高一第11讲 三角函数概念(教师版)
《三角函数的概念》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《三角函数的概念》教学设计本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课,具有核心地位、统领全局的作用. 在此之前,学生已经学习了锐角三角函数,弧度制,对三角函数(正弦,余弦,正切)有一定的了解,了解了锐角三角函数在解三角形中的作用.为本节课的学习提供了知识准备. 本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系.借用单位圆直观的表示三角函数的对应值.1.了解任意角三角函数概念的形成过程,培养学生抽象问题的能力;2.掌握任意角三角函数的代数表示,理解任意角三角函数的正弦,余弦,正切概念,体会用单位圆进行数学研究的一般过程.教学重点:本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程.1.教学问题: (1)学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍,由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数,并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数,要克服这一点,关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系;(2)学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时,又可能会形成障碍.(3)学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时,可能会受初中锐角三角函数定义的影响,仍然局限在直角三角形中思考问题.2.教学支持条件:计算机,几何画板,科大讯飞问答系统.【问题1】在初中,我们学过锐角三角函数,如图1,在直角三角形OMP 中,M ∠是直角,那么根据锐角三角函数的定义,O ∠的正弦,余弦,正切分别是什么? ◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义.【预设师生活动】教师提出问题,学生回答.【问题2】在上节课的学习中,我们已经将角的概念推广到了任意角,现在说说的角可以是任意大小的正角,负角和零角.那么任意角的三角函数又该怎么定义呢?【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数.【预设师生活动】老师引导学生:(1)能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数?(2)将锐角推广到任意角时,我们是把角放在哪里进行研究的?(3)如图2:在平面直角坐标系中如何定义任意角α的三角函数?(4)终边是OP 的角一定是锐角吗?如果不是,能用直角三角形的边长来定义吗?当α的终边不在第一象限该怎么办?(5)我们知道,借助平面直角坐标系,就可以把几何问题代数化,大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢?(渗透数形结合的思想) (6)利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处?【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点?【设计意图】为引入单位圆做铺垫.【预设师生活动】教师提出问题后,课组织学生展开讨论,在学生不能回到正确时,可启发他们思考:(1)我们在定义1弧度的角时,利用了一个什么图形?所用的圆与半径大小有关吗?用半径多大的圆定义起来更简单易懂?(2)对于一个三角函数,比如sin y α=.它的函数值是由什么决定的?那么当一个角的终边位置确定后,能不能取终边任意一点来定义三角函数?取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些?怎样取?(加强与几何的联系))【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了?【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上,进一步给出任意角三角函数的定义.【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义,教师进行整理【问题5】根据任意三角函数的定义,要求角α的三个三角函数值其实就是求什么?【设计意图】让学生从中体会,用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式,还更能突出三角函数概念的本质.【预设师生活动】在学生回答问题的基础上,引导学生利用定义求三角函数值例1 已知角α的终边过点P (12,α的正弦、余弦和正切值. 【设计意图】从最简单的问题入手,然后通过变式,让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题,进而加深对定义的理解,加强定义应用中与几何的联系,体会数形结合的思想.【预设师生活动】在完成本题的基础上,可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识.变式1: 求 35π 的正弦、余弦和正切值. 变式2: 已知角α的终边过点P (-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域?【设计意图】研究一个函数,就是要研究其三要素,而三要素中最本质的是对应法则和定义域,三角函数的对应法则已经有定义式给出,所以在给出定义之后就要研究其定义域,通过利用定义求定义域,即完善了三角函数概念的内涵,同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】学生求出定义域,教师进行整理【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样?【设计意图】通过定义的应用,让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律,并从中进一步理解三角函数的概念,体会数形结合的思想.【预设师生活动】学生回答,教师进行整理.例2. 求证:(1)当不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立时,角θ为第三象限角; (2) 当角θ为第三象限角时,不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立.