亥姆霍兹定理任意矢量场
《物理场论》矢量场基本定理
算子
'
x'
ex
y '
ey
z
'
ez
，是对源点坐标微分，
积分是对源点坐标积分。
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
设在无界空间有两个矢量函数
F
和
G
，有相同的
散度和旋度，即，
F G
F G
设
F
G
，令，
F
G
4、唯一性定理
定理描述：设 A 为定义在空间区域V内的一个矢
量场，S表示区域V内的边界闭合曲面。若在区域
V内
A
的散度
A
、旋度
A
以及在边界S上
A
的
切向分量
A（t 或
A
的法向
An 分 量 ） 已给 定 ， 则 矢
量场 A在V内将被唯一地确定。
证明：利用反证法， 假V内设散在度区相域同V内 同A1时 存在A2、两旋个度矢相量同场A1A和1 A2，A2 以在
区域V内存在一个标量函数
u
，使得
A
u，代
入（1）式，可以得到：
A u 2u 0
((u)2 u2u)dV (uu) dS
V
S
(u)2 dV (uu) dS
V
S
（3） （4） （5）
4、唯一性定理
矢量 A在边界面S上的切向分量为
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第4节 矢量场基本定理
张元中
亥姆霍兹定理
➢ 为什么讨论？ ➢ 稳态场与时变场的对比 ➢ 稳态场方程是麦克斯韦方程的特例
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
实验定律、 定义物理量
亥姆霍兹定理
F ?
F ? F A
库仑定律和电场强度
静电场的环路定理 高斯通量定理 电位函数 电位移矢量
媒质分界面上场量 的方程
分界面上的衔接条件
静电场的源 静电场的时间特性
研究思路、研究内容
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的源 ➢ 为什么讨论？ ➢ 场源的特点决定着场的性质
➢ 相对于观察者静止且量值不随时间变化的电 荷 产生静电场
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的时间特性 ➢ 静电场是稳态场，物理量仅是空间位置的函数， 与时间无关，即 • 0
边界条件 微分方程1
介质1
衔接条件 微分方程 2 介质2
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
定解条件 (边值问题)
静电场的边值问题 唯一性定理
分析解法
镜像法和电轴法
和电路参数的关系
电容和部分电容
能量
静电场的能量
本节要点
➢ 本节的研究目的
本课程要研究哪些内容？
➢ 本节的研究内容
亥姆霍兹定理 — 研究电磁场的主线
F A
1 F(r)
(r)
dV
4 V rБайду номын сангаас r
1
A(r )
F(r) dV
4 V r r
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的意义—研究电磁场的主线 本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问题；
电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
u0
2
4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢 量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS
S
A ndS
设 A ( 和 为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类
EM2014-Chapter-1-3-格林定理和亥姆霍兹定理
F (r ) J (r )
已知梯度场为无旋场，旋度场为无散场，因此，根据亥姆霍兹定理，任一矢 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 。 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。
7
上述亥姆霍兹定理是针对无限区域 而言的，如果是有限区域 有限区域，任一 ，任一 上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是 矢量场仍可表示为一个无旋场与无散场之和，但必须考虑区域边界上的 边值条件。 边值条件。 如果已知矢量场在有限区域的散度和旋度，以及矢量场的边值条件， 利用亥姆霍兹定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度 及旋度特性是研究矢量场的首要问题 。 及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 定，有限区域中的矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边值条件惟一 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 静电场、恒定磁场和时变电磁场时，将会把经过实验定律验证的矢量场 的散度和旋度作为基本假设 ，由此推导出描述矢量场特性 特性和计算矢量场 和计算矢量场 的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场 空间分布的相关公式或关系式。 空间分布的相关公式或关系式。
V
式中，S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S表面的外法线方向。 以上两式称为矢量第一格林定理 ，或者，矢量格林第一恒等式 矢量格林第一恒等式，有时也称为 ，有时也称为 以上两式称为矢量第一格林定理，或者， 标量格林第一恒等式的矢量模拟 。 标量格林第一恒等式的矢量模拟。
