量子力学期中考试考试
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是：A. 牛顿运动定律B. 薛定谔方程C. 麦克斯韦方程组D. 热力学第二定律2. 波函数的绝对值平方代表：A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置的概率密度D. 粒子的波长3. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒4. 量子力学中的不确定性原理是由哪位物理学家提出的？A. 爱因斯坦B. 波尔C. 海森堡D. 薛定谔5. 在量子力学中，一个粒子的波函数可以表示为：B. 一个复数C. 一个向量D. 一个矩阵二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述海森堡不确定性原理，并解释其在量子力学中的意义。
2. 解释什么是量子纠缠，并给出一个量子纠缠的例子。
3. 描述量子隧道效应，并解释它在实际应用中的重要性。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 假设一个粒子在一维无限深势阱中，其波函数为ψ(x) = A *sin(kx)，其中A是归一化常数。
求该粒子的能量E。
2. 考虑一个二维电子在x-y平面上的波函数ψ(x, y) = A * e^(-αx) * cos(βy)，其中A是归一化常数。
求该电子的动量分布。
答案一、选择题1. B. 薛定谔方程2. C. 粒子在某一位置的概率密度3. D. 电荷守恒4. C. 海森堡二、简答题1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性关系为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中ħ是约化普朗克常数。
这一原理揭示了量子世界的基本特性，即粒子的行为具有概率性而非确定性。
2. 量子纠缠是指两个或多个量子系统的状态不能独立于彼此存在，即使它们相隔很远。
例如，两个纠缠的电子，无论它们相隔多远，测量其中一个电子的自旋状态会即刻影响到另一个电子的自旋状态。
3. 量子隧道效应是指粒子在经典物理中无法穿越的势垒，在量子物理中却有一定概率能够穿越。
大学量子力学期中期末考试试卷及答案解析 (6)
1. 能级简并、简并度。
（5分）答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。
把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。
2. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x ax x V 2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
（5分）解： ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ax x a x axn a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ,3,2,1,82222==n a n E n μπ3. 二电子体系中，总自旋 21s s S+= ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
（5分）解：（2,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为]00(1)(2)(1)(2)χαββα=- 自旋三重态为]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)χααχαββαχββ-=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩4. 对于阶梯形方势场⎩⎨⎧><=ax V a x V x V ,,)(21 ，如果（12V V -）有限，则定态波函数)(x ψ连续否？其一阶导数 )(x ψ'连续否？（5分） 解：定态波函数)(x ψ连续；其一阶导数 )(x ψ'也连续。
5. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，则粒子在立体角d Ω中被测到的几率为()220d ,,d P r r r ψθϕ∞=Ω⎰。
（5分）6. 给出如下对易关系：（5分）[],0,,,2,y z z y x zy z xx p z p iy L ixi L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦7. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()*(),()()()d n n n a x x x x x ψψψψ==⎰。
闽江学院2010级物本量子力学期中考试试卷
2010级物本量子力学期中考试试卷一、填空 ( 3*10 = 30分 )1. 用波函数 Ψ（r,t ）来描述微观粒子的量子态。
