空间立体几何初步单元测试_教学设计_教案
数学高中立体几何初步教案
数学高中立体几何初步教案
教学目标：
1.了解立体几何的基本概念和性质
2.掌握立体几何的基本公式和计算方法
3.培养学生分析和解决问题的能力
教学内容：
1. 立体几何的基本概念
2. 空间的点、直线、面
3. 空间几何体的投影
4. 空间几何体的旋转体
教学过程：
1.导入：通过展示几何体模型或图片引发学生对立体几何的兴趣
2.讲解立体几何的基本概念和性质，如点、直线、面等的定义和特点
3.讲解空间几何体的投影和旋转体的概念，引导学生理解其形成及应用
4.指导学生完成相关练习和作业，巩固所学知识
5.进行课堂讨论和展示，总结重点知识和难点
教学方法：
1.讲授法：通过教师讲解和示范引导学生理解概念和性质
2.讨论法：通过小组讨论和互动，促进学生思考和交流
3.实践法：通过实际练习和应用, 提高学生解决问题的能力
评价与反思：
1.对学生掌握情况进行诊断性评价，及时调整教学步骤和方法
2.反思教学过程中的不足和改进方案，提高教学效果和学生学习质量拓展与应用：
1.鼓励学生积极参与校内外竞赛或活动，提高立体几何能力
2.激发学生对数学的兴趣, 培养其数学建模和解决实际问题的能力教学反馈：
1.及时对学生的学习情况进行反馈，并提供个性化指导和帮助
2.鼓励学生在学习立体几何中发现问题，并主动探索解决方案
教师签名：_________ 日期：_________。
高中数学教案《立体几何初步》
教学设计：《立体几何初步》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解空间几何体的基本概念，掌握点、线、面的位置关系及基本性质，能够识别并绘制简单的空间图形，理解并计算空间几何体的表面积和体积。
2.过程与方法：通过观察、分析、比较等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；通过小组合作，提高学生解决问题的合作与交流能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对立体几何的兴趣，培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神；在解决问题过程中，体验数学的严谨性和美感。
二、教学重点和难点●重点：空间几何体的基本性质，点、线、面的位置关系，空间几何体的表面积和体积计算。
●难点：空间想象能力的培养，复杂空间图形的识别与绘制，以及利用空间几何性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：展示生活中常见的立体几何体（如建筑、家具、自然物体等），引导学生观察并讨论它们的共同特征，引出立体几何的概念。
●问题驱动：提出一个与立体几何相关的问题，如“如何计算一个房间的体积？”激发学生好奇心，为新课学习做好铺垫。
●明确目标：简要说明本节课的学习目标和任务，让学生有清晰的学习方向。
2. 知识点讲解（15分钟）●基本概念阐述：详细讲解空间几何体的定义、分类及基本性质，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等。
●位置关系分析：通过图示和实例，讲解点、线、面在空间中的位置关系，如平行、垂直、相交等，并引导学生理解其性质。
●公式推导：简要推导空间几何体表面积和体积的计算公式，让学生理解公式的来源和适用范围。
3. 直观演示与操作（10分钟）●多媒体演示：利用多媒体课件展示空间几何体的动态形成过程，帮助学生建立直观的空间形象。
●实物模型展示：展示空间几何体的实物模型，让学生亲手触摸、观察，加深对空间图形的认识。
●动手实践：组织学生进行简单的空间图形绘制活动，如用直尺和圆规绘制棱柱的俯视图、左视图等。
4. 问题解决与讨论（15分钟）●例题讲解：选取几道典型例题，讲解如何利用空间几何的性质和公式解决问题。
《立体几何》单元教学设计知识结构
《立体几何》单元教学设计知识结构立体几何单元教学设计知识结构引言本单元教学设计旨在帮助学生掌握立体几何的基本概念和相关技巧，以及应用这些知识解决问题的能力。
通过本单元的研究，学生将能够理解立体几何的基本要素、属性和变换，以及在实际生活中的应用。
教学目标1. 理解立体几何的基本概念，包括平面图形、立体图形和体积等。
2. 掌握立体几何的基本技巧，如计算体积、表面积等。
3. 能够应用立体几何知识解决问题，如构建立体模型、计算容积等。
4. 培养学生的空间思维能力和创造性思维能力。
教学内容本单元的教学内容主要包括以下几个方面：1. 立体几何的基本概念和术语：平面图形、立体图形、顶点、边、面等。
2. 立体几何的基本性质：对称性、相似性、平行性等。
3. 立体几何的基本变换：平移、旋转、镜像等。
4. 立体图形的计算：体积、表面积等。
教学方法为了达到教学目标，本单元将采用以下教学方法：1. 探究式研究：引导学生通过实际操作和观察，自己发现立体几何的规律和性质。
2. 合作研究：组织学生进行小组合作，共同解决立体几何问题，促进彼此之间的研究交流和合作能力。
3. 案例分析：引入实际生活中的案例，让学生应用立体几何知识分析和解决问题。
4. 演示教学：通过讲解和演示，向学生介绍立体几何的基本概念和技巧。
教学评估为了评估学生的研究情况和达到教学目标的程度，本单元将采用以下评估方法：1. 练和作业：布置与教学内容相关的练和作业，检验学生对立体几何知识的掌握程度。
2. 小组合作项目：组织学生进行小组项目，评估学生的合作能力和应用知识解决问题的能力。
3. 个人表现评估：观察和评估学生在课堂上的表现，包括参与度、提问和回答问题的能力等。
总结通过本单元的学习，学生将掌握立体几何的基本概念和相关技巧，并能够应用这些知识解决问题。
教师应采用探究式学习、合作学习和案例分析等教学方法，评估学生的学习情况和达到教学目标的程度。
第一章《立体几何初步》教案
北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》全部教案1.1简单几何体第一课时 1.1.1简单旋转体一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。
三、教学方法（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）教法：探析讨论法。
四、教学过程：(一)、新课导入：1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过哪些？3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.(二)、研探新知：（Ⅰ）、空间几何体的类型问题提出：1.在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？探究：空间几何体的类型思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.你能列举那些空间几何体的实例？思考2：观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？思考3：如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成那几种类型？思考4：图（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？多面体思考5：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？旋转体思考6：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 .思考7：一般地，怎样定义旋转体？ 体叫做旋转体 。
初中数学《立体几何》单元教学设计以及思维导图
初中数学《立体几何》单元教学设计以及思维导图教学目标知识与技能1. 理解并掌握立体图形的概念及特性。
2. 能够识别并命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
3. 掌握立体图形的面积、体积的计算方法。
4. 能够运用立体几何知识解决实际问题。
过程与方法1. 通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象力。
2. 学会使用简单的几何画图工具，如直尺、圆规等，来绘制立体图形。
3. 学会利用立体图形的对称性、旋转性等进行解题。
情感态度价值观1. 培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2. 培养学生团队合作精神，学会在小组讨论中共同解决问题。
3. 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容第一课时：立体图形的概念及特性1. 立体图形的定义。
2. 立体图形的基本特性，如面、棱、顶点等。
3. 常见立体图形的识别与命名。
第二课时：立体图形的面积和体积1. 立体图形面积和体积的定义。
2. 常见立体图形的面积和体积计算公式。
3. 面积和体积计算的实践操作。
第三课时：立体图形的对称性、旋转性1. 对称性的定义及分类。
2. 旋转性的定义及性质。
3. 对称性和旋转性在解题中的应用。
第四课时：立体图形与实际问题1. 立体图形在实际生活中的应用。
2. 学会用立体图形解决实际问题。
3. 案例分析与讨论。
教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。
2. 使用直观教具，如立体模型、PPT等，辅助教学。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队合作能力。
4. 利用课后练习，巩固所学知识。
教学评价1. 课堂表现：学生的出勤、发言、合作等情况。
2. 作业完成情况：学生对课后练习的完成质量。
3. 考试成绩：学生在单元测试中的成绩。
思维导图初中数学《立体几何》单元教学设计├── 教学目标│ ├── 知识与技能│ │ ├── 理解并掌握立体图形的概念及特性│ │ ├── 能够识别并命名常见的立体图形│ │ ├── 掌握立体图形的面积、体积的计算方法│ │ └── 能够运用立体几何知识解决实际问题│ ├── 过程与方法│ │ ├── 培养学生的空间想象力│ │ ├── 学会使用简单的几何画图工具│ │ └── 学会利用立体图形的对称性、旋转性等进行解题│ └── 情感态度价值观│ ├── 培养学生对数学的兴趣│ ├── 培养团队合作精神│ └── 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力├── 教学内容│ ├── 第一课时：立体图形的概念及特性│ │ ├── 立体图形的定义│ │ ├── 立体图形的基本特性│ │ └── 常见立体图形的识别与命名│ ├── 第二课时：立体图形的面积和体积│ │ ├── 立体图形面积和体积的定义│ │ ├── 常见立体图形的面积和体积计算公式│ │ └── 面积和体积计算的实践操作│ ├── 第三课时：立体图形的对称性、旋转性│ │ ├── 对称性的定义及分类│ │ ├── 旋转性的定义及性质│ │ └── 对称性和旋转性在解题中的应用│ └── 第四课时：立体图形与实际问题│ ├── 立体图形在实际生活中的应用│ ├── 学会用立体图形解决实际问题│ └── 案例分析与讨论├── 教学方法│ ├── 采用问题驱动法│ ├── 使用直观教具│ ├── 组织小组讨论│ └── 利用课后练习└── 教学评价├── 课堂表现├── 作业完成情况└── 考试成绩。
几何初步单元设计教案