【设计意图】通过问题的解决,熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律,并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】在完成本题的基础上,可视情况改变题目的条件或结论,作变式训练;【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的,那么角的终边每绕原点旋转一周,它的大小将会怎样变化?它所对应的三角函数值又将怎样变化?【设计意图】引出公式一,突出函数周期变化的特点,以及数形结合的思想.【预设师生活动】在教师的引导下,由学生讨论完成.例3 先确定下列三角函数值的符号,然后再求出它们的值;)672cos()4();611tan()3(;3cos )2(;49sin )1(0--πππ. 【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起,通过应用公式一解决问题,让学生熟悉和记忆公式一,并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】先完成题(1),再通过改变函数名称和角,逐步完成其他各题. 练习(1)填表.(2)设α是三角形的一个内角,在αsin ,αcos ,αtan ,2tan中,有可能取负值的是 .(3)选择“>”,“<”,“=”填空:;0_____)34sin(π-;0_____556tan 0 ;0_____)450cos(0-;0_____)817tan(π- (4)选择0tan )5(;0tan )4(;0cos )3(;0sin )2(;0sin )1(<>><>ααααα中适当的关系式的序号填空:(1)当角α为第一象限角时, ,反之也成立;(2)当角α为第二象限角时, ,反之也成立;(3)当角α为第三象限角时, ,反之也成立;(4)当角α为第四象限角时, ,反之也成立;(5)求67π的正弦,余弦和正切值. (6)已知角θ的终边经过点P (-12,5),求角θ的正弦,余弦和正切值.(7)求下列三角函数值: );431tan();1050sin(;319tan ;1109cos 00ππ-- 例4(备选) 如图1是一个摩天轮,假设它的中心离地面的高度为h0,它的直径为2R ,逆时针方向匀速转动,转动一周需要360秒,若现在你坐在座舱中,从初始位置OA 出发(如图1所示),过了30秒后,你离地面的高度为多少?过了t0 秒呢?【设计意图】通过应用三角函数定义,熟悉和记忆特殊角的三角函数值,三角函数值的符号,公式一,以及求三角函数值,加强对三角函数概念的理解.【预设师生活动】根据教学的实际情况,对练习题的数量和内容做具体调整.5. 小结【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义,你能回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗?锐角三角函数与解直角三角形相关,在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数.通过今天的学习,我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广,但它与解三角形已经没有什么关系了,我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数.借助平面直角坐标系中的单位圆,我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系,进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数.【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容.【预设师生活动】在学生给出定义后,教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点.【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义,还接触了定义的一些应用,能不能归纳一下,今天我们利用定义解决了那些问题?【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用.图1【预设师生活动】在学生回顾与总结的基础上,教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想.。
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件

题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等. (2)公式一的结构特征: ①左、右为同一三角函数; ②公式左边的角为α+k·2π,右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏. (3)公式一的作用:把求任意角的三角函数值转化为求0~2π(或0°~360°) 范围内的角的三角函数值.
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各 三角函数值.
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)为单位圆上的点,则 sin α=y,cos α=x,tan α=xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则 sin α=yr, cos α=xr,tan α=xy(r= x2+y2).
(2)若sin α=sin β,则α=β.
答案:(1)√ (2)×
2.sin(-315°)的值是
A.-
2 2
B.-12
C.
2 2
D.12
解析:sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin
45°=
2 2.
答案:C
() ()
()
3.tan235π=________. 解析:tan235π=tan8π+π3=tanπ3= 3. 答案: 3
sin
α=
2 =2 5
5
5,cos
α=
1= 5
55,tan
α=21=2.
当角 α 的终边在第三象限时,在角 α 的终边上取点 Q(-1,-2),由 r=|OQ|
= -12+-22= 5,
7.2.1三角函数概念-高一数学(苏教版必修第一册)课件

M
A
o
1x
T
课堂达标
2. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1)
3
(2)
;
5
;
6
(3) -
2
;
3
解: (3)
(4)
13
.
