高等代数35正交矩阵
高等代数习题答案
《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3， 则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。
正交矩阵的性质
专题:正交矩阵的性质及其应用 证明:(1)略. (2)由于A的特征值为1, λ1 , λ2 ,且|λ1 | = |λ2 | = 1.于是A的特征多项式 f (λ) = (λ − 1)(λ − λ1 )(λ − λ2 ) = λ3 − aλ2 + aλ − λ1 λ2 , 其中a = 1 + λ1 + λ2 .由于λ1 , λ2 只能都为−1或互为共轭复数,因此 −1 ≤ a = 1 + λ1 + λ2 ≤ 3, λ1 λ2 = 1. 从而结论成立. (3)由条件知A的特征值都是1,从而A的特征多项式为 f (λ) = λ3 − 3λ2 + 3λ − 1, 于是 0 = A3 − 3A2 + 3A − E, 即 E = A(A2 − 3A + 3E ), 于是 AT = A−1 = A2 − 3A + 3E. 注:正交矩阵特征多项式的系数是有规律的,有兴趣的可以参看:
专题:正交矩阵的性质及其应用
高等代数资源网 May 17, 2012
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张德菊,张晓敏.正交矩阵的特征多项式及特征根.大学数学.2007,23(1):151-154. 例 3.13 设3阶正交阵A的行列式为−1,证明 trA2 = 2trA + (trA)2 证明:由条件可知A的特征值为 −1, a + bi, a − bi(a2 + b2 = 1, a, b ∈ R) 从而A2 的特征值为 1, (a + bi)2 , (a − bi)2 从而计算可得. 例 3.14 (北京邮电07)A ∈ Rn×n , A ̸= 0, n ≥ 3.则A为正交阵的充要条件为 AT = A∗ 或AT = −A∗ 即 aij = Aij 或aij = −Aij
正交矩阵
2.积也是正交阵;
3.行列式的值为正1或负1。
任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行 列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。 比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复 数)绝对值1 。
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以 构造为最多n−1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方 量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I−2vv就 足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反 射的积。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换 用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。
同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影 响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的 时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换 。
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。 它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
第 4 章 第 5 讲 正交矩阵
定理 :
设 A 是实方阵 . 则 A 的列 (行) 向量组
构成欧氏空间的一组标准正交基 AT A = I ( 或 A AT = I ) .
( α1 , α1 ) ( α1 , α 2 ) ( α1 , α n ) (α ,α ) (α ,α ) (α ,α ) 2 2 2 n T 2 1 A A ( α n , α1 ) ( α n , α 2 ) ( α n ,α) 2t (α , β) t (β , β)
2
取 t (α , β) / (β , β) , 得
(α , α) (β , β) (α , β)
2
|| α || || β || | (α , β) | 等号成立 α , β 共线
三角不等式
( α β , α β ) ( α , α ) 2( α , β ) ( β , β )
高等代数（I） Advanced Linear Algebra
主讲教师: 高 峡
理科楼1478S
gao_m_xia@
助教: 邓剑 王威杨
• 大课
周三 3,4 节 周五 1,2 节
理教 105 理教 105
• 习题课
周三 9,10 节 文史 201 三教 101
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甲先填. 每人每次只能在空的位置填写一个 实数. 方阵被填满后游戏结束. 如果最后方阵 的行列式不为零, 判甲胜. 否则判乙胜. 问甲乙二人谁有必胜的策略?
第四章 矩阵运算
1 2 3 4 5 6 7 矩阵运算 特殊矩阵 矩阵乘积的秩 可逆矩阵 矩阵的分块乘法 正交矩阵 向量空间的线性映射
1. 欧氏空间 2. 标准正交基与正交矩阵 3. Schmidt 正交化
浅谈正交矩阵的求法
则所求的正交矩阵 T 为 1 2 1 2 2 1 求一个 2 ， T=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 姨6 2 姨6 - 1 姨6
1 姨3 1 姨3
正交矩阵 T， 使得 T′AT 成为对角矩阵.
2 解：λE-A = （λ+1 ） （ λ-5 ） 特征值是 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-2x1+ （λ-1 ） x2-2x3=0 -2x1-2x2+ （λ-1 ） x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 T ′ T -1 1 -1 于是 （ ） = T 1 0 0 0 0 0 -1 2 3 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 4 3 0 1 3 1 3 1 1 0 0
1 -1 0 0 0 1 4 1 1 -1 0 0 0 4 1 1 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
使得 T-1AT=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
此时，
1 姨2 0
） 单位化得： η1= 把 （2
正交矩阵
参考文献 [1]北京大学数学系几何与代数教研室前代 数小组.高等代数(第三版)[M]，北京：高等教 育出版社,2003. [2]同济大学应用数学系．线性代数(第四 版)[M]，北京：高等教育出版社,2003.