当Ψ（r,t ）给定后，如果测量其位置，粒子出现在x 点的几率密度为_____________.2. 态的迭加原理. 如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c 1Ψ1+c 2Ψ2+ c 3Ψ3…=∑c i Ψi 也是体系的一个可能状态。
当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率_____处在迭加之前的各个态Ψi 。
3. 算符 F ∧本征方程F λλλ∧ψ=ψ.λ称为__________，一般有多个，甚至无穷多个。
ψλ称为_________的、属于本征值为λ的___________,也有多个，甚至无穷多个. 有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。
若一个本征值对应的不同本征函数数目为N ，则称____________。
4. 能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒,这种现象称为____________.5. 厄米算符的定义式为 *_____________F dx ψφ∧=⎰;厄米算符的三个基本性质：实数性，__________, __________________。
6. 力学量用厄米算符表示. 在________表象中,-==∧∧i p r r ,，原则上可以得出所有力学量算符 (,)___________F F r p ∧∧∧∧==7. 坐标算符x 的本征态.设坐标算符x 的本征函数为)(x x 'ψ，本征值为x '，则本征方程为 ____________ . 利用δ函数的性质可得 ()___________x x ψ'=8. 在_______表象中,动量算符x p ∧的本征方程 )()(x p x xi x x p x p ψψ=∂∂-,对应本征值x p 的本征函数()_____________x p x ψ=. 为具有确定动量x p 的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为δ函数，故取归一化因子为π21=C ， 归一化为 **()()__________x x p p x x dx ψψ'=⎰9. 任意状态下力学量的可能值.微观粒子处于力学量算符∧F 的本征态n ϕ时，力学量与本征值有确定的对应。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
量子考试题及答案
量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。
答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。
答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数描述了粒子的哪种属性？A. 位置B. 动量C. 能量D. 概率密度答案：D2. 哪个原理表明一个粒子的波函数可以展开成一组完备的本征函数？A. 泡利不相容原理B. 薛定谔方程C. 玻恩规则D. 量子态叠加原理答案：D3. 量子力学中，哪个算符代表粒子的位置？A. 动量算符B. 能量算符C. 位置算符D. 角动量算符答案：C4. 量子力学中，哪个原理描述了测量过程对系统状态的影响？A. 海森堡不确定性原理B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子测量原理答案：D5. 哪个方程是量子力学中描述粒子时间演化的基本方程？A. 薛定谔方程B. 狄拉克方程C. 克莱因-戈登方程D. 麦克斯韦方程答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，粒子的状态由______描述，而粒子的物理量由______表示。
答案：波函数；算符2. 根据量子力学，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为______。
答案：海森堡不确定性原理3. 在量子力学中，粒子的波函数在空间中的变化遵循______方程。
答案：薛定谔4. 量子力学中的______原理指出，一个量子系统在任何时刻的状态都可以表示为该系统可能状态的线性组合。
答案：态叠加5. 量子力学中，粒子的波函数必须满足______条件，以保证物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化三、计算题（每题10分，共20分）1. 假设一个粒子处于一维无限深势阱中，势阱宽度为L。
求该粒子在基态时的能量和波函数。
答案：粒子在基态时的能量E1 = (π^2ħ^2) / (2mL^2)，波函数ψ1(x) = sqrt(2/L) * sin(πx/L)，其中x的范围是0 ≤ x ≤ L。
2. 考虑一个粒子在一维谐振子势能中运动，其势能表达式为V(x) = (1/2)kx^2。
求该粒子的能级和相应的波函数。
答案：粒子的能级En = (n + 1/2)ħω，其中n = 0, 1, 2, ...，波函数ψn(x) = (1/sqrt(2^n n!)) * (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx^2/(2ħ)) * Hn(x)，其中Hn(x)是厄米多项式。