6
(4)
T
y
y
-
M o
-
P
2
3
A
1 x
13
6
o
M A
1
P
正弦线 MP,
余弦线 OM,
正切线 AT.
T
x
谢谢
7.2三角函数概念
学习目标
1、正弦余弦正切函数的定义
2、三角函数线
复习引入
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎样定义的?
问题2. 在直角坐标系中, 如果知道锐角 终边上一点的坐标, 你能求
y
出 的三角函数吗?
sin
对边
斜边
作PM⊥x 轴于M,
设 |OP| r, 则
(x, y)
( - ) ( - )
o
x
( - ) ( + )
o
x
( + ) ( - )
sin
cos
问题3. 能不能证明你的结论?
tan
第一象限角终边上的点的坐标, x>0, y>0, r>0;
y
sin
r
x
y
>0. cos >0. tan >0.
r
x
第一象限角的三种三角函数值都为正.
活动:请同学们归
x -3
高一数学上册《三角函数的概念》教学课件

当是第四象限角时, y sin cos tan (1)1(1)1,
sin cos tan
综上可知,所求函数的值域是1 .
求证:角 为第二或第三象限角的充要条件是 sin tan<0 ;
当角 为第二象限角时,sin >0, tan<0 ,则 sin tan<0 ; 当角 为第三象限角时,sin <0, tan>0 ,则 sin tan<0 . 所以如果角 为第二或第三象限角,那么 sin tan<0 . 所以如果 sin tan<0 ,那么角 为第二或第三象限角.
综上所述,原命题成立.
先证充分性,即如果 sin tan<0 ,那么角 为第二或第三象限角. 因为 sin tan<0 ,即 sin >0 且 tan<0 ,或 sin <0 且 tan>0 . 当 sin >0 且 tan<0 时,角 为第二象限角; 当 sin <0 且 tan>0 时,角 为第三象限角, 再证必要性,即如果角 为第二或第三象限角,那么 sin tan<0 .
原点 O 重合)的坐标为(x,y),点 P 与原点的距离为 r.求
证:sin = y , cos = x , tan = y .
r
r
x
分析:观察右图,由△OMP∽△OM0P0,根据三角函数的
定义可以得到证明.
证明:如图,设角 的终边与单位圆
交于点 P0(x0,y0).分别过点 P,P0 作 x 轴的垂线 PM,P0M0,垂足分别 为 M,M0,
又因为 cos <0 成立,所以 角的终边可能位于第二或
第三象限或 x 轴的非正半轴.
高一数学备课课件三角函数的概念

介绍即将学习的三角函数的应用,包括解三角形、三角函数的和差化积与积化和 差公式等。
预习要求
要求学生提前预习相关内容,了解解三角形的基本方法、三角函数的和差化积与 积化和差公式的推导过程等。同时,鼓励学生思考如何将所学知识应用到实际问 题中,提出自己的疑问和想法。
感谢您的观看
THANKS
三角函数恒等式证明及应用
1 勾股定理在三角函数中的应用
$sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$,用于证明三角函 数的性质及求解相关问题。
2 倍角公式
$sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha$,$cos 2alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha$,用于简化三角函数表 达式及求解相关方程。
余弦函数公式
$cos(alpha pm beta) = cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta$
正切函数公式
$tan(alpha pm beta) = frac{tan alpha pm tan beta}{1 mp tan alpha tan beta}$
和差化积与积化和差公式
和差化积公式
$sin alpha + sin beta = 2sinfrac{alpha + beta}{2}cosfrac{alpha - beta}{2}$,$sin alpha - sin beta = 2cosfrac{alpha + beta}{2}sinfrac{alpha - beta}{2}$
学生自我评价报告分享
知识掌握情况
学生自我评价对于三角函数概念 的理解程度,包括定义、性质、
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件

作业
1、完成练习册第130-131页
必做:例1、例2、跟踪2、3、4,A级1-5、9
选做:6-8、10
2、在导学案完成表格数据
谢谢大家,欢迎批评指正
T H A N K
Y O U
A L L
r
x
0
O
y
又 y0与y同号,
y0
r
0
M
0
M
新知探索 —— 三角函数第二定义
设α是一个任意角,Px, y 是终边上的任意一点,
点P与原点的距离为:r x 2 y 2 >0
y
sin α
r
x
cos α
r
y
tan α x 0
x
比较三角函数第一定义:设α是一个任意
7
、
的正弦值、余
2
6
y
x
探究二
(, ),把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为 ,并把按
设 ∈
本节三角函数定义求得的锐角x记为 。 和 相等吗?对于余弦和正
切也有相同的结论吗?
