方法最全的数列求和PPT课件
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数列求和的几种方法PPT课件
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练习：(2003s)设f x 1 ，利用课本中
2x 2 推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f 5 f 4 f 0 f 5 f 6
的值为 3 2 。
第3页/共11页
2、错位相减法
例2：求: 1 2
2 22
3 23
n 2n
1 an n 2n
问题：什么时候用错位相减的方法求数列和？
通过拆项，能将数列转化成两个或若干个等差或等比数 列的和或差的形式来求和。
第6页/共11页
4、拆项抵消
例4：求： 1 1
2
1 2
3
1
nn
1
1 11
an nn 1 n n 1
问题：什么时候用拆项抵消的方法求数列和？
将数列的每一项（实际就是通项）拆分成两项， 在求和时除前、后若干项外，中间各项能够相互抵消。
n
1 2
5 4
9 8
......
4n 2n
3.
5 求：S
n
1
3 2
5 4
7 8
......
(1)n1
2n 1 2n1
.
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感谢观看！
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1 2
1
1 3
1 ...... 2 2 3
1 n 1
. n
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练习：
(1)求数列 ：1 1，2 1，3 1 3 9 27
，， n
1 3n
的
和S
．
n
(2)求数列 ：1 ，11，111，，111（n个1) 的和Sn．
(3)求：S
n
1 1
3
1
练习：(2003s)设f x 1 ，利用课本中
2x 2 推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f 5 f 4 f 0 f 5 f 6
的值为 3 2 。
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2、错位相减法
例2：求: 1 2
2 22
3 23
n 2n
1 an n 2n
问题：什么时候用错位相减的方法求数列和？
通过拆项，能将数列转化成两个或若干个等差或等比数 列的和或差的形式来求和。
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4、拆项抵消
例4：求： 1 1
2
1 2
3
1
nn
1
1 11
an nn 1 n n 1
问题：什么时候用拆项抵消的方法求数列和？
将数列的每一项（实际就是通项）拆分成两项， 在求和时除前、后若干项外，中间各项能够相互抵消。
n
1 2
5 4
9 8
......
4n 2n
3.
5 求：S
n
1
3 2
5 4
7 8
......
(1)n1
2n 1 2n1
.
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1 ...... 2 2 3
1 n 1
. n
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练习：
(1)求数列 ：1 1，2 1，3 1 3 9 27
，， n
1 3n
的
和S
．
n
(2)求数列 ：1 ，11，111，，111（n个1) 的和Sn．
(3)求：S
n
1 1
3
1
数列的求和方法(ppt)
分组求和法：有一等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或 裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项 和。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
方法最全的数列求和ppt课件
相消法，即利用 anacn＋1＝dca1n－an1＋1
(其中d＝an＋1－an)．
12
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
所以 的通项公式为： 19
(Ⅱ)设求数列
31
2
∴ Tn
(2n
1) 3n1 4
3
17
已知 an是递增的等差数列，
a2 , a4 是方程 x2 5x 6 0 的根。
（I）求 an的通项公式；
（II）（II）求数列
an 2n
的前
n
项和.
18
（I）方程
由题意得
，
的两根为 2,3, ，
设数列 的公差为 d,，
则
，故 d= ，从而
，
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
8
等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6.
(Ⅰ)求数列an 的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
log3
a1
log3
a2
......
log3
an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
9
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 a32 9a2a6
5.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
13
(其中d＝an＋1－an)．
12
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
所以 的通项公式为： 19
(Ⅱ)设求数列
31
2
∴ Tn
(2n
1) 3n1 4
3
17
已知 an是递增的等差数列，
a2 , a4 是方程 x2 5x 6 0 的根。
（I）求 an的通项公式；
（II）（II）求数列
an 2n
的前
n
项和.
18
（I）方程
由题意得
，
的两根为 2,3, ，
设数列 的公差为 d,，
则
，故 d= ，从而
，
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
8
等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6.
