04第四章 图论方法建模2

第四章 图论方法建模

20 第四章 图论方法建模

图论是离散数学的重要分支，是研究离散问题的重要手段，已经建立起来了一些重要的理论和算法，虽然这些理论还不系统、不完备，但是能解决许多的实际问题。不系统就没有太强的连贯性，这就使得学习起来较为方便，可以随意挑选适宜的内容去学习。

如果将要解决的实际问题归结为图论中的某些概念或某些算法，就可以利用图论中已有的理论，这样就可以较快的解决问题。

在国内外的大学生数学建模竞赛中，利用图论知识去建立数学模型的机会还是很多的。限于时间与篇幅，我们在本章先学习一些图论知识，愿意深入学习的可以参阅有关的资料。然后学习一个较为完整的数学建模例子。

§4.1 有关的图论知识——图、算法与矩阵

一．图的定义

例１．城市之间的运输通路问题

A 城与

B 城间有通路，为２公里，B 城与

C 城间有通路，为１公里，C 城与

D 城间有通路，为５公里，D 城与F 城间有通路，为３公里，F 城与A 城间有通路，为７公里，B 城与F 城间有通路，为６公里。问A 城到D 城的最短路程为多少？

用这么长的一段话来表述，听起来太累，想起来也不清楚。若换一种方式，用下面的图4.1来描述该问题，看起来就清楚多了。

C

图4.1

由此我们引进图的定义。 定义１：称}),(),({G G E G V G ψ=为一个图，其中φ≠)(G V 叫做顶点集合，Ｅ（Ｇ）

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叫做边集合，φ=)()(G E G V I ，而G ψ是关联函数，使Ｇ的每条边对应于Ｇ的无序顶点对。若，而，使得)(G E e ∈)(,G V v u ∈uv e G =)(ψ，则称与u 、相关联。顶点和称为的端点，此时也称和相邻。

e v u v e u v 一个图常常简记为G=（Ｖ，E ）或G （Ｖ，E ），这是因为边集E 中的任一 元素总是和某二顶点相连接的，所以V 、E 确定了，就可以了。

上述例子的图即为：Ｇ（Ｖ，Ｅ），其中Ｖ＝｛A,B,C,D,F ｝，E=｛e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6｝

，e 1=AB, e 2=BC, e 3=CD, e 4=DF, e 5=FA, e 6=BF 。

说明：①这里用图表述城市间的运输通路问题很清楚，说明对这类问题，用图来表述是恰当的，“图”是一个强有力的表述工具。

②数学里有“图论”这门学科，一个问题用图表达后，可用图论的知识、算法等来解决此问题。关于图论方面的知识可参阅有关的书籍、资料。

③若Ａ为一集合，其元素个数记为：｜Ａ｜。如上例中的顶点集合和边集的元素个数分别为：｜Ｖ｜＝５，｜Ｅ｜＝６。

例２．哥尼斯堡（königsberg ）七桥问题

1736年以前，哥尼斯堡市民热中于一有趣的游戏，在如下图4.２所示的该市桥河图中，从Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四块陆地某一处出发，通过每座桥恰好一次，再回到出发地，是否可能？

1736年，欧拉（Euler ）发表了图论的第一篇论文，证明了七桥问题无解．欧拉就是把Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四陆地抽象成为四个点，桥用连接两点的线段表示，于是就得到一个图Ｇ（Ｖ，Ｅ）。, },,,{D C B A V =},,,,,,{7654321e e e e e e e E =, 这里，e 1=AD, e 2=BD, e 3=CD, e 4=BC, e

5=BC, e 6=AB, e 7

=AB 。

定义２：图G(V , E)中顶点的度数是指顶点所连的边数。图G 的度数为图G 中各顶点度数中的最大者。记为或V v ∈)(v d v Δ)(G Δ。

说明：①七桥问题可归结为一笔画问题。

②关于一笔画问题有如下的结论：

若图中每个顶点的度数都为偶数，则可从某点画完每条边，且回到起点。

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22 若图中顶点的度数为奇数的顶点仅仅有两个，则可从此二点中的一个起始，画完每条边到达另一顶点（即不能回到起始点）。

③七桥问题的图中４个顶点的度数为奇数，由上面的结论知，不可能从出发点走完每条边恰好一次，又回到出发点。

定义３：一个图中任意两顶点之间至多有一边，则称之为简单图。

定义４：若图G(V ,E)中边有头尾之分，即E uv ∈vu uv ≠，则称之为有向图。

以后说“图”皆指无向图，要指有向图应特别说明。并且若无特别说明，我们所说的图皆指简单图。每对顶点都相邻的图称为完全图。

定理：对于简单图，有：

),(E V G ∑∈=)(||2)(G V v E v d 。

二．最短路问题及其算法

定义５：在G 中， 其中,...2110k k e v e v e v w =)(G E e i ∈，k i ≤≤1；)(G V v i ∈，；与、关联，称是从到的一条途径，也记为或。若途径中的边，，……，互不相同，称为迹。若的顶点，，…，也互不相同，则称为路。

k i ≤≤0i e 1−i v i v w 0v k v ),(0k v v w ),(0k v v 1e 2e k e w w 0v 1v k v w 上述例１中问题的一般提法为：给定连接若干城市的铁路网，寻找两个指定城市间的最短路。

这个问题用图论的语言来描述就是：已知图及每条边的权，对于任意指定的二点、，寻找路，使得

),(E V G )(e w 0v )(0G V u ∈),(00u v P )}({)),((min 00P w u v P w P Ω

∈=

其中是从到的所有路的集合，是路Ω0v 0u )(P w P 上的各边权之和。

解决这一问题可用下面的Dijkstra 算法：

(1)：令；，；0)(0=v l ∞=)(v l 0v v ≠}{00v S =；0=i ；

(2)：对每个，用i S v ∉)}()(),(min{v v w v l v l i i +代替，计算

)(v l )}({min v l i

S v ∉，并把达到这个最小值的一个顶点记为，置1+i v }{11++=i i i v S S U 。 (3)：若1−=V i ，则停止。若1−

i 说明：①当算法结束时，从到的距离（最短路的长度）由标号的终值给出。即算法求出了至其它所有顶点的最短路的长度。

0v v )(v l 0v ②Dijkstra 算法仅确定了从到所有其它顶点的距离，而并未给出实际最短路。实际最短路可以很容易确定。

0v ③若只是想计算某指定两点、的最短路（或最短距离）也较为容易求出。 0v 0u