高中数学巩固练习解析几何初步全章复习与巩固基础

知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ．要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ；（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；（2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；（3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；（4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ；（5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点；有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =:当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法．【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-．故使12//l l 的a 的值为0或16-．解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-．例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解．【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=．若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程；（3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，则有：''341022'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=．类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,3)B，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程；（2）过点的直线l截圆所得弦长为l 的方程．【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或y x =+ 【解析】（1）AB的中点坐标3(,22-，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)y k x -=-，即y kx k =，则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：3k=-，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或33y x=-+．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为211132-=--，即有直线l的斜率为2，即2121mm+-=+，即34m=-，则直线l的方程为2x－y－5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，. ∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．(2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得，求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=．错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =， ∴ 直线l 的方程为34100x y -+=．∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:．(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21m k m =+．因为21||(1)2m m ≤+，所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等成立．所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12．圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==，当2a =（满足0a <<|MN|最小，最小值为2．【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。

北师大版数学高一必修二练习第二章《解析几何初步》巩固

第二章一、选择题1．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能A本题考查了点与圆的位置关系．因为32－4×3＝－3<0，所以点P(3,0)在圆内，故过点P(3,0)的直线l与圆相交．本题不需要求解直线方程，只需判断点与圆的位置关系，便可得出答案．2．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有() A．2条B．3条C．4条D．0条B由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圆心和半径分别为O1(－2,2)，r1＝1.由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圆心和半径分别为O2(2,5)，r2＝4.因为d(O1，O2)＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d(O1，O2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．3．(广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是() A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0A设直线方程为x＋y＋m＝0，直线与圆相切，则|m|2＝1，m＝－2或m＝2(由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，所以选A.4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9D设动圆圆心为(x ，y )．当两圆内切时，(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1＝3，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9；当两圆外切时，(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1＝5，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.故应选D.二、填空题5．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a ＋y b＝1}，若A ∩B 是单元素集，则a ，b 满足的关系式为________．a 2＋b 2＝a 2b 2∵A ∩B 是单元素集，∴直线x a ＋y b＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，由点到直线的距离公式可得：|－ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝a 2b 2. 6．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0切于点(2，－1)，则圆的方程是________________________．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2∵圆与直线x ＋y －1＝0相切，并切于点M (2，－1)．如图所示，则圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上，l 的方程是y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，即圆心O 1(1，－2)，r ＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2.则方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.7．一个圆过(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝13与(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程为________．x 2＋y 2－2y ＋12＝0设圆的方程为(x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋4)＋λ(x 2＋y 2＋6x ＋4y )＝0，∴圆心坐标为(－2＋3λ1＋λ，－1＋2λ1＋λ)． ∵圆心在y 轴上，∴2＋3λ＝0.∴λ＝－23，代入圆的方程化简即可．三、解答题8．设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上．(1)求(x －2)2＋y 2的最小值；(2)求y ＋2x ＋1的最小值． (1)式子(x －2)2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22＋12＝5，圆的半径是1，所以(x －2)2＋y 2的最小值是5－1.(2)式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝43.故y ＋2x ＋1的最小值是43.。

巩固练习-《立体几何初步》全章复习和巩固-基础.doc

【巩固练习】1.（2016成都模拟）已知mm为空间中两条不同的直线，。

邛为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A,若则 B.若a. m A "则〃〃aC.若mH a,mJ In则〃〃aD.若mll[i则仁八2.如图，网格纸上小正方形的边长为I,粗线画出的是某儿何体的三视图,则此儿何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 183.卜列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平而所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4.已知空间三条直线/、m、〃.若，与，〃异面，且，与〃异面，则（）A.，〃与〃异而.B. "2与〃相交.C.血与〃平行.D.血与〃异面、相交、平行均有可能.5.设m, n是两条不同的直线，。

，”是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）.A. m±a , nu /3 , m±n=><7 JL[3B. a 〃&, m±a » n〃/? =>m_LnC. a _L " , m_La, n// /3 => m±nD. a _L ” , a （3 =m, n±m=>n± /?6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A. 25勿B. 50勿C. 125/rD.都不对7.如图，在正方体ABCD-A.B J C I D.中，E, F, G, H分别为AA” AB, BB” B|G的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（）.A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°8.如图，动点P 在正方体ABCD.A|B|GD ］的对角线B 。