(Ⅰ)求数列an 的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
log3
a1
log3
a2
......
log3
an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
9
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 a32 9a2a6
5.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
13
数列求和的基本方法和技巧ppt课件
1
ppt精选版
数列求和基本方法：
公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 并项求合法
2
ppt精选版
一.公式法：即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 23 n 1 n (n 1)
：Sn
na1(q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32
n2
1n(n1)(2n1) 6
⑤ 13 23 33
n3
n (n 1) 2 2
ppt精选版
3
例1：求和：
1 . 4 6 8 … … + （ 2 n + 2 ）
2.1111 1
37
ppt精选版
2．(2013·唐山统考)在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S1＋2S2＋…＋nSn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，依题意得
a1q·a1q2＝32， a1q4＝32，
解得 a1＝2，q＝2，
20
ppt精选版
常见的裂项公式有：
1. 1 1 1 n(n1) n n1
2. 1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
3. 1 1( 1 1) (2n1)2 (n1) 22n12n1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5 . 1 1 [ 1 1 ] n (n 1 )n ( 2 ) 2n (n 1 ) (n 1 )n ( 2 )
ppt精选版
数列求和基本方法：
公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 并项求合法
2
ppt精选版
一.公式法：即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 23 n 1 n (n 1)
：Sn
na1(q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32
n2
1n(n1)(2n1) 6
⑤ 13 23 33
n3
n (n 1) 2 2
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3
例1：求和：
1 . 4 6 8 … … + （ 2 n + 2 ）
2.1111 1
37
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2．(2013·唐山统考)在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S1＋2S2＋…＋nSn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，依题意得
a1q·a1q2＝32， a1q4＝32，
解得 a1＝2，q＝2，
20
ppt精选版
常见的裂项公式有：
1. 1 1 1 n(n1) n n1
2. 1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
3. 1 1( 1 1) (2n1)2 (n1) 22n12n1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5 . 1 1 [ 1 1 ] n (n 1 )n ( 2 ) 2n (n 1 ) (n 1 )n ( 2 )
数列求和方法总结PPT课件
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
-
6
例2：求数列的前n项和：1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2，…
a a2
a n1
-
7
练习 : 求数列1 1 2
,3 1 4
,5
1 8
-
1
本节概要 数列求和的常用方法
-
2
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
2n 2n
…………………………………①
1 2
Sn
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
-
17
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
-
18
例
5.设
f
(x)
4 x , 则f 4x 2
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt
跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
第讲数列的求和精选课件
若一个数列是由等比数列或是等差数列组成，以 考查公式为主，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说 的分组求和．
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
数列求和(23张PPT)
n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
数列求和常用方法ppt课件
1求数列a思路点拨利用a成等比数列可求公差d从而得出a成等比数列得12d18d12d由等比数列前n项和公式分组法有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差等比或常见的数列然后分别求和再将其合并即例例22思路点拨数列a可看作是由等差数列n与等比数列对应项求和得到的因此可拆分成两个数列
ppt课件
错位相减法 对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中 {an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位 相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常 数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错 位相减，使其转化为等比数列问题来解．
ppt课件
例5 (2010年高考课标全国卷改编)设等比 数列{an}满足a1＝2，a4＝128. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 利用公式求得an，再利用错位相 减法求Sn.
2
当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］ =1+5+9+…+(2n-1)= n ( n 1 ) .
2
故Sn=(-1)n-1n ( n 1 ) (n∈N*).
2
ppt课件
方法感悟 1．注意对以下求和方式的理解 (1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末 两项等距离的两项之和是个常数时才可以用． (2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解 为两个式子的差，再相加抵消．在抵消时，有的 是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消 时要注意规律性． (3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用 公式法求和．
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6.并项法
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错位相减法 对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中 {an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位 相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常 数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错 位相减，使其转化为等比数列问题来解．
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例5 (2010年高考课标全国卷改编)设等比 数列{an}满足a1＝2，a4＝128. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 利用公式求得an，再利用错位相 减法求Sn.
2
当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］ =1+5+9+…+(2n-1)= n ( n 1 ) .
2
故Sn=(-1)n-1n ( n 1 ) (n∈N*).
2
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方法感悟 1．注意对以下求和方式的理解 (1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末 两项等距离的两项之和是个常数时才可以用． (2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解 为两个式子的差，再相加抵消．在抵消时，有的 是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消 时要注意规律性． (3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用 公式法求和．
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6.并项法
数列求和专题完整ppt课件
①
1 2 S n
1 1 4 2 8 1 3 1 1 6 (n 1 ) 2 1 n n 2 1 n 1 ②
两式相减：1 2Sn1 21 48 1 21nn21n11 2(11121n)2nn1 2
S n2 (1 2 1 n2 n n 1)22 1 n 12 n n
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9
倒序法求和
例3.若 f (x) 1
2x
，则
2
f( 5 ) f( 4 ) f( 5 ) f( 6 )
的值为 3 2。Βιβλιοθήκη 【解析】∵1 f (x)
2x 2
∴ f(1x) 1 2x
1 2 x
2
21x 2 2 22x 2 2 x
1 1 2x
∴ f(x)f(1x) 2 2
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12
裂项法求和
练习：求和 111 1
14 47 7 10(3 n2 )3 (n1 )
1
提示：
1 ( 1 1 )
(3n2)(3n1) 3 3n2 3n1
∴
1 1
1
14 47
(3n2)(3n1)
1[(1 1)(1 1)( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
11
n
(1 )
Sn1222 n2 完整16版PnPT(课n件1)(2n1)
4
知识回顾：公式法求和
例1：求和：S n a n a n 1 b a n 2 b 2 a 2 b n 2 a n 1 b n ( n N * )
解：①当a 0时，Sn bn
②当a0且 b 0时，Sn an
③当ab0时，Sn (n1)an
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
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3(an
3) bn 4
，记数列cn 的前 n
项和为Tn
，求Tn
.
