2020高二数学上册寒假作业2——圆锥曲线综合【含答案】

．
3
7．
x2 椭圆
y2
1 与双曲线
x2
y2
1 有共同的焦点，点 P 是椭圆与双曲线的一个交点，
a2 3
m2
则 F1PF2
．
8． 已知抛物线 y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若
线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ．
9．
程得
1 2a2
y02 b2
1即
y02
1 2
，所以点 P
的纵坐标为
2 2
.
（3）设直线 x y 1与坐标轴交于 C、D ，则 CD
2, SCOD
1 2
又 AOB, COD
两个
三角形等高，故 AB SAOB 5 所以 AB 5 2
CD SCOD 4
4
2
|
x1
x2
|
，求得
a2b2
16 7
所以 a2 4,b2 4 ，所以椭圆方程为 x2 7 y2 1 .
x1
x2
4k 2 1 2k 2
, x1x2
2k 2 2 1 2k 2 .y1 y2
k2 1 2k 2
，由条件 F1P
F1Q 得
F1P
F1Q
7k2 1 2k
1
2
0
∴解得 k 7 ；∴直线 l 的方程为 y 7 (x 1)
7
7
16．
解：（1）由已知 | AB | 5 | BF | ，即 a2 b2 5 a ， 4a2 4b2 5a2 ，
已知点 P 是抛物线 y2 8x 上一点，设 P 到此抛物线准线的距离是 d1，到直线
x y 10 0 的距离是 d2，则 dl+d2 的最小值是
．
10．已知双曲线
x2 2
y2 2
1的准线过椭圆
x2 4
y2 b2
1 的焦点，直线
y
kx 2 与椭圆至多有
一个交点,则 k 的取值范围为
．
11．已知点 P 是椭圆 C： x2 y2 1 上的动点，F1、F2 分别为左、右焦点，O 为坐标原点， 84
13．已知半椭圆
y2 a2
x2 b2
1 （y≥0，a＞b＞0）和半圆
x2+y2＝b2（y≤0）组成的曲线 C
如
图所示．曲线 C 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 G，H，点
y
M 是半圆上异于 A，B 的任意一点，当点 M 位于点
G
( 6 ，－ 3 )时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程为
y1 y2 4a
，
a2 1 y1 2a y2 2a a2 1 y1 y2 2a( y1 y2 ) 4a2
把
y1
y2
4m
，
y1 y2
2
14．分析：设出 M，N 的坐标分别为 x1, y1 ,x2 , y2 ∵M，N 在抛物线 y2 2 px( p 0) ∴
y12 2 px1 ① y22 2 px2 ②，①-②知 y12 y22 2 p x1 x2
y1 x1
y2 x2
1 k
y1
y2
2kp ∵M，N
在直线 l2
则 | PF1 | | PF2 | 的取值范围是 ． | OP |
x2 y2
12．已知过点 P(－3,0)的直线 l 与双曲线16－ 9 ＝1 交于 A、B 两点，设直线 l 的斜率为 k1
(k1≠0)，弦 AB 的中点为 M，OM 的斜率为 k2(O 为坐标原点)，则 k1·k2＝_____．
9． 6 2
10．
k
1 2
,
1 2
11． [0, 2] 9
12． 16 13．
解：由点 ( 6 , 3 ) 在半圆上，所以 b 1 ，而当点 M 位于 33
点 ( 6 , 3 ) 时， AGM 的面积最大可知，OM⊥AG，即 33
kOM kAG 1 ， a 2 ， ∴半椭圆的方程为 y2 x2 1 （y≥0）