矢量第一格林定理的证明
根据矢量恒等式
[ A ( B ) B ( A)] dS B [ ( A)] A [ ( B )] dV
亥姆霍兹定理
一、亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界 条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是 亥姆霍兹定理的内容。
二、矢量场的分类
根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类： 调和场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处有： F 0和 F 0 则在该区域V内，场 F (r )为调和场。
已知
矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件
在电磁场中
电荷密度 电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
无源有旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某 些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该区域V 内，场 F (r )为无源有旋场。
有源有旋场
若矢量场F (r )在某区域V内，在某些位置或整个空间内，
有 F 0和 F J 0 ，则称在该区域V内，
场F (r )为有源有旋场。
注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
有源无旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某
些位置或整个空间内，有 F 0 ，则称在该区域V
内，场 F (r )为有源无旋场。
讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理
c F(r ) dl 0
结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源 无旋场也称保守场。
有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：
F (r ) F ) 0
Fs (r ) 0 Fs (r ) J
F (r ) Fl (r ) F (r ) Fs (r ) J
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
电磁场与电波题库
一、填空题1.对于矢量A u v ，若A u v ＝xe u uv xA＋ye u u vyA＋ze u u vzA，则：y e u u v •xeu u v＝ 0 ；z e u u v•zeu u v＝ 1 ；ze u u v ⨯xeu u v＝yeu u v；x e u u v ⨯x e u u v＝ 0 。
2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为0()()()limsA r dS r divA r ττ→•=⎰V V Ñ；用哈密顿算子表示为A ∇•u v。
3. 哈密顿算子的表达式为∇＝ x e u u v x ∂∂＋y e u u v y ∂∂＋z e u u v z∂∂ ，其性质是 一阶矢性微分算子4. 在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ϖ和电场E ϖ满足的方程为：E D ϖϖε=.5．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B ϖ和磁场H ϖ满足的方程为： B=uH 。
6.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为0()()B r H r μ=，通常称它为真空的磁特性方程或本构关系。
7．设线性各向同性的均匀媒质中，02=∇φ称为 拉普拉斯 方程。
8．如果两个不等于零的矢量的 点积 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。
9. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 正 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成 反比 。
10. D E ε=u v u vB H μ=uv u u v J Eσ=uv u v 。
11．在理想导体的表面， 电场 的切向分量等于零。
12. 矢量场)(r A ϖϖ穿过闭合曲面S 的通量的表达式为：()Sd r A Sϖϖϖ⋅⎰。
13．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 0 。
14．由相对于观察者静止的，且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为静电场。
15．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 磁矢位A函数的旋度来表示。
(完整版)电磁场理论试题
《电磁场理论》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）1. 关于有限区域内的矢量场的亥姆霍兹定理，下列说法中正确的是 （A ）任意矢量场可以由其散度和旋度唯一地确定； （B ）任意矢量场可以由其散度和边界条件唯一地确定； （C ） 任意矢量场可以由其旋度和边界条件唯一地确定； （D ） 任意矢量场可以由其散度、旋度和边界条件唯一地确定。
