大学高等数学函数极限和连续
极限与连续知识点总结
极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。
下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。
一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。
例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。
这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。
极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。
二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。
2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。
3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。
4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。
5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。
三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。
例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。
2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。
例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。
无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。
四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。
2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
高等数学第二章极限与连续
第二章第二章 极限与连续极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点，第二类间断点. .2.基本公式 (1) 1sin lim0=®口口口，(2) e )11(lim 0=+®口口口(口代表同一变量代表同一变量).). 3.基本方法⑴ 利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限；⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求¥¥形式的极限；形式的极限；⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. .4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. .二、要点解析问题1 如果如果如果 A x f x x =®)(lim 0存在，那么函数)(x f 在点0x 处是否一定有定义处是否一定有定义? ?解析 A x f x x =®)(lim 0存在与)(x f 在0x 处是否有定义无关．例如1sin lim0=®xxx ，而)(x f =xx sin 在0=x 处无定义；又如0lim 20=®x x ，而2)(x x f =在0=x 处有定义处有定义..所以，)(lim 0x f x x ®存在，不一定有)(x f 在0x 点有定义点有定义. .问题2 若若A x f x g x x =×®)()(lim 0存在，那么)(lim 0x g x x ®和)(lim 0x f x x ®是否一定存在？是否一定有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®？解析 )(lim 0x g x x x x ®·A x f =)(存在，并不能保证)(lim 0x g x x x x ®与)(lim 0x f x xx x ®均存在均存在..例如0lim 1lim 020==®®x x x x x ，而x x 1lim 0®不存在不存在..又因为只有在)(lim 0x g x x ®与)(lim 0x f x x ®均存在的条件下，才有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®,所以)(lim 0x g x x ®·)(x f 存在，不能保证)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®．问题3 +¥=®xx 1e lim 是否正确，为什么是否正确，为什么? ?解析 不正确不正确..尽管+¥=+®xx 10e lim ，而0e1lim elim e lim 101010===---®-®®xx xx xx .这说明这说明,,0®x 时，x1e 不是无穷大不是无穷大. .三、例题精解 例1 求下列极限求下列极限求下列极限: :(1) ))(cos sin (lim tan 2224πx x x x x ++®；(2) 1)1232(lim +¥®++x x x x ；(3) 3111limxxx --®；(4) )1sin sin (lim 0xx x x x ++®； (5) )2sin(lim x x x -++¥®；(6) xx x x1sin53lim 2-¥®. 