第十九章 动态对冲 《金融经济学》PPT课件
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得组合重新变回Delta中性 – 由于股票不改变组合的Gamma，所以这样调整之后的组合将变成既是Gamma
中性，又是Delta中性
Delta中性与Gamma中性的对比
– Delta中性是对两次组合调整之间所发生的股票价格的小变化的保护 – Gamma中性是对两次组合调整之间股票价格的大变化的保护
Vega调整为0
对标的资产Vega的解释
– 想象有两只股票，其当前价格都是100，而一只股票过去的波动率很大，另一 只波动率很小
– 不管波动率是多高，两只股票现在的价格都是100 – 对分别以两只股票为标的资产的买入期权而言，波动率大的那只股票对应的
期权价格更高些 – 所以说，股票价格本身的Vega是0，而股票期权的Vega不是0
0 时刻
1 时刻
1
19.3 Delta对冲
动态Delta对冲
Delta对冲是一个动态的过程
– 值会因为标的资产价格的变化而变化 – 需要不断地对组合做调整，使得它持续处在Delta中性的状态
两期二叉树中的动态Delta对冲
– 0时刻的股价为100元；每期股价都有翻倍和减半两种可能 – 每期无风险资产的总回报都是1.25 – 需要为一张在2时刻到期，执行价格为100元的欧式买入期权的空头做对冲
动态对冲的实现有赖于市场的持续交易
– 如果市场交易停止（比如因为911这样重大突发事件的发生）使得动态对冲无 法实现，很多衍生品会变成裸头寸，从而极大增加市场参与者所面临的风险
– 越是发生重大突发事件的时候，越需要确保市场中有足够流动性来保证交易 的进行
Delta对冲有“追涨杀跌”（越涨越买、越跌越卖）的特性，有可能加大 市场波动
组合Gamma中性的实现
– 假设某个原本Delta中性的组合的Gamma为，而某个期权A的Gamma为A – 在组合中加入w单位的期权A，可使组合的Gamma变成wA+ – 在组合中加入-/A单位的期权A，将组合的Gamma调整成0 – 加入了期权A后，组合不再为Delta中性，所以需要再加入一定量的股票，使
7
19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
其他希腊字母
希腊字母（Greek Letters，或简称Greeks）是衍生品价格对标的资产、相 关变量和参数的敏感性
– 用衍生品价格表达式对变量/参数求导获得 – 在无法求出显示表达式的时候，可以利用数值方法计算
, t
r
,
Speed
3 S 3
, S
00 100 25
0
Bd
uCdd dCud er (u d )
2 0 0.5 0 1.25 (2 0.5)
0
– 0时刻买入0.8股股票，并借入32元
– 1时刻如果股价涨到200元，追加购买0.2股，总借款上升至80元
– 1时刻如果股价下跌到50元，将0时刻购入的0.8股全部卖掉并偿还借款本息
– 跟随同一个交易策略是相当危险的。哪怕这个策略的初衷是为了避免风险
10
19.5 组合保险
2015年6月“股灾”前，A股融资余额爆发性增长
10亿元 2500
2000
A股融资余额 上证综指（右轴）
1500
1000
500
0 2014-1
2014-7
2015-1
2015-7
股价指数 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500
用股票和债券所组成的组合来复制期权——组合中包含单位股票和价值
B的无风险债券
uS0 er B Cu
dS0
er
B
Cd
B
Cu Cd S0 (u d )
uCd dCu er (u d )
股票 期权
uS 0
C u = max(uS 0 - K, 0)
S0
dS 0
C d = max(dS 0 - K, 0)
2015年股 灾中A股跌
得特别急
65
（距离高点天数）
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
数据来源：Wind
12
来自百度文库
0.8
B0
uCd dCu er (u d )
2 0 0.5120 1.25 (2 0.5)
32
对冲过程
u
Cuu Cud S(u2 ud )