1
AB
OA
1
sin x
z
1
A
OA
A1 B1 y sin x
1
1
AB
O
由三角函数的性质得: 1
角,它的终边与单位圆相交于点P(x,y)
sinα=y cosα=x tanα =
(x≠0)
05 课堂探究 -例题讲授
例3、已知角α的终边过点P(-12,5),求角α
的三角函数值。
课堂小结
1、三角函数的第一定义
2、三角函数的第二定义
3、求任意角的三角函数值的方法:先寻求
高一必修一数学:三角函数的概念(上课课件)

55
55
1
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
问题2 三角函数符号与公式
1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域
,求角
的正弦、余
y
sin 4 ;
5
cos 3 ;
5
tan y 4
x3
M0 M
O
x
Px, y
P0 3,4
定义法
定义推广:
设角 是一个任意角,P(x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
那么① ②
y 叫做 的正弦,即
r
x r
叫做
的余弦,即
③
y x
叫做
y
r
r
x
又根据勾股定理可得,r x2 y2>0
α
故只要知道角α终边上任意一点,那么就可以求得角 α的各个三角函数值,显然任意角α的三角函数值仅
O
·r
Px, y
x
与α有关,而与点P在角的终边上的位置无关.
练习 已知角 弦和正切值 .
解:由已知可得
的终边经过点 OP0 (3)2 (4)2 5
又因为②式 tan 成 0立,所以角 的终边可能位于第一
或第三象限.
高中数学人教A版必修第一册《三角函数的概念》示范教学课件

第一课时
创设情境
问题1 如图,单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向 旋转,建立一个函数模型,刻画点P的位置变化情况.根据 已有的研究函数的经验,你认为我们可以按怎样的路径研 究上述问题?
明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质.
新知探究
问题2 如图,当α π 时,点P的坐标是什么?当 α π 或 2π
新知探究
问题3 请同学们先阅读教科书第178~179页,再回答如下 问题: (1)正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么?
(1)正弦函数的对应关系:→点P的纵坐标y; 余弦函数的对应关系:→点P的横坐标x; 正弦函数的对应关系:→ y
x
高中数学人教A版必修第一册《三角函 数的概 念》示 范教学 课件
终边与单位圆的交点P确定,
P 点的横、纵坐标x、y就会唯一确定,
高中数学人教A版必修第一册《三角函 数的概 念》示 范教学 课件
高中数学人教A版必修第一册《三角函 数的概 念》示 范教学 课件
新知探究
问题3 请同学们先阅读教科书第178~179页,再回答如下 问题:
(3)为什么说当α π kπ 时,tan的值是唯一确定的?
新知探究
问题5 在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角 为自变量,以比值为函数值的函数.设 x (0,π ) ,把按锐角
2 三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1,并把按本节三角函 数定义求得的x的正弦记为z1.y1与z1相等吗?对于余弦、正切 也有相同的结论吗?
解答:作出Rt△ABC,其中∠A=x,∠C=90°,
新知探究
例1 利用三角函数的定义求 5π 的正弦、余 3
弦和正切值.
