高一数学函数的奇偶性和单调性(教师版)
人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)
函数的奇偶性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义 1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，那么称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么称函数()y f x =具有奇偶性。
特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。
换言之，假设所给函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数一定不具备奇偶性。
2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：〔1〕考察函数的定义域是否关于原点对称。
假设不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；假设对称，那么进入第二步；〔2〕判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。
二、函数具有奇偶性的几个结论1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。
第三讲 函数的奇偶性(教师版)
第三讲函数的奇偶性1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b －a )为周期的周期函数．(3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.1．(课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是________．①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x ；④f (x )＝x 3＋1.3．(2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．5．定义在R 上的函数y ＝f (x )是奇函数，且满足f (1＋x )＝f (1－x )．当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则f (2 013)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )． A.－12 B.－14 C.14 D.127．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x －x 的图象关于( )．A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数10．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析 法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 法二 由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，得a ＝0. 答案011.（2005年北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为 A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞） C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A12.定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围________.解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜21.题型一 函数奇偶性的判断及奇偶性质的运用 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝lg 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝(x －1) 2＋x2－x；(3)f (x )＝{ x 2＋x (x >0)， x 2－x (x <0)；(4)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2.例2已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f 是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。
人教版高中数学课件：正弦函数性质(单调性与奇偶性)新人教版
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=- |sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
, k , k
4
], k Z
4
y为增函数 y为减函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
3 4 3 4
,k Z ,k Z
为减区间。 为增区间。
当
2k
x 3
4
2k
2
6k
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
数学教案：函数基础教师版
二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有34个，B 到A 的映射有43个；A 到B 的函数有81个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有6个。
函数)(x y ϕ=的图象与直线a x =交点的个数为 0 或1个。
二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法：①)()(x g x f y =，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0)]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则{()00()1()1g x f x f x ><<>或；⑤含参问题的定义域要分类讨论；⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S -r 2+10r ；定义域为（0，10）。
（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
高一数学函数的单调性与奇偶性综合人教实验版(B)知识精讲
高一数学函数的单调性与奇偶性综合人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性与奇偶性综合二. 学习目标1. 巩固函数单调性、奇偶性的概念；2. 进一步加强化归转化能力的训练，培养推理能力。
三. 知识要点1. 奇函数和偶函数的概念设函数y =f （x ）的定义域为D ，且D 关于原点对称.（1）如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数.（2） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数.定义还可以表达为：（1） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （x ）+f （－x ）=0，那么函数f （x ）就叫做奇函数.（2） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （x ）－f （－x ）=0，那么函数f （x ）就叫做偶函数.第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数()x xy -+=1lg2的奇偶性. 这种形式能从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f （x ）+f （－x ）=0的解集为D ；另一方面，若方程f （x ）+f （－x ）=0的解集D 关于原点对称，则函数y =f （x ）在D 上是奇函数. 对偶函数也可以得出类似的结论. 2. 奇函数和偶函数的图像特征（1）奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数. （2） 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，图像关于y 轴对称的函数，必是偶函数. 3. 判断函数的奇偶性 对于函数f （x ），先求其定义域D ；并判别D 是否关于原点对称，然后再验证f （－x ）=±f （x ）（或f （-x ）±f （x ）=0，或()()1±=-x f x f 等）是否成立，最后得出正确结论.4. 函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论： （1）奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性. （2） 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性.5. 单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当210x x x ∆=->时都有21()()0,y f x f x ∆=->，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