量子力学试题含答案
量子力学试题含答案1. 选择题a) 以下哪个说法正确？A. 量子力学只适用于微观领域B. 量子力学只适用于宏观领域C. 量子力学适用于微观和宏观领域D. 量子力学不适用于任何领域答案：A. 量子力学只适用于微观领域b) 以下哪个量不是量子力学的基本量？A. 质量B. 电荷C. 动量D. 能量答案：D. 能量c) 下面哪个原理是量子力学的基础？A. 相对论B. Newton力学定律C. 不确定性原理D. 统计力学答案：C. 不确定性原理2. 填空题a) 波粒二象性指的是在特定条件下，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种相互转化的现象称为________。
答案：波粒二象性的相互转化b) ____________________是描述微观粒子运动的方程。
答案：薛定谔方程c) Ψ(x, t)代表粒子的波函数，那么|Ψ(x, t)|^2表示__________________。
答案：粒子在坐标x处被测量到的概率密度3. 简答题a) 请简要说明波粒二象性的原理和实验观察。
答案：波粒二象性原理指出，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这意味着微观粒子的行为既可以用波动的方式来描述（例如干涉和衍射现象），也可以用粒子的方式来描述（例如在特定的位置进行观测）。
实验观察可以通过使用干涉仪和双缝实验等经典实验来验证波动性质。
当光或电子通过干涉仪或双缝实验时，会出现干涉和衍射现象，这表明了粒子具有波动性。
同时，通过探测器对光或电子的位置进行测量，可以观察到粒子的粒子性。
b) 请解释量子力学中的不确定性原理及其意义。
答案：不确定性原理是由德国物理学家海森伯提出的，它指出在测量某个粒子的某个物理量的同时，不可避免地会对另一个物理量的测量结果带来不确定性。
不确定性原理的意义在于限制了我们对微观世界的认知。
它告诉我们，粒子的位置和动量无法同时被精确地确定。
这是由于测量过程中的不可避免的干扰和相互关联性导致的。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 在量子力学中，一个粒子的状态用波函数表示。
波函数的物理意义是：A. 粒子的位置概率分布B. 粒子的运动速度C. 粒子的自旋状态D. 粒子的能量2. 量子力学的基本假设之一是：A. 粒子的能量是离散的B. 粒子在空间中的轨道是连续的C. 粒子的位置可以同时确定D. 粒子的自旋是固定的3. 哪个原理用于解释原子光谱的发射和吸收现象？A. 波粒二象性原理B. 测不准原理C. 泡利不相容原理D. 量子力学随机性原理4. 薛定谔方程描述了：A. 粒子的位置和动量之间的关系B. 粒子在空间中的运动轨迹C. 粒子的能量和自旋状态D. 粒子波函数随时间的演化5. 量子力学波函数的归一化条件是：A. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于1B. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于0C. Ψ(x, t)在无限远处趋于零D. Ψ(x, t)的真实部分等于虚部的共轭6. 两个可观测量的对易关系表示为：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示两个算符的对易子。
这意味着：A. A和B的本征态可以同时存在B. A和B的本征值可以同时测量得到C. A和B的测量结果彼此独立D. A和B的测量结果存在不确定性7. 量子力学中的不确定性原理指出，以下哪一对物理量不能同时精确确定：A. 位置和动量B. 能量和时间C. 自旋在X方向和自旋在Y方向D. 角动量在X方向和角动量在Y方向8. 箱中有一自由粒子，其波函数为：Ψ(x) = A sin(kx)其中A和k为常数，该波函数代表：A. 粒子在箱中处于能量本征态B. 粒子在箱中处于动量本征态C. 粒子在箱中处于位置本征态D. 粒子在箱中处于叠加态9. 双缝干涉实验中，当缝宽减小时，干涉图案的特征是：A. 条纹的间距增大B. 条纹的间距减小C. 条纹的亮度增强D. 条纹的亮度减弱10. 量子隧穿现象解释了：A. 电子在金属中的传导现象B. 光子在光学纤维中的传播现象C. 电子在势垒中的穿透现象D. 光子在介质中的反射现象二、填空题（每题6分，共30分）1. 德布罗意波假设将粒子的运动与________联系起来。
量子力学期中考试题2012年1在球坐标系下用描述三维空间的三个
量子力学期中考试题（2012年）1、在球坐标系下用(),,r θϕ描述三维空间的三个自由度，定义算符 221rT r r r r∂∂=∂∂，证明 rT 是厄米算符。
2、(a)判断下列哪些算符是厄米算符： ()x x p +， ()x y L p ， ()z L z 。
(b)计算下列对易式： [,]yxL P z x ， [,]yxzzL L L P ， ()[,]nxx P ， ()2[,]LV r 其中， 2L ， L μ， P μ， μ（,,x y z μ=）分别为角动量平方算符、角动量分量算符、动量算符和坐标算符，而 ()Vr 为某中心势场的位能算符。