解 (1)(1)由于讨论函数由于讨论函数xx x x x f tan222)(cos sin )(++=在4π=x 处有定义，而且在4π=x 处连续，所以有处连续，所以有 ])(cos sin [lim tan 2224πx x x x x ++®4πtan222)4π(cos )4π(sin )4π(++=222)22()22(16π++= 116π2+=． (2)123lim()21x x x x +®¥++1212lim()21x x x x +®¥++=+ 12lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim +¥®）11221lim(1)12x x x ++®¥=++2121)2111(lim )2111(lim ++×++=¥®+¥®x x x x x212121)]2111(lim [)2111(lim ++++=¥®+¥®+x x x x x211e ×=e =．(3) 311lim 1x xx®-- （这是（这是00型未定式）23323331(1)(1)1()lim (1)1()(1)x x x x x x x x x ®éù-+++ëû=éù-+++ëû2331(1)1()lim (1)(1)x x x x x x ®éù-++ëû=-+ （分子、分母均含非零因子1-x ） 23311()lim 1x x x x®++=+ 32=． (4))1s i ns i n(l i m 0x x x x x ++®x x x x x x 1sin lim sin lim 00++®®+= 01+=1=．需要注意，01sin lim 0=+®x x x 是由于x 为+®0x 时的无穷小量，x 1sin ≤1，即x 1si n 为有界函数，所以x x1sin为+®0x 时的无穷小时的无穷小.. (5)lim sin(2)x x x ®+¥+-sin lim (2)x x x ®+¥=+- ( (函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换)) (2)(2)sin lim2x x x x x x x®¥+-++=++（分子有理化）2sin lim2x x x®+¥=++0s i n = 0=． (6)235lim1sinx x x x®¥-(35)lim11(sin )x x xx x ®¥-= （适当变形） lim (35)11lim (sin )x x x x x x®¥®¥-= （利用商的极限公式）105lim (3)111lim (sin )x xx x x ®¥®-= （利用重要极限1sin lim 0=®口口口）3=例2 设ïîïíì<+>=,0,,0,1sin )(22x x a x x x x f 问a 为何值时)(lim 0x f x ®存在，并求此极限值存在，并求此极限值. . 解解 对于分段函数，对于分段函数，讨论分段点处的极限讨论分段点处的极限..由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限一般先求它的左、右极限. .01sin lim )(lim 200==++®®xx x f x x ，a x a x f x x =+=--®®)(lim )(lim 20．为使为使)(lim 0x f x ®存在，必须即),(lim )(lim 0x f x f x x -+®®=0=a . 因此，因此，0=a 时，)(lim0x f x ®存在且0)(lim 0=®x f x ． 例3 设ïïîïïíì<--³+=,0,,0,2cos )(x x x a a x x x x f 问当a 为何值时，0=x 是)(x f 的间断点? ? 是什么间断点是什么间断点是什么间断点? ?解0lim ()lim x x a a xf x x--®®--=0()()lim ()x a a x a a x x a a x -®--+-=+- 0lim ()x x x a a x -®=+-01limx a a x -®=+-12a=，212cos lim )(lim 0=+=++®®x x x f x x ，当ax f x f x x 2121)(lim )(lim 0¹¹-+®®，即，亦即1¹a 时，0=x 是)(x f 的间断点；由于a 为大于0的实数，故)0()0(-+f f 与均存在，只是)0()0(-+¹f f ，故0=x 为)(x f 的跳跃间断点的跳跃间断点. .例 4 已知已知 011lim 2=÷÷øöççèæ--++¥®b ax x x x ，求b a ,的值的值. . 解 因为因为 )11(lim 2b ax x x x --++¥®2(1)()1lim1x a x a b x bx ®¥--++-=+0=，由有理函数的极限知，上式成立，必须有2x 和x 的系数等于0,0,即即îíì=+=-01b a a ，于是1,1-==b a .四、练习题⒈ 判断正误⑴ 若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续处连续. ( . ( . ( ×× ) 解析 函数在一点连续，函数在一点连续，函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．如函数如函数îíì=¹=,0,1,0,)(x x x x f 0lim )(lim 00==®®x x f x x ，即函数)(x f 在0=x 处极限存在；但1)0(0)(lim 0=¹=®f x f x ，所以函数îíì=¹=0,1,0,)(x x x x f 在0=x 处不连续．处不连续． ⑵分段函数必有间断点⑵分段函数必有间断点. ( . ( . ( ×× )解析 分段函数不一定有间断点．