2.2.2函数的奇偶性(老师版)
创一教育学科教师辅导讲义知识梳理一、函数奇偶性的概念【问题导思】1．对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x.函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．2．对于函数f(x)＝x3，f(x)＝1x，以－x代替x，函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代替x各自的函数值互为相反数，即f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.例题精讲例1：函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (3)f (x )＝x 2＋1x2. 【思路探究】 首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f (x )与f (－x )之间的关系．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x 2＝1，∴x ＝±1， 即函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．∵f (－1)＝0＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4，x ≠0，且x ≠－6， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，关于原点对称，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， ∵f (－x )＝4－x 2－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )2＋1(－x )2＝x 2＋1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【规律方法】1．判断函数的奇偶性要遵循定义域优先的原则，如果定义域不关于原点对称，则该函数必为非奇非偶函数．2．用定义判断函数奇偶性的步骤：【变式训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x －1x；(2)f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)，－x 2＋x (x >0). 【解】 (1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－1－x＝－(x －1x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域为R .f (－x )＝|－x ＋2|＋|－x －2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x＝－(x 2＋x )＝－f (x )，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x＝－(－x 2＋x )＝－f (x )，综上所述，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2：奇偶函数的图象及应用已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【思路探究】 先证明f (x )是偶函数，依据其图象关于y 轴对称作图．【自主解答】 ∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示：【规律方法】1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y ＝|x |的图象．因为该函数为偶函数，故只需作出x ≥0时的图象，对x ≤0时的图象，关于y 轴对称即可．【变式训练】设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图2－2－5所示，则不等式f (x )<0的解集是________．图2－2－5【解析】 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．【答案】 (－2,0)∪(2,5]课堂小测1．函数y ＝f (x )在区间[2a －3，a ]上具有奇偶性，则a ＝________.【解析】 由题意知，区间[2a －3，a ]关于原点对称，∴2a －3＝－a ，∴a ＝1.【答案】 12．函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的奇偶性为________． 【解析】 ∵x ∈R ，又f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数3．(2013·抚顺高一检测)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝1，则f (－2)的值为________．【解析】 ∵当x >0时，f (x )＝1，∴f (2)＝1，又f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.【答案】 －14．(2013·常州高一检测)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图象．【解】 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x >0，0 x ＝0，－x 2－2x x <0.(2)图象如图：师生小结课后作业一、填空题1．函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是________． 【解析】 ∵f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝x －1x＝－f (x )．故f (x )为奇函数． 【答案】 奇函数2．(2013·黄山高一检测)已知函数f (x )＝a －2x为奇函数，则a ＝________. 【解析】 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，即a ＋2x ＋a －2x＝0， ∴2a ＝0，即a ＝0.【答案】 03．若函数f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，则b －a ＝________.【解析】 f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，有f (－x )＝－f (x )，即－x 3＋bx ＋a ＋2＝－x 3＋bx －a亲爱的同学们，这节课我们学了哪些内容？ 1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论． 2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”． 3．解含“f ”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式，二是f (x )的单调性已知．特别是f (x )为偶函数时，应把不等式f (x 1)<f (x 2)转化为f (|x 1|)<f (|x 2|)的形式，利用x ∈[0，＋∞)的单调性求解．－2可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝0，a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 所以b －a ＝4.【答案】 44．下列说法中正确的是________．