300 0 400 100
1
Bu
uCud dCuu er (u d )
2 0 0.5 300 1.25 (2 0.5)
80
d
Cud Cdd S(ud d 2 )
– 实际操作中，一般要保证组合每日收市时都实现Delta中性（或至少接近Delta 中性），同时监测组合的Gamma与Vega及其它希腊字母
– 金融机构一般都会对其持有的组合给出各种希腊字母的上限，当某个组合达 到某个希腊字母上限时就会触发调整
8
19.5 组合保险
组合保险思路
组合保险（portfolio insurance）
数据来源：Wind
11
19.5 组合保险
融资中的组合保险机制使得股灾时股指下跌速度很快
上证综指（高点重设为100） 105 100
2015年6月12日=5166 2010年4月14日=3166 2007年10月16日=6092 2001年7月20日=2180
95
90
85
80 历次股指
75 70
的阶段性 高点
– 用期权保护组合股票组合，对冲股价下跌风险 – 期权利用股票和债券动态复制出 – 用股票债券的交易策略（复制出期权）来实现对组合价值的保护
算例
– 1股股票A的组合在0时刻的价格为100元，在1时刻价格可能会上涨到200元或 下跌到50元；无风险利率为25%
– 希望确保组合价值在1时刻价格不会跌到80元以下
3
19.3 Delta对冲
关于动态Delta对冲的几点评述
动态对冲方法实际上也是一种动态套利的方法
基于投资组合的Delta，可以对投资组合进行Delta对冲
– 投资组合的Delta等于组合中各项资产Delta的加权平均（ wi为第i种期权的合约 数量，i为这种期权的Delta ）
N
wii i 1
6
19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
Vega
Vega（）是组合价值对标的资产波动率的偏导数
Vega中性（Vega neutral）的实现
– 标的资产本身的Vega是0（标的资产当前价格已经给定，与波动率无关） – 在某个Vega为的组合中加入-ν/νB单位的Vega为B的期权B，可以将组合的
4
19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
Gamma
Gamma（）：组合的Delta对标的资产价格的偏导数，也即组合价值对 标的资产价格的二阶偏导数 2 S S 2
Gamma与Delta对冲
– Gamma是期权的曲率（curvature），决定了Delta对冲的误差（ C'与C''之差） – 组合的Gamma越小，组合的Delta对标的资产价格的变化越不敏感，为了保持
Charm 2 , St t
3
2
2
Colour
, Vanna
, Volga , L L
S 2t t
S
2
– 希腊字母不都是希腊文字母；希腊文字母不都是希腊字母
现实中的对冲
– 现实中，由于期权市场的深度和流动性有限，一般很难以较小的成本来实现 Gamma中性和Vega中性
– 需要购买1时刻到期的，行权价位80元的欧式卖出期权
– 期权0时刻价格为12元（=(0×0.5+30×0.5)/1.25），成本的1时刻价值为15元
（=12×1.25） – 计算期权Δ以动态复制该期权
Pu Pd 0 30 0.2 S0 (u d ) 200 50
– 组合保险策略：0时刻卖出0.2股，把组合中股票的头寸降到0.8股；卖出股票 所得的20元（=0.2×100）用来购买无风险债券
– 为了做组合保险所需要的期权数量，是组合的Beta乘以当Beta等于1时对冲所 需的期权数量
组合保险策略有追涨杀跌的特性，很可能放大市场波动
– 1987年10月19日“黑色星期一”：美国道琼斯工业平均指数在一天之内下跌 超过20% • 1987年10月，大概有600到900亿美元的股票头寸被组合保险所保护 • “黑色星期一”之前的三个交易日中（10月14到16日），股指下跌了大 概10%——其中相当大部分的跌幅发生在10月16日（周五）的下午 • 根据组合保险的算法，应该相应出售约120亿美元股指期货的头寸来实现 对股票头寸的保护。但是估计在16日只有大概40亿美元的交易得以完成 • 在19日开盘之前，就已经有大量由组合保险算法所生成的股指期货卖单 生成，并引发其他投资者也大量做空股票，因而导致市场在消息面相对 平静的背景下大幅下跌