三角函数的概念课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

如如图图,,直直角角三如如三角图图角形,如,如形的直图直图的三角,角,三如如个三直三直个图图边角角角边,,分形三形三分直直别的角的角别角角为三形三形为三三个的x个的角x角,边三边三,形形分个分y个的y的别,边别边,三三为分r为分个r个,别x别,x边边,为,为显分分显yx然yx别别然,,r为为rryryx,x,,,,xr显rx2显y,2y,然然,,y显ry2显rr2,然,然,,则rr则x显x显有22有然然::xyrxyr22,,y则y则x2x22有2,有,:则:则y
A.
A1.1 4
11 4
B.
11B. 4
11 4
C. C4. 4
D. 4D. 4
例题讲练
(2)若角 的终边在直线 y 2x 上,则 sin 2cos _______ .
例题讲练
练习 1 (1)已知角 终边上一点 P(x,
练习 练1 习(11)(已1知)角已知终角边上终一边点上P一(点x,3P)(x(x,3) 0(x) 且 0c)o且 scos10 x ,10求xs,in , tan 的值.
0.)
x
注:
①在正弦 sin 和余弦 cos 中,角 R , sin [1,1] , cos [1,1]; 而在正切 tan 中,由于横坐标 x 0 ,则 k ( k Z ), tan R .
2
②正弦,余弦,正切都是以角 为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值
而而而一在在在正正.正切切切任tat意nan角中中的中,,,由三由于由于角横横于函坐坐横标数标坐x标定x义0,,0则则,则
2
k2
((kk
Z( k)),,tZan), taRn..
R
.
②②②正正正弦弦弦,,,余余余弦弦弦,,,正正正切切切都都都是是以是以角以角角为为自自为变变自量量变,,量以以,单单以位位单圆圆位上上点圆点的的上坐坐点标标的或或坐坐坐标标标或的的坐比比标值值的比值
5.2.1 三角函数的概念(课件)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品

二、本节课提升的核心素养
三角函数的概念
数学抽象
三角函数的符号
数学建模
诱导公式一
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数思想
分类讨论
转化与化归
数形结合
01 基础作业:
.
02 能力提升:
.
拓展延伸:
.
03
高中数学/人教A版/必修一
三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一. 起源于
对三角形边角关系的研究,始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳
斯和托勒密等人对天文的测量,在相当长的时期里隶属于天
文学.直到1464年,德国数学家雷格蒙塔努斯著《论各种三
角形》,才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说.
1631年,三角学传入中国,三角学在中国早期比较通行
使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的
非负半轴重合.在角α的终边上取一点P
(a,b),设点P与原点的距离为r,那么,O
sinα,cosα,tanα的值分别如何表示?
A
y
P(a,b)
r
α
B
x
2 任意角的三角函数
A
y
P(a,b)
r
α
O
B
x
2 任意角的三角函数
思考:对于确定的角α,上述三个比值是否随点P在角α的终
α的终边
y
P(x,y) ·
O
x
2 任意角的三角函数
函
数
定 义 域
y sin
R
y cos
R
y tan
{ | k, k Z}
2
练一练
若角600°的终边上有一点(-4, a),则a的值是(
三角函数的概念课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.2.1 三角函数的概念
课本P180
学习目标
新课程标准
核心素养
1.借助单位圆理解任意角的三角函数.
数学抽象
2.利用角终边上点的坐标求三角函数值.
数学运算
3.利用三角函数的定义,理解三角函数值在各象限的
符号.
4.通过对三角函数的理解,掌握终边相同的角的同意
三角函数值相等。
数学抽象
数学抽象
x
任意角的三角函数
yxBiblioteka ysin , cos , tan .
r
r
x
P(x,y)为α的终边与单位圆的交点,则r =1.
y
则sin y, cos x, tan .
x
析 : r OP ( 12)2 52 13.
5
12
5
sin , cos , tan .
复习回顾
情景引入
我们知道函数描述客观世界变化规律的数学模型之
一。
匀速直线运动、平抛运动用什么样的数学模型描述?