①函数y ＝3x 2，x ∈(－2,2]是偶函数；②函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0，是奇函数； ③函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )＝x 2＋1是偶函数．【解析】 ①不正确，因为定义域不关于原点对称，故①不正确；②不正确，当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2≠x 3且x 2≠－x 3，故②不正确；③正确，∵f (－x )＝－x ＋1≠x ＋1，f (－x )＝－x ＋1≠－x －1，故f (x )＝x ＋1是非奇非偶函数，故③正确． ④正确，∵f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，故④正确．【答案】 ③④5.图2－2－6已知f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如图2－2－6所示，那么f (x )的值域是________．【解析】 ∵x ∈(0,2]时，f (x )的值域为(2,3]，由于奇函数的图象关于原点对称，故当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3，－2)，∴f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．【答案】 [－3，－2)∪(2,3]6．设函数f (x )＝ax 3＋cx ＋5，已知f (－3)＝3，则f (3)＝________.【解析】 设g (x )＝ax 3＋cx ，则g (x )为奇函数，∴g (－3)＝－g (3)．∵f (－3)＝g (－3)＋5＝3，∴g (－3)＝－2，∴g (3)＝2，∴f (3)＝g (3)＋5＝7.【答案】 77．(2013·青岛高一检测)定义在R 上的奇函数f (x )，若当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时f (x )＝________.【解析】 设x <0，则－x >0，又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2·(－x )]＝－x 2－2x .【答案】 －x 2－2x创一教育11 / 11创造奇迹，只做第一！。
高一年级数学人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案
高一年级人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案年级：高一年级版本：人教版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。
它既是函数概念的拓展和深化，是继函数单调性后的又一个重要性质，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的必备知识。
因此本节课起着承上启下的重要作用。
奇偶性的教学无论在知识上还是在能力上对学生的教育起着非常重要的作用。
【核心素质培养目标】1.结合具体函数的图像和解析式，深刻理解奇函数、偶函数的定义。
2.通过画图，分析图像了解奇函数、偶函数图象的特征，培养直观想象核心素养。
3.通过例题学习，归纳并掌握判断（证明）函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养。
【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学方法】师生共同探究，从代数的角度来严格推证。
【教学过程】一、情景引入，提出问题对称美是大自然的一种美，对称美在数学中随处可见，今天我们学习数学中的对称美。
师：复习函数的三要素和三种表示法。
生：三要素是：定义域、值域、对应关系；三种表示方法是：解析法、图象法、列表法。
师：结合的三要素和三种表示方法想一想（1）这个函数图象有什么特征？生：答定义域关于原点对称且图像关于y轴对称。
（2）当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值什么关系？生：从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
（3）你能尝试用函数解析式描述图象的对称特征吗？生：对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。
师：这时我们称f(x)=x2为偶函数，设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。
二、获取新知，生成概念（板书）偶函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
师：研究函数优先考虑定义域，把f(x)=x2定义域改成（0，+∞），仍然是偶函数吗？生：不是师：判断函数是偶函数的前提什么？生：函数的定义域关于原点对称。
函数的奇偶性-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
高一第3讲函数的单调性与奇偶性(教师版)
第3讲 函数的单调性与奇偶性（教师版）.一．学习目标1.了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间， 并能运用函数单调性解决有关问题．2.理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征；会利用函数奇偶性分析、探究函数值、性质及图象等问题． 二．重点难点1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式求变量的取值是历年高考考查的热点．2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．三．知识梳理1．定义域为I 的函数f (x )的增减性：2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果1212()()f x f x x x -->0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果1212()()f x f x x x --<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． 4. 重点掌握好七类初等函数的图象，用其判断函数单调性。
(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)图象为直线，k>0时.在(－∞，＋∞)上为增函数。
K<0时，在(－∞，＋∞)上为减函数。
（2）反比例函数y=k x图象为双曲线，k>0时在（-∞，0），（0，+∞）上为减函数，K<0时， 在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数。
（3）二次函数y=a 2x +bx+c(a ≠0)图象为抛物线，一看开口方向（由a 正负号确定），二看对称轴（即x=-2b a）,再由图象确定单调区间。
（4）耐克函数b y ax x =+（a>0,b>0），（又称为对勾函数），由图象可得其四个单调区间。
新人教版高中数学必修第一册3.2.2函数的奇偶性(课件)
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性： 设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
奇
偶
偶
【注】上表中不考虑
和
中需
，
.
奇
奇
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
偶
的情况；
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称； 把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
判断函数奇 偶性，首先 要看定义域.
【解】(3)首先判断定义域为
所以此函数是奇函数； ，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是偶函数.
“ THANKS ”
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
图像关于y轴对称
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几何特征
定义中，
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法： 【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要.