谢谢各位老师! 谢谢各位老师
2）3）设ε1，ε2，…，εn是V的任一标准正交 基,记εi+εj=α∈V. 由|Aα|=|α|或(Aα，Aα)=(α,α)得 A A ， (A(εi+εj)，A(εi+εj))=(εi+εj， εi+εj） A A 而 (A(εi+εj)，A(εi+εj)) A A =(Aεi，Aεi)+2(Aεi，Aεj)+(Aεj，εj) A A A A A =(εi，εi)+2(εi，εj)+(εj，εj) (εi+εj， εi+εj）=(εi，εi)+2(εi，εj)+(εj，εj)
性质3 性质3.1 设为A正交矩阵，则： 1）|A|=±1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵； 3）AT，A*也是正交矩阵. 证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=±1. 对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正 交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又 (A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E. 故A-1是正交矩阵. 3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵. 而A*=|A|A-1= ±A-1,有 (A*)T=(±A-1)T=±A=(A*0 A 2) 因为 = 0 B 0
T
T T
0 A = / B 0
1
0 A 0 = 1 0 B B
1
1 A A 1 A A 1 AT AT 1 A A 及 = T T 2 A A 2 A A 2 A A 2 A A 2AT A 0 E 0 1 = = T 2 0 2A A 0 E
正交矩阵知识点总结
正交矩阵知识点总结正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对正交矩阵进行总结。
一、定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：它的转置等于它的逆矩阵。
换句话说，设A是一个n阶方阵，若满足AT·A=AA·T=I（其中I是单位矩阵），则称A为正交矩阵。
二、性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
具体来说，设A是一个n阶正交矩阵，其第i行（列）向量记作ai（aiT），则有ai·aiT=1，ai·ajT=0（i≠j）。
这意味着正交矩阵的行（列）向量长度为1且彼此垂直。
2. 正交矩阵的行列式的值只能是±1。
这是由于正交矩阵的行（列）向量长度为1，所以它们的行列式值为1或-1，从而整个矩阵的行列式值也只能是这两个值。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则A的逆矩阵A-1也是正交矩阵。
这是因为(A-1)T·(A-1)=A-1·AT=I，满足正交矩阵的定义。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
设A和B分别是n阶和m阶正交矩阵，它们的乘积AB是一个n阶正交矩阵。
这是由于(AB)T·(AB)=BTA·AB=BT·(A·A)·B=BT·IB=B·B=I。
5. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则它的转置AT也是正交矩阵。
这是因为(AT)T·(AT)=A·A=I。
三、应用1. 坐标系变换：正交矩阵可以用于坐标系的旋转和变换。
设A是一个二维正交矩阵，它的列向量表示一个坐标系的基向量，那么对于一个向量x，通过矩阵乘法Ax即可得到它在新坐标系下的表示。
2. 正交变换：正交矩阵可以保持向量的长度和夹角不变。
例如，对于一个二维向量x，若A是一个正交矩阵，那么||Ax||=||x||，且x·y=(Ax)·(Ay)，其中||·||表示向量的长度，·表示向量的内积。
高等代数试题库
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ )。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式;D ．设()'()1p x f x k -是的重因式,则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ） 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A 。
如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B 。
如果)()(,)()(x h x f x g x f ,那么))()(()(x h x g x f ±C 。
如果)()(x g x f ,那么][)(x F x h ∈∀,有)()()(x h x g x fD 。
如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲:将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙:对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立;B 。
甲不成立， 乙成立；C .甲, 乙均成立;D ．甲， 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B 。
代数基本定理适用于复数域;C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中， ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
正交矩阵的定义
正交矩阵的定义正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域，如几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。
正交矩阵是一种特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
在本文中，我们将详细介绍正交矩阵的定义及其性质。
首先，我们来定义正交矩阵。
一个n阶方阵A被称为正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵与自身的乘积等于单位矩阵I。
换句话说，如果满足条件A^T * A = I，那么矩阵A就是正交矩阵。
其中，A^T表示矩阵A的转置。
正交矩阵的一个重要性质是，它的每一列都是单位向量，并且两两正交。
也就是说，如果A是一个n阶正交矩阵，那么它的每一列向量都是单位向量，并且互相正交。
这可以通过矩阵乘法的定义进行证明。
设A的第j列为a_j，那么有a_i^T * a_j = 0 (i ≠ j)，并且a_i^T * a_i = 1，其中a_i^T表示向量a_i的转置。