3、算符ˆA和哈密顿算符H ˆ对易，ˆA 和H ˆ都不显含时间，ˆA 的对应于其某一本征值a 的本征态是二重简并的，即ˆA u a u =，ˆA v a v =，u 和v 是正交归一的，但u 和v都不是H ˆ的本征态。
定义算符： aP u v v =+。
证明：对于该量子体系的任一量子态()t ψ，() ()()at P t P a ψψ=不随时间变化。
4、 L 和 p 是处于三维空间中某粒子的角动量算符和动量算符，n 和m 是三维空间中的二任意单位矢量。
证明(),n L m p i n m p ⎡⎤⋅⋅=⨯⋅⎢⎥⎣⎦.5、某三维体系中粒子的哈密顿量为：222ˆˆˆˆ()()()222y x z p p p H V x W y U z m m m=+++++，其中()0V x =，221()2W y m y ω=，0,,(),.z a U z z a ⎧≤⎪=⎨∞>⎪⎩ ⑴、写出该粒子的能量本征值及相应的本征波函数，并分析其简并度； ⑵、写出该体系的一种完整力学量组。
6、在由正交规一基矢{321,,u u u 所张成的三维空间中，能量算符Hˆ和一力学量算符B ˆ 的矩阵表示如下：010*******H ω⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001b B其中0ω和b 是实常数。
量子力学期中考试考试
量子力学期中考试试题物理常数：光速：812.99810c m s -=⨯⋅；普朗克常数：346.62610h J s -=⨯⋅；玻尔兹曼常数：231.38110/B k J K -=⨯；电子质量：319.10910e m kg -=⨯；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==⨯；电子电荷：191.60210e C -=⨯一、填空题：1、 量子力学的基本特征是 。
2、 波函数的性质是 。
3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。
4.一粒子用波函数Φ(,)rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。
5、线性谐振子的零点能为 。
6、厄密算符的本征值必为 。
7、氢原子能级n =5的简并度为 。
8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。
9、测不准关系反映了微观粒子的 。
10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。
11. 通常把 称为束缚态。
12. 波函数满足的三个基本条件是： 。
13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。
15. 坐标与动量的不确定关系是： 。
16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。
17. 何谓定态： 。
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2. 简并、简并度。
3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。
量子力学期中考试试题
量子力学期中考试试题物理常数：光速：812.99810c m s -=⨯⋅；普朗克常数：346.62610h J s -=⨯⋅；玻尔兹曼常数：231.38110/B k J K -=⨯；电子质量：319.10910e m kg -=⨯；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==⨯；电子电荷：191.60210e C -=⨯一、填空题：1、 量子力学的基本特征是 。
2、 波函数的性质是 。
3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。
4.一粒子用波函数Φ(,)ρrt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。
5、线性谐振子的零点能为 。
6、厄密算符的本征值必为 。
7、氢原子能级n =5的简并度为 。
8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。
9、测不准关系反映了微观粒子的 。
10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。
11. 通常把 称为束缚态。
12. 波函数满足的三个基本条件是： 。
13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。
15. 坐标与动量的不确定关系是： 。
16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。
17. 何谓定态： 。
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2. 简并、简并度。
3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。
量子力学期中考试试题及答案.