114【基础】高考冲刺：解析几何综合问题巩固练习

A. ( 2 6 ,1) 3
B. ( 2 6 ,1) 3
C. (1, 3) 2
D. (1, 3) 2
6．椭圆
x2 4
y2 3
1 上有 n 个不同的点:
P1,
P2,
…,
Pn,
椭圆的右焦点为 F.
数列
｛|PnF|｝是公差大于
1 100
的等差数列,
则 n 的最大值是（
）
A 198
B 199
C 200
D 201
是
。
12 ．已知 A(0, 4), B(3, 2) ，抛物线 y x2 上的点到直线 AB 的最段距离为
__________。 13．已知圆 C 同时满足下列三个条件：①与 y 轴相切；②在直线 y=x 上截得的弦长为
2 7 ；③圆心在直线 x-3y=0 上，求圆 C 的方程.
B. 5x+12y+20=0 或 x+4=0
C.5x-12y+20=0
D. 5x-12y+20=0 或 x+4=0
3．设曲线
C
的参数方程为
x y
2 3cos 1 3sin
(
为参数)，直线
l
的方程为
x
3
y
2
0
，
则曲线 C 上到直线 l 距离为 7 10 的点的个数为 10
A．1 B．2 C．3
9．双曲线 tx2 y2 1 的一条渐近线与直线 2x y 1 0 垂直，则这双曲线的离心率为
___。
10．若直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 交于 A 、 B 两点，若线段 AB 的中点的横坐

【成才之路】高中数学第2章解析几何初步基础巩固北师大版必修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学第2章解析几何初步基础巩固北师大版必修2一、选择题1．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 [答案] A[解析] 本题考查了点与圆的位置关系．因为32－4×3＝－3<0，所以点P (3,0)在圆内，故过点P (3,0)的直线l 与圆相交．本题不需要求解直线方程，只需判断点与圆的位置关系，便可得出答案．2．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．0条 [答案] B[解析] 由x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，得圆心和半径分别为O 1(－2,2)，r 1＝1. 由x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，得圆心和半径分别为O 2(2,5)，r 2＝4.因为d (O 1，O 2)＝5，r 1＋r 2＝5，即r 1＋r 2＝d (O 1，O 2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．3．(广东高考)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[答案] A[解析] 设直线方程为x ＋y ＋m ＝0，直线与圆相切，则|m |2＝1，m ＝－2或m ＝2(由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，所以选A.4．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9[答案] D[解析] 设动圆圆心为(x ，y )．当两圆内切时，x －2＋y ＋2＝4－1＝3，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9；当两圆外切时，x －2＋y ＋2＝4＋1＝5，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.故应选D.二、填空题5．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a ＋y b ＝1}，若A ∩B 是单元素集，则a ，b 满足的关系式为________．[答案] a 2＋b 2＝a 2b 2[解析] ∵A ∩B 是单元素集，∴直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，由点到直线的距离公式可得： |－ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝a 2b 2. 6．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0切于点(2，－1)，则圆的方程是________________________．[答案] (x －1)2＋(y ＋2)2＝2[解析] ∵圆与直线x ＋y －1＝0相切，并切于点M (2，－1)．如图所示，则圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上，l 的方程是y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2，即圆心O 1(1，－2)，r ＝－2＋－1＋2＝ 2. 则方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.7．一个圆过(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝13与(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程为________．[答案] x 2＋y 2－2y ＋12＝0[解析] 设圆的方程为(x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋4)＋λ(x 2＋y 2＋6x ＋4y )＝0，∴圆心坐标为(－2＋3λ1＋λ，－1＋2λ1＋λ)． ∵圆心在y 轴上，∴2＋3λ＝0.∴λ＝－23，代入圆的方程化简即可．三、解答题8．设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上．(1)求x －2＋y 2的最小值； (2)求y ＋2x ＋1的最小值． [解析] (1)式子x －2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22＋12＝5，圆的半径是1，所以x －2＋y 2的最小值是5－1.(2)式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝43.故y ＋2x ＋1的最小值是43.。

高中数学高考总复习---解析几何综合问题巩固练习题(含答案解析)

2
b
(a)
2
(b)
2ab ab
.
【巩固练习】 1.（2016 浦东新区一模）方程 kx2+4y2=4k 表示焦点在 x 轴的椭圆，则实数 k 的取值范围是（） A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜4
2．若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 (x 2)2 y2 1有公共点，则直线 l 的斜率的取值范
16.已知函数 f(x) x ，g(x)＝alnx，a R.
(Ⅰ)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求 a 的值和该切线方程；
(Ⅱ)设函数 h(x)＝f(x)-g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其最小值 (a)的解析式；
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的(a) 和任意的 a＞0，b＞0，证明：
方程为（）
A.5x+12y+20=0
B. 5x+12y+20=0 或 x+4=0
C.5x-12y+20=0
D. 5x-12y+20=0 或 x+4=0
3．设曲线
C
的参数方程为
x y
2 3cos 1 3sin
(
为参数)，直线
l
的方程为
x
3y
2
0
，
则曲线 C 上到直线 l 距离为 7 10 的点的个数为 10
高中数学高考总复习---解析几何综合问题巩固
练习题（含答案解析）
【巩固练习】 1．曲线 y x 在点 (1, 1) 处的切线方程为 x2
A． y 2x 1
B． y 2x 1
C． y 2x 3
D． y 2x 2
2．过点（-4，0）作直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y-20=0 交于 A,B 两点，如果|AB|=8，则 l 的