19.3 Delta对冲
单期Delta对冲
有关对冲的几个概念
– 希腊字母（The Greek Letters）：期权对各种参数的导数 – Delta（Δ）：衍生品价格对标的资产价格的导数Δ=∂C/∂S – Delta对冲：用复制的衍生品的头寸来抵消掉一个反向的衍生品头寸 – Delta中性（delta neutral）：组合价值不随股票价格的波动而波动
S =100 C 0 =48 Δ0 =0.8 B 0 =-32
0时刻
uS =200 C u =120 Δ u =1 B u =-80
dS =50 C d =0 Δ d =0 B d =0
1时刻
uuS =400 C uu =300
udS =100 C ud =0
ddS =25 C dd =0
2时刻
2
19.3 Delta对冲
• 1时刻如果股价上涨到200元，组合价值为185元（=0.8×200 + 20×1.25）
• 1时刻如果股价下跌到50元，组合价值为65元（=0.8×50 + 20×1.25）
9
19.5 组合保险
对组合保险的评论
组合保险（合成期权保护组合价值）的思路可以容易地扩展到多期和连 续时间状况下
现实中，组合保险更容易通过股指期货来实现
组合处在Delta中性状态所需的调整也不需要太频繁
买入期权价格
C'' C'
C
股票价格
0
S
S'
5
19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
Gamma中性
调整组合的Gamma
– 股票和股票期货的Gamma为0——这二者的价格是股票价格的线性函数 – 为了调整组合的Gamma，需要在组合中加入如期权这样Gamma非零的资产
动态Delta对冲（续）
计算期权价格（可计算风险中性概率q=0.5 ）
– Cu=(300×0.5+0×0.5)/1.25=120 – Cd=(0×0.5+0×0.5)/1.25=0 – C0=(120×0.5+0×0.5)/1.25=48
计算Delta
0
Cu Cd S(u d )
120 0 200 50
中性，又是Delta中性
Delta中性与Gamma中性的对比
– Delta中性是对两次组合调整之间所发生的股票价格的小变化的保护 – Gamma中性是对两次组合调整之间股票价格的大变化的保护
Vega调整为0
对标的资产Vega的解释
– 想象有两只股票，其当前价格都是100，而一只股票过去的波动率很大，另一 只波动率很小
– 不管波动率是多高，两只股票现在的价格都是100 – 对分别以两只股票为标的资产的买入期权而言，波动率大的那只股票对应的
期权价格更高些 – 所以说，股票价格本身的Vega是0，而股票期权的Vega不是0
0 时刻
1 时刻
1
19.3 Delta对冲
动态Delta对冲
Delta对冲是一个动态的过程
– 值会因为标的资产价格的变化而变化 – 需要不断地对组合做调整，使得它持续处在Delta中性的状态
两期二叉树中的动态Delta对冲
– 0时刻的股价为100元；每期股价都有翻倍和减半两种可能 – 每期无风险资产的总回报都是1.25 – 需要为一张在2时刻到期，执行价格为100元的欧式买入期权的空头做对冲
动态对冲的实现有赖于市场的持续交易
– 如果市场交易停止（比如因为911这样重大突发事件的发生）使得动态对冲无 法实现，很多衍生品会变成裸头寸，从而极大增加市场参与者所面临的风险
– 越是发生重大突发事件的时候，越需要确保市场中有足够流动性来保证交易 的进行
Delta对冲有“追涨杀跌”（越涨越买、越跌越卖）的特性，有可能加大 市场波动
组合Gamma中性的实现
– 假设某个原本Delta中性的组合的Gamma为，而某个期权A的Gamma为A – 在组合中加入w单位的期权A，可使组合的Gamma变成wA+ – 在组合中加入-/A单位的期权A，将组合的Gamma调整成0 – 加入了期权A后，组合不再为Delta中性，所以需要再加入一定量的股票，使
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19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