这个性质可以用来解决一些几何问题，比如判断向量的正交性。
另一个重要的性质是正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么A的逆矩阵等于其转置矩阵，即A^(-1) = A^T。
这个性质可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。
首先，我们可以将等式两边同时乘以A^(-1)，得到A^(-1)*A^T * A = A^(-1) * I，即A^(-1) * A^T * A = I。
由于A^(-1) * A = I，所以有A^(-1) * I = I，进一步得到A^(-1) = A^T。
这个性质非常有用，可以简化正交矩阵的求逆运算。
正交矩阵还有一个重要的性质是它的行列式的绝对值等于1。
即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么|det(A)| = 1，其中|det(A)|表示矩阵A的行列式的绝对值。
这个性质也可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。
首先，我们可以将等式两边同时求行列式，得到det(A^T * A) = det(I)，即det(A^T) * det(A) = det(I)。
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
正交矩阵公式
正交矩阵公式正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
正交矩阵具有许多有趣的性质和特点，本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及相关应用。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的方阵。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果有A^T*A=I，其中I为单位矩阵，则称A为正交矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量，并且两两正交。
2. 正交矩阵的行（列）向量构成一组标准正交基。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
5. 正交矩阵的行列式的值只能为1或-1。
三、正交矩阵的应用1. 旋转变换正交矩阵可以表示空间中的旋转变换。
例如，对于二维平面上的一个向量进行逆时针旋转θ度，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现。
同样地，对于三维空间中的向量进行旋转变换也可以利用正交矩阵来表示。
2. 坐标系变换正交矩阵还可以用于不同坐标系之间的变换。
例如，对于二维平面上的一个向量，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换。
3. 图像处理在图像处理中，正交矩阵常用于图像的压缩和变换。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种常用的图像压缩方法，其中正交矩阵被用来将图像从空域转换到频域，实现对图像数据的压缩和编码。
4. 物理学中的对称性正交矩阵在物理学中的对称性研究中有重要的应用。
例如，对称矩阵的特征向量是正交的，可以通过正交矩阵的对角化来研究对称矩阵的性质和特征。
5. 数值计算正交矩阵在数值计算中也有广泛的应用。
例如，正交矩阵可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题，通过正交矩阵的特殊性质可以提高计算的效率和稳定性。
四、总结正交矩阵是一类特殊的方阵，具有许多有趣的性质和应用。
它在几何、物理学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
通过研究正交矩阵的定义、性质和应用，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。
高等代数初步(1).
多变量分析中常用的矩阵代数华中师大 刘华山一、矩阵及其主要相关概念（一）矩阵（matrix ）：一群数排列成m 行（row,横行）n 列（column,纵列）所得到的数表。
如：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯9085873651482364695790858736514823646957 45Y E D C B A ，或者史外数语矩阵用大写黑体字母表示为：A ，其中，或）（或或,)(,,n m ij ij nm a a ⨯⨯==A A A 为行数m 为列数。
n i 为行序数，j 为列序数。
一行一列的矩阵等同于一个数，即A=（a ）=a（二）方阵（square matrix ）：行数与列数相等的矩阵。
阶矩阵。
阶方阵，或可称作n n A nn ⨯如B 为3阶方阵。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2912362082417721B（三）方阵之迹（trace ）:方阵自左上至右下的主对角线各元素之和。
记作tr A 。
如上例方阵B 之迹为58.（四）转置矩阵（transpose ）:将矩阵A 的第i 行，变为第i 列，所得到的新矩阵，叫做矩阵A 的转置矩阵，记作T A A 或' 如上例，方阵B 之转置矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='2920171287362421B 方阵转置后，其迹不变。
（五）对称矩阵（symmetric matrix ）：如果。
为对称矩阵A 则,'A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=213102321A 在对称矩阵中，ji ij a a =为节省起见，对称矩阵主对角线一侧的元素可略去不写。
如上面的对称矩阵可简写作⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=213021A （六）三角矩阵（triangular matrix ）：主对角线一侧元素皆为零的矩阵。
其中，主对角线左下方有非零元素的三角矩阵，叫下三角矩阵；主对角线右上方有非零元素的三角矩阵，叫上三角矩阵。
线性代数高等代数知识点总结
线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r •(1,...,r)是列满秩矩阵
大家好
24
极大无关组与秩数：
1.1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 1. S的每个向量都可由1,...,r线性表示
③
Ax=b的解的线性组合是
Ax=0的解，当系数和＝0时； Ax=b的解，当系数和＝1时.