几何初步单元设计教案一、教学目标1. 知识与技能：学生能够掌握几何初步的基本概念，包括点、线、面等基本概念，能够用几何工具绘制简单的几何图形，并且能够计算简单的几何问题。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力，提高学生的几何思维能力和创造力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对几何学科的兴趣，提高学生的学科学习积极性，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：几何初步的基本概念，包括点、线、面等基本概念，以及用几何工具绘制简单的几何图形。
2. 教学难点：学生能够灵活运用几何知识解决实际问题。
三、教学内容1. 几何初步的基本概念a. 点、线、面的概念及特征b. 直线、射线、线段的概念及特征c. 角的概念及分类d. 多边形的概念及分类2. 几何图形的绘制a. 用尺规作图工具绘制直线、射线、线段b. 用圆规和直尺绘制各种多边形3. 几何问题的计算a. 计算线段的长度b. 计算角的度数c. 计算多边形的周长和面积四、教学过程1. 导入新课利用实物或图片展示点、线、面等几何图形，引导学生讨论并总结点、线、面的特征，引发学生对几何的兴趣。
2. 讲授几何初步的基本概念通过教师讲解和举例，让学生了解点、线、面的概念及特征，以及直线、射线、线段、角、多边形等基本概念。
3. 绘制几何图形教师演示如何使用尺规作图工具和圆规、直尺绘制各种几何图形，然后让学生进行练习，掌握几何图形的绘制方法。
4. 解决几何问题通过实际问题引导学生运用几何知识进行计算，包括计算线段的长度、角的度数以及多边形的周长和面积。
5. 拓展与应用给学生提供一些拓展性的问题，让学生运用所学的几何知识解决实际问题，培养学生的创造力和解决问题的能力。
六、教学评价1. 课堂练习在课堂上进行练习，检查学生对几何初步知识的掌握情况。
2. 作业布置布置作业，让学生巩固所学的知识，培养学生独立解决问题的能力。
3. 小测验定期进行小测验，检查学生对几何初步知识的掌握情况，及时发现问题并进行针对性的辅导。
立体几何初步教案
立体几何初步教案一、教学目标1. 使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合。
2. 培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力。
3. 培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国。
二、教学重点集合的概念，集合元素的三个特征。
三、教学难点集合元素的三个特征，数集与数集关系。
四、教学方法尝试教学法、比较法、谈话法。
五、教学准备1. 制作多媒体课件，包括集合的概念、性质、元素特征等知识点。
2. 准备一些立体几何图形，如长方体、正方体等。
3. 准备一些实际生活中的例子，如班级学生、学校建筑物等。
六、教学过程1. 导入新课：通过展示一些立体几何图形，引导学生回忆初中所学过的平面几何知识，并思考如何将这些知识应用到立体几何中。
2. 学习新课：通过讲解、演示和比较的方法，引导学生掌握集合的概念和性质，以及集合元素的三个特征。
同时，通过例子和练习题加深学生对知识点的理解和掌握。
3. 巩固练习：通过举例和练习题，让学生自己动手解决问题，巩固所学知识。
同时，通过比较的方法，引导学生发现数集与数集之间的关系。
4. 归纳小结：通过总结本节课所学内容，引导学生发现自己的不足之处，并鼓励他们继续努力。
同时，通过布置作业和预告下一节课的内容，引导学生做好预习和复习工作。
七、教学评价1. 课堂练习：通过课堂练习题检查学生对集合概念和性质的掌握情况。
2. 课后作业：通过课后作业题加深学生对知识点的理解和掌握，同时也可以检查他们的学习效果。
3. 单元测试：通过单元测试题检查学生对本单元内容的掌握情况，发现学生的不足之处并指导他们进行改进。
高中数学必修二《第八章 立体几何初步》复习教案及练习
《第八章立体几何初步》复习教案8.1 基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征【基础知识拓展】1．几类特殊的四棱柱四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．( )(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．( )(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．以上都错(2)面数最少的多面体的面的个数是________．(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．答案(1)B (2)4 (3)4 (4)8 6 12【核心素养形成】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1 下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有4个面．[解析] 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.[答案] ①②④⑤【解题技巧】关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【跟踪训练】下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；④棱柱的侧棱与底面一定垂直．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2 如图长方体ABCD－A1B1C1D1，(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？[解] (1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.[条件探究] 若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？解截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.【解题技巧】棱柱判断的方法判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．【跟踪训练】判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.题型三空间几何体的展开图问题例3 如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．【解题技巧】空间几何体的展开图(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．【跟踪训练】根据如下图所给的平面图形，画出立体图．解将各平面图折起来的空间图形如下图所示．【课堂达标训练】1．下列说法中，正确的是( )A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.2．下列三种叙述，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是( )答案 C解析本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.4．①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．以上说法正确的序号有________．答案①③解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？解若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离为13 cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm.故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是13 cm.第2课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征【基础知识拓展】1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．空间几何体的轴截面(1)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一条边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，经过旋转而成的曲面所围成的几何体．(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题时，一般要画出轴截面．(3)画出轴截面图形，将立体几何的空间问题转化为平面问题来计算，这种把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想方法是我们解决立体几何问题的重要思想方法．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．( )(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．( )(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)圆锥的母线有( )A．1条 B．2条C．3条 D．无数条(2)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(3)图②的组合体是由________和________构成．(4)图③中的几何体有________个面．答案(1)D (2)球球心半径直径(3)圆柱圆锥(4)3【核心素养形成】题型一旋转体的概念例1 下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确．[答案] A[条件探究] 若本例中(2)改为“以直角梯形的各边为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．【解题技巧】平面图形旋转形成的几何体的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．【跟踪训练】一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．题型二简单组合体的结构特征例2 描述下图几何体的结构特征．[解] 图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体．图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体．图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体．图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．【解题技巧】简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．【跟踪训练】观察下列几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．解图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的.题型三旋转体的计算问题例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A ＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又腰长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，所以l＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.