人教版高中数学必修一《函数的单调性和奇偶性》教学设计
函数的单调性与奇偶性（教学设计）《函数的单调性与奇偶性》教材分析《函数的单调性与奇偶性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性与奇偶性的定义与判断及其证明。
在初中学习函数时，借助图像的y直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
《函数的单调性与奇偶性》课标分析在初中学习函数时，借助图像的y直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
7函数的基本性质(一)(单调性、奇偶性、周期性)-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】1、函数的单调性 若函数()x f 满足则称函数()x f 在区间D 上是单调递增函数。
若函数()x f 满足则称函数()x f 在区间D 上是单调递减函数。
单调性是函数的局部性质，反映的是函数在其定义域的某个子集上所具备的变化趋势，所以在描述单调性的时候必须阐明单调区间。
2、函数奇偶性（1）函数奇偶性的定义：函数()x f 满足，则称()x f 为奇函数 函数()x f 满足，则称()x f 为偶函数 （2）判断奇偶性的基本步骤：（3）奇函数的性质、、 偶函数的性质、3、函数的周期性对于函数()x f y =，如果存在一个常数()0≠T T ，使得对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x T f x +=，那么这个函数()x f 叫做周期函数，非零常数T 叫做()x f 的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。
4、补充常用性质：①若)()(x f a x f -=+，则[])()()()2(x f x f a x f a x f =--=+-=+，即a T 2=； ②若)(1)(x f a x f =+，则)()(11)(1)2(x f x f a x f a x f ==+=+，即a T 2=； ③若)(1)(x f a x f -=+，则)()(11)(1)2(x f x f a x f a x f =--=+-=+，即a T 2=。
④若)(1)(1)2(x f x f a x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f a x f +-=+，a T 2= ⑤如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是T 2，且可以推出对称轴为kT Tx 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ）如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是T 2，且可以推出对称中心为)0,22(kT T+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈（以上0≠T ）。
3.3 函数的奇偶性-(必修第一册) (教师版)
函数的奇偶性1 函数奇偶性的概念①一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.②一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.2 性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．3 判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x) , 看下与f(x)的关系：若f(−x)=f(x)，则y=f(x)是偶函数；若f(−x)=−f(x)，则y=f(x)是奇函数.②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数F(x)=f(g(x))的奇偶性如下图【题型一】对函数奇偶性概念的理解角度1 函数奇偶性的概念【典题1】已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1 ,2a]上的偶函数，那么a+b的值是. 【解析】依题意得f(−x)=f(x)，∴b=0，又 a−1=−2a(奇偶函数的定义域关于原点对称)，∴a=13，∴a+b=13．【典题2】f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：(1)f(−x)+f(x)=0; (2)f(−x)−f(x)=−2 f(x);(3)f(x)⋅f(−x)≤0; (4)f(x)f(−x)=−1【解析】根据奇函数的定义可知f(−x)=−f(x)，则(1)，(2)正确；对于(3)，f(x)f(−x)=−f2(x)≤0 , 故正确；对于(4)，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0 , 则(4)不正确，故答案为：(4).角度2 判断函数的奇偶性情况1 具体函数的奇偶性判断【典题1】函数f(x)=√4−x2|x+3|−3的图象关于对称．【解析】要使函数有意义，则{4−x2≥0|x+3|−3≠0，即(x−2)(x+2)<0，解得−2<x<0或0<x<2，则定义域关于原点对称．此时|x+3|=x+3，则函数f(x)=√4−x2|x+3|−3=√4−x2x+3−3=√4−x2x，(化简函数形式很重要)∵f(−x)=−√4−x2=−f(x)，x∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要；情况2 抽象函数的奇偶性判断【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )A.f(x) f(−x)是奇函数B.f(x) |f(−x)|是奇函数C.f(x)− f(−x)是奇函数D.f(x) +f(−x)是奇函数【解析】方法一定义法A选项：设F(x)=f(x)f(−x)，则F(−x)=F(x)为偶函数．B选项：设G(x)=f(x)|f(−x)|，则G(−x)=f(−x)|f(x)|.∴G(x)与G(−x)关系不定．