④ 设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则
⑤ Sb＝S0+，Sb
• 通解：设1,…,s是一个基础解系,是Ax=b的一个 解, 则通解为
=c11+...+css+，其中c1,...,cs是任意常数
大家好
xn1 3
L
1
xn
xn2
(xi x j )
L
ni j1
xn1 n
大家好
8
3.箭式行列式
x1 a2 a3 L b2 x2 0 L b3 0 x3 L LLLL
bn 0 0 L
an 0
x1
k
n 2
ak bk xk
0
b2
L
b3
L
xn
bn
L
x2 0 L 0 x3 L LLL 0 0L
0
0
( x1
大家好
12
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
线性代数——正交矩阵PPT课件
是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
第9页/共11页
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
2°特点: 设 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 n ), 则
Байду номын сангаас
T
1T 2T
1 2
nT
n
1T1 2T1
1T2 2T2
第1页/n共T111页 nT2
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 是 Rn 的两组标准
k
则 1, 2 , , s 是与1 ,2 ,
的向量组.
i 2, 3, , s
, s等价且两两正交
第8页/共11页
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
故
QTQ E.
第2页/共11页
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵. 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ;
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
正交矩阵概念
正交矩阵概念正交矩阵概念正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将从定义、性质、构造和应用四个方面详细介绍正交矩阵的概念。
一、定义1.1 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由一组数排成若干行若干列的表格形式表示的数学对象。
一个$m\times n$的矩阵$A$可以写成如下形式：$$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：(1) 所有列向量互相垂直；(2) 所有列向量模长为1。
即对于一个$n\times n$的矩阵$Q$，满足以下条件：$$Q^TQ=QQ^T=I_n$$其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵。
二、性质2.1 正交矩阵的性质正交矩阵具有以下性质：(1) 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且互相垂直；(2) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵；(3) 正交矩阵的行列式为$\pm 1$，即$\det(Q)=\pm 1$；(4) 正交矩阵保持向量长度和角度不变，即对于任意向量$x$，有$\|Qx\|=\|x\|$且$\angle(Qx,Qy)=\angle(x,y)$。
2.2 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵如果$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，则它们的乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
证明：由于$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，所以有：$$Q^T=Q_2^TQ_1^T=(QQ)^T=I_n$$因此，乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
正交矩阵知识点总结
正交矩阵知识点总结1. 正交矩阵概念正交矩阵是一个方阵，其列向量是单位正交的，即矩阵$Q$满足$Q^TQ=I$，其中$I$是单位矩阵。
也就是说，正交矩阵的每一列都是单位向量，而且不同列向量之间是正交的。
正交矩阵的转置等于其逆，即$Q^TQ=I$。
简单来说，正交矩阵就是一个方阵，其列向量是标准正交（单位长度且正交）的。
2. 正交矩阵性质正交矩阵具有许多重要的性质，包括但不限于：a. 正交矩阵的逆是其转置，即$Q^TQ=QQ^T=I$。
b. 正交矩阵的行和列是标准正交的，即$Q^TQ=QQ^T=I$。
c. 正交矩阵的行列式的绝对值为1，即$|Q|=1$。
d. 正交矩阵的特征值的模长为1。
e. 正交矩阵的特征向量是单位正交的，即属于不同特征值的特征向量是正交的。
3. 正交矩阵特征正交矩阵具有许多重要的特征，包括但不限于：a. 正交矩阵的行和列是标准正交的。
b. 正交矩阵的逆是其转置。
c. 正交矩阵的行列式的绝对值为1。