【解题技巧】旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.(3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．【跟踪训练】圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2， 设上底面的面积为S 1，半径为r 1， 则S 1＝πr 21＝1，下底面的面积为S 2，半径为r 2，则S 2＝πr 22＝49， 截面的面积为S ＝S 1＋S 22＝25，半径为r 3，则S ＝πr 23.由三角形相似得⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎨⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.题型四 圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例4 如图所示，已知圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．【解题技巧】求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．【跟踪训练】国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为22米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？解把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为22米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，所以MM1＝33米，即彩绸最短要33米.【课堂达标训练】1．下列几何体中不是旋转体的是( )答案 D解析正方体不可能是旋转体．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体答案 D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥．故选D.3．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④答案 D解析根据旋转体的概念知①④正确．4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．5．圆台的两底面圆的半径分别为2 cm,5 cm，母线长是310 cm，求其轴截面的面积．解如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B.由已知OA＝2，O1A1＝5，AA1＝310，∴A1B＝3.∴AB＝AA21－A1B2＝90－9＝9.∴S轴截面＝12(2OA＋2O1A1)·AB＝12×(4＋10)×9＝63(cm2)．故圆台轴截面的面积为63 cm2.8.2 立体图形的直观图【基础知识拓展】1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S 直S 原＝24.2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相等的角，在直观图中仍相等．( )(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．( )(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的( )(2)在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6 cm，则在直观图中线段A′B′＝______cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4 cm，则在直观图中线段C′D′＝______cm.(3)在空间几何体中，平行于z轴的线段AB＝10 cm，则在直观图中对应的线段A′B′＝________cm.(4)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.答案(1)C (2)6 2 (3)10 (4)45°或135°【核心素养形成】题型一平面图形的直观图画法例1 画水平放置的正五边形的直观图．[解] (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝12OA，O′F′＝12OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD，C′F′＝F′D′.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝12GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝12HE.连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的直观图．【解题技巧】画平面图形直观图的技巧(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．【跟踪训练】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．题型二空间几何体的直观图画法例2 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] 画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.【解题技巧】画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．【跟踪训练】已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．解(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.题型三直观图还原平面图形例 3 (1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．[解] (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，∴|BD|＝3，|AC|＝2.∴S△ABC＝12·|BD|·|AC|＝3.[结论探究] 若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积S′为多少？解设原图形的高为h，则直观图的高为24h.又平行于x轴的线段长度不变，∴S′＝24 S.【解题技巧】直观图还原平面图形的策略还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．【跟踪训练】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是( )A．14 B．10 2 C．28 D．14 2答案 C解析∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝12×(2＋5)×8＝28.题型四直观图与原图间的计算问题例4 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2[解析] 如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a，所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.[答案] D【解题技巧】1.利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．(2)画图时要紧紧把握一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半2．若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝24S原．【跟踪训练】如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则四边形OABC的形状是________．答案菱形解析如图，在四边形OABC中，有OD＝2O′D′＝2×22＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．【课堂达标训练】1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案 C解析∠x′O′y′也可以是135°.2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．ACC．BC D．AD答案 B解析由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．③④答案D解析根据平面图形直观图的斜二测画法知③④可能是△ABC的直观图．4．如图，一个三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，则原△AOB的面积是________．答案 2解析由题意得O′B′＝B′A′＝1，∴O′A′＝2，且∠B′O′A′＝45°，∴△AOB是以∠O为直角的三角形，且OB＝1，OA＝22，∴S△AOB ＝12OB·OA＝12×1×22＝ 2.5．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．解(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示．(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．。
立体几何单元教学设计
《空间几何体》单元教学设计一、数学视角分析（一）立体几何课程基本要求的演变1952年制定的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想象力,发展学生逻辑的思维力和判断力”。
以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想象力”。
1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。
1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。
1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。
2000年《义务教育阶段国家数学课程标准》(征求意见稿)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。
2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。
2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》(以下简称课标)指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。
人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。
三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。