C选项：设M(x)=f(x)−f(−x),∴M(−x)=f(−x)−f(x)=−M(x)， M(x)为奇函数．D选项：设N(x)=f(x)＋f(−x) ,则N(−x)=f(−x)＋f(x)．N(x)为偶函数．故选C.方法二取特殊函数排除法令f(x)=x，可知F(x)=f(x)f(−x)=x2是偶函数，排除A，令f(x)=x2，可知F(x)=f(x)|f(−x)|=x4是偶函数，排除B，可知N(x)=f(x)＋f(−x)=2x2是偶函数，排除D.【点拨】①判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x)，看下与f(x)的关系.偶尔结合函数图像也可以.②判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”.③一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数.巩固练习1(★)下列函数中，是偶函数的是()A．y=|x2+x|B．y=2|x|C．y=x3+x D．y=lgx【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x2+x|，f(−x)=|x2−x|≠f(x)，函数f(x)不是偶函数，不符合题意；对于B，y=2|x|，f(−x)=2|−x|=2|x|=f(x)，函数f(x)是偶函数，符合题意；对于C，y=x3+x，f(−x)=−(x3+x)=−f(x)，函数f(x)是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D，y=lgx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：B．2(★)函数f(x)=9x+13x的图象关于()对称A．原点B．y=x C．x轴D．y轴【答案】D【解析】f(x)=9x+13x=9x3x+13x=3x+3−x．则f(−x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，故选：D．3(★★)若函数f(x)的定义域是R，且对任意x ,y∈R，都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．【答案】奇函数【解析】在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.再令y=－x，则f(x－x)=f(x)+f(－x)，即f(x)+f(－x)=0，∴f(－x)=－f(x)，故f(x)为奇函数．【题型二】函数奇偶性的运用角度1 已知函数奇偶性，求值问题【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥ 0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，求f(−1).【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0⇒20＋2×0＋b=0，解得b=−1，所以当x≥0时，f(x)=2x＋2x−1 ,又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−(21+2× 1−1)=−3，故选A．【点拨】若奇函数y=f(x)定义域内为I，且0∈I，则有f(0)=0.【典题2】若函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，则f(−1)=.【解析】∵函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，∴F(1)+F(−1)=0，即f(1)−2+f(−1)−2=0，则f(1)+f(−1)=4①，∵G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，∴G(1)=G(−1)，即f(1)+12=f(−1)+2，则f(1)−f(−1)=32②，由①−②解得f(−1)=4−322=54．角度2 判断函数的图像【典题1】函数f(x)=x32−x−2x的图象大致为()A．B．C．D．【解析】函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(−x)=−x32x−2−x=x32−x−2x=f(x)，(或由y=x3,y=2−x−2x均是奇函数，得f(x)=x32−x−2x是偶函数)即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又f(1)=12−1−2=−23<0，可排除A；故选：B．【点拨】选择题中判断函数的图像，可采取排除法，主要是研究函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项！其中取特殊值排除法最简单.巩固练习1(★) 若函数f(x)=2x−a 2x +1的图象关于y 轴对称，则常数a = . 【答案】 −1【解析】可知函数f(x)为偶函数，则f(−1)=f(1)，即2−1−a2−1+1=2−a 2+1，解得a =−1，将a =−1代入解析式验证，符合题意．2(★) 已知函数f(x)=x 5−ax 3+bx +2，f(−5)=17，则f(5)的值是 .【答案】−13【解析】∵g (x )=x 5−ax 3+bx 是奇函数∴g(−x)=−g (x )∵f(−5)=17=g(−5)+2 ∴g(5)=−15∴f (5)=g (5)+2=−15+2=−13.3(★★) 已知函数f(x)=g(x +1)−2x 为定义在R 上的奇函数，则g(0)+g(1)+g(2)= .【答案】 72 【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)，特别地，当x =0时，得到f(0)=0．由f(x)=g(x +1)−2x 取x =0，所以f(0)=g(1)−1，所以g(0)=1．再分别令x =−1和x =1，得f(−1)=g(0)−2−1，f(1)=g(2)−2，两式相加得f(−1)+f(1)=g(0)−2−1+g(2)−2，且f(−1)+f(1)=0，∴f(0)+g(2)=52，所以g(0)+g(1)+g(2)=1+52=72． 4(★★) 函数f(x)=(3x −1)lnx 23x +1的部分图象大致为 ( ) A ．B ．C ．D ．