高等代数35正交矩阵

内积的性质:
1 ) ( , ) ( , );
(对称性) (线性性)
2 ) ( k , ) k ( , ); 3 ) ( , ) ( , ) ( , );
4) ( , ) 0,当且仅当 0时,( , ) 0. (非负性)
则 , 称为正交或垂直, 记作 .
与解析几何中关于正交的定义是一致的.
1) 零向量与任意向量都正交. 2) 零向量是唯一与自己正交的向量.
定义12 一组非零向量,如果它们两两正交,那么就称为一个 正交向量组
1) 由一个非零向量组成的向量组是正交向量组. 2) 正交向量组是线性无关向量组. 3) 线性无关向量组未必是正交向量组． 4) 在n维向量空间中,最多有n个两两正交的非零向量. 5) n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是:它的行(列)向量 组是正交向量组.
由性质1) 的对称性,则与性质2)、3)相对应的有
2 ) ( , k ) k ( , );
由性质1) 、2) 有
3 ) ( , ) ( , ) ( , ).
5 ) ( o , ) ( ,o ) 0
正交与正交向量组
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定义 如果向量 , 的内积为零,即 ( , ) 0
( 3 ,1 ) ( 3 , 2 ) 1 1 1 3 3 1 2 ( , , ,1 ) ( 1 ,1 ) ( 2 ,2 ) 3 3 3 ( 4 , 3 ) ( 4 ,1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 ,1 ,1 ,1 ) ( 1 ,1 ) ( 2 ,2 ) ( 3 , 3 )
长度为1的向量称为单位向量
向量长度的性质
1 ) 0 , 0 0; 2 ) k k , k R , V ;
3 ) 如果 0 ,则
1

就是一个单位向量 , 称为把 单位化,
常记为 0.
定理9 n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是:它的行(列) 向量组是正交的单位向量组.
定理10 正交向量组一定是线性无关的.
定理11 设 1 , 2 , , s 是一个线性无关向量组,则可以找 到一个正交向量组 1 , 2 , , s ,使得 1 , 2 , , i 与 1 , 2 , , i ( i 1,2 , , s )等价 .
定理11 设 1 , 2 , , s 是一个线性无关向量组,则可以找 到一个正交向量组 1 , 2 , , s ,使得 1 , 2 , , i 与 1 , 2 , , i ( i 1,2 , , s )等价 . 1 1 ( , ) 2 2 2 1 1 ( 1 , 1 ) ( 3 ,1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 ,1 ) ( 2 ,2 )
例1 求与向量组 1 ( 1,1,0 ,0 ), 2 ( 1,0 ,1,0 ), 3 ( 1,0 ,0 ,1 ),
4 ( 1,1,1,1 )等价的正交单位向量组.
再单位化: 1 1 1 ( , ,0 ,0 ) 2 2
1 1 2 2 ( , , ,0 ) 6 6 6
向量的长度
在解析几何中,向量的长度为 ( , )
在一般的向量空间中
由性质4 ), 有( , ) 0
所以对任意向量 , ( , )是有意义的 .
在一般的向量空间中引入长度的概念:
量 .非负实数 ( , ) 称 定义13 设是欧氏空间中的一个向 为向量的 长度, 记作 .
单位化 过程
例1 求与向量组 1 ( 1,1,0 ,0 ), 2 ( 1,0 ,1,0 ), 3 ( 1,0 ,0 ,1 ),
4 ( 1,1,1,1 )等价的正交单位向量组.
先正交化:
1 1 ( 1,1,0,0 )
2 2
( 2 , 1 ) 1 1 1 ( , ,1,0 ) ( 1 , 1 ) 2 2
(1 )
a i 1a j 1 a i 2 a j 2 a ina jn
(1)与(2)这两组是等价的 正交条件
(2)
的内积为
定义11 两个n维的实向量 ( a1 , a 2 , , a n ), ( b1 , b2 , , bn ) ( , ) a1b1 a 2 b2 a n bn
正交矩阵的元素之间的关系:
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n a nn
AT A AAT E
i j i j i j i j
a1i a1 j a 2 i a 2 j
1 a ni a nj 0 1 0
正交化 过程

s s
( s ,1 ) ( s , s 1 ) 1 s 1 ( 1 ,1 ) ( s 1 , s 1 )
施密特(Schimict)正交化方法
i 再令 i ( i 1,2 , , n ) i 则 1 , 2 , , s 是与 1 , 2 , , s 等价的正交单位向量组
1 1 1 3 3 ( , , , ) 12 12 12 12
1 1 1 1 4 ( , , , ) 2 2 2 2
答案唯一 吗?
1 , 2 , 3 , 4即为所求