其他希腊字母
希腊字母（Greek Letters，或简称Greeks）是衍生品价格对标的资产、相 关变量和参数的敏感性
– 用衍生品价格表达式对变量/参数求导获得 – 在无法求出显示表达式的时候，可以利用数值方法计算
, t
r
,
Speed
3 S 3
, S
00 100 25
0
Bd
uCdd dCud er (u d )
2 0 0.5 0 1.25 (2 0.5)
0
– 0时刻买入0.8股股票，并借入32元
– 1时刻如果股价涨到200元，追加购买0.2股，总借款上升至80元
– 1时刻如果股价下跌到50元，将0时刻购入的0.8股全部卖掉并偿还借款本息
– 跟随同一个交易策略是相当危险的。哪怕这个策略的初衷是为了避免风险
10
19.5 组合保险
2015年6月“股灾”前，A股融资余额爆发性增长
10亿元 2500
2000
A股融资余额 上证综指（右轴）
1500
1000
500
0 2014-1
2014-7
2015-1
2015-7
股价指数 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500
用股票和债券所组成的组合来复制期权——组合中包含单位股票和价值
B的无风险债券
uS0 er B Cu
dS0
er
B
Cd
B
Cu Cd S0 (u d )
uCd dCu er (u d )
股票 期权
uS 0
C u = max(uS 0 - K, 0)
S0
dS 0
C d = max(dS 0 - K, 0)
2015年股 灾中A股跌
得特别急
65
（距离高点天数）
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
数据来源：Wind
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来自百度文库
0.8
B0
uCd dCu er (u d )
2 0 0.5120 1.25 (2 0.5)
32
对冲过程
u
Cuu Cud S(u2 ud )
300 0 400 100
1
Bu
uCud dCuu er (u d )
2 0 0.5 300 1.25 (2 0.5)
80
d
Cud Cdd S(ud d 2 )
– 实际操作中，一般要保证组合每日收市时都实现Delta中性（或至少接近Delta 中性），同时监测组合的Gamma与Vega及其它希腊字母
– 金融机构一般都会对其持有的组合给出各种希腊字母的上限，当某个组合达 到某个希腊字母上限时就会触发调整
8
19.5 组合保险
组合保险思路
组合保险（portfolio insurance）
数据来源：Wind
11
19.5 组合保险
融资中的组合保险机制使得股灾时股指下跌速度很快
上证综指（高点重设为100） 105 100
2015年6月12日=5166 2010年4月14日=3166 2007年10月16日=6092 2001年7月20日=2180
95
90
85
80 历次股指
75 70
的阶段性 高点
– 用期权保护组合股票组合，对冲股价下跌风险 – 期权利用股票和债券动态复制出 – 用股票债券的交易策略（复制出期权）来实现对组合价值的保护
算例
– 1股股票A的组合在0时刻的价格为100元，在1时刻价格可能会上涨到200元或 下跌到50元；无风险利率为25%
– 希望确保组合价值在1时刻价格不会跌到80元以下
3
19.3 Delta对冲
关于动态Delta对冲的几点评述
动态对冲方法实际上也是一种动态套利的方法
基于投资组合的Delta，可以对投资组合进行Delta对冲
– 投资组合的Delta等于组合中各项资产Delta的加权平均（ wi为第i种期权的合约 数量，i为这种期权的Delta ）
N
wii i 1
6
19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
Vega
Vega（）是组合价值对标的资产波动率的偏导数
Vega中性（Vega neutral）的实现
– 标的资产本身的Vega是0（标的资产当前价格已经给定，与波动率无关） – 在某个Vega为的组合中加入-ν/νB单位的Vega为B的期权B，可以将组合的