量子力学期中考试试题及答案1．（33分）一维无限深势阱，()()0,0,(),0,x a V x x a ∈⎧⎪=⎨∞∉⎪⎩，微观粒子质量为m ， 能量本征值为：222n n E m a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，相应本征函数为：()()2,sinE tE tn n iin x n n aax t x eeπψψ--==，1,2,...n =；已知0t =时，初态波函数为：()()()12,0x A x x ψψψ=+⎡⎤⎣⎦；1.1)将初态波函数：()()()12,0x A x x ψψψ=+⎡⎤⎣⎦归一化，求出归一化因子?A =；（5分） 1.2)求波函数(),?x t ψ=（5分） 1.3)求几率密度：()()()*,,,?w x t x t x t ψψ==（5分）1.4)求位置的平均值：()()()*0,,?ax t x t x x t dx ψψ==⎰（8分）1.5)求动量的平均值：()()()*ˆ,,?ap t x t px t dx ψψ==⎰；（ˆd idx p =）（5分）1.6)求能量平均值：()()*0ˆ,,?aH x t Hx t dx ψψ==⎰；（()22pH V x m=+）（5分） 解： 1.1)()()()2*0,0,0111ax x dx A ψψ=+=⎰；A =； 1.2)()()()1212,E t E t i i x t x e x e ψψψ--⎤=+⎥⎦ 1.3)()()()()()()()()()()()()()()12121222*1212212212121,,,212cos 2E E E E i t i t E E w x t x t x t x x x x e x x e x x x x t ψψψψψψψψψψψψ----⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦1.4)()()()()(){}()()()()()()1212***12120022**12122100001201201,,21212cos 222cos 2aa a a a a aE E t aE E t x t x t x x t dx x dx x dx x dx x dx x dxa a x x x dx a x x x dxψψψψψψψψψψψψψψψψ--==++=+++⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()212002sin sin aa x xa a x x x dx x dx aππψψ=⎰⎰ 利用：()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=--+⎡⎤⎣⎦ ()()()21200302sin sin 1cos cos aa x xa a ax xa a x x x dx x dx ax dx a ππππψψ==-⎰⎰⎰利用公式：[]()2111cos sin sin sin sin cos x tttt x txdx xd tx x tx txdx tx tx ==-=+⎰⎰⎰计算：()222222222233339000221699cos cos sin cos sin cos a aax x ax x a x ax x a x a a a a a a a a ax dx πππππππππππππ⎡⎤⎡⎤-=+-+⎣⎦⎣⎦=-+=-⎰所以：()()12216cos 29E E ta a xt π-=- 1.5)()()()()()()()()()()()12121212*01212012120ˆ,,1212E t E t E t E t E t E t E t E t aai i i i a i i i i p t x t px t dx ddx x e x e x e x e i dxd dx xe x e x e x e i dx ψψψψψψψψψψ----=⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰()()2cos E t E t n n i i n n x n a a a d x e e dxππψ--= ()()()()()(12121212(112120222220222121sin sin cos cos 2sin cos sin cos E t E t E t E t E t E t E t E tE ai i i i ai i i i x x x x aa a a a a a ix x x x a a a a a a a d p t dx x e x e x e x e idx dxe e e e i dx e ai πππππππππππππψψψψ------⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=++⎰⎰)()2122220sincossin cos E tE E taixx x x aaaa a eπππππ-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰利用：()()12sin cos sin sin αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦sin cos 0ax x a a dx ππ=⎰，220sin cos 0ax xa a dx ππ=⎰()()()(){}[][]{}{}231200312300123433sin cos sin sin cos cos cos3cos0cos cos0aax x x x a a a a a aa x a xa a a aa a a dx dx πππππππππππππππ⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦=--+-=+=⎰⎰()()()(){}[][]{}{}231200312300123233sin cos sin sin cos cos cos3cos0cos cos0aax x x x a a a a a aa x a xa a a aa a a dx dx πππππππππππππππ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦=----=-=-⎰⎰所以：(){}{}()()()1212()()()()1212121212122220422443333()()()sincossin cos 482sin sin 33E E tE E tE E tE E tE E tE E taiixx x x a aaa a a iiiiaa a aE E t E E tp t dx e eai eeeeaiai i ai aππππππππππ-----------⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+-=-=-=-⎰由1.4)问结果：()()()()121212212222163168sin sin sin 9293E E t E E t E E t E E d a a x t dt m a am πππ----⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭()()()128()sin 3E E t d p t mx t mx t dt a-===- 可见满足Ehrenfest 定理：量子力学中物理量的平均值按经典方程变动。