d. 正交矩阵的特征值的模长为1。
e. 正交矩阵的特征向量是单位正交的。
f. 正交矩阵是一个正交群上的矩阵。
4. 正交矩阵应用正交矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，包括但不限于：a. 矢量旋转：正交矩阵可以表示坐标系之间的旋转关系，因此在图形学和计算机图像处理中有着重要的应用，如3D建模、CAD等。
b. 正交化：在数值计算和线性代数中，正交矩阵可以用于线性方程组求解、矩阵近似、数据压缩和特征值分解等方面的问题。
c. 信号处理：在数字信号处理中，正交矩阵可以用于信号编码、解码和数字通信系统中。
d. 量子力学：在量子力学中，正交矩阵可以用于描述自旋、角动量、波函数等量子系统中的运动和相互作用。
e. 多元统计分析：在多元统计分析中，正交矩阵可以用于数据降维、多元正态分布、主成分分析等方面的问题。
通过以上的讨论，我们可以看出正交矩阵在数学和工程中具有着重要的地位和应用价值。
因此，深入了解正交矩阵的概念、性质、特征和应用对于理解和运用线性代数和矩阵理论都是很重要的。
正交矩阵的性质
③正交矩阵 A R nn 的特征根
i) 分类
实特征根为1或－1
非实特征根为成对共轭 与 出现， 且 1
2
ii) 可设 正特征根
1 2 t 1
1 2 s 1
（4）
负特征根
非实特征根 1 ,1 ,2 ,2 ,,k ,k 且 i i i
相同。
③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
习题课 正交矩阵的性质
6
问题 ① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个 特征值。 ② 证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。
③ 设A是3 3正交阵且 A 1
证明A的特征多项式为
f ( ) 3 t2 t 1 ，
这里 1 t 3
习题课 正交矩阵的性质
① 与 ② 进一步的结论？
③ 考虑A的所有特征值的可能性
i) ii) iii)
(1,1,1) (1,1,1)
(1, , ) ， 1 ，
2
习题课 正交矩阵的性质
nn
矩阵 A R
满足
(1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A
则 1 , 2 ,, n 为标准正交基 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
3
A为n维欧氏空间 Vn (R)的线性变换， 1 , 2 ,, n 是一组 标准正交基，若 A(1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A ， A R nn 则
nn A ( 1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A ， R 标准正交基，且 A
专题正交矩阵的性质及其应用
高等代数资源网 June 25, 2013
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例 3.12 (大连理工04)设V 为4维欧氏空间,σ 为V 的一个正交变换.若σ 无实特征值, 则V 可以分解为σ 的两个正交的不变 子空间的直和. 证明:首先证明若W 是正交变换σ 的不变子空间,则W ⊥ 也是σ 的不变子空间.实际上, 若W = {0},则结论显然成立.下设W ̸= {0},β1 , β2 , · · · , βr 是W 的一组基,由W 是不变子空 间,则σ (β1 ), σ (β2 ), · · · , σ (βr ) ∈ W,于是σ (W ) ⊆ W.而σ 是可逆的,所以σ (β1 ), σ (β2 ), · · · , σ (βr )线 性无关,仍为W 的基.这样W = σ (W ). ∀α ∈ W ⊥ , β ∈ W,由W 是σ 的不变子空间以及W = σ (W ),则存在γ ∈ W,使得σ (γ ) = β,于是 (σ (α), β ) = (σ (α), σ (γ )) = (α, γ ) = 0, 即σ (α) ∈ W ⊥ .所以W 是σ 的不变子空间. 现在证明原问题.由于σ 无实特征值,设u + vi是其一个复特征值,α + βi(α, β ∈ Rn )是对 应的特征向量,则由前题知α, β 正交,从而线性无关,于是W = L(α, β )是V 的2维子空间,且 由前题知W 是σ 的不变子空间,这样 V = W ⊕ W ⊥, 而dimW ⊥ = 2且是σ 的不变子空间. 例 3.13 (大连理工03)设V 是一个n维欧氏空间,σ 是正交变换,在V 的标准正交基下的 矩阵为A,证明: (1)若u + vi为A的一个虚特征根,则存在α, β ∈ V 使得 σα = uα + vβ, σβ = −vα + uβ (2)若A的特征值皆为实数,则V 可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和. (3)(华东师大03)若A的特征值皆为实数,则A为对称阵. 1 例 3.14 设A为n阶正交矩阵,λ为A的一个特征值,则 也是A的特征值. λ ◇※☆■◇◇※☆■◇ 6 高等代数资源网
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单位化 过程
例1 求与向量组 1 ( 1,1,0 ,0 ), 2 ( 1,0 ,1,0 ), 3 ( 1,0 ,0 ,1 ),
4 ( 1,1,1,1 )等价的正交单位向量组.