【答案】 B 【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合【典题1】 已知奇函数y =f(x)在(−∞ ,0)为减函数，且f(2)=0，则不等式(x−1)f(x−1)>0的解集为()A．{x|−3<x<−1}B．{x|−3<x<1或x>2}C．{x|−3<x<0或x>3}D．{x|−1<x<1或1<x<3}【解析】由题意画出f(x)的草图如下，因为(x−1)f(x−1)>0，所以(x−1)与f(x−1)同号，由图象可得−2<x−1<0或0<x−1<2，解得−1<x<1或1<x<3，故选：D．【点拨】涉及到函数奇偶性和单调性综合的题目，多利用数形结合的方法进行理解，对每个条件要等价转化，做到有根有据的，不能“想当然”.【典题2】设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为() A．(13 ,1) B．(−1 ,32)C．(−∞ ,32) D．(−∞ ,−1)∪(32 ,+∞)【解析】方法一∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，(代入原函数暴力求解)则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>3 2 .方法二根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0 ,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1 ,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0 ,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32，故选：D ．【点拨】① 若函数y =f(x)是偶函数，则函数在y 轴两侧的单调性是相反的，若函数y =f(x)是奇函数，则函数在y 轴两侧的单调性是相同的，② 若函数y =f(x)是偶函数，在[0 ,+∞)上递增，则求解f(x 2)>f(x 1)等价于解不等式|x 2|>|x 1|，不要漏了绝对值.(如下图所示).③ 遇到类似f(3x −2)>f(x −4)的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.巩固练习1(★) 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )A ．f(x)=1−x 2B ．f(x)=x −1xC ．f(x)=log 12|x|D ．f (x )=2|x | 【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x 2+2x ，为二次函数，其对称轴为x =−1，在(−∞,0)内不是增函数，不符合题意；对于B ，y =e |x|={e x ,x ≥0e −x ,x <0，为偶函数，但在(−∞,0)内不是增函数，不符合题意； 对于C ，y =2x −2−x ，有f(−x)=2−x −2x =−(2x −2−x )=−f(x)，为奇函数，不符合题意；对于D ，y =1−1g|x|={1−lgx,x >01−lg(−x),x <0，既是偶函数，又在(−∞,0)内单调递增的函数，符合题意； 故选：D ．2(★) 如果奇函数f(x)在区间[1 ,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[−5 ,−1]上是( ) A ．减函数且最大值为−6B ．增函数且最大值为6C ．减函数且最小值为−6D ．增函数且最小值为6【答案】 A【解析】当−5≤x ≤−1时1≤−x ≤5，∴f(−x)≥6，即−f(x)≥6．从而f(x)≤−6，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[−5,−1]是减函数．故选：A ．3(★★) 已知函数f(x)=x 3+2x ，则不等式f(2x)+f(x −1)>0的解集为 .【答案】(13 ,+∞)【解析】函数f(x)为奇函数，且函数f(x)为增函数，则不等式f(2x)+f(x −1)>0等价为f(2x)>−f(x −1)=f(1−x)，则2x >1−x ，得3x >1，得x >13，即不等式的解集为(13,+∞)4(★★) 已知函数f(x)=ln|x|+x 2，设a =f(−2) ,b =f(1) ,c =f(20.3)，则a,c,b 的大小关系 .【答案】a >c >b【解析】f(x)是偶函数，且x >0时递增，所以f (2)>f(20.3)>f(1)，即a >c >b .5(★★★) 已知f(x)是R 上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0 ,+∞)上单调递增的有 . ①y =|f(x)|；②y =f(x 2+x)；③y =f(|x|)；④y =e f (x )+e −f (x )．【答案】①③④【解析】因为f(x)是R 上的奇函数且单调递增，故当x >0时，f(x)>f(0)=0，①g(−x)=|f(−x)|=|f(x)|=g(x)为偶函数，且当x >0时，g(x)=|f(x)|=f(x)单调递增，符合题意； ②g(−x)=f(x 2−x)≠g(x)，故不满足偶函数；③g(−x)=f(|−x|)=f(|x|)=g(x)，且 x >0时g(x)=f(x)单调递增，符合题意；④g(−x)=e f (−x )+e −f (−x )=e −f (x )+e f (x )=g(x)，满足偶函数，且x >0时，f(x)>0，e f (x )>1，根据对勾函数的单调性可知g(x) =e f (x )+e −f (x )单调递增，符合题意。
高中数学必修一(人教版)《3.2.2 奇偶性》课件
[方法技巧] 巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇 函数、偶函数图象的问题．
提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有 确定的奇偶性．
【对点练清】 1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝2xx2＋＋12x. 解：(1)函数 f(x)的定义域为 R .