解（Ⅰ）当 n=1 时， a1 S1 5 ．
当 n≥2 时， an Sn Sn1 n2 4n n 12 4n 1 2n 3
验证 n 1 时也成立．∴数列an 的通项公式为： an 2n 3 ，
4
n 3n
∴ Tn c1 c2 c3 cn 1 3 2 32 3 33 n 3n …①
3Tn
1 32 2 33 3 33 n 3n1 …………………②
3a2
1 得 2a1
3a1q
1 ，所以 a1
1 3
故数列{an}的通项式为 an
=
1 3n
2分 3分 5分
（Ⅱ ） bn log3 a1 log3 a2 ... log3 an
(1 2 ... n)
n(n 1)
7分
2
1
2
11
故
2( )
Sn n(n 1) n n 1 S1 S2 S3
S10
(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) =1- 1 =10
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6.
（Ⅰ）求数列an 的通项公式； （Ⅱ）设 bn 3an 2n ，求数列bn 的前 n 项和为 Tn.
1、看通项，是什么数列，用哪个公式； 2、注意项数 3、注意公比
解： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋ 2d＝5， 由题意，得 10a1＋102×9d＝100，
解得 a1＝1， d＝ 2，
bn n(n 1)
n n 1
1 b1
1 b2
... 1 bn
2
(1
1 2
)
(
1 2
1) 3
...
(
1 n
n
1
1)
2n n 1
所以数列{ 1 } 的前 n 项和为 2n
bn
n 1
10 分
1．特别是对于 anacn＋1，其中{an}
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
相消法，即利用 anacn＋1＝dca1n－an1＋1
(其中d＝an＋1－an)．
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差{2n} ＋一 个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公 式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规 律解题.
探究二：
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn n N* ,a3 5, S10 100, .
已知数列an 是等差数列，且 a1 2 ， a1 a2 a3 12 ． (Ⅰ)求数列an 的通项公式及前 n 项和 S n ；
(Ⅱ)求 1 1 1 1 的值．
S1 S2 S3
S10
. 解：(Ⅰ)由题意知： a1 a2 a3 3a2 12 ，
(Ⅰ)求数列an 的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
log3
a1
log3
a2
......
log3
an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 a32 9a2a6
得 a33
9a42
所以 q2
1 9
。
由条件可知 an
>
0
，故 q
1 3
由
2a1
既{anbn}型
等差
等比
已知数列an 前项 n 和 sn n2 4n (n N*) ，数列bn 为等比数列，
首项 b1 2 ，公比为 q (q 0) ，且满足 b2 , b3 4q, b4 成等差数列.
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）设 cn
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5.
1Байду номын сангаас
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
a2 4 ， d a2 a1 2
2分
数列an 的通项公式为： an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n
数列an 的前 n
项和为：
Sn
n(a1 2
an )
n(2
2
2n)
n(n
1)
(Ⅱ) 1 1 1 1 1 1 1 1
数列的求和
献给玉潭中学最棒的你
一.公式法：
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
Sn
na1(q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
分组求和法
项的特征 cn=an+bn
∵ b2,b3 4q,b4 成等差数列， b1 2. 所以 2(b3 4q) b2 b4 ，
即 q2 2q 3 0 ，因为 q 0,q 3.
∴
q b1
3 2，∴数列
bn
的通项公式为：
bn
2 3n1
(Ⅱ）∵ cn
3 an
3bn
所以 an＝2n－1.
（Ⅱ）因为 bn＝ 3an
＋2n＝ 9n 3
＋2n，
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝ 9 92 9n ＋2(1＋2＋…＋n) 3
＝ 3(9n 1) ＋n2＋n 8
3分 4分 5分
8分
裂项求和法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称为分裂通 项法.（见到分式型的要往这种方 法联想）