巩固练习_《解析几何初步》全章复习与巩固

A,B两点，且|AB|=6,则圆C的方程为.
2 2
11.已知圆c：(x-2)y=3，直线l与圆C相切并且在两坐标轴上的截距相等，贝y直线丨的
方程为.
12.设a • b=k(k= 0,k为常数)，则直线ax by=1恒过定点.
13.若直线丨过点P(3,0)且与两条直线h：2x-y-2=0,—x+y+3=0分别相交于两点A、B,
f—
A.2B.1、、2 C.1D.122
2
6.由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）
A.1B.2、2C.JD.3
7.在圆（x-3）2• （y-5）2=2的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有（）
A.4条B.5条C.6条D.8条
.2 2
&过点（-4,0）作直线l与圆x y-2x-4y-20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则
5
半弦长为4,可求得k，则l为5x 12y2^0.
12
9.［答案】x- y-1=0
［解析】该圆的圆心为(-1,2)，圆心与弦AB中点确定的直线应与直线l垂直，故斜率乘积应等于-1,可得K=二1=1，所以直线l的方程为y-0=x-1,即卩x-y-1 = 0.
2 2
10.
b-d
1,ja+2
【解析】设点P(- 2,1)关于直线
且点P平分线段AB•求直线丨的方程.
14.如果实数x、y满足(x+2)2+y2=3,求
(1)y的最大值；(2)2x-y的最小值.
x
15.已知曲线C：x+y-4ax+2ay-20+20a=0.
(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过一定点；

知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ．要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ；（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；（2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；（3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；（4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ；（5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点；有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =:当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法．【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-．故使12//l l 的a 的值为0或16-．解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-．例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解．【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=．若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程；（3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，则有：''341022'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=．类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,3)B，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程；（2）过点的直线l截圆所得弦长为l 的方程．【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或y x =+ 【解析】（1）AB的中点坐标3(,22-，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)y k x -=-，即y kx k =，则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：3k=-，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或33y x=-+．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为211132-=--，即有直线l的斜率为2，即2121mm+-=+，即34m=-，则直线l的方程为2x－y－5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，. ∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．(2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得，求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=．错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =， ∴ 直线l 的方程为34100x y -+=．∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:．(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21m k m =+．因为21||(1)2m m ≤+，所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等成立．所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12．圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==，当2a =（满足0a <<|MN|最小，最小值为2．【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。

高中数学必修2知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ．要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ；（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；（2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；（3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；（4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ；（5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点；有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =，则:当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法．【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-．故使12//l l 的a 的值为0或16-．解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-．例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解．【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=．若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程；（3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，则有：''341022'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=．类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,)B ，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程．【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+【解析】（1）AB的中点坐标3(,2，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)3y k x -=-，即3y kx k =+-，则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：k=，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为211132-=--，即有直线l的斜率为2，即2121mm+-=+，即34m=-，则直线l的方程为2x－y－5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点； (2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，.∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)． (2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得，求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=．错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =，∴ 直线l 的方程为34100x y -+=． ∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m my x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+．因为21||(1)2m m ≤+，所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立．所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12．圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==当a =（满足0a <<|MN|．【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。

【精品】高中数学必修2_《解析几何初步》全章复习与巩固 -讲义知识点讲解+巩固练习(含答案)基础

《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系 1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直。