2. 谐变电磁场所满足的麦克斯韦方程组中，能反映“变化的电场产生磁场”和“变化的磁场产生电场” 这一物理思想的两个方程是 （B5关于高斯定理的理解有下面几种说法， 其中正确的是、选择题（每小题2分，共20 分）(A)H 0, E —(B ) H J E, E(C H J,E 0(D )H 0, E -3.—圆极化电磁波从媒质参数为分量不产生反射，入射角应为 3 r 1的介质斜入射到空气中，要使电场的平行极化（B ）(A) 15°(B ) 30°(C ) 45(D) 604.在电磁场与电磁波的理论中分析中，常引入矢量位函数A ，并令B A ，其依据是（C ）(A)B 0 ;(C ) B 0;(B)B J ；(D) B J电磁学》试卷 第 2 页 共 7 页(A) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 处处为零； (B) 如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷； (C) 如果高斯面内有净电荷，则通过该面的电通量必不为零； (D) 如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷。
6．若在某区域已知电位移矢量 ( A)2( B ) 2D xe x( C )ye y ，则该区域的电何体密度为 ( B )2( D )27. 两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是( C )(A )线圈的尺寸(B ) 两个线圈的相对位置(C )线圈上的电流 (D )线圈中的介质8 . 以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是( B )(A )电场是无旋场 (B )电场和磁场相互激发(C)电场和磁场无关 (D )磁场是有源场9. 两个相互平行的导体平板构成一个电容器， 与电容无关的是10. 用镜像法求解静电场边值问题时， 判断镜像电荷设置是否正确的依据是 ( C )(A) 镜像电荷的位置是否与原电荷对称 (B) 镜像电荷是否与原电荷等值异号(C) 待求区域内的电位函数所满足的方程与边界条件是否保持不变 (D) 同时满足A 和B(A )导体板上的电荷(C )导体板的几何形状 (B) 平板间的介质(D) 两个导体板的相对位1 •电磁波在波导中传播的条件是波导管只能让频率 __________ 一特定值的电磁波通过，该特 定频率称为 _____________ 。
N0.3-4--第一章 标量场的梯度 矢量场的散度旋度 亥姆定理及矢量场的分类
div A = A
可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A ± B ) = A ± B (φ A ) = φ A ± A φ
20
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
三、高斯散度定理
矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分 等于穿过包围该体积封闭面的总通量:
（1）开曲面：沿封闭曲线 n的取法：
l 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向
（2）封闭面： 取为封闭面的外法线方向 外法线方向
14
矢量A穿过整个曲面S的通量:
Φ = ∫ A ds = ∫ A nds
s s
如果S是一个封闭面, 则
Φ = ∫ A ds
S
15
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
22
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
同理
D y
q r 2 3y 2 = y 4π r5
D z q r 2 3z 2 = z 4π r5
故
Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) D = + + = =0 5 x y z 4π r
可见，除了点电荷所在源点 (r = 0)外，空间各点的电通密度散度均为 ，它是管形场 。 空间各点的电通密度散度均为0， 可见，
（C点）
电偶极子的电力线和等位线 17
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
b) 散度的分量表示式
穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积 v = xyz 的通量： 的通量： 计算 A 穿过包围点 的无穷小体积 右边向外流出的通量： A 穿过右边 右边
亥姆霍兹定理
curl A A
ˆ ˆ ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A x y z (x x A y z x y z Az Ay Ax Az Ay Ax ˆ ˆ ˆ x z Ax Ay Az y z y z x x y
A矢量的模：
2 2 A Ax Ay Az2
A矢量的单位矢量：
Ay Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A x y z A A A A ˆ cos a y ˆ cos z ˆ cos x
两个矢量的对应分量相加或相减：
ˆ( Ax Bx ) y ˆ ( Ay By ) z ˆ( Az Bz ) A B x
轾 轾 骣 骣 骣 y 抖骣 x鼢 z 抖骣 y鼢 x 珑 珑 犏 犏 ˆ ˆ + y + z 鼢 鼢 珑 珑 3鼢 3 3鼢 3 珑 珑 犏 犏 桫 桫 桫 桫 z桫 r3 抖 z r x r 抖 x r y r 臌 臌
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
因
z 3 yz 3 5 y r r y 3 yz 3 5 z r r
(或旋涡量), 记为
A dl
l
二、旋度