”（二）不同学段立体几何学习的特点小学：小学生数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识.初中：课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力，对空间图形的认识主要初中学生是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征.总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识.高中：教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何.大学：大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论.（三）义务教育阶段与高中阶段立体几何课程相关内容的表述及要求1.义务教育阶段（7-9年级）关于立体几何内容在“空间与图形”部分的要求（1）要求会画几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
案例 9--立体几何初步的单元教学设计华师教育硕士单元教学设计
案例9--立体几何初步的单元教学设计张若虹 2020级研究生第六小组陈靓君等同学谢榕平赵萍一、文献综述（一）研究现状我国对于高中立体几何初步内容的研究主要体现在对教学设计、数学思想方法以及数学核心素养上.在教学设计上，马立[1]对于如何作好直观图提出了六点建议，包括要按视觉感受来作直观图、选择一个好的方位来观察和作图、作好辅助线（面），删去（或不画）多余的线条，养成画移出图的习惯、作图要有依据和养成先画草图后画正规图习惯. 李恒月[2]以球体积推广过程为例设计立体模型，帮助学生学习祖暅原理，进一步培养学生的空间想象能力.在数学思想方法上，王鹏飞[3]针对简单几何体的面积和体积教学中存在的过分拘泥于教材而忽视其数学思想方法的现状，主张适度求证，采取相应的教学策略，引导学生感悟其中蕴涵的数学思想方法，提升简单几何体面积和体积的教学价值. 丁仲荐[4]认为数学思想方法是数学的灵魂和精髓，并且详细介绍了立体几何初步中所涉及的数学思想方法，包括转化与化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想以及类比思想.在核心素养上，章建跃[5]提出数学几何内容应以培养学生的逻辑推理、几何直观和空间想象等能力为教学目标，如以一些公理去推导其他定理的教学，可以培养学生的逻辑推理素养，他还指出，立体几何初步中空间几何体的教学，也能培养学生的数学抽象素养，例如：对空间几何体的结构认识，实质是对几何图形的分类，分类是理解数学结构的关键一环. 余梦锦[6]在参考了数学核心素养的内涵和水平划分研究，以及几何思维水平划分研究的文献基础上，对立体几何初步中的数学核心素养进行了水平划分，然后以此为依据，编制了一份数学核心素养测试卷以及一份调查问卷，前者得到了学生目前在立体几何初步中数学核心素养的水平现状、不同群体学生的数学核心素养水平的差异性、不同因素与学生数学核心素养水平的相关性；后者得到了教师对立体几何初步教学与数学核心素养的认识现状，最后根据分析结果提出基于培养学生数学核心素养的立体几何初步教学建议.（二）研究方法立体几何常用的研究方法如下：1.文献分析法：以立体几何的教学研究为课题，对中国知网数据库的大量相关硕士、博士、期刊论文进行文献综述研究；2.教师访谈法：通过对有经验的教师以及熟练掌握信息技术等新型辅助教学工具的教师进行采访、沟通，理解立体几何在教学中的重难点，以及如何结合信息技术，对立体几何这一部分内容进行更好地教学；3.小组讨论法：基于立体几何的知识、内在逻辑主线、思想、方法，讨论教学中存在的问题的解决策略以及教学的注意点和关键点.（三）结论对于这一部分内容的学习和教学存在的问题[7]：1.认知过于薄弱，学习信心不足高中立体几何往往涉及到大量定理、性质、公式，部分教师在教学的过程中仅仅采用传统的口头教学模式，因而导致学生群体普遍难以形成深刻的认识，知识储备过于薄弱，对概念的认知仅仅停留于表面，在解题的过程中存在较为显著的盲目性.2.思维形态弱化，解题思路单一由于在初中数学学习中养成了套用公式的习惯，因而导致学生在面对几何问题时也具备相应的惯性思维，习惯性地用自己常用的方式套用在几何问题的求解上，不能灵活变换自己的思维. 在此种情况下，学生无法形成更为完整的探究性思维，其后续学习成长也会受到影响.3.缺乏立体几何学习兴趣、空间想象能力和解题能力不足、教师教学方法落后.根据调查结论及相关教学理论，就如何培养和提升学生的立体几何初步的学习提出了以下建议[8]1.注重概念教学的过程引导，提升学生的数学抽象素养；2.增强不同推理形式的教学，提升学生的逻辑推理素养；3.培养学生用图形描述问题的习惯，提升学生的直观想象素养；4.适当将几何问题代数化，提升学生的数学运算素养；5.动态数学软件辅助教学，提高学生的学习兴趣.二、教材对比分析（一）2004年人教A版与2019年人教A版对比（二）2019年北师大版与2019年人教A版教材对比三、内容和内容解析（一）内容1.了解多面体、旋转体的概念；熟悉棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及简单组合体的结构特征.2.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱以及简单组合体）的直观图.3.理解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.4.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 了解祖暅原理，能利用祖暅原理通过特殊到一般的方法推广柱体、锥体体积.（二）内容解析1.内容的本质：立体几何初步是帮助学生形成空间观念，应该遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则，帮助学生认识空间几何体，进一步掌握空间图形的基本特征和表面积、体积计算公式.2.蕴涵的思想方法：3.知识的上下位关系：学生们在小学已经学习了圆的周长、面积计算公式，以及圆柱、圆锥的体积公式. 在初中学习了几何图形初步，认识了一些常见的几何体和平面图形，了解了图形的旋转、物体的投影和几何体的三视图. 本章立体几何初步的学习是在以往学习基础上的巩固、拓展和延伸，进一步探索某类常见图形的表面积和体积.4.育人价值：空间几何为学生的思维打开了一扇新的大门，可以通过直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认知和探索方式，帮助学生建立空间观念，提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养. 在空间几何体学习最后的探究与发现中引入祖暅原理，可以让学生体会数学的人文精神.5.教学重点：帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握平面上表示空间图形的方法和技能. 通过特殊到一般的方法、运用多种证明方式帮助学生理解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，并能用公式解决简单的实际问题.四、目标和目标解析（一）单元目标：1.通过观察认识基本的几何体，掌握多面体与旋转体的结构特征，熟悉棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及简单组合体的结构特征；2.掌握斜二测画法，并且能用斜二测法画出简单空间图形的直观图；3.通过类比和证明的方式使学生掌握简单几何体的体积和表面积计算方法；4.通过极限的思想掌握球的体积计算公式.（二）目标解析：1.通过直观感受空间物体，能从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征；2.通过观察和类比，能利用斜二测画法画出空间几何体的直观图；3.能运用公式求解柱体、椎体和台体的表面积；4.通过对照比较，熟悉台体与柱体和椎体之间体积的转换关系；5.通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的数学思想方法，能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.五、教学问题诊断分析（一）学生通过以往的学习，能辨认基本立体图形，但是对其精确的定义可能不是那么关注，同时学生在数学图形语言与数学文字语言的相互转换上可能存在障碍，即不能简单准确地叙述立体图形的主要结构特征或者不能根据文字语言的描述精确还原对应的立体图形. （二）学生对于柱、锥、台的表面积与体积公式较为容易理解，但是有的学生可能止步于知其然而不热衷于利用祖暅原理探究其所以然，另外，课本上球体体积的推导过程初步涉及极限思想，学生可能难以理解.六、教学支持条件多媒体课件、教具、几何画板.七、《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教学设计（一）教学内容圆柱、圆锥、圆台的体积以及球的表面积和体积.（二）教学目标知识目标：理解并掌握圆柱、圆锥、圆台的体积公式、球的表面积和体积公式，了解圆台及球的体积公式推导过程.能力目标：学会将空间问题转化为平面问题进行解决，并在探究球的表面积和体积公式中，了解用极限思想解决数学问题的方法.素养目标：经历数学问题的探究过程，学会用符号表达数学问题，培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养.情感目标：积极引导学生主动参与学习的过程，培养学生进行反思、自主探究、合作交流的意识.（三）教材分析1.教材来源2019年人教A版新教材《普通高中教科书》数学必修第二册第八章8.3.2圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.2.地位与作用本节课是在圆柱、圆锥、圆台、球的结构有初步认识的基础上，进一步从度量的角度探究它们的表面积与体积公式，为后续深入学习立体几何奠定基础. 本节课重在培养学生的观察、类比、归纳和总结的能力，同时渗透数形结合以及特殊到一般的数学思想，注重培养学生数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.（四）学情分析1.认知基础学生在九年义务教育阶段已经学习了圆柱、圆锥的侧面展开图以及它们的侧面积和体积计算方法. 另外学生初步具备类比归纳、空间想象的能力，能够进行合作探究活动. 除此之外，学生思维活跃、积极性高，对新的知识具有较强的好奇心和探索欲.2.认知障碍学生虽具备一定的逻辑思维能力，但在圆台体积公式的推导，以及球的体积公式推导过程中存在一定的障碍.（五）教学重难点分析教学重点：圆柱、圆锥、圆台体积公式、球的表面积和体积公式.教学难点：圆台以及球的体积公式的推导.（六）教学思路与方法本节课按照“思考-探究-归纳”的思路开展教学，使用多媒体与传统教学相结合的手段，用启发式和探究式来激发学生学习兴趣，提高学生数学思维能力.（七）教学流程（八）教学过程设计【问题1】参照圆柱、圆锥的表面积公式推导，试推导圆台的表面积公式是什么？【思考1】圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间由什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？将空间图形问题转化为平面图形问题；板（或示【问题2】根据圆台的特征，如何求圆台的体积？由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台的体积公式h S S S S V )(31+'+'=其中S ，S ′分别为上、下底面面积，ℎ为圆台（棱台）的高. 【思考2】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？