方法最全的数列求和PPT课件

3(an
3) bn 4
，记数列cn 的前 n
项和为Tn
，求Tn
.
解（Ⅰ）当 n=1 时， a1 S1 5 ．
当 n≥2 时， an Sn Sn1 n2 4n n 12 4n 1 2n 3
验证 n 1 时也成立．∴数列an 的通项公式为： an 2n 3 ，
∵ b2,b3 4q,b4 成等差数列， b1 2. 所以 2(b3 4q) b2 b4 ，
即 q2 2q 3 0 ，因为 q 0,q 3.
∴
q b1
3 2，∴数列
bn

的通项公式为：
bn

2 3n1
(Ⅱ）∵ cn

3 an
3bn
数列的求和
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一.公式法：
①等差数列的前n项和公式：
Sn

n(a1 2
an )

na1

n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
Sn

na1(q a1(1
1) qn )
1 q

a1 anq 1 q
(q
1)
分组求和法
项的特征 cn=an+bn
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
已知数列an 是等差数列，且 a1 2 ， a1 a2 a3 12 ． (Ⅰ)求数列an 的通项公式及前 n 项和 S n ；
(Ⅱ)求 1 1 1 1 的值．
S1 S2 S3
S10
. 解：(Ⅰ)由题意知： a1 a2 a3 3a2 12 ，
既{anbn}型
等差
等比
已知数列an 前项 n 和 sn n2 4n (n N*) ，数列bn 为等比数列，
首项 b1 2 ，公比为 q (q 0) ，且满足 b2 , b3 4q, b4 成等差数列.
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）设 cn

Sn n(n 1) n n 1 S1 S2 S3
S10
(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) =1- 1 =10
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6.

3a2
1 得 2a1

3a1q
1 ，所以 a1

1 3
故数列{an}的通项式为 an
=
1 3n
2分 3分 5分
（Ⅱ ） bn log3 a1 log3 a2 ... log3 an
(1 2 ... n)
n(n 1)
7分
2
1
2
11
故
2( )
所以 an＝2n－1.
（Ⅱ）因为 bn＝ 3an
＋2n＝ 9n 3
＋2n，
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝ 9 92 9n ＋2(1＋2＋…＋n) 3
＝ 3(9n 1) ＋n2＋n 8
3分 4分 5分
8分
裂项求和法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称为分裂通 项法.（见到分式型的要往这种方 法联想）
a2 4 ， d a2 a1 2
2分
数列an 的通项公式为： an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n
数列an 的前 n
项和为：
Sn

n(a1 2
an )

n(2
2
2n)

n(n
1)
(Ⅱ) 1 1 1 1 1 1 1 1
（Ⅰ）求数列an 的通项公式； （Ⅱ）设 bn 3an 2n ，求数列bn 的前 n 项和为 Tn.
1、看通项，是什么数列，用哪个公式； 2、注意项数 3、注意公比
解： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋ 2d＝5， 由题意，得 10a1＋102×9d＝100，
解得 a1＝1， d＝ 2，
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差{2n} ＋一 个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公 式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规 律解题.
探究二：
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn n N* ,a3 5, S10 100, .
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
相消法，即利用 anacn＋1＝dca1n－an1＋1
(其中d＝an＋1－an)．
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(Ⅰ)求数列an 的通项公式.
(Ⅱ)设
bn

log3
a1

log3
a2
......
log3
an ,
求数列

1 bn

的前
n
项和.
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 a32 9a2a6
得 a33

9a42
所以 q2

1 9
。
由条件可知 an
>
0
，故 q

1 3
由
2a1
bn n(n 1)
n n 1
1 b1
1 b2
... 1 bn

2
(1

1 2
)

(
1 2

1) 3

...

(
1 n

n
1
1)
2n n 1
所以数列{ 1 } 的前 n 项和为 2n
bn
n 1
10 分
1．特别是对于 anacn＋1，其中{an}
4
n 3n
∴ Tn c1 c2 c3 cn 1 3 2 32 3 33 n 3n …①
3Tn
Baidu Nhomakorabea
1 32 2 33 3 33 n 3n1 …………………②