2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= 。

54《立体几何初步》全章复习与巩固(基础)-知识讲解_《立体几何初步》全章复习与巩固 -基础

《立体几何初步》全章复习与巩固编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征.2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图.3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式.5.理解平面的基本性质及确定平面的条件.6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质.7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．要点二：平面基本性质刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：(1)空间中的平行关系如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(2)空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C【解析】该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为23545V ππ=⨯⨯=,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=,所以体积为57π.【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_____.【答案】92【解析】由三视图可知,原几何体是一个底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,其底面积为(25)42282+⨯=,侧面积为(4255)464+++⨯=,故表面积为92.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG.正视图【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V 长方体-V 正三棱锥，求该多面体的体积；（3）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，在所给直观图中连接BC′，证明EG∥BC′，即可证明BC′∥面EFG．【解析】（1）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图）（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．（3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，所以AD EG '∥，从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．【总结升华】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视．类型二：几何体的表面积和体积例3．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()ABC DE FGA 'B 'C 'D 'A ．280B ．292C ．360D ．372【答案】C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的侧面积S ＝2×(10×8+10×2+8×2)+2×(6×8+8×2)＝360．【总结升华】把三视图转化为直观图是解决问题的关键．又根据三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各条棱的长度．把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的侧面积．举一反三：【变式1】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）A ．285+B ．305+C ．565+D ．60125+【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得:10,10,10,5S S S S ====后右左底,因此该几何体表面积305S =+,故选B.例4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A ．2aπB ．273a πC ．2113a πD ．25aπ【答案】B【解析】设三棱柱底面所在圆的半径为r ，球的半径为R ，易知233323r a =⨯=，所以球的半径R 满足：22223173212R a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22743S R a ππ==球．【总结升华】这是一个球内接三棱柱，球心是三棱柱两底中心连线的中点，这是本题的关键之处．举一反三：【变式1】如图,在长方体1111ABCD A BC D -中,3cm AB AD ==,12cm AA=,则四棱锥11A BB D D -的体积为cm 3.【答案】6.【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中BD cm,BD cm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高).∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯⨯.类型三：直线、平面的平行与垂直例5.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1、AB 的中点.（1）求证：C 1M⊥平面A 1ABB 1；（2）求证：A 1B⊥AM；（3）求证：平面AMC 1∥平面NB 1C；（1）【证明】方法一由直棱柱性质可得AA 1⊥平面A 1B 1C 1，又∵C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥MC 1.又∵C 1A 1=C 1B 1，M 为A 1B 1中点，∴C 1M⊥A 1B 1.又A 1B 1∩A 1A=A 1，∴C 1M⊥平面AA 1B 1B.方法二由直棱柱性质得：平面AA 1B 1B⊥平面A 1B 1C 1，交线为A 1B 1，又∵C 1A 1=C 1B 1，M 为A 1B 1的中点，∴C 1M⊥A 1B 1于M.由面面垂直的性质定理可得C 1M⊥平面AA 1B 1B.（2）【证明】由（1）知C 1M⊥平面A 1ABB 1，∴C 1A 在侧面AA 1B 1B 上的射影为MA.∵AC1⊥A 1B，MC 1⊥A 1B，MC 1∩AC 1=C 1，∴A 1B⊥平面AMC 1，又AM ⊂平面AMC 1，∴A 1B⊥AM.（3）【证明】方法一由棱柱性质知四边形AA 1B 1B 是矩形，M、N 分别是A 1B 1、AB 的中点，∴AN //B 1M.∴四边形AMB 1N 是平行四边形.∴AM∥B 1N.连接MN，在矩形AA 1B 1B 中有A 1B 1//AB.∴MB 1//BN，∴四边形BB 1MN 是平行四边形.∴BB 1MN.又由BB 1//CC 1，知MN //CC 1.∴四边形MNCC 1是平行四边形.∴C 1M //CN.又C 1M∩AM=M，CN∩NB 1=N，∴平面AMC 1∥平面NB 1C.