（或圆台的形成过程，通过圆锥的体积差，推导式概念，需要教师利用圆柱等特殊的几何体使学生直观感受几何体的高nV V ∆++∆+ (3)例题1：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.解：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ..22R 34323R R R V V πππ=⋅==圆柱球，.322R 3433==∴R V V ππ：：圆柱球例题2：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m ，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？解：一个浮标的表面积为)(8478.015.046.015.0222m =⨯+⨯⨯ππ所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料)(9.42310005.08478.0kg =⨯⨯问题，学生运用所学知识解决问题结本节课的内容和思路（九）教学成效与分析1.调查过程调查目的：了解本节课《圆柱、圆台和球的表面积和体积》的教学成效，主要从教学目标的达成情况，学生对知识的掌握情况，教学策略和方法来测量. 调查方法：问卷调查法、课堂观察法.调查工具：《圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积》教学调查问卷、课堂观察记录表. 调查对象：中山市桂山中学高一（2）班50名学生.工具说明：课堂观察记录表分为教学目标、教材研究、教学过程和课堂文化四大维度，每一维度下设置不同观测指标（详见附件二），通过课堂上对教师和学生行为等进行观测，分析教学成效；问卷设计划分为知识目标、能力目标、素养目标、情感目标和教学策略与方法等五个维度，具体的题目分配和计分方式如下表：表1 《圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积》教学调查问卷细目表考察维度 题目数量题目分布 计分方式知识目标 5 2、3、4、5、10 第1、10题是反向题不计分，13题不计分，其他题满分均为5分能力目标 3 1、7、11 素养目标 2 6、9 情感目标 2 8、12 教学策略与方法1 13 总计13/2.调查结果与分析 （1）问卷调查结果①信效度分析利用Cronbach信度分析所得的问卷信度系数值为0.813，大于0.7，说明研究数据信度质量良好，可用于进一步分析. 针对问卷的效度，利用KMO和巴特利特检验得到KMO值为0.856，大于0.7，说明问卷的结构效度良好.②描述分析对问卷各项的平均分进行统计，结果如表2，可以看出问卷个性平均分较高，学生的掌握情况较好.表2 问卷各项得分情况③频次分析采用多重频次分析，对“13题你喜欢老师运用何种教学方式”答题情况进行统计. 在所列举的教学方式中，“动画教学”得到了学生较高的评价，达到了76.9%. 紧随其后的是“讲授教学”和“实物模型教学”，分别达到了69.2%和53%，再一次体现了实物直观教学模式和讲练结合教学模式在中学生群体中深受喜爱. 此外，“讨论教学”也受到部分学生的欢迎，说明了当前中学生喜欢合作式的学习方式. “录像教学”“参观学习”“学生实验探究教学”“教师演示实验教学”等教学方式均为0%，说明这些教学方式对于数学课堂来说，是学生比较陌生的.表3 学生喜爱的教学方式占比分析教学方式比例教学方式比例讲授教学69.2% 动画教学76.9%讨论教学42.3% 录像教学0%练习教学50% 实物模型教学53%读书指导2% 学生实验探究0%参观学习0% 教师演示实验0%④调查结果从调查问卷的统计结果分析，学生对本次教学的评价较高. 知识目标维度中题目的平均分均在4以上，说明学生对本节课知识掌握良好，对圆锥、圆台、球的表面积和体积的公式符号意义、公式对比辨析有清晰的了解. 但对于公式推导的掌握还有待加强，建议教师在本堂课的教学设计中可以增加实物模型的展示. 能力目标维度的平均分均在4以上，说明通过本堂课的教学，大部分学生能利用公式计算圆柱、圆锥等的表面积和体积，能运用体积、面积公式去解决简单组合体的表面积和体积的问题，且第11题得分全卷最高. 素养目标维度的平均分均在4以上，说明教师在本堂课的教学中渗透了直观想象素养、数学运算素养. 情感目标维度中大部分题目的平均分在4以上，其中第12题“我认为本节课的教学不够直观”为反向题，得分略高，说明本节课的直观性还有待发展. 第8题“我感受到数学知识之间的紧密联系”的得分为4.64，与第11题并列分数最高，说明通过本节课的学习，学生对数学与现实的紧密联系有了较深的理解.（2）课堂观察记录分析对课堂观察记录的文本进行分析，得出以下结论：本节课在重构教材的基础上，先推导表面积和体积公式，再分析课本的两道例题，整堂课重难点突出且处理恰当. 在教学目标上，从大部分学生能推导圆台和球的体积公式，并运用公式解决问题可看出本堂课的预设目标达成情况较好. 学生能够根据旧知识一步步深入新知识的学习，对圆柱、圆锥等的表面积和体积公式的推导、应用，能让学生感受数学的严谨，发展理性思维.教学过程环节设计安排合理、逻辑清晰、主线突出，采取符合学生心理特点和认知规律的教学方法，在探究新知的过程中，不断与旧知识进行结合，且提供合适的情境和探究，有效提高学生学习积极性和课堂参与度；在习题设计方面，围绕重难点，不仅设计了简单组合体的表面积和体积计算，也有实际问题的解决.从整个课堂文化来看，教师能够针对问题，恰当的、有效的进行点拨，调动课堂氛围，在此过程中渗透数形结合的思想方法以及逻辑推理、直观想象的核心素养，让学生感受数学的魅力.3.结论本节课的教学受到学生与听课教师的一致好评. 学生对知识的掌握情况良好，同时教师注重对学生能力和素养的培养，可见教学成效良好.（十）教学反思在给学生上完本节课后，对本节课的教学任务反思如下:（1）本节课的主要任务是要求学生理解掌握并且记忆圆柱、圆锥、圆台和球的表面积公式和体积公式.（2）在教学过程中渗透数学思想方法，其中主要是渗透了等价转化、类比、极限等数学思想方法. 其中等价转化的思想为后续继续深入学习立体几何的相关知识打下基础，对学生后续学习判定定理以及性质定理的相互推导做准备；而类比、极限思想在通过类比圆的面积公式推导，将球的体积公式推导呈现给学生的过程中体现，同时对本节课的教学难点进行了处理.（3）球的体积公式推导还用到了分割，近似替代，近似求和的数学思想，将高中的数学知识与大学的数学知识进行了衔接.（4）在教学中注意语言的丰富和趣味性，使得学生对本节课产生兴趣，从而使学生对立体几何的学习更有积极性.（5）本节课可以利用一个表格将8.3.1中的棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积公式，以及这节课的圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式放入表中，以“一表贯穿”整个单元，有助于帮助学生整理知识和构建知识框架.（6）本节课是立体几何，没有很好的利用到实物的教具，这是本节课的不足之处.（7）讲解球的体积时，可以结合课本在本单元加入的祖暅原理进行讲解，加深学生对球体积公式的理解.八、参考文献[1]马立.怎样作好立体几何直观图[J].数学通讯，2003(06):4-5.[2]李恒月.基于Three.js的高中立体几何教学辅助模型的设计与应用研究[D].中央民族大学，2020.[3]王鹏飞.简单几何体的面积和体积教学策略[J].中国数学教育，2017(06):35-37+50.[4]丁仲荐.探讨立体几何初步中体现的数学思想方法[J].基础教育论坛，2017(22):3-5.[5]章建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革(续)[J].数学通报，2017，56(12):1-3+20.[6]余梦锦.基于数学核心素养的高中“立体几何初步”教学现状调查研究[D].云南师范大学，2020.[7]王冬梅.探究高中数学立体几何教学中存在的问题及解决对策[J].天天爱科学(教学研究)，2020(07):90.[8]李海东.重视研究立体几何图形的过程和方法，发展直观想象、逻辑推理素养——人教A 版普通高中教科书《数学》(必修第二册)第八章“立体几何初步”的教材设计与教学反思[J].中学数学教学参考，2020(19):10-14+26.[9]张友玲.基于高中数学核心素养的学习迁移能力的研究[D].济南大学，2019.[10]文萍，杨治宏.发现学习法在高中数学学习中的应用[J].教育现代化，2019，6(59):212-214.。
立体几何初步教案
立体几何初步教案教案:立体几何初步时间: 2课时(每课时45分钟)年级:初中二年级教学目标:1.了解基本的立体几何概念和术语。
2.掌握计算立体图形的表面积和体积的方法。
3.运用所学知识解决实际问题。
教学准备:1.教材:初中数学教材或立体几何专题资料。
2.立体几何模型:包括球体、立方体、长方体等。
教学步骤:第一课时:1.课堂导入(5分钟)引入立体几何的概念，通过展示不同的立体模型，鼓励学生观察并描述这些模型的特征和属性。
2.概念讲解(15分钟)讲解和定义立体几何中的几个重要概念:-点、线、面和体的定义。
-面的属性:平面、曲面、多边形面和圆面的定义。
-体的属性:完全包围的空间和三维形状的定义。
3.探索活动(20分钟)在课堂上分发立体模型，要求学生对其进行认真观察并推断其特征和属性。
让学生自由探索并试图回答以下问题:-每个模型有几个面?有几个点?有几个边?-在给定的模型中是否有曲面或圆面?-哪个模型比较稳定，为什么?4.总结(5分钟)回顾学生的探索结果，并总结出立体几何的基本概念和术语。
第二课时:1.课堂导入(5分钟)通过提出问题引起学生的思考，例如:如何计算一个长方体的表面积?如何计算一个球体的体积?2.表面积计算(15分钟)讲解如何计算立体图形的表面积:-通过展示长方体、立方体和球体的示例，介绍计算其表面积的公式和步骤。
-以长方体为例，解释公式S = 2lw + 2lh + 2wh的由来和含义。
-引导学生计算其他立体图形的表面积。
并带领学生测量教室内的一些立体物体的表面积。
3.体积计算(15分钟)讲解如何计算立体图形的体积:-通过展示长方体、立方体和球体的示例，介绍计算其体积的公式和步骤。
-以长方体为例，解释公式V = lwh的由来和含义。
-引导学生计算其他立体图形的体积。
并带领学生测量教室内的一些立体物体的体积。
4.实际问题解决(10分钟)提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决。
例如:某个池塘的形状是一个长方体，长、宽和高分别为2m、3m和1.5m，请计算该池塘的表面积和体积。
《几何图形初步》大单元教学设计
学情分析
对六年级的学生来说，小 学已经接触过几何与图形，但 是内容较简单。学生的思维停 留在如何算，利用几个单纯的 算式能求线段或角的度数，但 不会有理有据的书写。
单元学习目标
1、认识简单平面图形，了解它们的含 义及相关性质并能用符号表示。 2. 会进行线段的长短或角的大小的比 较。 3.能用尺规作图作一条线段等于一直 线段，作一个角等于已知角。 4.掌握对顶角、补角的性质。
2.线段、射线、直线的区别与联系（组内讨论）
直 区线
射 线 别线 段
图 例
表示方法
表示 特征
长度
端点 作图描述
直线AB（BA） 字母 无限长，不 没有端 过点A和点B
或直线
无序 能度量
点
作直线AB
射线AB
字母 无限长，不 一个端 以A为端点
有序 能度量
点
作射线AB
线段AB（BA） 字母 有限长，可 两个端 连接AB
存在性 唯一性
简述为：两点确定一条直线。
2023/3/18
专题二：比较线段长短和角的大小
探 索 新 知---线段性质
如图，从A地到C地有四条道路，如 果你想从A地到C地，你会选择哪一条？
这说明了一个什 么道理？
两点之间的所有连线中，线段最短. 两点之间，线段最短.
