝－ cosC
b 2a＋c.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求
△ ABC 的面积．
课堂互动讲练
【 思 路 点 拨 】 由 cosB ＝ － cosC
2ab＋c，利用余弦定理转化为边的关 系求解．
课堂互动讲练
【解】 (1)a＝10，b＝20，a<b， A＝80°<90° 讨论如下： ∵bsinA ＝ 20·sin80°>20·sin60° ＝10 3， ∴a<b·sinA， ∴本题无解．
课堂互动讲练
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90° 又∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA， ∴本题有两解． 由正弦定理得 sinB＝bsianA＝6s2in330° ＝ 23， B＝60°或 120°. 当 B＝60°时，C＝90°， c＝assininAC＝ 2 s3ins3in09°0°＝4 3；
∴B＝45°，A＝1i·sni4n57°5°＝10×
6＋ 4
2
2 ＝5(
3＋1)．
2
课堂互动讲练
考点二 余弦定理的应用
已知三边”解三角形主要运用余 弦定理的推论．“已知两边和它们的 夹角”解三角形可使用余弦定理求第 三边，然后利用推论求出另一个角， 最后利用A＋B＋C＝π求出第三个 角．
课堂互动讲练
【名师点评】 本题(1)中法一是 利用余弦定理把角转化为边，把边转 化为角．法二是利用正弦定理．
课堂互动讲练
B．135° D．75°
三基能力强化
3．在△ABC中，若A＝120°，AB ＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
A.3 4 3 C.154 3
答案：C
B.152 3 D.158 3
三基能力强化
4．在△ ABC 中，角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c，若 a＝1，b＝ 7， c＝ 3，则 B＝______.
∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
课堂互动讲练
法二：ccoossBC＝－2sinsAin＋BsinC ∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0 ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∴cosB＝－12，∴B＝23π.
课堂互动讲练
(2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝23π， 代入 b2＝a2＋c2－2accosB，得 b2＝(a ＋c)2－2ac－2accosB， ∴13＝16－2ac(1－12)，∴ac＝3， ∴S△ABC＝12acsinB＝34 3
三基能力强化
5．在△ ABC 中，如果 A＝60°，c＝ 2， a＝ 6，则△ ABC 的形状是________．
答案：直角三角形
课堂互动讲练
考点一 正弦定理的应用
已知两角和一边，该三角形是确 定的，其解是唯一的；已知两边和一 边的对角，该三角形具有不唯一性， 通常根据正弦定理和大边对大角定理 进行判断．
基础知识梳理
1．正弦定理
(1)基
本形
式
：a sinA
＝b sinB
＝c sinC
＝
2R(2R 是△ ABC 外接圆的直径)．
(2)变形式： ①a＝ 2RsinA，b＝ 2RsinB，c＝ 2RsinC. ②S△ ABC＝ 12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
基础知识梳理
1.正弦定理的适用条件是什么？ 【思考·提示】 (1)已知一边和 两角解三角形； (2)已知两边和一边的对角解三角 形； (3)已知两边与夹角求面积．
课堂互动讲练
例1 已知下列各三角形中的两 边及其一边的对角解三角形， 先判断三角形是否有解？有解 的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
课堂互动讲练
【思路点拨】 已知三角形的两 边及其中一边的对角，可利用正弦定 理解三角形，但要注意解的判断．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：由余弦定理知
cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2，
将上式代入ccoossBC＝－2ab＋c，
得a2＋c2－ 2ac
b2 2ab ·a2＋b2－
c2＝－2ab＋
， c
整理得 a2＋c2－b2＝－ac.
∴cosB＝
a2＋c2－ 2ac
b2＝－2aacc＝－12.
三基能力强化
1．(2009 年高考福建卷改编)已知钝 角△ ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3， 则角 C 的大小为( )
A．60° C．135° 答案：B
B．120° D．150°
三基能力强化
2．在△ ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b ＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或135° C．45° 答案：C
课堂互动讲练
当 B＝120°时，C＝30°，c＝assininAC＝ 2 s3ins3in03°0°＝2 3.
∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝ 120°，C＝30°，c＝2 3.
【易误点评】 在(2)中容易漏掉 B＝120°的情形，对于已知两边和其 中一边的对角，解三角形问题，容易 出错，一定要注意是一解、二解还是 无解．
基础知识梳理
2．余弦定理
(1)基本形式：a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC.
(2)变形式：
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
cosA＝ 2bc ，cosB＝ 2ac ，
a2＋b2－c2
cosC＝ 2ab .
基础知识梳理
2.余弦定理的适用条件是什么？ 【思考·提示】 (1)已知两边与 夹角求第三边； (2)已知三边解三角形； (3)已知两边及一对角求第三边 (利用方程思想)．
课堂互动讲练
互动探究 若例 1 的要求不变，条件为(1)a＝7，
b＝8，A＝105°； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
课堂互动讲练
解：(1)a＝7，b＝8，a<b，∴B>A＝105°>90°.
∴本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，
∴B<C＝60°<90°.∴本题有一解．
∵sinB＝bsicnC＝10·5sin660°＝ 22，
课堂互动讲练
例2 在△ ABC 中，a、b、c 分别是
角
A、B、C
的对边，且cosB＝－ cosC
b 2a＋c.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求
△ ABC 的面积．
课堂互动讲练
【 思 路 点 拨 】 由 cosB ＝ － cosC
2ab＋c，利用余弦定理转化为边的关 系求解．
课堂互动讲练
【解】 (1)a＝10，b＝20，a<b， A＝80°<90° 讨论如下： ∵bsinA ＝ 20·sin80°>20·sin60° ＝10 3， ∴a<b·sinA， ∴本题无解．
课堂互动讲练
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90° 又∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA， ∴本题有两解． 由正弦定理得 sinB＝bsianA＝6s2in330° ＝ 23， B＝60°或 120°. 当 B＝60°时，C＝90°， c＝assininAC＝ 2 s3ins3in09°0°＝4 3；
∴B＝45°，A＝1i·sni4n57°5°＝10×
6＋ 4
2
2 ＝5(
3＋1)．
2
课堂互动讲练
考点二 余弦定理的应用
已知三边”解三角形主要运用余 弦定理的推论．“已知两边和它们的 夹角”解三角形可使用余弦定理求第 三边，然后利用推论求出另一个角， 最后利用A＋B＋C＝π求出第三个 角．
课堂互动讲练
【名师点评】 本题(1)中法一是 利用余弦定理把角转化为边，把边转 化为角．法二是利用正弦定理．
课堂互动讲练
B．135° D．75°
三基能力强化
3．在△ABC中，若A＝120°，AB ＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
A.3 4 3 C.154 3
答案：C
B.152 3 D.158 3
三基能力强化
4．在△ ABC 中，角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c，若 a＝1，b＝ 7， c＝ 3，则 B＝______.
∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
课堂互动讲练
法二：ccoossBC＝－2sinsAin＋BsinC ∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0 ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∴cosB＝－12，∴B＝23π.
课堂互动讲练
(2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝23π， 代入 b2＝a2＋c2－2accosB，得 b2＝(a ＋c)2－2ac－2accosB， ∴13＝16－2ac(1－12)，∴ac＝3， ∴S△ABC＝12acsinB＝34 3