1. 环量密度
D S® 0
A ×dl ò lim
l
DS
把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 意义：环量的面密度 注意：该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
2. 旋度
矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大 时, 该面元矢量的方向 [ A dl ]max ˆ lim l Curl A n S 0 S
高等电磁理论
1、 试证明亥姆霍兹定理。
亥姆霍兹定理指出，在由闭合面S 所包围的体积V 中的任一矢量场F ，由它 的散度、旋度和边界条件（即限定空间体积V 的闭合面S 上的矢量场分布）唯一确定，并可写成一个无旋场1F 和一个无散场2F 之和。
下面证明亥姆霍兹定理。
在图1-1所示三维直角坐标系中有一闭合面S ，V 是闭合面S 所包围的有限空间。
P 、Q 为有限空间V 中任意的点，各自坐标分别为(',',')x y z 、(,,)x y z ，或者记为'r 、r 。
P 点指向Q 点的矢量记为'R r r =-。
'r ry图1-1利用δ函数的抽样性质，有限空间V 中任意一点r 处的矢量场()F r 可以写为：方程1-1右端的积分空间为闭合面S 所包围的有限体积V ，积分变量是'r ，此时r 可视为常量并且只有当它位于V 内时方程1-1才成立。
'r r -1.1。
'dV r r -其中积分变量为'r ，而拉普拉斯算子2∇是作用在r 上，所以交换拉普拉斯算子与积分的运算顺序不影响结果，交换两者运算顺序有：'dVr r-根据矢量恒等式：2()()x x x∇=∇∇⋅-∇⨯∇⨯4''dV dVr r r rπ--⎰⎰⎰令：'dVr r-1)''r dVr r=∇⨯-⎰⎰⎰2()()F r A r=∇⨯可以重新写为：在方程1-8中，矢量场1()F r是标量()rφ的负梯度为无旋场，矢量场2()F r是矢量()A r的旋度为无散场，这就将矢量场()F r表示为了一个无旋场与一个无散场的和。
下面对()rφ和()A r做进一步处理。
在方程1-6-1中，由于求散度运算“∇⋅”作用于变量r，积分运算中积分变量是'r，所以交换两运算的顺序不影响结果。
'r r⎥⎥-)'''r r r r r r ⎥=∇∇⎥---考虑到求散度运算“∇⋅”只作用于变量r ，而(')F r 是关于'r 的函数，所以对(')F r 求散度的结果为零。
1.5亥姆霍兹定理
2016/1/7
（2）
对有旋场 （无散场） F 0 2
两个重要的恒 等式之一
A 0 令 F2 A
（3）综合（1）与（2），则
（1-5-8）
FF 1 F 2 A
证毕
2016/1/7 6
应用：静电场是无旋场，可以表示为标量 场的梯度，这个标量场就是电位；用标量 场的电位间接表示矢量的电场，在数学处 理上将带来许多便利。
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
已知
电荷密度 矢量 F的通量源密度 在电磁场中 电流密度 J 矢量 的旋度源密度 F
场域边界条件 （矢量
场域边界条件
F
唯一地确定）
7
2016/1/7
续有界，而源分布在有 限空间中，则矢量场由 其散度、旋度和边界条件唯一确定；且可表示为 一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。
F A
2016/1/7
（1-5-1）
1
二、亥姆霍兹定理的证明：
1、证矢量场由其散度和旋度唯一确定： 它们具有相同的散度和旋度。
设在无限空间中存在两个矢量函数 F、 G ，
又是无
假如
故
c
cr 则当r 时， 。
有限的常数
由（1-5-4）
g 0
由（1-5-2） F G g G
2016/1/7
唯一
4
2、证
F A
：
可表示为一个无旋场 F 1 （有散场）和一个有旋场 F 2
（无散场 ）之和：
设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，
电磁场与电磁波习题及答案
11 麦克斯韦I 方程组.的微分形式 是：J . H =J JD,\ E = _。
「|_B =0,七出=：2静电场的基本方程积分形式为：性£虏=03理想导体（设为媒质 2）与空气（设为媒质 1）分界 面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的 本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。
6电位满足的泊松方程为；在两种完纯介质分界面上 电位满足的边界 。
7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。
8.电场强度E Aj 单位是,电位移D t 勺单位是。
9.静电场的两个基本方程的微分 形式为“黑E =0 Q D = P ； 10.—个直流电流回路除 受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安 培力作用1 .在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A,并令冒=%，的依据是（c.V 值=0）2 . “某处的电位 中=0,则该处的电场强度 E=0的说法是（错误的）。
3 .自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a ,线间距为D ,则传输线单位长度的电容为4 .点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2）。
5 . N 个导体组成的系统的能量 W =1£ q * ,其中e i 2 t i i 是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。