具有“指数爆炸”“对数增长”现象的数学问题用
什么样的数学模型描述?
温故知新
大到宇宙天体的运动,小到质点的运动,客观世界中许多
运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律,这种规律
称为周期性,我们能否建立一种函数模型来刻画这种规律?
2
3
角(弧度)
6
π
2
PP(x,y)
α
O
A(1,0)
A
x
2π
3
点的横坐标
任意的角
唯一的实数
任意的角
唯一的实数
点的纵坐标
三角函数的概念课件高一上学期数学人教A版

y sin
r
r 1 csc y sin
x 叫做α的余弦函数,记作 cos ,即 r
y 叫做α的正切函数,记作 tan ,即 x
x cos r
y tan(x 0) x
r 1 sec x cos x 1 cot y tan
正弦函数、余弦函数和正切函数,统称为三角函数.
例题巩固
足分别为 M ,M,0 则
P M y PM y 0 0
0
PM y
OM 0 x0 OM x
由三角形相似易知:
P0 M 0 PM
即 y0
1
r
因为y0与y同号,所以
y0
y, r
同理可证 cos x ,tan y .
r
x
y
r 即 sin y .
r
M
M0
x
1 x0
P0 (x0 , y0 )
【例3】已知角α的终边经过点P(2,-3)(如 图),求α的三个三角函数值.
解:∵由x=2,y=-3得 r 22 (3)2 13
∴ 由三角函数的定义,得
sin y 3 3 13 r 13 13
cos x 2 2 13 r 13 13
tan y 3
x2
步骤:1. 根据横纵坐标求r 2. 根据三角函数的定义求各个三角函数值
2
2
2
【例2】 如图所示:已知角 α 是一个任意角,它的终
y
边上任意一点P(不与坐标原点O重合)的坐标为(x,y),
点P与原点的距离记为r.
1
求证:sin y , cos x , tan y .
证明:
r
r
x
以原点O为圆心,作单位圆,设角α
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③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;
④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;
⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 A
解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当cosθ=-1,θ=π时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.
所以2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°,k∈Z,
所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上.
因为k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,
所以k·180°+45°<<k·180°+90°,k∈Z,所以当k=2n,n∈Z时,
n·360°+45°<<n·360°+90°,即的终边在第一象限;
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
(3)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.
2.弧度制:(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零.
解析:(1)∵r=,∴cosα=,从而x=,解得x=0或x=±.
∵90° α<180°,∴当x=-时r=2,sinα==,
tanα==-.当 时,sinα= ,tanα不存在。
课堂小结:任意角的三角函数值与终边所在的位置有关,与点在终边上的位置无关,故要首先判定P点所在的象限,确定r,最后根据定义求解.
∴-1 500°可化成-10π+,是第四象限角.
(2)∵π=2π+π,∴π与π终边相同,是第四象限角.
(3)∵-4=-2π+(2π-4),∴-4与2π-4终边相同,是第二象限角.
回顾归纳 在同一问题中,单位制度要统一.角度制与弧度制不能混用.
例5已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
(2)角θ的终边上有一点(a,a),a∈R且a≠0,则sin θ的值是
.A.B.-C.或-D.1
解析:由已知得r==|a|,
sin θ===所以sin θ的值是或-.
(3)[2011年高考江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若
P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t.
r== =5|t|,
当t>0时,r=5t,sinα===-,cosα===,tanα===-;
当t<0时,r=-5t,sinα===,cosα===-,tanα===-.
(2)设90° α<180°,角α的终边上一点为P(x,),且cosα=x,求sinα与tanα的值;
课堂小结:解答本题可先利用终边相同的角的关系:β=α360°范围内,然后利用0°~360°范围内的角分析该角是第几象限角.
例3已知α是第二象限角,试确定2α,的终边所在的位置.
解 因为α是第二象限角,所以k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z.