． 二、解答题： 15．已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1(﹣1，0)、F2(1，0)，短轴的两端点分别为 B1、B2．
（1）若椭圆 C 的离心率为 1 ，直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，弦 AB 的中点为 2
( 1 ，1)，求直线 l 的方程； 2
（2）若椭 圆C的短轴长为 2，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，且 F1P F1Q ，求直线 l 的方程．
OP OQ
0，
即 x1x2 y1 y2 0 ， x1x2 (2x1 2)(2x2 2) 0 ， 5x1x2 4(x1 x2 ) 4 0 ．
从而 5(16 4b2 ) 128 4 0 ，解得 b 1 ，∴
x2 椭圆 C 的方程为
y2
1．
17
17
4
17．
解：（1）将直线 x y 1代入椭圆方程，因为直线与椭圆交于两点，故 0 ，
高二数学上册寒假作业 2——圆锥曲线综合（带答案）
一、填空题：
y2
1． 若双曲线 x2 -m2＝1 的一条渐近线的倾斜角 ∈(0， )，则 m 的取值范围是
．
3
2． 抛物线 y 2x2 的准线方程为
．
3． 双曲线 mx2+ y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于
．
4． 已知椭圆 x2 y2 1 ，以及椭圆内一点 P(4,2),则以 P 为中点的弦所在的直线斜率为 36 9
y A
OF
x
B
D
19．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F
，M
为上顶点， O 为坐标原点，若△
OMF 的面积为 1 ，且椭圆的离心率为 2 ．
2
2
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线 l 交椭圆于 P ， Q 两点， 且使点 F 为△ PQM 的垂心？若存在，
求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
x1 x2
y12 4
y22 4
(4)2 16
1，
∴
OF
x
B
| AB | x1 x2 2 4m2 4 5 ，
∴ m2
1． 4
D
∴直线 l 的斜率 k 2 4 ，∵ k 0 ，∴ k 2 ．
∴直线 l 的方程为 2x y 2 0 ．
（2）设 M (a2 , 2a) ， kMA
y1 2a x1 a2
7
44
18．
解析：（1）焦点 F (1, 0) ．
∵直线 l 的斜率不为 0 ，所以设 l : x my 1，
A( x1 ,
y1 )
，
B(x2 ,
y2 )
由
x
y2
my 1 得
4x
y2
4my
4
0
，
y A
y1 y2 4m ， y1 y2 4 ， x1 x2 m( y1 y2 ) 2 4m2 2 ，
3
3
．
14．已知抛物线 y2 2 px( p 0) ，过定点 ( p, 0) 作两条互相垂直
的直线 l1, l2 ， l1 与抛物线交于 P, Q 两点， l2 与抛物线交于
A
O Bx
M , N 两点，设 l1 的斜率为 k ．若某同学已正确求得弦
M H
第 10 题图
PQ 的中垂线在 y 轴上的截距为 2 p p ，则弦 MN 的中垂线在 y 轴上的截距为 k k3
线 l 的方程及椭圆 C 的方程．
y
B
x
O
F
A
17．设直线 x
y
1
与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 相交于 A, B
两点.