Байду номын сангаас
探索新知---比较线段的长短
怎样比较两条线段的长短？
几何图形初步 大单元教学设计
CON TENT
目S
录
《标准》要求 大概念 学情分析 单元目标 教学设计 单元作业
《标准》要求
(1)点、线、面、角 ①通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直 线 和点等概念。 ②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意 义。 ③掌握基本事实：两点确定一条直线。 ④掌握基本事实：两点之间线段最短。 ⑤理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 ⑥理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度 量 单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差。 ⑦能用尺规作图：做一条线段等于已知线段，作一个角等于已 知角
高中数学《立体几何初步》单元教学设计
《单元教学》教学设计
一 单元内容分析 二 学科素养解读 三 单元教学建议
一 单元内容分析
单元内容结构图
地位与作用
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与 位置关系.在《课程标准（2017年 版）》“立体几 何初步”中，要求从对空间几何体的整体观察入手， 认识空间图形，了解一些简单几何体的表面积与体 积的计算方法；以长方体为载体，认识和理解空间 点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关 平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证； 运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等 认识和探索空间图形的性质，建立空间观念.“立体 几何初步”的学习在发展学生的直观想象和逻辑推 理的素养中发挥着重要的作用.
在教学中，有条件的学校，应尽可能多地使用计算机或图形计算器等信息技术工 具，为理解和掌握立 体图形提供直观帮助. 也可以引导学生制作相关课件，调动学生 的主动性和积极性，加深对相关知识的理 解和认识，培养学生的动手实践能力.
谢谢观看
例如，如前所述，长方体是学生认识基本立体图形和基本图形位置关系的基本模型. 可以利用信息技术 工具制作长方体模型，让学生观察其结构特征，抽象其中点、 直线、平面的位置关系.
再如，可以制作一个动态的课件，模拟三点确定一个平面，进而由这三点的连线上的点衍生出无数条直 线，这些直线又可以密铺整个平面的过程，从而直观地理解直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平” 和“无限延展”的过程。
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
空间几何 单元教学设计
空间几何单元教学设计空间几何单元教学设计介绍本文档旨在设计一节关于空间几何单元的教学课程。
通过这个教学设计，学生将研究关于空间几何的基本概念和技能，包括点、线、面的几何关系以及三维图形的构造和属性。
教学目标- 理解点、线和面在空间几何中的基本概念和相互关系- 掌握绘制和标记点、线、面的方法- 熟悉常见的三维图形，如正方体、长方体和圆锥等- 能够通过给定的信息构造并描述三维图形的属性- 运用空间几何知识解决实际问题教学内容1. 点、线和面的定义和特点2. 绘制和标记点、线、面的方法3. 空间几何关系：平行、垂直、相交等4. 三维图形的构造方法和属性5. 实际问题的应用：如建筑设计、物体体积的计算等教学策略- 通过示例引入新概念：使用实际生活中的例子来说明点、线、面的概念和关系，激发学生的兴趣和思考。
- 活动研究：组织绘图活动和三维拼图游戏，让学生亲自动手进行构造和描述，提高他们的空间想象力和表达能力。
- 小组合作：鼓励学生在小组内互相讨论和解决问题，培养团队合作和沟通能力。
- 应用实践：引入实际问题和案例，让学生应用所学的空间几何知识解决实际问题，培养他们的应用能力和创新思维。
教学评估- 课堂练：通过课堂练检查学生对点、线、面定义和特点的理解程度。
- 作业：布置作业要求学生绘制和标记点、线、面，并描述它们的关系。
- 小组讨论：组织小组讨论，让学生就三维图形构造和属性进行讨论和表达。
- 实际问题解决：设计实际问题案例，要求学生应用所学的知识解决问题，评估他们的应用能力和解决问题的思路。
教学资源- 教科书：提供空间几何概念和理论知识的教科书。
- 黑板和粉笔：用于教师介绍和讲解。
- 绘图工具：如直尺、量角器、铅笔等，用于学生绘制和标记点、线、面。
- 三维拼图：用于学生进行三维图形的构造和描述。
- 实际问题案例：收集一些与建筑设计、物体体积计算等相关的实际问题案例，供学生进行实践和应用。
总结通过本教学设计，学生将在空间几何方面建立坚实的基础，并能够应用所学的知识解决实际问题。
三年级数学《探索空间与图形》立体几何入门教案
三年级数学《探索空间与图形》立体几何入门教案探索空间与图形——立体几何入门教案教学目标：1. 了解立体几何的基本概念和术语；2. 掌握几种常见的立体图形的名称和特征；3. 能够利用图形特征进行分类和比较。
教学准备：1. 教学工具：黑板、粉笔、几何立体模型或图纸；2. 学生用具：练习册、铅笔、橡皮擦。
教学过程：一、导入（约5分钟）1. 引入话题：同学们，今天我们要学习的是立体几何，你们都知道什么是立体吗？2. 简单介绍立体的概念：立体是有长度、宽度和高度的物体，可以占据空间的一部分。
二、呈现（约15分钟）1. 通过展示几何立体模型或图纸，介绍几何立体的名字和特征，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
2. 向学生解释每个几何立体的特征和区别，强调每个几何立体的独特之处。
三、实践探索（约15分钟）1. 给学生发放练习册，让他们自主完成相关的题目。
2. 引导学生观察周围环境，寻找和命名一些实际生活中常见的立体图形，并记录在练习册上。
四、总结归纳（约10分钟）1. 让学生分享他们找到的立体图形，通过比较和讨论归纳出立体几何的特点。
2. 对于学生的回答进行适时的点评和纠正，确保他们掌握了正确的概念和术语。
五、拓展应用（约10分钟）1. 引导学生观察一些特殊的立体图形，如棱锥、棱柱等，并进行简单的讨论。
2. 鼓励学生提出更多立体几何相关的问题，并尝试解答。
六、练习巩固（约15分钟）1. 随堂小测验：根据给定的几何立体图形名称，画出它们的简化图形。
2. 点评学生的练习情况，纠正错误，鼓励正确答案。
七、作业布置（约5分钟）1. 布置书面作业：要求学生回家找出家中不同形状的器物，并写出它们的名称和特点。
教学反思：通过这节课的学习，学生们对立体几何的概念和常见的立体图形有了初步的了解。
他们能够通过观察和比较，掌握了一些立体图形的名称和特征，并能够简单分类和归纳。
接下来的课堂时间，我们将进一步拓展和应用立体几何的知识，帮助学生更好地理解和运用。
〖2021年整理〗《《立体几何初步》综合测评》优秀教案
《立体几何初步》综合测评一、单项选择题，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A 若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ B 若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n C 若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ D 若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥2已知PA ⊥矩形ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A PB BC ⊥ B PD CD ⊥ C PD BD ⊥ D PA BD ⊥3若直线l 与平面α相交，则（ ） A 平面α内存在直线与l 异面 B 平面α内存在唯一一条直线与l 平行 C 平面α内存在唯一一条直线与l 垂直 D 平面α内的直线与l 都相交4一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm 的正方形，则原图形的周长是（ ）C 2(1D 2(15如图，在三棱锥A-BCD 中，,AC AB BC BD ⊥⊥，平面ABC ⊥平面BCD 给出下列结论：①AC BD ⊥；②AD BC ⊥；③平面ABC ⊥平面ABD ；④平面ACD ⊥平面ABD 以上结论中正确的个数为（ ）6《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵A 县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A227 B 258 C 15750 D 3551137如图（1），一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，若将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为2a（如图（2）），则图（1）中的水面高度为（ ）A 3712a ⎛- ⎝⎭ B 351a ⎛- ⎝⎭37D2a 8已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ）A6C3的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值为（ ）RRC 2)RR二、多项选择题10下列说法正确的是（ ） A 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C 底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D 棱台的侧棱延长后必交于一点11如图所示是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为12,P A P D ，44,P C P B 的中点，在此几何体中，1234,,,P P P P 重合于点//EFGH //PA //FH //EF 1111ABCD A BC D -BC Q 1CC ,,A P Q102CQ <<12CQ =34CQ =11C D 113C R =1CQ =62PAC ⊥,90,ABC PCA ABC ∠=4PC =1111ABCD A BC D -11,A B CD 1AEC F 111ABC AB C -1AA ⊥ABC ABC ∠12,3,AC a BB a D ==11AC 1AA AF =CF ⊥1B DF 30BAC ∠=//MN 4,43MN BC PA ===A BCD -2621,AB AD E ==，DAE D 'D AE '⊥AD EB '⊥AC ABD '111ABC A B C -11ABB A ⊥1,,2,ABC AC AB AC AB AA ⊥===1160,,AA B E F ∠=11A B 111ABC A B C -1AA //CP ,PD a PA PC ===2a PD ⊥PAC ⊥与n 可以平行或异面；B 中，m 与n 还可能异面；C 中，若 //αβ，则仍然可以满足,,m n m n αβ⊥⊂⊂，故C 错误；D 正确 2答案：C解析：如图所示，由于PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以PA BD ⊥，故D 中结论正确；因为,BC PA BC BA ⊥⊥，且PA AB A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，故A 中结论正确；同理PD CD ⊥，故B 中结论正确；A B C D ''''1,A C ''y '2A C ''=22,//AC A B C D ''''=//,AB CD AB CD =22813BC AC AB =+=+=2(13)8(cm)⨯+=ABC ⊥ABC ⋂,BCD BC BC BD =⊥BD ∴⊥AC ⊂BD AC ∴⊥AD BC⊥,BD BC AD BD D⊥⋂=BC ∴⊥,,AC AB BD AC AB BD B ⊥⊥⋂=AC ∴⊥AC BC C ⋂=BD ⊂,ABD BD ⊥ABC ∴ABD ⊥AC ⊥,ABD AC ⊂∴ACD ⊥21133V r h ππ==⋅22212L L h h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭7512,2ππ≈2581V r 2V 222111132,12283a r V r a R V R a ππ⨯⨯==∴==⨯⨯h 1r 1r h a R =2331123211773,1823r h V V h h a V a R a ππ⨯⨯-∴===∴=⨯⨯ABCOD ⊥222Δ3336,14433ABCS AB OD ⎛⎫=⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭01362223436S ABC ABCV V --==⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥3712a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2r 222326433r r r ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭222262333r r x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭66,22x r R r r =∴=+(62)r R =-,,,E F G H //,//.EH AB HG BC EH HG H ∴⋂=EH ⊂HG ⊂,AB BC B AB ⋂=⊂BC ⊂∴//EFGH //GO PA∴PA ⊂GO ⊂∴//PA ∴//.FH BD FH ⊄BD ⊂∴//FH //,EF HG HG ⋂BDG G =∴102CQ <<11AA D D //AE PQ 1DD 12CQ =111,,D Q D A BC 1//PQ BC 11//BC AD 1//PQ AD 34CQ =//BF PQ 1CC 112C F =//AE BF 1DD 112D E =//AE PQ 11C D 11Rt Rt RC Q RD E ~1C Q 111::1:2D E C R RD ==113C R =1CQ =//AE PQ 1DD 11A D ，显然点M 为线段11A D 的中点，所以S 为菱形A ，其面积为11623222MP AQ ⋅=⨯⨯=综上，命题正确的是选项ABCD 13答案：27解析：如图，连接CM ，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，90PCA ∠=，所以PC ⊥平面ABC ，可得PC CM ⊥，所以22PM PC CM =+，要求PM 的最小值，只需求出CM 的最小值即可，在ABC 中，当CM AB ⊥时，CM 有最小值，此时有34232CM =⨯=，所以2761AEC F 11133AEFABFV Sd S =⨯=⨯61616,1,422AEFABFSS d ===⨯∴=，2a 111B D AC ⊥1AA ⊥1AA ⊥111A B C 1B D ⊂111A B C 11AA B D ⊥1111AA AC A =⋂1B D ⊥11ACC A 1B D CF ⊥CF ⊥1B DFCF DF ⊥CF DF ⊥11,A FD ACF AFC A DF ∠∠∠∠==AF x =13A F a x =-1Rt Rt CAF FA D~11AC AF A F A D =23a x a x a=-x a =2x a =AF a =2AF a =CF ⊥1B DF ABCD A B C D '-''',M P//MP AC∴AC BD∴⊥BB ⊥'AC ⊂BB AC∴'⊥,AC BD BD BB B ⊥⋂'=AC ∴⊥,DBB 'DB '⊂,DBB 'AC DB ∴⊥'//,MP AC DB MP ∴'⊥,DB MN DB NP⊥''⊥,MP NP P MP ⋂=⊂,MNP NP ⊂N DB ∴'⊥NN l MP⊥//,MN AC AC l ⊥,l MN l ∴⊥∴⊥N l ⊥N 1CO AB ⊥1.O 1390,30,2,,3,BCA BAC AB R BC R AC R CO R ∠∠===∴===11222 ,? 33334,3,2AO BO S R S R R R S R R ππππ∴====⨯=圆锥侧球圆锥侧112113=,2AO BO S S S S R +∴=++∴几何体表球侧圆锥侧圆锥21132R +.343V R π=球又12211111,34AO V AO CO R AO =⋅⋅⋅=⋅圆锥ππ122111 1134,BO V BO CO R BO =⋅⋅⋅=⋅圆锥ππ()11356AO BO V V V V R π∴=-+=几何体球圆锥圆锥,.AH NH N //NH DC ∴12NH DC =M 1//,.//,2AM DC AM DC NH AM NH AM ∴=∴=，AMNH //.MN AH MN ∴⊂,PAD AH ⊂//MN ∴，.ON ∵M 是AB 的中点，N 是//,//OM BC ON PA ∴11,.22OM BC ON PA ONM ==∴∠N 所成的角4,43,2,23,MN BC PA OM ON ===∴==222,MO ON MN ∴+=30ONM ∴=∠，即异面直线N 所成的角的大小为3019答案：见解析解析：过侧棱AB 与球心O 作截面（如图），在正三棱锥中，BE 是底面正三角形的高，1O 是底面正三角形的中心，且AE 为其侧面ADC 底面上的高正三棱锥底面边长为26，12O E ∴=，3AE =2 133263(26)92632S =⨯⨯=棱锥作OF AE ⊥于F ，设内切球半径为r ，则,1OF r AO r ==-1Rt Rt AFO AO E ~，1,23FO AO O E AE ∴==22 62,44(62)r S r ππ∴===⨯⨯球8(526)π=- 2021：见解析解析：（1）证明：在Rt BCE 中，222BE BC CE =+=Rt AD E '中，222AE D A D E =+''22222,AB BE AEAE BE==+∴⊥平面AED '⊥平面ABCE ，且交线为,AE BE ∴⊥平面.AED 'AD ⊂'平面,AED AD EB ∴''⊥（2）设AC 与BE 相交于点F ，由（1）知AD BE '⊥,AD ED ED BE E ⊥⋂'''=，AD ∴'⊥平面EBD '，又AD '⊂平面ABD '，∴平面ABD '⊥平面EBD '，且交线为.BD '作FG BD ⊥'，垂足为G ，则FG ⊥平面ABD '，连接AG ，则FAG ∠是直线AC 与平面ABD '所成的角由平面几何的知识可得12EF EC FB AB ==，1233EF EB ∴==在Rt AEF 中，2222529AF AE EF =+=+=由（1）知BE ⊥平面,AED 'ED '⊂平面,AED BE ED ∴'⊥'1,2,3D E BE D B =='∴'在Rt EBD '中，FG D E FB D B ''=，可求得26FG =26309 sin 1525FG FAG AF ∠∴===∴直线AC 与平面ABD '所成的角的正弦值为301521答案：见解析解析：（1）如图，连接1AB ，在三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB =因为12AB AA ==，所以1112A B AA ==又因为1160AA B ∠=，11AA B 是棱11A B 的中点，所以11AE A B ⊥，且3AE =又11//,AB A B 所以AE AB ⊥又侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A ⋂底面,ABC AB AE =⊂侧面11ABB A ，所以AE ⊥底面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C -的体积112232322ABC V SAE AB AC AE =⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯=（2）在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF 证明如下：连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P ，连接CP 因为11//A B AB ，11PA A EPE PB PA AB ==为棱11A B 的中点，所以112A E AB =，故PE EB = 又F 为棱BC 的中点，故EF 为BCP 的中位线，//EF CP EF ⊂，CP ⊄平面AEF ，所以//CP 平面AEF 22答案：见解析解析：证明（1）,,2PD a DC a PC a ===，222,PC PD DC PD DC ∴=+∴⊥ 同理可证PD AD ⊥∵,,AD DC D AD ⋂=CD ⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD （2）由（1）知PD ⊥平面,ABCD AC ⊂平面,.ABCD PD AC ∴⊥四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥又,,BD PD D BD PD ⋂=⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD 又AC ⊂平面,PAC ∴平面PAC ⊥平面.PBD（3）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面,ABCD PD BC ∴⊥ 又;,,BC DC PD DC D PD DC ⊥⋂=⊂平面,PDC BC ∴⊥平面PDCPC ⊂平面,.PDC BC PC ∴⊥PCD ∠∴为二面角P BC D --的平面角在Rt PDC 中，,45PD DC a PCD ∠==∴=--的平面角的大小为45。
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教学准备
1. 教学目标
立体几何初步
(1)空间几何体
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活
中简单物体的结构.