6 .为了描述电荷分布在空间流动的状态， 定义体积电流密度J,其国际单位为（a/m2 ）7 .应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。
8 .如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为零 ）。
9 .真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（ 1/r2 ）。
10.半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于（整个空间）。
三、海水的电导率为 4S/m,相对介电常数为 81,求频 率为1MHz 时，位幅与导幅比值？三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：E = e x E m cos t则位移电流密度为：J d =— = -ex ：-. ■ 0 r E m Sin t；t其振幅彳1为：J dm = 网 5E m = 4.5X10- E m 传导电 流的振幅值为： J cm -二- E m = 4E m 因此：Jm =1.125/0J -cm四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。
矢量场的唯一性定理(中文)
其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢
量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示
为
z
V' r'
O x
r – r'
r y
F (r) (r) A(r)
F(r) 式中
(r)
1 4π
F (r) dV V r r
A(r)
1 4π
F (r)dV V r r
F (r) (r) A(r)
球坐标系
dl erdr e rd e r sin d dS err 2 sin d d e r sin dr d erdr d dV r 2 sin dr d d
坐标变量的转换
￬r x2 y2 ￬
￬￬ ￬
arctan
�y � �x
� � �
￬￬z z
￬
￬￬r x2 y2 z2
6. 矢量场的惟一性定理
位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边
界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的
矢量场被惟一地确定。
S
F(r) ��ѴF 和 F
及
V
Ft 或 Fn
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定 理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。
7. 亥姆霍兹定理 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且
O
= 0
0
y
球坐标系 ( r, , )
z
= 0 0
r=r0 x
P0
O 0
er e e
= 0 y
微分单元的表示
直角坐标系
dl exdx eydy ezdz dS exdy dz eydxdz ezdxdy dV dx dy dz
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
c
F (r ) dl F (r ) dS 0
S
结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩 涡源)。 u 0
无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场， 即 F u 例如：静电场 E 0 E
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
6
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
其中
Fl (r ) F (r ) Fl (r ) 0
Fs (r ) 0 Fs (r ) F (r ) J
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
同理，若设 A 格林第一恒等式为
n
2
V ( )dV S n dS
2
2
－ ）dS V ( － )dV （ S n n
——格林第二恒等式
1.6亥母霍兹定理(12)-好
• • • • • •
类型 来源 含义 数学物理特征 与场的关系 与源的关系
• 类型：梯度为标量，散度和旋度为矢量 • 来源：方向导数 梯度 格林定理 通量 散度 高斯定理 环量 旋度 斯托克斯定理 （概念计算 • 含义：梯度 散度 旋度 定义、计算、意义 内容意义） 标量的最大变化率（方向） 通量体密度 环量面密度（最大）
∇ ⋅ F = ? =0 ∇ × F = ? =0
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
三种特殊形式的场
• 平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平 面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行 平面场。 • 轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上， 场 F 的分布都相同，即 F=f(r,φ)，则称这个场为轴对称场。 • 球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。
§1.6 矢量场的Helmholtz定理