方法二由（1）知C 1M⊥平面AA 1B 1B，A 1B ⊂平面AA 1B 1B，∴C 1M⊥A 1B.又∵A 1B⊥AC 1，而AC 1∩C 1M=C 1，∴A 1B⊥平面AMC 1.同理可证，A 1B⊥平面B 1NC.∴平面AMC 1∥平面B 1NC.【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式1】如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA Ð=°，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在 AB 上，且OM ∥AC ．（Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；【解析】（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥PA .因为PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以OE ∥平面PAC .因为OM ∥AC ，因为AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以OM ∥平面P AC .因为OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O = ，所以平面MOE ∥平面PAC .（Ⅱ）证明：因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以90ACB Ð=°，即BC AC ⊥.因为PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A = ，所以BC ^平面PAC .因为BC Ì平面PBC ，所以平面PAC ^平面PCB .【总结升华】（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等.（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明的最常用方法.例6．如图所示，在五棱锥P -ABCDE ，PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC＝45°，AB ＝，BC ＝2AE ＝4，三角形PAB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；(3)求四棱锥P -ACDE 的体积．【解析】(1)证明：因为∠ABC ＝45°，AB ＝BC ＝4，所以在△ABC 中，由余弦定理得：AC 2＝22424cos 458+-⨯=°，解得AC =．所以AB 2+AC 2＝8+8＝16＝BC 2，所以AB ⊥AC ．又PA ⊥平面ABCDE ，所以PA ⊥AB ．又PA∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ．又AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAC ．又因为CDC 平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC ．(2)由(1)知平面PCD ⊥平面PAC ，所以在平面PAC 内，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PCD ．又AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离等于点B 到平面PCD 的距离．过点B 作BO ⊥平面PCD 于点O ，连接PO ，则∠BPO 为所求角，且AH ＝BO ，又容易求得AH ＝2，所以sin ∠BPO ＝12，即∠BPO ＝30°，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30°．(3)由(1)知CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥AC ．又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是直角梯形．又容易求得DE ，所以四边形ACDE 的面积为132⨯+⨯=，所以四棱锥P -AC -DE 的体积为133⨯=【总结升华】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积，考查了同学们的空间想象能力．举一反三：【变式1】如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD 是等边三角形，已知BD=2AD=8，（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD 的体积.【证明】（1）在ΔABD 中，因为所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥.又因为面PAD ⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BD ⊂面ABCD 所以BD⊥面PAD.又BD ⊂面BDM，所以面MBD⊥面PAD.（2）过P 作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO 为四棱锥P-ABCD 的高.又ΔPAD 是边长为4的等边三角形，∴PO=在底面四边形ABCD 中，AB//DC，AB=2DC，∴四边形ABCD 为梯形.在Rt ADB ∆中，斜边AB855=，此即为梯形的高.∴S 四边形ABCD =2545852425+⨯=，∴1243P ABCD V -=⨯⨯=类型四：折叠问题例7．在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -C -D ．求证：平面ABC ⊥平面BCD ．证明：如下图，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图形．∵平面ABC ⊥平面ACD ，交线为AC ，又AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°(在图(1)中)，∴∠ACD ＝90°，CD ⊥AC ．∴CD ABC CD BCD ⊥⎫⇒⎬⎭平面平面Þ平面ABC ⊥平面BCD ．举一反三：【变式1】如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ；PP（Ⅱ）求证：1A E ⊥EP .图1图2【解析】证明：（Ⅰ）取1A E 中点M ，连结,QM MF ．在△1A BE 中，,Q M 分别为11,A B A E 的中点，所以QM ∥BE ，且12QM BE =．因为12CF CP FA PB ==，所以PF ∥BE ,且12PF BE =，所以QM ∥PF ，且QM PF =．所以四边形PQMF 为平行四边形．所以PQ ∥FM ．又因为FM ⊂平面1A EF ，且PQ ⊄平面1A EF ，所以PQ ∥平面1A EF ．（Ⅱ）取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形.又因为1AE ED ==,所以EF AD ⊥.所以在图2中有1A E EF ⊥.因为平面1A EF ⊥平面EFB ，平面1A EF 平面EFB EF =，所以1A E⊥平面BEF.又EP 平面BEF，所以1A E⊥EP.。