如函数îíì<-³=0,,0,)(x x x x x f 是分段函数，()0lim )(lim 0=-=--®®x x f x x ，0lim )(lim 0==++®®x x f x x ，所以0)(lim 0=®x f x ；又因为0)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =®，所以函数)(x f 在0=x 处连续，无间断点．处连续，无间断点．⑶x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小时的等价无穷小. ( . ( . ( √√ ) 解析 13cos 1lim3sin 3tan lim 00==®®xxx x x ，由等价无穷小的定义，x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小．的等价无穷小．⑷无界函数不一定是无穷大量⑷无界函数不一定是无穷大量. ( . ( . ( √√ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数无穷大必无界，但反之不真．如函数x x x f cos )(=，当¥®x 时是无界函数；但若取2ππ2+=n x ，¥®x （¥®n ）时0cos )(==x x x f ，不是无穷大量．，不是无穷大量． 2.选择题⑴下列极限存在的是⑴下列极限存在的是( B ) ( B )(A) xx 4lim ¥®; (B) 131lim 33-+¥®x x x ; (C)x x ln lim 0+®; (D) 11sin lim 1-®x x . 解析 (A)04lim =-¥®x x ，+¥=+¥®x x 4lim ， 所以所以xx 4lim ¥®不存在；不存在；(B)311311lim 131lim 3333=-+=-+¥®¥®x x x x x x ，极限存在；，极限存在；(C)-¥=+®x x ln lim 0，所以x x ln lim 0+®不存在；不存在； (D)1®x 时，01®-x ，¥®-11x ，所以，所以11sinlim 1-®x x 不存在．不存在． ⑵已知615lim =-+¥®x ax x ,则常数=a ( C ).(A) 1(A) 1；； (B) 5 (B) 5 ；； (C) 6 (C) 6 ；； (D) -1.解析611515lim ==-+=-+¥®a xx a x ax x ，所以，所以6=a ． ⑶xx f 12)(=在0=x 处 ( C ).(A) (A) 有定义；有定义；有定义； (B) (B) 极限存在；极限存在；极限存在； (C) (C) 左极限存在；左极限存在；左极限存在； (D) (D) 右极限存在右极限存在右极限存在. . 解析 因xx f 12)(=，在0=x 处无定义，处无定义，02lim )(lim 1==--®®xx x x f ，即xx f 12)(=在0=x 处左极限存在，处左极限存在，+¥==++®®x x x x f 102lim )(lim ，即xx f 12)(=在0=x 处右极限不存在，处右极限不存在，由极限存在的充要条件，可知函数xx f 12)(=在0=x 处的极限不存在．处的极限不存在． ⑷当⑷当+¥<<x 0时，xx f 1)(=( D ).(A) (A)有最大值与最小值有最大值与最小值有最大值与最小值; ; (B)(B)有最大值无最小值有最大值无最小值有最大值无最小值; ;(C)(C)无最大值有最小值无最大值有最小值无最大值有最小值; ; (D)(D)无最大值无最小值无最大值无最小值无最大值无最小值. . 解析 xx f 1)(=在()+¥,0上是连续函数，图形如下：上是连续函数，图形如下：所以当+¥<<x 0时，xx f 1)(=无最大值与最小值．无最大值与最小值． 3.填空题Oyxx1(1) (1)已知已知b a ,为常数，3122lim2=-++¥®x bx ax x ，则=a 0 0 ，，=b 6 6 ；； 解 ¥®x 时极限值存在且值为3，则分子、分母x 的最高次幂应相同，所以0=a ，那么那么 32122lim 122lim 122lim 2==-+=-+=-++¥®¥®¥®b xx b x bx x bx ax x x x ，所以6=b ．(2)23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ；解 由0232³+-x x ，知函数)(x f 的定义区间为(][)¥+¥-,21, ．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ．(3)0=x 是xx x f sin )(=的 可去可去可去 间断点间断点间断点; ;解 0=x 时，函数xx x f sin )(=无定义，但1sin lim0=®xxx ，极限存在，所以0=x 是xx x f sin )(=的可去间断点．的可去间断点．(4)(4)若若a x x =¥®)(lim j (a 为常数为常数))，则=j ¥®)(elim x x ae．解 由复合函数求极限的方法，ax x x x e eelim )(lim )(==j j ¥®¥®．4.解答题⑴ qq q q sin cos 1lim 0-®； 解一 qq q q sin cos 1lim 0-®2cos2sin 22sin 2lim 2q q q qq ®=2cos2122sinlim 0qqqq ×=®2cos 21lim 10q q ®×=21=．解二 无穷小量的等价代换，由于无穷小量的等价代换，由于0®q 时，2~cos 1,~sin 2q q q q -，所以所以 q q q q sin cos1lim 0-®q q q q ×=®2lim 2021= ．