先正交化:
1 1 ( 1,1,0,0 )
2 2
( 2 , 1 ) 1 1 1 ( , ,1,0 ) ( 1 , 1 ) 2 2
正交化 过程
s s
( s ,1 ) ( s , s 1 ) 1 s 1 ( 1 ,1 ) ( s 1 , s 1 )
施密特(Schimict)正交化方法
i 再令 i ( i 1,2 , , n ) i 则 1 , 2 , , s 是与 1 , 2 , , s 等价的正交单位向量组
长度为1的向量称为单位向量
向量长度的性质
1 ) 0 , 0 0; 2 ) k k , k R , V ;
3 ) 如果 0 ,则
1
就是一个单位向量 , 称为把 单位化,
常记为 0.
定理9 n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是:它的行(列) 向量组是正交的单位向量组.
由性质1) 的对称性,则与性质2)、3)相对应的有
2 ) ( , k ) k ( , );
由性质1) 、2) 有
3 ) ( , ) ( , ) ( , ).
5 ) ( o , ) ( ,o ) 0
正交与正交向量组
Hale Waihona Puke 定义 如果向量 , 的内积为零,即 ( , ) 0
向量的长度
在解析几何中,向量的长度为 ( , )
在一般的向量空间中
由性质4 ), 有( , ) 0
所以对任意向量 , ( , )是有意义的 .
在一般的向量空间中引入长度的概念:
量 .非负实数 ( , ) 称 定义13 设是欧氏空间中的一个向 为向量的 长度, 记作 .
例1 求与向量组 1 ( 1,1,0 ,0 ), 2 ( 1,0 ,1,0 ), 3 ( 1,0 ,0 ,1 ),
4 ( 1,1,1,1 )等价的正交单位向量组.
再单位化: 1 1 1 ( , ,0 ,0 ) 2 2
1 1 2 2 ( , , ,0 ) 6 6 6
1 1 1 3 3 ( , , , ) 12 12 12 12
1 1 1 1 4 ( , , , ) 2 2 2 2
答案唯一 吗?
1 , 2 , 3 , 4即为所求
正交矩阵的元素之间的关系:
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n a nn
AT A AAT E
i j i j i j i j
a1i a1 j a 2 i a 2 j
1 a ni a nj 0 1 0
(1 )
a i 1a j 1 a i 2 a j 2 a ina jn
(1)与(2)这两组是等价的 正交条件
(2)
的内积为
定义11 两个n维的实向量 ( a1 , a 2 , , a n ), ( b1 , b2 , , bn ) ( , ) a1b1 a 2 b2 a n bn
( 3 ,1 ) ( 3 , 2 ) 1 1 1 3 3 1 2 ( , , ,1 ) ( 1 ,1 ) ( 2 ,2 ) 3 3 3 ( 4 , 3 ) ( 4 ,1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 ,1 ,1 ,1 ) ( 1 ,1 ) ( 2 ,2 ) ( 3 , 3 )
内积的性质:
1 ) ( , ) ( , );
(对称性) (线性性)
2 ) ( k , ) k ( , ); 3 ) ( , ) ( , ) ( , );
4) ( , ) 0,当且仅当 0时,( , ) 0. (非负性)
定理10 正交向量组一定是线性无关的.
定理11 设 1 , 2 , , s 是一个线性无关向量组,则可以找 到一个正交向量组 1 , 2 , , s ,使得 1 , 2 , , i 与 1 , 2 , , i ( i 1,2 , , s )等价 .
定理11 设 1 , 2 , , s 是一个线性无关向量组,则可以找 到一个正交向量组 1 , 2 , , s ,使得 1 , 2 , , i 与 1 , 2 , , i ( i 1,2 , , s )等价 . 1 1 ( , ) 2 2 2 1 1 ( 1 , 1 ) ( 3 ,1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 ,1 ) ( 2 ,2 )
则 , 称为正交或垂直, 记作 .
与解析几何中关于正交的定义是一致的.
1) 零向量与任意向量都正交. 2) 零向量是唯一与自己正交的向量.
定义12 一组非零向量,如果它们两两正交,那么就称为一个 正交向量组
1) 由一个非零向量组成的向量组是正交向量组. 2) 正交向量组是线性无关向量组. 3) 线性无关向量组未必是正交向量组． 4) 在n维向量空间中,最多有n个两两正交的非零向量. 5) n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是:它的行(列)向量 组是正交向量组.