现在我们必需考虑如下问题： （1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？ （2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？ （3）如何唯一的确定一个矢量场？ 1 矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则 该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠 加，其中
专题１：梯度，散度，旋度对比 专题１ 梯度，散度，
∂u ∂u ∂u ˆ+ ˆ+ ˆ gradu = ∇u = x y z ∂x ∂y ∂z x ˆ r r ∂ rotF = ∇ × F = ∂x F x ˆ y ∂ ∂y Fy ˆ z ∂ ∂z Fz
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第1章 矢量分析【圣才出品】
=
2
xdx
2 22 dy
0
xdx
0
0dy 8
0
0
2
2 vv
vv
Ñ （2）要验证验证斯托克斯定理成立，只需要证明 Adl ( A)dS 即可。
l
S
因为
evx evy evz
v A
x y
z
evx 2 yz evz 2x
x x2 y2z
而且
v v ( A)dS
S
r
F
2z y2
r ex
6 yz2 2xy
r ey
2x 6y2z
r ez
r F
(1,1,1)
r 3ex
r 4ey
4
r ez
2．已知 f x2z y3z2 ， g 2yz2 xy2 ，求在点（1，0，2）的：（1） f g ； （2） f g 。
解：（1）
2 / 18
当 0 ，表示流出多于流入，说明此时在 S 内有正源；
当 0 则表示流入多于流出，此时在 S 内有负源；
当 0 则表示流入等于流出，此时在 S 内无源。
3．设任一矢量场为 Av(rv) ，写出其穿过闭合曲线 C 的环量表达式，并讨论之。 v
答：定义矢量场 A 环绕闭合路径 C 的线积分为该矢量的环量，其表达式为 vv
CA dl
讨论：如果矢量的环量不等于零，则在 C 内必然有产生这种场的旋涡源；如果矢量的
环量等于零，则我们说在 C 内没有旋涡源。
四、计算与证明题
1．已知：
r F (x, y,z)
x
2
r zex
y 3 z 2er y
xy
2
r zez
亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理
ˆx e a x ax
ˆy e y ay
ˆz e z az
16
旋度的公式
rot A A
l
A dl ( A) d S
S
17
A dl A lim
s 0
s
S
A dl ( A) d S s s
23
哈米顿(Hamilton)算子
(7) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (8) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (9)(uv) uv vu (10) (u A) u A u A, ( A为矢性函数) (11) (u A) u A u A (12)( A B) A ( B) ( A ) B B ( A) ( B ) A
24
哈米顿(Hamilton)算子
(13) ( A B) B ( A) A ( B) (14) ( A B ) ( B ) A ( A ) B B ( A) A( B ) (15) (u ) 2u u (16) (u ) 0 (17) ( A) 0 (18) ( A) ( A) A
§1.5矢量的环量、旋度
用哈密顿算符表示：
ˆx e ˆy e ˆz ) ( a x e ˆx a y e ˆy az e ˆz ) rota a ( e x y z a y a x a x a z a z a y ˆx ( ˆy ( ˆz ( )e )e )e y z z x x y
20
哈米顿(Hamilton)算子
是一个矢量性微分算子，因此它在计算时 具有矢量性和微分性双重性质 作用在一个数性或矢性函数上时， 其方式仅有三种：u， A， A
2012电磁场与电磁波06_矢量与场论5-亥姆霍兹定理和矢量场分类
South China University of Technology
❖ 下面通过例题说明算子的运算规则。 【例】证明 (uv)u vv u ❖ 证明：应用乘积函数的微分运算规则
(u v) (u cv) (u vc)
➢ 运算规则1：运算中，先把有下标c的量看成常 数，待运算结束后，再去除下标c。
则矢量场Fr 称为域内V的无旋有散场。
r
由
F 0
u 0
r Fu
2u
其中，u为
r F
的标量位函数，ρ是
r F
的标量源函数（散度
源或通量源）
根据ρ的分布，由泊松方程求出u， 继而求出 。Fr
泊松方程
School of Electronics and Information Engineering
矢径的性质
a ˆR R a ˆR 1 a ˆR s1 in R
r
R
aˆR
R R
r
11RR
R R2
R3
gR rR12
(R2R)3 R
South China University of Technology
R ra ˆRs1 in Ra ˆR 1 R0
r
r
r
[f(R )R ] f(R )Rf(R ) R
❖ 应用矢量恒等式： (ku)ku（k为常数）
❖有
(uv)u vv u
❖ 可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正 确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明 了算子与坐标无关。
School of Electronics and Information Engineering
【例】证明
rr r rr r • ( A B ) B • ( A ) A • ( B )
亥姆霍兹定理任意矢量场PPT文档20页