⑵ 设x x f ln )(=，求，求 1)(lim1-®x x f x ； 解由无穷小量的等价代换，1®x 即01®-x 时，()[]1~11ln ln )(--+==x x x x f ，所以所以 111lim 1ln lim 1)(lim 111=--=-=-®®®x x x x x x f x x x ．⑶ x xx sin e lim -+¥®；解 +¥®x 时，x-e 是无穷小量，x sin 是有界变量．是有界变量． 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 0sin e lim =-+¥®x xx ．⑷ 设îíì>-£=,1,56,1,)(x x x x x f 试讨论)(x f 在1=x 处的连续性，写出)(x f 的连续区间；解 1lim )(lim 11==--®®x x f x x ，()156lim )(lim 11=-=++®®x x f x x ，所以1)(lim 1=®x f x ．且1)1(=f ，即)1()(lim 1f x f x =®，所以函数)(x f 在1=x 处连续．处连续．又因为当1£x 时函数x x f =)(连续，当1>x 时函数56)(-=x x f 也连续，也连续，所以函数所以函数)(x f 的连续区间为()¥+¥-,．⑸ 设ïïîïïíì>=<=,0,sin ,0,1,0,e )(xx x x x x f x求)(lim ),(lim 00x f x f x x +-®®,并问)(x f 在0=x 处是否连续；处是否连续；e 1xe 1e 11=--xxe 1e 1e 1111=-=---++xx xxe 1e 11+-=xx 的跳跃间断点．的跳跃间断点． xx 2sin )1ln(lim0+；212lim 2sin )1ln(lim00=+x x x x ．。
高等数学(一)学习笔记
对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|< ε 都成立，那幺就称 A 是函数 f(x)的极限，或者称 函数 f(x)收敛
于 A,记为 lim f (x) = A ,或 f(x) → A (x → ∞ ). x→∞
7、无穷小和无穷大
(1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x → x0 或 x → ∞ ).
反正弦函数：y=Arc
sin
x
定义域
D={ x
-1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2 π
π
为周期。若限制值域为[-
，
2
π
+ ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加
2
反余弦函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2π 为周期。若限制值域为[0，
(2)、无穷大，极限为 ∞ ，则称函数为无穷大(当 x → x0 或 x → ∞ ). (3)、无穷大与无穷小的关系：互为倒数(f(x) ≠ 0)
8、极限的运算法则 (1)、如果 limf(x)=A,limg(x)=B,则 lim[f(x)+g(x)]存在，且 lim[f(x)+g(x)]=A+B= limf(x)+ limg(x)。 (2)、如果 limf(x)=A,limg(x)=B,则 lim[f(x).g(x)]存在，且 lim[f(x).g(x)]=A.B= limf(x). limg(x)。(特例：如果 limf(x)存在，而 n 是正整数，则 lim[f(x)] n =[limf(x)] n 。
+ π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数：y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数， π 为周期。若限制值域为[-
大一高数基本知识点总结
大一高数基本知识点总结高等数学是大一学生必修的一门课程，对于在大学学习数理科学专业的学生而言，高等数学承载着重要的基础知识。
在这篇文章中，我们将总结大一高数的基本知识点，以帮助你更好地理解和应用这些概念。
1. 极限与连续1.1 定义极限：数列与函数的极限定义，以及极限存在的条件。
1.2 极限性质与运算：极限的四则运算法则，夹逼定理。
1.3 函数连续：连续函数的定义，连续性的性质与判定方法。
2. 导数与微分2.1 导数的定义与求导法则：利用定义求导，常见函数求导法则。
2.2 高阶导数与应用：求解高阶导数，应用于曲线的切线与凹凸性等问题。
2.3 微分与局部线性化：微分的定义，微分的应用于近似计算问题。
3. 积分与定积分3.1 不定积分：不定积分的定义及性质，不定积分求解方法。
3.2 定积分的定义：定积分的概念与性质，定积分求解方法。
3.3 基本积分公式与换元积分法：常用的基本积分公式，换元积分法的运用。
4. 一元函数的应用4.1 函数的极值与最值：函数极大值与极小值，最大值与最小值的求解。
4.2 函数的增减与凹凸性：函数的单调性与凹凸性，求解拐点与区间分析。
4.3 参数方程与极坐标系：参数方程的定义与应用，极坐标系的转换与应用。
5. 多元函数与偏导数5.1 二元函数的极值：二元函数的极大值与极小值，求解问题的最优解。
5.2 偏导数与全微分：偏导数的定义与求解，全微分的概念与计算。
6. 多元函数的积分与曲线积分6.1 二重积分：二重积分的定义与性质，计算方法与应用。
6.2 三重积分：三重积分的定义与性质，计算方法与应用。
6.3 曲线积分：曲线积分的定义与运算，计算方法与应用。
通过学习以上的知识点，你将能够掌握和运用大一高数的基本概念与技巧。