当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+225°<<n·360°+270°,
即的终边在第三象限,所以的终边在第一或第三象限.
课堂小结:若已知角α是第几象限角,判断,等是第几象限角,主要方法是解不等式并对k进行分类讨论.考查角的终边的位置.
课堂练习1:(1)若α是第四象限角,则180°-α是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
(4)当角α的终边在x轴上时,可表示为k·180°,k∈Z.当角α的终边在y轴上时,可表示为k·180°+90°,k∈Z.∴当角α的终边在坐标轴上时,可表示为k·90°,k∈Z.
例2在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.
四.典例剖析:
题型一终边相同的角与象限角
例1判断真假:(1)将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角度是.( )
(2)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( )
(3)已知A={小于90°的角},B={第一象限角},则A∩B={α|0°<α<90°}.( )
(4)终边与坐标轴重合的角α的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.( )
解:由sinα=>0,cosα<0,知α位于第二象限,故k<0,设P(x,kx)(x<0)是终边上一点,则sinα===⇒k=-2.
题型四三角函数符号
例8(1)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
答案 C解析 若cosθ>0,tanθ<0,则θ在第四象限;
解:若角α终边上任意一点P(x,y),|OP|=r,则sinα=,cosα=,tanα=.
P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sinθ=,又sinθ=-,
∴=-,解得y=-8.
例7(1)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.
解:∵角α的终边在直线3x+4y=0上,
(3)若θ是第二象限角,试判断 的符号;
∵2kπ+<θ<2kπ+π (k∈Z),∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π (k∈Z),
-1≤sin 2θ<0,∴sin(cosθ)<0,cos(sin 2θ)>0, <0.∴ 的符号是负号.
课堂练习4:给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
第11讲三角函数概念(教师版)
一.学习目标:
1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
二.重点难点:
1.重点:三角函数的定义及应用。
2.难点:三角函数值符号的确定.三角函数线的应用。
三.知识梳理:
1.角的概念:(1)任意角:①定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)设扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________.
[答案](1)π cmπ cm2(2)2rad
题型三 任意角三角函数的定义
例6(1)已知角α的终边经过点P(m,-3),且cosα=-,则m等于
A.-B.C.-4D.4
[自主解答] 由题意可知,cos α==-,又m<0,解得m=-4.
[3]三角函数线是三角函数的几何表示
(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下为负.
(2)余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负.
(3)当角α的终边在x轴上时,点T与点A重合,此时正切线变成了一个点,当角α的终边在y轴上时,点T不存在,即正切线不存在.
(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用有向线段表示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.
题型五三角函数线及运用
例9(1)若0<x<π,则使sinx>和cosx<同时成立的x的取值范围是( )
解 设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,则l+2r=40,∴l=40-2r.∴S=lr=×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100.∴当半径r=10 cm时,扇形的面积最大,最大值为100 cm2,此时θ==rad=2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad,半径为10 cm时,扇形的面积最大为100 cm2.
课堂练习3:(1)已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tanθ=-x,求sinθ,cosθ.
答:∵θ的终边过点(x,-1)(x≠0),∴tanθ=-,又tanθ=-x,
∴x2=1,∴x=±1.当x=1时,sinθ=-,cosθ=;
当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-.
(2)已知角α的顶点在原点,始边为x轴非负半轴,终边在直线y=kx上,若sinα=,且cosα<0,求实数k.
答:C
(2)已知α是第一象限角,则角的终边不可能落在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答:D
题型二 角度制与弧度制
例4把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角:
(1)-1 500°;(2)π;(3)-4.
解 (1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-5×360°+300°.
(Ⅲ) (Ⅳ)
有向线段MP为正弦线;有向线段OM为余弦线;有向线段AT为正切线
5,几点注意:
[1].对角概念的理解要准确
(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”,把“0°~90°的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[解析] (1)∵将表的分针拨快10分钟,是顺时针转,∴分针转过的角度是-.