建筑力学第六章圆轴扭转

Mn Mn
6.1.2 扭 转 轴 的 内 力— 扭 矩
Mn
外荷载：作用平面垂直于杆件轴线的力偶 内荷载：作用在横截面上的内力偶—扭矩 扭矩的大小：等于截面任意一侧的所有横截 面外力偶矩的代数和.
M n 左或右侧 mi
6.1.2 扭 转 轴 的 内 力— 扭 矩
扭矩的正负号：按右手螺旋法则确定，当拇 指方向与截面外法线方向一致时为正， 反之为负。 单位：N· m 或 kN· m
图6-12
6.3.3 工 程 实 例 计 算
6.3.3 工 程 实 例 计 算
6.3.3 工 程 实 例 计 算
【例6-5】挖掘机的传动轴如图6-13所示,转数n=300 r/min 主动轮A的输入功率PkA=500 kW,三个从动轮的输出功率
,
PkB=PkC=150kW,PkD=200kW,若［τ］=60 MPa,G=80 GPa,［θ］
M n3 M eD 3.82kN m
（3）画扭矩图
内力图要求
1. 标明内力性质 2. 正确画出内力沿杆轴分布规律 3. 标明特殊截面的内力数值 4. 标明正负号 5. 注明单位(只在内力标志后面写一个亦可） 作扭矩图步骤 1. 计算各段扭矩 2. 作扭矩图
6.1.3 扭 矩 图
1.圆轴扭转变形的几何特点
扭转角:圆轴扭转时，两横截面间绕轴线相对转过的角