高等数学是一门重要的学科，其对于理工科学生以及涉及数学建模等领域的学习与研究具有重要作用。
希望这篇总结能够帮助你在大一学习中更好地消化与吸收高等数学的内容。
共勉之！。
极限与连续性在高等数学中的重要性
极限与连续性在高等数学中的重要性在高等数学中，极限与连续性是两个非常重要的概念。
它们在数学理论和应用中起着至关重要的作用，不仅帮助我们建立数学模型，还可以解决各种实际问题。
本文将会详细讨论极限与连续性的重要性，以及它们在高等数学中的应用。
首先，我们来讨论极限的重要性。
极限是高等数学中最基础的概念之一，也是微积分的核心内容。
通过研究极限，我们可以更好地理解函数的性质和行为。
极限的概念使我们能够描述和定义函数在某一点的趋势和变化情况。
对于一个函数f(x)，我们可以通过计算极限来判断它在某一点的连续性、导数和积分等性质。
此外，极限的概念还有助于我们研究数列的收敛性和级数的敛散性。
在实际应用中，极限的概念被广泛运用。
在物理学中，极限可以帮助我们在离散的数据中找到趋势和规律，从而建立数学模型。
例如，通过极限的概念可以推导出物体在某一时刻的速度和加速度等物理量。
在经济学和金融学中，极限可以帮助我们预测市场的趋势和波动，进而制定合适的投资策略。
在工程学中，极限可以帮助我们设计和优化各种系统和结构，提高其性能和可靠性。
总之，极限在数学理论和实际应用中具有不可替代的重要性。
接下来，我们来讨论连续性的重要性。
连续性可以看作是极限的一种特殊情况，它描述了函数在某一区间内的无间断性。
连续性的概念使我们能够研究函数的光滑性、存在性和一致性等性质。
通过研究连续性，我们可以确定函数在某一段区间内是否存在极限，并且可以精确地计算该极限的值。
连续性还有助于我们研究函数的导数、积分和级数等重要概念。
在实际应用中，连续性的概念也被广泛应用。
在物理学中，连续性可以帮助我们建立连续介质的数学模型，例如流体力学和电磁场理论等。
在计算机科学和信息技术领域，连续性可以帮助我们设计和分析数字信号处理算法、图像处理算法和机器学习算法等。
在金融学和经济学中，连续性可以帮助我们建立连续交易市场的数学模型，并研究其稳定性和可行性。
总之，连续性在数学理论和实际应用中扮演着重要的角色。
知识点总结高数一
知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。
数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。
函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。
极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。
2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。
3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。
无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。
在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。
4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。
二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。
微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。
4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。
第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质
提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1
2e
2
.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.
《高等数学》函数极限与连续
《高等数学》函数极限与连续
能力目标
培养学生抽象思维能力和计算能力， 利用极限思想解决实际问题.
德育目标
通过函数概念的学习，可对学生进行运 动变化、对立统一观点的教育.通过极 限概念的学习，可使学生理解有限和无 限的辩证关系，对学生进行辩证唯物主 义教育.
《高等数学》函数极限与连续
y ln(2x3),反函数的定义域 (3为,). 2
《高等数学》函数极限与连续
函数的几种特性
1 奇偶性
设函y数 f(x)在定义D域 关于原点,对 对称 任x意 D都有： 若f(x) f(x),则称 y f(x)为偶函,图 数像关y轴 于对称； 若f(x)f(x),则称 y f(x)为奇函,图 数像关于原点对称 即不是奇函数也函不数是的偶函 ,称数为 非奇非偶. 函数
2 周期性
设 T为一个不,如 为果 零 y 函 的 f(x)数 对 常于 数 x 任 D , 意 都x有 TD ,且 f(xT)f(x),则y称 f(x)是 周期.使 函 上述关系式 正T 成 数 ,称立 为的 函 周 最 .数 期 小 的
例函y数 sin x和 ycox都 s 是 2为 以周期的. 周期函
《高等数学》函数极限与连续
3 单调性
设函y数 f(x)在区(a间 ,b)内有定 ,对义 于任 a意 x x b都有 :
1
2
若f(x)f(x),则称 yf(x)在区(a间 ,b)内为 单调增加 , 函数
1 加 ；区 间
若f(x)f(x),则称 yf(x)在区(a间 ,b)内为 单调减少 , 函数
解: f(a1)(a1)31a33a23a;
f(1)(1)3111.