②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.
③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间
图形的不同表示形式.
④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作
严格要求）.
⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
(2)点、直线、平面之间的位置关系
①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
•公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
•公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
•公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
直线.
•公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
•定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或
互补.
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直
的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理.
•如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
•如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
•如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
•如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理，并能够证明.
•如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
•如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
•垂直于同一个平面的两条直线平行.
•如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
2. 教学重点/难点
1 几何体----多面体与旋转体的结构特征。
２空间图形的三视图与直观图
3空间平行与垂直的判定及性质定理（８个）
4空间几何体的体积及表面积
3. 教学用具
直尺或三角板
4. 标签
１数形结合，形为数开路，数为形结果２空间想象能力３逻辑推理论证能力４熟练准确的计算能力
教学过程
例题精析，精练：
例 1 （三视图与面积体积）
（１）（２０１２湖北４）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为（）
Ａ.6π B.3π C.10π/3 D.8π/3
（２）（２０１３重庆文８）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的表面积为（）
Ａ１８０；Ｂ２００；Ｃ２２０；Ｄ２４０。
（３）（２０１３新标一文１１理８）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为（）
Ａ１６＋８π B８＋８π C１６＋１６π D８＋１６π
例2（１）（２０１３江西理８文１５）如图正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且ＡＢ／／ＣＤ，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为ｍ，ｎ，那么ｍ＋ｎ＝（）
（２）如图四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ的底面为正方形，ＳＤ〦底
面ＡＢＣＤ，则下列结论中不正确的是（）
Ａ，ＡＣ〦ＳＢ；Ｂ，ＡＢ／／平面ＳＣＤ；
Ｃ，ＳＡ与平面ＳＢＤ所成的角等于ＳＣ与平面ＳＢＤ所成的角；
（３）已知矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＢＣ＝√2。
将三角形
ＡＢＣ沿矩形的对角线ＢＤ所在的直线进行翻折，在翻折的过
程中（）
Ａ，存在某个位置，使得ＡＣ〦ＢＤ；
Ｂ，存在某个位置，使得ＡＢ〦ＣＤ；
Ｃ，存在某个位置使得ＡＤ〦ＢＣ；
Ｄ，对任意位置，三对直线“ＡＣ与ＢＤ”
“ＡＢ与ＣＤ”“ＡＤ与ＢＣ”均不垂直。
例3（１）如图在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，ＡＤ＝５，∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＣ＝90。
，Ｅ是ＣＤ的中点。
［１］证明：ＣＤ平面ＰＡＥ；
［２］若直线ＰＢ与平面ＰＡＥ所成角和ＰＢ与平面ＡＢＣＤ所成角相等，求四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的体积。
课堂小结
1由三视图推想直观图
2平行与垂直的相关命题真假的判断
３几何体体积与表面积的计算
课后习题
１（１）斜棱柱的侧面中可能有矩形吗？
（２）底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？
２关注下面三组三视图与直观图的对应：
３给你６根等长的火柴棒，最多能做几个等边三角形？
你做出的图形中有几个顶点？几条边？几个面？
４如果三个平面把空间分成四个部分，那么这三个平面
有怎样的位置关系？如果三个平面把空间分成６个部
分，那么这三个平面有怎样的位置关系？
《三个平面把空间分成ｎ个部分，则ｎ＝４，６，７，８》
５与不共线的三点距离都相等的点的集合，对应的图形是什么？
6 正方体，底面直径和高相等的圆柱，球的体积相等时，哪一个的表面积最小？
7 已知，三角形ＡＢＣ为正三角形，ＥＣ，ＤＢ都
垂直平面ＡＢＣ，且ＥＣ，ＤＢ在平面ＡＢＣ的同侧，Ｍ为ＥＡ的中点，ＣＥ＝ＣＡ＝２ＢＤ。
求证：［１］ＤＥ＝ＤＡ；
［２］平面ＢＤＭ⊥平面ＥＣＡ；
［３］平面ＤＥＡ⊥平面ＥＣＡ
９证明：在四面体Ａ－ＢＣＤ中，
如果两组对棱ＡＢ⊥ＣＤ，ＤＢ⊥ＡＣ，
那么第三组对棱ＤＡ⊥ＢＣ。
（提示：——向量法比较简单）
板书
例题精析，精练：
例 1 （三视图与面积体积）
（１）（２０１２湖北４）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为（）
Ａ.6π B.3π C.10π/3 D.8π/3
（２）（２０１３重庆文８）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的表面积为（）
Ａ１８０；Ｂ２００；Ｃ２２０；Ｄ２４０。
（３）（２０１３新标一文１１理８）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为（）
Ａ１６＋８π B８＋８π C１６＋１６π D８＋１６π
例2（１）（２０１３江西理８文１５）如图正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且ＡＢ／／ＣＤ，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为ｍ，ｎ，那么ｍ＋ｎ＝（）
（２）如图四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ的底面为正方形，ＳＤ〦底
面ＡＢＣＤ，则下列结论中不正确的是（）
Ａ，ＡＣ〦ＳＢ；Ｂ，ＡＢ／／平面ＳＣＤ；
Ｃ，ＳＡ与平面ＳＢＤ所成的角等于ＳＣ与平面ＳＢＤ所成的角；
（３）已知矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＢＣ＝√2。
将三角形
ＡＢＣ沿矩形的对角线ＢＤ所在的直线进行翻折，在翻折的过
程中（）
Ａ，存在某个位置，使得ＡＣ〦ＢＤ；
Ｂ，存在某个位置，使得ＡＢ〦ＣＤ；
Ｃ，存在某个位置使得ＡＤ〦ＢＣ；
Ｄ，对任意位置，三对直线“ＡＣ与ＢＤ”
“ＡＢ与ＣＤ”“ＡＤ与ＢＣ”均不垂直。
例3（１）如图在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，ＡＤ＝５，∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＣ＝90。
，Ｅ是ＣＤ的中点。
［１］证明：ＣＤ平面ＰＡＥ；
［２］若直线ＰＢ与平面ＰＡＥ所成角和ＰＢ与平面ＡＢＣＤ所成角相等，求四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的体积。
１（１）斜棱柱的侧面中可能有矩形吗？
（２）底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？
２关注下面三组三视图与直观图的对应：
３给你６根等长的火柴棒，最多能做几个等边三角形？
你做出的图形中有几个顶点？几条边？几个面？
４如果三个平面把空间分成四个部分，那么这三个平面
有怎样的位置关系？如果三个平面把空间分成６个部
分，那么这三个平面有怎样的位置关系？
《三个平面把空间分成ｎ个部分，则ｎ＝４，６，７，８》
５与不共线的三点距离都相等的点的集合，对应的图形是什么？
6 正方体，底面直径和高相等的圆柱，球的体积相等时，哪一个的表面积最小？
7 已知，三角形ＡＢＣ为正三角形，ＥＣ，ＤＢ都
垂直平面ＡＢＣ，且ＥＣ，ＤＢ在平面ＡＢＣ的
同侧，Ｍ为ＥＡ的中点，ＣＥ＝ＣＡ＝２ＢＤ。
求证：［１］ＤＥ＝ＤＡ；
［２］平面ＢＤＭ⊥平面ＥＣＡ；
［３］平面ＤＥＡ⊥平面ＥＣＡ
９证明：在四面体Ａ－ＢＣＤ中，如果两组对棱ＡＢ⊥ＣＤ，ＤＢ⊥ＡＣ，
那么第三组对棱ＤＡ⊥ＢＣ。
（提示：——向量法比较简单）。