量子力学考试题库及答案
量子力学考试题库及答案一、选择题1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率密度。
下列关于波函数的描述中，哪一项是正确的？A. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率密度B. 波函数的绝对值代表粒子在空间某点出现的概率密度C. 波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率D. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
以下哪项是海森堡不确定性原理的数学表达式？A. ΔxΔp ≥ ħ/2B. ΔxΔp ≤ ħ/2C. ΔxΔp = ħ/2D. ΔxΔp = ħ答案：A二、填空题3. 在量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)满足________方程，该方程由薛定谔提出，是量子力学的基本方程之一。
答案：薛定谔方程4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数，即不能同时具有相同的________、________、________和________。
答案：主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数三、简答题5. 简述量子力学中的隧道效应，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其能量低于势垒的高度。
这一现象在经典物理学中是不可能发生的。
一个实际应用的例子是扫描隧道显微镜（STM），它利用量子隧道效应来探测物质表面的原子结构。
6. 描述量子力学中的波粒二象性，并解释为什么这一概念是重要的。
答案：波粒二象性是指微观粒子如电子和光子等，既表现出波动性也表现出粒子性。
这一概念重要，因为它揭示了物质在微观尺度上的基本行为，是量子力学的核心概念之一，对理解原子和分子结构、化学反应以及材料的电子性质等方面都有深远的影响。
四、计算题7. 假设一个粒子被限制在一个宽度为L的一维无限深势阱中，求该粒子的基态能量。
答案：基态能量E1 = (π²ħ²)/(2mL²)，其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，L是势阱的宽度。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 量子力学中，描述一个量子态最基本的方法是（）。
A. 波函数B. 哈密顿算符C. 薛定谔方程D. 路径积分答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的（）和（）不能同时被精确测量。
A. 位置，速度B. 能量，时间C. 动量，位置D. 时间，动量答案：C3. 波函数的绝对值平方代表的是（）。
A. 粒子的速度B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置出现的概率密度D. 粒子的动量答案：C4. 薛定谔方程是一个（）。
A. 线性偏微分方程B. 非线性偏微分方程C. 线性常微分方程D. 非线性常微分方程答案：A5. 在量子力学中，泡利不相容原理指的是（）。
A. 两个费米子不能处于同一个量子态B. 两个玻色子不能处于同一个量子态C. 所有粒子都不能处于同一个量子态D. 所有粒子都必须处于同一个量子态答案：A二、填空题1. 在量子力学中，一个粒子的波函数必须满足__________方程，才能保证波函数的归一化条件。
答案：连续性2. 量子力学的基本原理之一是观测者效应，即观测过程会影响被观测的__________。
答案：系统3. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，其中两个或多个粒子的量子态以某种方式相互关联，以至于一个粒子的状态立即影响另一个粒子的状态，这种现象被称为__________。
答案：非局域性三、简答题1. 请简述德布罗意假说的内容及其对量子力学的贡献。
德布罗意假说提出了物质波的概念，即所有物质都具有波粒二象性。
这一假说不仅解释了电子衍射实验的现象，而且为量子力学的发展奠定了基础，使得物理学家开始将波动性质引入到粒子的描述中，从而推动了波函数理论的发展。
2. 什么是量子隧穿效应？请给出一个实际应用的例子。
量子隧穿效应是指粒子在遇到一个能量势垒时，即使其能量低于势垒高度，也有可能穿透势垒出现在另一侧的现象。
这一效应是量子力学中特有的，与经典物理学预测的结果不同。
一个实际应用的例子是半导体器件中的隧道二极管，它利用量子隧穿效应来实现电流的传导，具有非常快的开关速度和低功耗的特性。
量子力学期中试题
量子力学期中试题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。
这种理解正确吗？5、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？221122112121;;ψψψψψψααi i e c ec c c +++ 这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。
6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？7、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？8、力学量之间的对易关系有何物理意义？9、什么是力学量的完全集？它有何特征？10、何谓定态? 它有何特征？11、（1）任意定态的叠加一定是定态。
理由如下：定态的线性叠加 ∑-=n t iE n nn e x c t x /)(),(ψψ),(t x ψ态中平均值⎰∑==nn n E c dx H E 2*ψψ与t 无关，所以叠加态),(t x ψ是定态。
（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。
以上说法正确吗？12、什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。
13、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质——波粒二象性？14、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?15、试将坐标表象与动量表象加以比较，再由坐标表象的定态薛定谔方程直接写出其在动量表象的表达式。
北京大学量子力学期中考试题
x0 — x0 + dx 中的几率；
4.