xx
x3
高等数学 第二章 极限与连续 2.8 函数的连续性
y y sin 1 x
0
x
x 1 为可去间断点 .
o1
x
(4)
y
x ,
f
(x)
1 2
,
x 1 x 1
显然，lim f (x) 1 f (1) x1
x 1为其可去间断点。
x 1,
(5) y
f
(
x)
0
,
x 1 ,
x0 x0 x0
f (0 0) 1, f (0 0) 1
x 0 为其跳跃间断点。
则称函数 f (x)在 x0 连续. 否则，间断.
注意：函数 在点 x0 连续，必须同时具备下列条件：
(1)
在点 有定义，即
存在；
(2) 极限
存在；
(3)
定义2.14 若 在区间[a, b]上每一点都连续，则称 f (x)在[a, b]上连续，或称它是该区间上的连续函数.
注意：若 若
则称 f (x)在 x a处左连续； 则称 f (x)在 x b处右连续。
f (x) g(x), f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
注意：可推广到有限次四则运算的情况。
推论：多项式函数 f (x) a0xn a1xn1 L an1x an 在
(, ) 连续。
分式函数
p(x)
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
高等数学—第二章
极限与连续
基础课教学部 数学教研室
第八节 函数的连续性
一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 五、在闭区间上连续函数的性质 六、利用函数连续性求函数极限
大一高数知识点总结归纳
大一高数知识点总结归纳【大一高数知识点总结归纳】高等数学是大学阶段十分重要的一门基础学科，它涉及到许多重要的数学理论和方法。
在大一的学习过程中，我们接触到了许多高数的知识点，这些知识点对我们今后的学习和发展都具有重要的作用。
本文将对大一高数的知识进行总结归纳，以帮助我们更好地理解和掌握这些知识。
一、极限与连续1. 极限的概念与性质：极限的定义、左极限与右极限、无穷大与无穷小、极限运算的性质。
2. 连续函数与间断点：连续函数的定义、间断点的分类、间断点的性质。
3. 中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理。
二、导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的运算法则。
2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶导数的计算、高阶微分的定义与计算。
4. 隐函数与参数方程求导：隐函数的导数与高阶导数、参数方程的导数与高阶导数。
三、积分与不定积分1. 不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的运算法则。
2. 基本初等函数的不定积分：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的不定积分。
3. 定积分与定积分的计算：定积分的概念与性质、定积分的计算方法、变限积分。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式。
四、微分方程与应用1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、常微分方程与偏微分方程。
2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、一阶线性常微分方程。
3. 二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程的求解、通解的求法。
4. 应用问题与数学模型：生物学、物理学、经济学等领域中的应用问题。
五、级数与幂级数1. 数列与级数：数列的极限、级数的定义与收敛性。
2. 常数项级数：等比级数与调和级数的性质与求和。
3. 幂级数与函数展开：幂级数的收敛半径、函数的幂级数展开。
4. 泰勒级数与麦克劳林级数：泰勒级数与麦克劳林级数的定义与求导。
高等数学习题课(1)函数极限与连续性
连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
P73 题5. 证明: 若 f (x) 在 (, )内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 (, )内有界.