就叫做偶函数
就叫做奇函数
续表
图象特点
关于 y轴 对称
关于 原点 对称
定义域特征
关于 原点 对称
奇偶性
如果函数是奇函数或是偶函数，那么称函数f(x)具有 _奇__偶__性___
[微思考] 既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)＝0(x∈R)这一函数吗？ 提 示 ： 不 是 只 有 一 个 ， 有 无 数 个 ， 如 f(x) ＝ 0(x ∈ [ － 1,1]) ， f(x) ＝ 0(x ∈ [ － 2,2])．
x2＋2x＋3，x＜0， 2．已知函数 f(x)＝0，x＝0，
－x2＋2x－3，x＞0，
试判断函数 f(x)的奇偶性．
解：函数 f(x)的定义域为 R ，关于原点对称．
当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当 x＝0 时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
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(B)f(x)一定是非奇非偶函数，g(x)一定是偶函数
(C)f(x)与g(x)在区间 上具有相同的单调性
(D)f(x)与g(x)的值域相同
11、设函数f(x)是定义在R上任意一个减函数，设函数F(x)=f(x)-f(-x),那么函数F(x)必为( )
(A)增函数且是奇函数（B）增函数且是偶函数
（1）设 恒成立，且 是奇函数，判断函数 的奇偶性，并加以证明。
（2）定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得 取 内每一个值时，都有 成立，则称函数 是以 为一个周期的周期函数。设 恒成立，且 是以 为周期的周期函数，求证： 也是周期函数。
（3）设 恒成立，且 是 上的增函数，能否确定函数 在 上也是增函数？并说明理由。
学科教师辅导讲义
年级：高一辅导科目：数学课时数：
课题
测试的奇偶性与单调性的定义；
2、会证明一个函数的奇偶性、单调性，会求一个函数的单调区间。
教学内容
一、填空题
1、已知函数 (a,b,c为常数),若f( 8)=8，则f(8)的值是
2、函数 的单调递减区间是
3、定义在区间(-1,1)上的函数f(x)既是奇函数又是减函数，则不等式 成立的实数t的取值范围是____________
4、已知偶函数f(x)在 上是增函数，则不等式 的解集为_______
5、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的 都有 ,当 时，f(x)=3x+2，则函数f(x)在区间[-4,0]的解析式为_____________
6、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当 时， ，则当x<0时，f(x)的表达式为________
(C)减函数且是奇函数(D)减函数且是偶函数
12、已知函数 和 在区间 上都是减函数，则下列判断中正确的是( )
（A）m=n(B)
(C) (D) m、n的取值范围相同,均为
3、解答题
13、已知函数 试确定函数S(t)的单调区间，并加以证明
14、设函数 ,求函数 ,使 为偶函数；能否用一个代数式表示f(x)?若能，请给出。
15讨论下列函数的奇偶性：
（1）
（2） (常数
16已知函数
(1)解不等式
(2)求实数a的取值范围，使函数f(x)在 上是单调函数
17对于任意x,y R,函数f(x)均满足 ,且x>0时，有f(x）<0
(1)证明f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)是减函数。
18、设 和 是定义在 上的两个函数， 是 上任意两个实数。
7、如果函数 （b为常数),且y=f(x)在区间(0,1)上单调递增；并且函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标都在区间[-2,2]内，则b的一个可能取值为________
8、试写一个在区间 上是单调递减，在区间 上是单调递增且在定义域D上为偶函数的函数解析式：__________________
二、选择题
9、下列四个命题：
①f(0)=0是函数f(x)为奇函数的必要非充分条件；
②既是函数又是偶函数的函数其解析式比为f(x)=0,
③若函数 在定义域上递增，则函数 在定义域上递减
④若函数 为减函数，则 为减函数
其中正确的命题个数有( )
(A) 0个（B）1个（C）2个（D）3个
10、关于函数 与函数 的四个结论中正确的是( )