平行四边形判定学案

《平行四边形的判定》学案1一、课前预习新知（一）预习目标：通过回顾以前所学的平行四边形知识与初步自学课本，感知平行四边形的判定，能写出平行四边形性质的逆命题（二）预习内容：１．平行四边形的定义：２．平行四边形的性质：３．平行四边形性质的逆命题是：【答案】：１．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．２．(1)从边看：两组对边分别平行，两组对边分别相等．(2)从角看：两组对角分别相等，四组邻角互补．(3)从对角线看：对角线互相平分．３．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．二、课内探究新知（一）学习目标1．通过设置问题，建立数学模型，•体会平行四边形的判定来源实际生活．2．掌握平行四边形的判定定理及推论；会用平行四边形的判定方法进行简单的推理．3．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理．能熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法；理解并应用三角形中位线定理．学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用；理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法．（二）学习过程核对预习学案中的答案，并收集自学中疑问及困惑，掌握学生的学习情况。

平行四边形判定的学习：１．情景问题：我给刚学完平行四边形性质的侄女提了一个问题，你们能解决吗？问题：给你四根木条做边围成一个四边（每两根是等长的），它的形状是固定的吗？２．验证：（1）两组对边相等的四边形是平行四边形吗？已知：如图，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．（２）两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？如图，已知：．求证：．（３）对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？已知：如图，OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD为平行四边形．判定方法：文字语言：（1）定义：（2）（3）（4）符号语言：【答案】：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言1．∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形2． ∵AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形3． ∵,BAD BCD ABC ADC ∠=∠∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形 4． ∵AO ＝CO ，BO ＝DO ∴四边形ABCD 是平行四边形 ３．练习： 1．如图（1），若AD=8cm, AB=4cm ，那么BC= cm, CD= cm 时，四边形ABCD 是平行四边形；2．如图（2），AD=BC=16, AB=CD=15,CF=DE=9，图中有哪些互相平行的线段？ 3．如图（3），若AC=10cm, BD=8cm ，则AO= cm, DO= cm 时，则四边形ABCD 为平行四边形．【答案】：（1）8、4 （２）AD ∥BC 、 AB ∥CD （３）５、４４．例题例1：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA OC 与的中点，并且AE ＝CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形．变式（1）：由例题中的特殊点E 、F 推广到较一般的，若AE =CF ，结论有改变吗？为什么？变式（2）：若E 、F 移至OA 、OC 的延长线上，且AE =CF ，结论有改变吗？为什么？变式（3）：若E 、F 、G 、H 分别为AO 、CO 、BO 、DO 的中点，四边形EGFH 为平行四边形吗？为什么？变式（4）：若变式（3）的条件成立，那么EF 、GH 有什么位置关系？变式（5）：在上题中，以图中的四点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．【答案】：例1： ∵四边形ABCD 是平行四边形∴,OA OC OB OD ==∵E 、F 是的OA OC 与的中点 ∴OE OF =∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（１）：∵四边形ABCD 是平行四边形∴,OA OC OB OD ==∵AE =CF ∴OE OF =∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（2）：∵四边形ABCD 是平行四边形∴,OA OC OB OD ==∵AE =CF ∴OE OF =∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（3）：∵四边形ABCD 是平行四边形∴,OA OC OB OD ==∵E 、F 、G 、H 分别为AO 、CO 、BO 、DO 的中点∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（4）：互相平分5．巩固练习（答案见课件１）：如图，在平行四边形ABCD 中，已知AE 、CF 分别是DAB ∠、BCD ∠的角平分线，试说明四边形AFCE 是平行四边形．探究问题2：取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？（即“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？）CA FDB E1． 已知： 求证： 证明： 2．归纳： 3．几何语言表述：巩固练习：1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )． (A)一组对边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行，一组对角互补 (C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等，另一组对角互补2．□ABCD 的对角线的交点在坐标原点，且AD 平行于x 轴，若A 点坐标为(－1，2)，则C 点的坐标为( )．A ．(1，－2)B ．(2，－1)C ．(1，－3)D ．(2，－3)3．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，已知AE ＝CF ，AF 与BE 相交于点G ，CE 与DF 相交于点H ，求证：四边形EGFH 是平行四边形．4．已知：如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连结AE 、CF ．求证：CF ∥AE ．答案：1．Ｃ 2．Ａ3．思路１：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ＡＥＣＦ、ＢＥＤＦ是平行四边形，再根据定义判定四边形EGFH 是平行四边形．4．∵AF ∥BE ∴∠FAC =∠ECA ∵D 是AC 的中点∴AD =CD ∴△AFD ≌△CED ∴AF ＝CE ∴四边形AFCE 是平行四边形．三角形中位线的学习：问题一：1．将任意一个三角形分成四个面积相等的的三角形，你是如何切割的？ 关键：（取三边的中点）CBAD由学生代表发表自己的观点，并说明理由．2．连接任意两边中点的线段与第三边间有怎样的位置和大小关系？已知：△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE ∥BC ，DE ＝21BC ． ED CA B3．你能用文字表达这一结论吗？讨论：⑴一个三角形有几条中位线？⑵三角形的中位线与中线一样吗？问题2：如图，a ，b 是两条平行线，从直线a 上的任意一点A 向直线b 作垂线l ，垂足为点B ，我们得到线段AB ．按同样的作法，我们作出线段CD ．你能发现AB 与CD 的关系吗？aD bABC结论：定义：例1：如图△ABC的边AB＝12，BC＝10，AC＝8，点D，E，F分别是△ABC的三边的中点．⑴求连结各边中点所成的三角形的周长；⑵以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形．C例2：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，AF是BC边上的中线，⑴若EF＝5cm，则AB＝cm；若BC＝9cm，则DE＝cm．⑵中线AF与中位线DE有什么特殊关系？证明你的结论．FC当堂检测：1．在△ABC中，D、E、F是三边的中点，AB＝7，BC＝6，AC＝10，则四边形DBEF 的周长为．2．已知△ABC中的周长为50cm，D、E、F分别为△ABC中AB、BC、AC边上的中点，且DE＝8cm，EF＝10cm，则DF的长为cm．3．已知第一个三角形的周长为a，它的三条中位线组成第二个三角形，其周长为；第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，其周长为；以此类推，第2013个三角形的周长为．4．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF 交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．求证：EF∥BC．FAB CD E５．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．HG FEDABC答案：1．13 2．7 3．12a ，14a ，201212a4．证明：（1）∵CF 平分∠ACB ， ∴∠ACF =∠DCF ．又∵DC=AC ， ∴CF 是△ACD 的中线，∴点F 是AD 的中点．∵点E 是AB 的中点， ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC ． ５．证明：连接AC ，∵E 、F 分别是边AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵G 、H 分别是边CD 、DA 的中点， ∴GH ∥AC ，GH=12AC ， ∴GH ∥EF ，GH=EF ，∴四边形GHEF 是平行四边形．（三）课后练习1．能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，AD=BC B ．∠A=∠B ，∠C=∠D C ．AB=CD ，AD=BC D ．AB=AD ，CB=CD2．如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC ，D 是AB 的中点，EC ∥AB ，DE ∥BC ，AC 与DE 交于点O ．下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．AC=DEB ．AB=AC C ．AD=ECD ．OA=OE3．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有________个平行四边形．4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则________秒后四边形ABQP为平行四边形．5．如图，在□ABCD中，AM=CN，求证：四边形MBND是平行四边形．6．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．7．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．参考答案：1．C2．B3．4 4．25．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵AM=CN，∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN且BM∥DN．∴四边形MBND是平行四边形．6．证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．7．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD，又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE，∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．。