试将算符
Aˆ (1
−
1 Aˆ
−1Bˆ )
表为
Aˆ ,
Bˆ
算符的幂级数的形式；
5．若波函数 ψ1,ψ2 ,ψ3 是线性无关的，试构成三个正交、归一 的波函数（归一化因子的具体表达式不用给出）；
激发态, u1 ,的叠加态 ψ(x,0) 上。其几率振幅分别为 cosθ 和 sin θ ，位相差为 η = η0 − η1 1． 试给出 ψ(x,t) ；
2． 求 t 时刻， H, H2 ；
3． 计算 t 时刻， x, x2 。
三．（16 分）质量为 m 的粒子，在位势
∞
x < 0, x > a
若三维自由粒子的哈密顿量为h?试判断下述力学量组中那些是守恒量完全集
姓名:
2000级物理系量子力学期中测验
by yixiansheng
学总分 成绩
一．（29 分）试回答下列问题
1. = = ? （准至小数 2 位）
2. 写出粒子的几率流密度矢公式;
− r −iωt
Ψ(x) = Ae−λ x
1． 求归一化常数 A；
2． 已知它所处的位势 V(x)→0( 当 x→±∝)，试求其能
量本征值；
3． 给出粒子运动的位势 V(x)。
6．请化简下列两重积分
∫ ∫ b1
a1
dx1
b2 a2
f (x1, x2 )δ (x1 −
x2 )dx2
其中， b1 > a1,b2 > a2 ；
7．若三维自由粒子的哈密顿量为 Hˆ ，试判断下述力学量组中
量子力学期中考试题(A卷)
兰州大学2010 ~ 2011学年 第 2 学期 期中考试试卷
一、简答题（每小题5分，共6题） 1、写出德布罗意关系式并简述其意义。
2、线性厄密算符的本征值与本征函数有哪些性质？
3、什么样的状态是定态？其性质是什么？
4、给出如下对易关系：
?]ˆ,ˆ[2
=x p x
，
?]ˆ,ˆ[=y
x L L
5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x ˆ和动量x
P ˆ之间的测不准关系。
6、写出量子力学的五大基本原理。
二、计算题（共5题）
1.（15分） 求在一维势场a
x a x x x U ≤≤><⎩⎨⎧∞
=0,00
)(中运动的粒子的能级和
本征函数。
2.（15分） 在0=t 时刻，氢原子处于状态
⎥⎦
⎤⎢
⎣
⎡+
+
=ψ)(21
)(3
1)(2
1)0,(321r r r C r
ψψψ
式中，)(r n
ψ
为氢原子的第n 个能量本征态。
计算t=0时能量的取值
几率与平均值，写出0>t 时的波函数。
3．（10分）已知粒子处于如下状态
)
,(3
2),(3
12111ϕθϕθψY Y +
=
试问： （1）Ψ是否是 2
L
的本征态？
（2）Ψ是否是z
L 的本征态？ （3）求2L 的平均值；
（4）在 Ψ 态中分别测量2L 和z
L 时得到的可能值及 其相应的几率。
第1页。
量子力学考试题讲解及答案
量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，波函数的平方代表的是：A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子出现的概率密度D. 粒子的能量答案：C2. 根据海森堡不确定性原理，下列说法正确的是：A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程是用来描述：A. 经典力学系统B. 热力学系统C. 量子力学系统D. 电磁学系统答案：C4. 量子力学中的波粒二象性是指：A. 粒子有时表现为波动性，有时表现为粒子性B. 粒子总是同时具有波动性和粒子性C. 粒子只具有波动性D. 粒子只具有粒子性答案：B5. 量子力学中，哪个假设是关于测量的？A. 叠加原理B. 波函数坍缩C. 泡利不相容原理D. 量子纠缠答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数通常用希腊字母________表示。
答案：Ψ2. 量子力学中的德布罗意波长公式为λ = ________。
答案：h/p3. 在量子力学中，一个粒子的总能量可以表示为E = ________ + V。
答案：K.E.4. 费米子遵循的统计规律是________统计。
答案：费米-狄拉克5. 量子力学中的测不准原理是由海森堡提出的，其数学表述为ΔxΔp ≥ ________。
答案：h/4π三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当一个量子系统的状态被测量时，系统的波函数会从多个可能的状态中“选择”一个确定的状态，这个过程称为波函数坍缩。
2. 解释量子力学中的叠加原理。
答案：叠加原理是指在量子力学中，一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加，即系统的波函数可以是多个不同状态波函数的线性组合。
3. 描述量子力学中的泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，两个相同的费米子（如电子）不能处于同一个量子态，即它们不能具有相同的一组量子数。
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量子力学期中考试试题
物理常数：光速：8
1
2.99810c m s -=⨯⋅；普朗克常数：34
6.62610
h J s -=⨯⋅；玻尔兹曼常数：
231.38110/B k J K -=⨯；电子质量：319.10910e m kg -=⨯；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==⨯；电子电荷：19
1.60210
e C -=⨯
一、填空题：
1、 量子力学的基本特征是 。
2、 波函数的性质是 。
3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。
4.一粒子用波函数Φ(,)
rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。
5、线性谐振子的零点能为 。
6、厄密算符的本征值必为 。
7、氢原子能级n =5
的简并度为 。
8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。
9、测不准关系反映了微观粒子的 。
10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。
11. 通常把 称为束缚态。
12. 波函数满足的三个基本条件是： 。
13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。
15. 坐标与动量的不确定关系是： 。
16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。
17. 何谓定态： 。