GI P
单位长度的扭转角
M nl GI p
的单位为 rad 称为截面抗扭刚度
6.2.3 圆 轴 扭 转 时 的 变 形
Mn l GI p

M n 180 GI P
【例6-2】图6-11(a)所示为阶梯轴,AB段直径d1=120 mm，l1=400 mm，BC段直径d2=100 mm,l2=350 mm。扭转力偶矩为 mA=22kN·m,mB=36 kN·m,mC=14 kN·m,已知材料的剪切弹性模量 G=80 GPa,试求AC轴最大切应力,并求C点处的截面相对于A点处截 面的扭转角。 6.2.3 圆 轴 扭 转 时 的 变 形
3.应力分布特点
（1）由横截面刚性绕轴线旋转，产生了剪应变。说明 横截面上必然存在剪应力。 （2）由各圆周线的形状、大小和间距不变，说明 横截面上的剪应力必然垂直半径，且无正应力。 （3）由横截面上任意点的剪应变 与该点到圆心的距离
6.2.1 圆 轴 扭 转 时 的 应 力
成正比。横截面上任意一点处的剪应力与该点到
当 ρ = ρmax
max
式中
Mn Wn
Ip
Wn
max
称抗扭截面模量，单位：m3.
6.2.1 圆 轴 扭 转 时 的 应 力
Ip
D
4
32
Wn
D 3
16
Ip
D
4
32
1
4
Wn
D 3
16
1
4
d D
6.2.2 极 惯 性 矩 IP 和 抗 扭 截 面 模 量 Wn 的 确 定
6.1.2 扭 转 轴 的 内 力— 扭 矩
当作用在轴上的外力偶多于两个时，轴
上各横截面的扭矩值往往不同，为将扭矩沿
轴的变化情况表示出来，可画图象。 以横轴表示横截面的位置，以纵轴表示 相应截面的扭矩，得出的图象叫扭矩图。
6.1.3 扭 矩 图
【例6-1】图6-5(a)所示的传动轴,n=300 r/min,主动轮A输入
图6-11
6.2.3 圆 轴 扭 转 时 的 变 形
6.2.3 圆 轴 扭 转 时 的 变 形
max
M n max Wn
6.3.1 圆 轴 扭 转 强 度 条 件
max
M n max GI p
或
max
M n max 180 GI p
若已知轴的转速为n(r/min),带轮输入的功率为 P(kW),注意两者的单位.则因1kW = 1000N*m/s,输 入P(kW)就相当于每秒钟输入 W = P*1000N*m 的功.输入的功是经由带轮以力偶矩m作用于轴上 来完成的,因轴的转速为n,轴在1s的时间内转过角 度为2π*n/60,则力偶矩在1s时间内完成作功W = 2π*n/60*M(M为力偶矩) 由作功相等,有 W = P*1000N*m = 2π*n/60*M 得 M = 1000*60*P/(2π*n) = 9549P/n = 9550P/n(unit:N*m)
6.1
6.2 6.3
扭矩与扭矩图
扭转轴横截面上的应力与变形
圆轴扭转的强度条件和刚度条件及应用
学习目标
（1）理解并掌握圆轴的受力、变形特点。 （2）能够计算指定截面的扭矩值并画出扭矩图。 （3）能够应用公式求解不同点的应力和变形计算。 （4）能够熟练应用强度条件和刚度条件求解各种实际问题。
扭转变形是由大小相等、转向相反、作用面垂直于轴线的 两个力偶作用而产生的。如图6-1(a)所示的齿轮轴传动装置,其 圆轴工作时因两端受到力偶作用而发生扭转变形。扭转变形的 特点是杆轴上任意两个横截面绕轴线作相对转动,产生相对扭转 角,如图6-1(b)所示。
（1）圆周线的形状、大小、间距不变；绕轴线发 生了相对转动。 (2）纵线间距不变，转过一个相同角度γ—剪应 变。
6.2.1 圆 轴 扭 转 时 的 应 力
2.平面假设
横截面在扭转变形后仍保持为平面，且形状、 大小、间距都不变，半径仍为直线。各横截面就 象刚性平面一样绕轴线转过一定 的角度。据此假 设，横截面上没有正应力，只有剪应力，其方向 与所在半径垂直，指向扭矩的转向。 6.2.1 圆 轴 扭 转 时 的 应 力
机械结构中的轴工作时受到的外力偶矩通常不会直接给出, 但可利用给出的功率和转速确定,即
Pk M e 9549 N m n
Pk 表示功率，单位为千瓦（ kW）
n
表示转速，单位为每分钟的转数（ r
min）
M e 表示外力矩，单位为牛顿· 米（ N m）
6.1.1 外 力 偶 矩 的 计 算
M eD
PKD 120 9549 ( N m) 9549 3.82kN m n 300
6.1.3 扭 矩 图
（2）截面上的扭矩计算
M n1 (左 或 右 侧 ) mi M eB 2.87kN m
M n 2 M eB M eC 5.73kN m
圆心的距离成正比。所有跟圆心等距离的各点， 其剪应力数值相等，在周边的剪应力最大，圆心 处有最小值，是零。
6.2.1 圆 轴 扭 转 时 的 应 力
4.应力计算
Mn
称极惯性矩
单位：m4.
6.2.1 圆 轴 扭 转 时 的 应 力
最大剪应力
图6-1
日常生活中,经常可接触到受扭构件,如扭紧螺钉 的螺丝刀、开门时扭动的钥匙等。如图6-2所示的房 屋中钢筋混凝土雨篷梁、现浇框架边梁等,也是典型 的受扭构件。
图6-1
受力特点：杆件两端受到两个在垂直于轴线平面 的大小相等，转向相反的力偶作用；
变形特点：各横截面绕轴线转过不同角度, 产生相对扭转角 。 轴(shaft) ：以扭转变形为主的杆件，如圆轴。
功率PkA=300 kW,其他各轮的输出功率分别PkB=PkC=90kW,PkD=120
kW,试画出扭矩图。
6.1.3 扭 矩 图
（1）外力矩的计算
M eA 9549 PKA 300 ( N m) 9549 9.5kN m n 300
M eB M eC 9549
PKB 90 ( N m) 9549 2.87kN m n 300
=0.5°/m。试设计轴径。
6.3.3 工 程 实 例 计 算
6.3.3 工 程 实 例 计 算
6.3.3 工 程 实 例 计 算
若已知轴的转速为n(r/min),带轮输入的功率为 P(kW),注意两者的单位.则因1kW = 1000N*m/s,输 入P(kW)就相当于每秒钟输入 W = P*1000N*m 的功.输入的功是经由带轮以力偶矩m作用于轴上 来完成的,因轴的转速为n,轴在1s的时间内转过角 度为2π*n/60,则力偶矩在1s时间内完成作功W = 2π*n/60*M(M为力偶矩) 由作功相等,有 W = P*1000N*m = 2π*n/60*M 得 M = 1000*60*P/(2π*n) = 9549P/n = 9550P/n(unit:N*m)
6.3.2 圆 轴 扭 转 刚 度 条 件
【例6-3】卷扬机的传动轴直径为d=40 mm,转动功率P=30 kW,
转速n=1 400 r/min,轴的材料为45号钢,G=80 GPa,［τ］=40 MPa,［θ］=2°/m,试校核该轴的强度和刚度。
6.3.3 工 程 实 例 计 算
【例6-4】某运输设备的传动轴如图6-12所示,由45号钢的无缝 钢管制成。其外径D=90 mm，内径d=85 mm,工作时的最大扭矩 Mn=1.5 kN·m,已知许用切应力［τ］=60 MPa。试校核该轴的 强度,并求在最大切应力相同情况下的实心轴直径,比较空心轴 与实心轴的重量。