III.课堂训练题 1. 求数列极限
1 lim[ n n n n ] n
2 lim 1 a1 a2 1 a2n ，( a 1) n
2. 求下列极限
1 lim x0
1 tan x 1 sin x sin3 x
2 lim sin x 1 sin x x
公式：sin A sin B 2cos A B sin A B
xx0
f (x)
f
(x0 )
6. 连续函数的性质
1) 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为 零），仍为连续函数；
2) 单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为 单值单调的连续函数；
3) 连续函数的复合函数也是连续函数； 4) 一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。
7. 闭区间上连续函数的性质
有 y f (x0 x) f (x0 )
如 果 lim y 0
①
x0
或
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
②
或
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
③
则 称 函 数y f (x) 在 点 x0 处 连 续 。
命题：lim xx0
f
(x)
f
连续与极限的关系及其在高数中的应用
连续与极限的关系及其在高数中的应用连续与极限是高等数学中重要的概念，它们在解析几何、微积分等各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨连续与极限的关系以及它们在高等数学中的具体应用。
首先，我们来了解连续与极限的定义和关系。
在数学中，连续性是指函数在某个区间内没有断裂或跳跃，即函数的值在区间内可以无限地逼近某个特定值。
而极限则是指当自变量无限接近某个特定值时，函数的值趋于无穷大或无穷小。
连续性和极限的概念密切相关，而且连续函数的定义中涉及了极限的概念。
在高等数学中，连续与极限具有重要的应用。
首先，在解析几何中，我们可以利用连续与极限的概念来描述曲线的性质。
例如，我们可以通过计算函数的导数来确定切线的斜率，进而得到切线与曲线的切点。
这种方法基于函数在某个点的连续性和曲线在该点的导数。
通过探索函数在不同点附近的极限值，我们可以更好地了解曲线的特性。
另外，在微积分中，连续与极限是求解导数和积分的关键概念。
导数是描述函数变化率的重要工具，它可以通过函数在某个点的极限来定义。
具体来说，导数可以用于求解函数在某个点的斜率，进而用于描述函数的变化趋势。
而积分则是通过将函数转化为微小的无限小量来求解曲线下面积或体积。
连续性和极限的概念提供了微积分建立的基础，使我们能够更好地理解和运用微积分的方法。
除了解析几何和微积分，连续与极限还有很多其他重要的应用。
在数值分析中，我们可以利用极限来进行近似计算和误差估计。
通过计算函数在某个点附近的极限值，我们可以更准确地进行数值计算，评估计算结果的误差，并优化计算过程。
在概率论和统计学中，连续与极限的概念也是重要的基础。
例如，我们可以通过极限的概念推导出正态分布的性质和中心极限定理，从而应用到实际的概率和统计问题中。
总结起来，连续与极限在高等数学中是不可或缺的概念。
它们不仅在解析几何、微积分等数学学科中有广泛的应用，还在数值分析、概率论和统计学等领域中发挥着重要的作用。
连续与极限的关系为我们提供了深入理解函数性质、解决实际问题和优化计算方法的工具。
大一高数极限与连续知识点
大一高数极限与连续知识点大一的高等数学是大多数理工科大学生不可避免的一门课程。
其中，极限与连续是数学分析中最基础、最重要的概念之一。
虽然这两个概念看似简单，但实际上却涉及到许多有趣且深奥的知识点。
到底什么是极限呢？在微积分中，我们使用极限来描述函数在某一点的局部行为。
换句话说，我们想要通过无限逼近的过程，了解一个函数在某个点附近的表现。
在数学符号中，我们用lim来表示极限，例如lim(x->a) f(x) = L，意味着当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近于L。
接下来，关于连续函数的概念也非常重要。
一个函数在一个点上连续，指的是该点的函数值与其极限相等。
也就是说，如果一个函数f在点a处有定义，并且满足lim(x->a) f(x) = f(a)，那么我们就可以说函数f在点a连续。
在学习极限与连续的过程中，我们会遇到一些经典的例题，以便更好地理解这两个概念。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过计算在x趋近于0的过程中，f(x)的取值无限接近于0，从而得到lim(x->0) f(x) = 0。
这种情况下，我们可以说f(x)在x=0处连续。
然而，并非所有函数都在每个点上连续。
有些函数在某些点上存在断点，即函数值不等于其极限。
一个典型的例子是f(x) = 1/x。
当x趋近于0时，f(x)的取值趋近于无穷大或者负无穷大，即函数f(x)在x=0处不连续。
另外，我们还需要掌握一些极限运算的性质和规律。
比如，如果存在lim(x->a) f(x) = L和lim(x->a) g(x) = M，那么根据极限的四则运算法则，我们可以得到以下结论：- lim(x->a) [f(x) + g(x)] = L + M- lim(x->a) [f(x) - g(x)] = L - M- lim(x->a) [f(x) * g(x)] = L * M- lim(x->a) [f(x) / g(x)] = L / M （假设M≠0）在计算极限的过程中，我们还会用到一些特殊的极限形式，比如0/0、无穷大/无穷大等。
高等数学-函数、极限与连续
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全高等数学是大学数学学科中的一门重要课程，也是理工科学生必须掌握的基础知识。
在学习高等数学的过程中，数学公式是必不可少的工具。
本文将为大家提供一份大学高等数学公式大全，供学生们参考使用。
一、极限与连续1.1 极限的定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$1.2 极限的四则运算：$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$1.3 极限的乘法法则：$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$1.4 极限的除法法则：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$1.5 极限的复合函数法则：$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f[\lim_{x \to a} g(x)]$$1.6 常见的极限公式：- 幂函数的极限：$$\lim_{x \to a} x^k = a^k$$- 自然对数函数的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$- 正弦函数的极限：$$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$二、导数与微分2.1 导数的定义：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$2.2 常见函数的导数：- 幂函数的导数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$- 指数函数的导数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$- 三角函数的导数：$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x), \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$2.3 