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2. 简并、简并度。
3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。
4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。
5. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=
，写出粒子位于dx x x +~间的几率。
6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
7. 写出三维无限深势阱
⎩⎨
⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c
z b y a x z y x V
中粒子的能级和波函数。
8. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱
⎩⎨
⎧><∞<<=a x x a
x x V 2,0,20,
0)(
中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
9. 何谓几率流密度？写出几率流密度）（t r j ,
的表达式。
10. 写出在z σ
表象中的泡利矩阵。
11. 电子自旋假设的两个要点。
12.
）
（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
13. 写出电子自旋
z
s 的二本征态和本征值。
14. 给出如下对易关系：
[][][][][][]?
,?,?
,?,?,?,2
======y
z
y
x
x
z
y
x
y s s L L L L p z p y σσ
16. 完全描述电子运动的旋量波函数为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(
r r s r z ψψψ， 准确叙述 2)2/,( r ψ及 23
)2/,(⎰
- r r d ψ分别表示什么样的物理意义。
18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H 有什么样的要求？
22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。
23. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：
∑=n
n n x c x )
()(ψψ，
写出展开式系数
n c 的表达式。
24. 一维运动中，哈密顿量 )
(x V m p H +2=2
，求[][]?
,?
,==H p H x
25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？
27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p
ˆ之间的测不准关系。
28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？
29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
二、计算题：
1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123
T J 10923.0--⋅⨯=B μ，
求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
2. .证明在定态中，几率流与时间无关。
3. 一粒子在一维势场 ⎪⎩
⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00
)(中运动，
（1）求粒子的能级和对应的波函数。
（2）若已知0t =时，该粒子状态为：()()121
,0()()2
x x x ψψψ=
+，求t 时刻该粒子的波函数； （3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。
4.一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I
L H 22
=，L 为角动量，求与此对应的量子体系
在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 5. 设t=0时，粒子的状态为
]
cos [sin )(212
kx kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。
6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ
描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
7. 设氢原子处于状态 ),()(2
3),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
（一）.已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
（二）. 设氢原子在0=t 时处于状态
),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=
Y r R Y r R Y r R r ，求
1、0=t 时氢原子的E 、2L
ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L
ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。
（六）、当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++λλλλλλ
23303220
21
的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的
一次项。
（十）、在z S ˆ表象中，求自旋算符S ˆ在}cos ,cos ,{cos γβα=n 方向投影算符
γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆˆz y x n S S S n S S ++=⋅= 的本征值和相应的本征态。
（十四）、
有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
（十五）、
试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221
)(x m x V ω=
]
（十八）、在z σ
ˆ表象中，求x σˆ的本征态。