4
19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
Gamma
Gamma（）：组合的Delta对标的资产价格的偏导数，也即组合价值对 标的资产价格的二阶偏导数 2 S S 2
Gamma与Delta对冲
– Gamma是期权的曲率（curvature），决定了Delta对冲的误差（ C'与C''之差） – 组合的Gamma越小，组合的Delta对标的资产价格的变化越不敏感，为了保持
Charm 2 , St t
3
2
2
Colour
, Vanna
, Volga , L L
S 2t t
S
2
– 希腊字母不都是希腊文字母；希腊文字母不都是希腊字母
现实中的对冲
– 现实中，由于期权市场的深度和流动性有限，一般很难以较小的成本来实现 Gamma中性和Vega中性
– 需要购买1时刻到期的，行权价位80元的欧式卖出期权
– 期权0时刻价格为12元（=(0×0.5+30×0.5)/1.25），成本的1时刻价值为15元
（=12×1.25） – 计算期权Δ以动态复制该期权
Pu Pd 0 30 0.2 S0 (u d ) 200 50
– 组合保险策略：0时刻卖出0.2股，把组合中股票的头寸降到0.8股；卖出股票 所得的20元（=0.2×100）用来购买无风险债券
– 为了做组合保险所需要的期权数量，是组合的Beta乘以当Beta等于1时对冲所 需的期权数量
组合保险策略有追涨杀跌的特性，很可能放大市场波动
– 1987年10月19日“黑色星期一”：美国道琼斯工业平均指数在一天之内下跌 超过20% • 1987年10月，大概有600到900亿美元的股票头寸被组合保险所保护 • “黑色星期一”之前的三个交易日中（10月14到16日），股指下跌了大 概10%——其中相当大部分的跌幅发生在10月16日（周五）的下午 • 根据组合保险的算法，应该相应出售约120亿美元股指期货的头寸来实现 对股票头寸的保护。但是估计在16日只有大概40亿美元的交易得以完成 • 在19日开盘之前，就已经有大量由组合保险算法所生成的股指期货卖单 生成，并引发其他投资者也大量做空股票，因而导致市场在消息面相对 平静的背景下大幅下跌
19.3 Delta对冲
单期Delta对冲
有关对冲的几个概念
– 希腊字母（The Greek Letters）：期权对各种参数的导数 – Delta（Δ）：衍生品价格对标的资产价格的导数Δ=∂C/∂S – Delta对冲：用复制的衍生品的头寸来抵消掉一个反向的衍生品头寸 – Delta中性（delta neutral）：组合价值不随股票价格的波动而波动
S =100 C 0 =48 Δ0 =0.8 B 0 =-32
0时刻
uS =200 C u =120 Δ u =1 B u =-80
dS =50 C d =0 Δ d =0 B d =0
1时刻
uuS =400 C uu =300
udS =100 C ud =0
ddS =25 C dd =0
2时刻
2
19.3 Delta对冲
• 1时刻如果股价上涨到200元，组合价值为185元（=0.8×200 + 20×1.25）
• 1时刻如果股价下跌到50元，组合价值为65元（=0.8×50 + 20×1.25）
9
19.5 组合保险
对组合保险的评论
组合保险（合成期权保护组合价值）的思路可以容易地扩展到多期和连 续时间状况下
现实中，组合保险更容易通过股指期货来实现
组合处在Delta中性状态所需的调整也不需要太频繁
买入期权价格
C'' C'
C
股票价格
0
S
S'
5
19.4 Gamma、Vega与其他希腊字母
Gamma中性
调整组合的Gamma
– 股票和股票期货的Gamma为0——这二者的价格是股票价格的线性函数 – 为了调整组合的Gamma，需要在组合中加入如期权这样Gamma非零的资产
动态Delta对冲（续）
计算期权价格（可计算风险中性概率q=0.5 ）
– Cu=(300×0.5+0×0.5)/1.25=120 – Cd=(0×0.5+0×0.5)/1.25=0 – C0=(120×0.5+0×0.5)/1.25=48
计算Delta
0
Cu Cd S(u d )
120 0 200 50