高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究(含解析)北师大版必修2

高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究A组基础巩固1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.答案A2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案B3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.答案C4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案60°7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则下列说法正确的是(填序号).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.导学号91134044已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解(1)如图,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.∵DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组能力提升1.若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案B2.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案B3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案C4.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.解析依题意知,直线l的斜率为k=tan135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案-25.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案2x+3y-4=06.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案-或-7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).8.导学号91134045如图,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解如图,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.。

2.7 解析几何初步复习与巩固教师版

解析几何初步全章复习与巩固类型一：直线方程的综合问题例1．已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-．故使12//l l 的a 的值为0或16-．例2．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【解析】在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得(4,3)P '--， ∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=．类型二：圆的方程的综合问题例3．已知圆C 经过点A （2，0）、(1,B ，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程；（2）过点的直线l截圆所得弦长为l 的方程．【解析】（1）AB的中点坐标3(,2，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)3y k x -=-，即3y kx k =+-，则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：3k=-，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或33y x=-+．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y-+=例4．已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩，故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C ：22(1)(2)25x y -+-=的圆心C （1，2），由直线CP 的斜率为211132-=-- ，即有直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，即34m =-，则直线l 的方程为2x －y －5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y +-+-+=，其中a≠1，且a ∈R ． (1)求证：a≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点； (2)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，.，∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．(2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a)，又设圆心坐标为(x ，y)，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a)总在直线x+y-2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O ，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为2，利用点到直线的距离公式得，求得c =±2． ∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P(2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．【解析】当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴2=，解得34k =， ∴ 直线l 的方程为34100x y -+=．∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．【变式2】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【解析】设点(,1,0)M x x -，则2222||(6)(15)(01)2(1)51MN x x x =-+--+-=-+，当1x =时，min ||51MN =，此时，点M （1，0，0）．【巩固练习】1．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 1. 【答案】B 【解析】42,82mk m m -==-=-+ 2．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线x+y ＝0垂直的直线方程是( )A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=2．【答案】A 【解析】设直线方程为x-y+m ＝0，又过(-1，0)点，代入得m ＝l ，故直线方程为10x y -+=3．若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x+2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．22(5)5x y -+= B ．22(5)5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++=3．【答案】D 【解析】设圆心为(a ，0)(a ＜0)．因为直线x+2y ＝0与圆相切，所以22512=+，即55=，解得5a =-．所以圆C 的方程为22(5)5x y ++=．4．如果圆22()(1)1x a y -+-=上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．((0,22)-B ．(-C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-4．【答案】A 【解析】∵ 圆22()(1)1x a y -+-=上总存在两个点到原点的距离为2，∴ 圆O ：224x y +=与圆C ：22()(1)1x a y -+-=相交，∵ OC =，由R r OC R r -<<+得：13<<，∴ 0a <<，∴ 0a -<<或0a <<5．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+5. 【答案】B 【解析】圆心为max (1,1),1,1C r d ==6．若圆C ：x 2+y 2+2x －4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称，则由点（a ，b ）所作的切线长的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．66．【答案】C 【解析】将圆C ：x 2+y 2+2x ―4y +3=0化为标准方程得：(x +1)2+(y ―2)2=2，∴圆心C （－1，2），半径r =∵圆C 关于直线2ax +by +6=0对称，∴直线2ax +by +6=0过圆心，将x =―1，y =2代入直线方程得：―2a +2b +6=0，即a =b +3，∵点（a ，b ）与圆心的距离d =，∴点（a ，b ）向圆C 所作切线长l ==4==当且仅当b =－1时弦长最小，最小值为4．7．在圆22(3)(5)2x y -+-=的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有( )A ．4条B ．5条C ．6条D ．8条7．【答案】B 【解析】画出草图观察并计算验证可知这样的直线有5条．8．过点(-4，0)作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 两点，如果|AB|＝8，则x 的方程为( ) A ．5x+12y+20＝0 B ．5x+12y+20＝0或x+4＝0 C ．5x-12y+20＝0 D ．5x-12y+20＝0或x+4＝08．【答案】B 【解析】当l 斜率不存在时，方程为x ＝-4，此时弦心距为3，半径为5，可得半弦长为4，满足题意；当l 斜率存在时，设方程为(4)y k x =+，又半径为5，半弦长为4，可求得512k =-，则l 为512200x y ++=．9．直线l 与圆22240x y x y a ++-+=(a ＜0)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(1，0)，则直线l 的方程为________．9．【答案】x-y-1＝0 【解析】该圆的圆心为(-1，2)，圆心与弦AB 中点确定的直线应与直线l 垂直，故斜率乘积应等于-1，可得111l k -==-，所以直线l 的方程为01y x -=-，即10x y --=．10．已知圆C 的圆心与点P(-2，1)关于直线y ＝x+1对称．直线3x+4y-11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为________．10．【答案】22(1)18x y ++= 【解析】设点P(-2，1)关于直线1y x =+的对称点为C(a ，b)，则11212122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，.，∴ 01a b =⎧⎨=-⎩，. ∴ 圆心C(0，-1)， ∴ 圆心C 到直线34110x y --=的距离为|411|35d --==．又弦长|AB|＝6，由半径、半弦长、弦心距d 构成直角三角形得222||2AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 29918r =+=．∴ 圆C 的方程为22(1)18x y ++=．11．已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：x －y －1=0被圆C所截得的弦长为则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．11．【答案】x +y +1=0【解析】设圆心坐标为（a ，0），则由直线被圆C 所截得的弦长为，得222(1)a +=-，解得a =3或－1， ∵ 圆心在x 轴的负半轴上，∴ a =－1，故圆心坐标为（－1，0），∵直线l 的斜率为1，∴ 过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为y －0=－（x －1），即x +y +1=012．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点．12．【答案】11(,)k k【解析】1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=对于任何a R ∈都成立，则010x y ky -=⎧⎨-=⎩。

高中数学解析几何基础复习题集附答案

高中数学解析几何基础复习题集附答案高中数学解析几何基础复习题集附答案在高中数学中，解析几何是一个非常重要的内容。

解析几何是指在直角坐标系中，通过代数的方法来研究几何问题。

掌握解析几何的基础知识对于学习高中数学以及应用数学都非常有帮助。

为了帮助大家进行复习，下面将提供一些高中数学解析几何基础题目，并附上详细的答案解析。

1. 已知直线L1：2x + 3y = 5和L2: y = 4x - 1，求两直线的交点坐标。

解析：首先将直线L1和L2的方程组合，得到2x + 3(4x - 1) = 5，化简得到14x - 3 = 5，继续化简得到14x = 8，x = 8/14 = 4/7。