（1）若 a 6 ，求 b 的范围； 3
（2）若 OA OB ，且椭圆上存在一点 P 其横坐标为 2 ，求点 P 的纵坐标； 2
（3）若 OA
OB
，且
SOAB
5 8
，求椭圆方程．
18．如图，已知抛物线 C ： y2 4x ，过焦点 F 斜率大于零的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点， 且与其准线交于点 D ． （1）若线段 AB 的长为 5 ，求直线 l 的方程； （2）在 C 上是否存在点 M ，使得对任意直线 l ，直线 MA ， MD ， MB 的斜率始终成 等差数列，若存在求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
一、填空题：
1． (- 3 ，0)∪(0， 3 ) 2． y 1
8 3． 1
4 4． 1
2
5． 2 2
6．
分析：椭圆的右顶点为 a,0，所以直线方程为 y 0
3 x a
3x y
3a 0 ，
直线与圆相切，所以有
3a b3a2 4b2 4a2 4c2 e c 1
2
a2
7．
解得 b 3 ，所以 b 的范围为 ( 3 , 6 ) ．
3
33
（2）将直线
x
y
1代入椭圆方程，可得：
x1
x2
2a2 a2 b2
, x1x2
a2 Hale Waihona Puke Baidu2b2 a2 b2
由 OA OB
可得 x1x2
y1 y2
0 ，解得 a2
b2
2a2b2
即
1 2a2
1 2b2
1 ，代
2 到椭圆方 2
43
将直线 l 的方程带入椭圆 C 的方程并整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0；
若设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
x1
x2
8kb 3 4k 2
，
y1
y2
8k 2b 3 4k 2
2b
；
根据 AB 的中点坐标，所以：
4kb 3 4k 2
4k 2b
3 4k 2
：
y
1 x
k
p上
x1 x2 2 p k 2 1 即弦 MN 的中点坐标为 p k 2 1 , kp
∵过定点（p，0）作两条互相垂直的直线 l1,l2 ， l1 与抛物线交于 P，Q 两点， l2 与抛物
线交于
M，N
两点，设 l1
的斜率为
k∴
kmn
1 k
∴弦
MN
的中垂线的斜率为
b
1 2 ；解得 1
k
3 ,b
8
19 16
；∴直线
l
的方程为
y
3 8
x
19 16
；
（2）由条件知 b=1，a2=2，椭圆方程为
；
直线 l 过 F2（1，0），方程可设为：y=k（x﹣1）； ∴代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0；
若设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则：
2
2
4a2 4(a2 c2 ) 5a2 ，∴ e c 3 ． a2
（2）由（1）知 a2 4b2 ，∴ x2 y2 1 ． 4b2 b2
椭圆 C ：
设 P (x1, y1) ， Q (x2 , y2 ) ，
直线 l 的方程为 y 2 2(x 0) ，即 2x y 2 0 ．
y B
x
O
F
A
2x y 2 0
由
x2
4b2
y2 b2
1
x2 4(2x 2)2 4b2 0 ，
即17x2 32x 16 4b2 0 ． 322 16 17(b2 4) 0 b 2 17 ．
17
x1
x2
32 17
，
x1 x2
16 4b2 17
．∵
OP
OQ
，∴
20．已知椭圆 C： x2 3y2 3 ，过点 D(1，0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆 C 交于 A，B
两点，直线 AE 与直线 x 3 交于点 M． （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率； （3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由．
y1 2a y12 a2
4 y1 2a
，同理 kMB
y2
4， 2a
4
2a 2
kMD
m， a2 1
∵直线 MA ， MD ， MB 的斜率始终成等差数列，∴ 2kMD kMA kMB 恒成立，
4a 4 即 m
4
4
恒成立．
a2 1 y1 2a y2 2a
a 1 ∴ m
1
1
a 1 m
．
5．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0 )的左焦点为
F,直线 x
m
与椭圆相交于
A,B
两点,若
FAB 的周长最大时, FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离心率为________.
6．
已知椭圆 C：ax22
y2 b2
1
a
b 0 ，直线
l 为圆 O：x2
y2
b2 的一条切线，若直线
l
的倾斜角为 ，且恰好经过椭圆的右顶点，则椭圆离心率为
16．如图，椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
1 (a
b 0) 的右焦点为 F
，右顶点、上顶点分别为点
A、
B ，且 | AB | 5 | BF | ． 2
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ，且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点， OP OQ ．求直
3
8．
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A、B 两点在抛物线上，∴Error! ①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又线段 AB 的中点的纵坐标为 2，∴y1＋y2＝4，
y1－y2
又直线的斜率为 1，∴x1－x2＝1，∴ 2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程 x＝－1．
k，∴弦
MN 的中垂线的方程为： y kp k x p k 2 1 令 x=0 得 y= 2 pk pk3 ．
二、解答题：
15．
解析：（1）设直线 l 的方程为 y=kx+b；
由条件知 c 1 1 ，∴a=2，b2=4﹣1=3；∴椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ；
aa2