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
20
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪பைடு நூலகம்
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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A A
0 0
该点有源 该点无源 该点为负源
若空间各点处处 A 0 则称 A 为无源场。
例子：
求 r r x xex y yey z zez
r x 3 x
求 r r3
1
r
x
x2
y
y y
z
z z
(
)
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
( )
四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它 沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢 量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无
ex
Az y
Ay z
ey
Ax z
Az x
ez
Ay x
Ax y
ex x
ey y
ez z
Ax Ay Az
1
例1：r =？
r
r
x
x2
y
y2
z
z2
2
解： r 1 1 2(x x) x x r y y , r z z
dl A
(
A)n
lim
S 0
L
S
A An n
定义 A 为矢量场的旋度，它在 S 法线方向上
的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在
空间某点上的环流特征。若空间各点 A 0 ，
则称 A为无旋场。
例子：
证明
r r3
=0
证
y
ex
x
ey
y
ez
z
注意：
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
Aຫໍສະໝຸດ ex x
ey
y
ez
z
ex A x ey A y ez A z
A x A y A z x y z
A
第零章第二节
矢量场论复习
德州学院重点建设课程
§2 矢量场论复习
一、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理 量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
场用一个空间和时间 标量场 (x, y, z,t) (x,t)
穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
矢量场的通量
面元 ds 的通量： d A ds
有限面积 S 的通量
闭合曲面的通量
S
A
ds
A dS s
0 0 0
有源 无源 负源
意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具
有局域性质，不能反映空间一点的情况。
高斯公式
矢量场的环量（环流）
矢量 A 沿任一闭合曲线 L 的积分称为环量 A dl L
0 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合
0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
斯托克斯公式（定理）
A dl (A) dS
L
S
矢量场的旋度
当L无限小： dl A ( A) S ( A)n S L
Ads S
AdV
V
V
Ax x
Ay y
Az z
dxdydz
矢量场的散度
缩小到一点
A dS ( A)V
S
A dS
A lim S
V 0 V
A 0
z
z r3
z
y
y r3
y2
z
z2
2
r r3
x
x
x r3
y
y
r3
y
z
z z r3
(r 0)
3 r3
x
x
3 r4
x
r
x
y
y
3 r4
y
r
y
0
grad
梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率
，刻画了标量场的空间分布特征
已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。
等值面： (x) 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。
三、矢量微分算子
ex x ey y ez z
既具有矢量性质， 又具有微分性质
坐标的函数来描述： 矢量场 A(x, y, z,t) A(x,t)
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关
变化场（时变场）：场函数与时间有关
已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，
这是电动力学求解电磁场的主要方法。 已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（梯、散、旋度）。
二、标量场的梯度
证明 A A A
证：
A
x
Ax
y
Ay
z
Az
Ax x
Ay y
Az z
x
Ax
y
Ay
z
Az
A A
五、斯托克斯公式与矢量场的旋度
x 2 r
r y r z r
r
ex
x
r
x
ey
y r
y
ez
z z r
r r
r r r
例2： ( ) =？
解：
( )
x
x x
( ) ( )
y
在空间任意靠近两点函数 的全微分
d dx dy dz
x y z
d
ex
x
ey
y
ez
z
d
d
d dxex dyey dzez
d
d
el
cos
在空间某点的任意 方向上，导数有无 穷多个，其中有一 个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度：