代入L2的方程求y的值，得到y = 4(4/7) - 1 = 16/7 - 7/7 = 9/7。

所以两直线的交点坐标为(4/7, 9/7)。

2. 已知直线L：x + y = 4和曲线C：x^2 + y^2 = 5，求直线与曲线的交点坐标。

解析：将直线L的方程代入曲线C的方程中，得到(x + y)^2 + y^2 = 5，展开得到x^2 + y^2 + 2xy + y^2 = 5，化简得到x^2 + 2xy + 2y^2 = 5。

由于直线L与曲线C有交点，所以存在某个x和y满足这个方程。

观察方程的左边，可以发现它可以写成(x + y)^2 + y^2 = 5，也就是(x +y)^2 = 5 - y^2。

由于(x + y)^2必须大于等于0，所以5 - y^2必须大于等于0，解这个不等式得到-√5 ≤ y ≤ √5。

将y的取值范围代入方程(x +y)^2 = 5 - y^2，解得x = 4 - y。

因此，两直线的交点坐标为(x, y) = (4 - y, y)，其中-√5 ≤ y ≤ √5。

3. 已知平面内三点A(1, 2)，B(3, -4)，C(-2, 3)，判断是否共线。

解析：判断三点是否共线可以利用向量的共线条件。

设有两个向量AB和AC，若这两个向量共线，则存在一个实数k，使得AB = kAC。

37巩固练习_《解析几何初步》全章复习与巩固 -基础

【巩固练习】1．经过点P （2，-1），且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线的方程是（）A ．2x+y ＝2B ．2x+y ＝4C ．2x+y ＝3D ．2x+y ＝3或x+2y ＝02．已知A （3，2）和B （-1，4）两点到直线mx+y+3＝0的距离相等，则的值为（）A ．0或B ．或-6C ．或D ．0或3．直线的方程为Ax+By+C ＝0，若过原点和第二、四象限，则有（） A ．C ＝0且B ＞0B．C ＝0且B ＞0，A ＞0 C ．C ＝0且A·B ＜0 D ．C ＝0且A·B ＞04．经过圆的圆心C ，且与直线2x +3y －4=0平行的直线方程为（）A ．2x +3y +3=0 B ．2x +3y －3=0 C ．2x +3y +2=0 D ．3x －2y －2=05．若圆心在x C 位于y轴左侧，且与直线x+2y ＝0相切，则圆C 的方程是（）A ．B ．C ．D ．6．（2016 兰州模拟）已知直线ax +y ―1=0与圆C ：(x ―1)2+(y +a )2=1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰三角形，则实数a 的值为（）A ．或―1 B ．―1 C ．1或―1 D ．17．圆和圆交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．x+y+3＝0 B ．2x-y-5＝0 C ．3x-y-9＝0 D ．x-3y+7＝08．由直线y ＝x+1上的一点向圆（x-3）2+y 2＝1引切线，则切线长的最小值为（） A ．1 B ．C D ．39．（2015秋江苏如皋市期中）已知圆上存在两点到点（m ，m ）（m ＞0）的距离为1，则实数m 的取值范围为．10．过点P （2，1）且与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1＝0相切的直线的方程为_________．11．若直线x ＝1与直线垂直，则a ＝_________．12．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________．13．（2016 湖北随州期末）设直线l 的方程为(a +1)x +y +2－a =0（a ∈R ）．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．14．（2015年云南一模）已知圆C 的圆心在直线上，与直线相切，且截得直线所得弦长为6，求圆C 的方程．15．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0．（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；l m 12-1212-1212l l 22(1)1x y ++=22(5x y +=22(5x y +=22(5)5x y -+=22(5)5x y ++=1722460x y x y +-+=2260x y x +-=224x y +=2103a x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭1:10l x y --=2:43140l x y ++=3:34100l x y ++=（2）若（1）中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥O N （O 为坐标原点），求m ；（3）在（2）的条件下，求以M N 为直径的圆的方程．16．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0．是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1．【答案】D【解析】当直线不过原点时，设直线方程为，将P 点代入可得，即直线方程为2x+y ＝3；当直线过原点时直线方程为x+2y ＝0．2．【答案】B【解析】若A 、B 在直线同侧，则有，解得；若A 、B 在直线异侧，可求得其中点（1，3），代入直线方程得m+3+3＝0，得m ＝-6．3．【答案】D【解析】由直线过原点，知C ＝0，过第二、四象限知，即A·B ＞0．4．【答案】A【解析】设所求直线的方程为2x +3y +c =0，把圆心C（0，－1）代入，可得0－3+c =0，解得c =3，故所求的直线的方程为2x +3y +3=0，故选：A ．5．【答案】D【解析】设圆心为（a ，0）（a ＜0）．因为直线x+2y ＝0，解得．所以圆C 的方程为．6．【答案】C【解析】由题意可得△ABC 是等腰直角三角形，∴圆心C（1，―a ）到直线ax+y ―1=0的距离等于，，∴a ±1，故选C ．7．【答案】C【解析】公共弦的垂直平分线为两圆的连心线，两圆心分别为（2，-3），（3，0），可得直线方程为3x-y-9＝0．8．【答案】C【解析】设满足条件的点为（a ，a+1），则切线长a ＝1时，．