导数的四则运算：- 和差规则：$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$- 积法则：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$- 商法则：$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}, g(x) \neq 0$$2.4 高阶导数：$$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x), f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x), \ldots$$三、定积分3.1 定积分的定义：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$3.2 定积分的性质：- 线性性质：$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$- 积分与常数的乘积：$$\int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx$$3.3 常见函数的定积分：- 幂函数的定积分：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$- 正弦函数的定积分：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 指数函数的定积分：$$\int e^x dx = e^x + C$$四、级数4.1 等比级数的求和：$$S = \frac{a}{1-r}, |r|<1$$4.2 幂级数的收敛半径：$$R = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4.3 常见级数：- 调和级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 几何级数：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$五、常微分方程5.1 一阶线性常微分方程：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$5.2 二阶常系数齐次线性微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$5.3 常见的解法：- 变量分离法- 齐次线性微分方程的特征方程法- 二阶线性微分方程的常数变易法以上仅为部分高等数学公式的示例，实际上高等数学的公式非常丰富多样。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1)4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限; 或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：⑵当0x x →时，)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：2． 无穷小量：0)(lim =x f称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3． 无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim 0)(lim ≠+∞=⇔=x f x f x f 4． 无穷小量的比较：0lim ,0lim ==βα⑴若0lim =αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c =αβlim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlim ββαα=㈢两面夹定理1． 数列极限存在的判定准则：设：n n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）且： a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：且：A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§1.3 连续一、主要内容㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，1o0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续。
在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f a x =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f bx =-→ 右端点左连续。
a + 0b - x 5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：1o)(x f在0x 处无定义；2o)(lim 0x f x x →不存在；3o)(x f在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在。
可去间断点：)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→，或)(x f在0x 处无定义。
2o 第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞，或)(lim 0x f x x →振荡不存在。
无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f x x =→，)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2. 复合函数的连续性：则：)]([)](lim[)]([limxfxfxfxxxxϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：㈢函数在],[ba上连续的性质1.最大值与最小值定理：) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定存在最大值与最小值。
0 ab x2.有界定理：) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定有界。
3.介值定理：) (xf在],[ba上连续⇒在),(b a内至少存在一点ξ，使得：cf=)(ξ，其中：M c m ≤≤y y C f(x)0 a ξ 0 a ξ1 ξ2 b x 推论：)(x f 在],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义， 2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+）3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，且存在。
5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导。
y )(0x f '6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ∆()00,y x M 处切线的斜率。
o x 0㈡求导法则 1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1ov u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：dxdu du dy dx dy ⋅=，或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。