12x y a a +=32a =4213m --=--12m =0A B-<==5a =-22(5)5x y ++=sin 45r ⋅︒==l ===min l =9．【解析】由题意得，点（m ，m ）到圆心（0，0）的距离大于1小于3，即，∴，．10．【答案】x＝2或3x －4y －2＝0【解析】圆的标准方程为（x －1）2＋（y ＋1）2＝1，当切线斜率不存在时，x ＝2满足条件；当切线斜率存在时，可设直线方程为y －1＝k （x －2），利用圆心到直线的距离等于半径，即d 1，得k ＝，∴ 切线方程为3x －4y －2＝0．11．【答案】【解析】x ＝1斜率不存在，若要垂直，则+y +1＝0的斜率为0．12．【答案】x －y +2＝0【解析】由已知得两圆的圆心坐标分别为（0，0）和（－2，2）．所以直线l 的斜率为1，并过点（－1，1）．所以直线l 的方程是y －1＝x ＋1，即x －y +2＝0．13．【答案】（1）3x +y =0或x +y +2=0；（2）（―∞，－1]．【解析】（1）令x =0，得y =a －2．令y =0，得（a ≠－1）．∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴，得a =2或a =0．∴所求的直线l 方程为3x +y =0或x +y +2=0．（2）直线l 的方程可化为y =―(a +1)x +a ―2．∵l 不过第二象限，∴，∴a ≤―1．∴a 的取值范围为（―∞，－1]．14．【答案】【解析】设圆C （a ，b ），半径为r ，则∵ 圆C 的圆心在直线上，∴ a －b －1=0，∵ 圆C 与直线相切，∴ ，a <<13<<a <<a <<342323a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭21a x a -=+221a a a --=+(1)020a a -+≥⎧⎨-≤⎩22(2)(1)25x y -+-=1:10l x y --=2:43140l x y ++=43145a b r ++=∵ 圆C 截得直线所得弦长为6，∴∴ ，即，∵ a －b =1，∴ ，∴ a +b =3由解得故所求圆C 的方程为．15．【解析】（1）（x －1）2＋（y －2）2＝5－m ，∴ m ＜5．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，∴ x 1x 2＝16－8（y 1＋y 2）＋4y 1y 2．∵ OM ⊥ON ，∴ x 1x 2＋y1y 2＝0，∴ 16－8（y1＋y 2）＋5y 1y 2＝0．①由得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴ y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，代入①得，m ＝．（3）以MN 为直径的圆的方程为（x －x 1）（x －x 2）＋（y －y 1）（y －y 2）＝0，即x 2＋y 2－（x 1＋x 2）x －（y 1＋y 2）y ＝0． ∴ 所求圆的方程为x 2＋y 2－x －y ＝0．16．【解析】假设存在直线l 满足题设条件，且设l 的方程为y ＝x ＋m ，圆C 化为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9，圆心C （1，－2），则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－（x －1）的交点，即N．∵ 以AB 为直径的圆经过原点，∴ |AN |＝|O N |．又CN ⊥AB ，|CN |∴ |AN |．又|O N |由|AN |＝|O N |，解得m ＝－4或m ＝1．∴ 存在直线l ，其方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1．3:34100l x y ++=34105a b ++=22(4314)(3410)92525a b a b ++++-=(4)(7724)925a b a b -+++=5(7724)925a b ++=13a b a b -=⎧⎨+=⎩21a b =⎧⎨=⎩22(2)(1)25x y -+-=2242,240x y x y x y m =-⎧⎨+--+=⎩16585m +858516511,22m m +-⎛⎫- ⎪⎝⎭。

苏教版高中数学必修二巩固练习_《立体几何初步》全章复习与巩固_基础

【巩固练习】1．如图，设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )．A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BCD ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC2．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（） A ．6 B ．9 C ．12 D ．183．下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行4．已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是()．A ．m ⊥α，n β⊂，m ⊥n ⇒αβ⊥B ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC ．αβ⊥，m ⊥α，n ∥β⇒ m ⊥nD ．αβ⊥，αβ＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β6．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对7．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为( )．A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N ．设．BP ＝x ，MN ＝y ，则函数()y f x =的图像大致是( )．9．已知某组合体的三视图如图所示，则该组合体是由________组合而成的．10．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．11．如图，在正三棱柱111ABC A B C - 中，D 为棱AA 1的中点。

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