双曲线及其标准方程(1)

双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤

导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。 学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。

双曲线的定义和双曲线的标准方程．

（ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定

义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．

双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程

的推导 类比． ）

教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7

双曲线 7 展示现实生活中的双曲线

7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习

一、 复习引入：

前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题 1：椭圆的定义是什么？

（板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭

圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。

二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？

若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的

一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉

教学方法： 启发式

福建师大附中

苏诗圣

教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义

7 例与练

1、

笔就画出了一条曲线。

请同学们观察在变化中哪些量在变化，哪些量不变。 进作图工具？ 3、对双曲线有了初步的认识，现实生活中的双曲线的实物图

(古代建

筑、现代建筑、冷却塔、北京市区交通图

)，这些古今中外与双曲

线有关的图片给人一种对称、简洁、流畅的美的享受。那么，如何 给双曲线一个科学的定义呢？

4、(请同学回答)双曲线的定义：平面内与两定点 F i 、F 2的距离的差的绝对

值是常数(大于零且小于|F I F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.

(1) 定义中“平面内”起到什么作用？

如果没有这个条件，点的轨迹将变为一个立体图形。

(2) 将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹是什么？

双曲线的一支，双曲线有两支，丢掉任意一支都是不完整的。

⑶ 将定义中的常数改为零，动点的轨迹是什么？

F I F 2的中垂线。

(4) 将定义中的 两条射线。

(5) 将定义中的 不存在。

(6) 将定义中的 分类讨论

电脑演示(用几何画板制作课件)以上6种情形，在上述基础上，引导学生再 次理解双曲线的定义。

2、双曲线标准方程的推导

现在我们可以用类似于求椭圆标准方程的方法求双曲线的标准方程， 们思考回忆椭圆标准方程的推导方法，随后引导学生自己推导。

(1) 建系设点

取过焦点F i 、F 2的直线为x 轴，线段F I F 2的垂直平分线为y 轴(如图2-24) 建立直角坐标系. 设M(x , y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是

2C (C >0),

那么F i 、F 2的坐标分别是(-C , 0)、(C , 0).又设点M 与 F i 、F 2的距离的差的绝对值等于常数

2a .

(2) 点的集合

由定义可知，双曲线就是集合

)思考如何改

F i 、F 2 “小于” 改

为“等于” ，动点的轨迹是什么?

“小于” 改

为“大于” ，动点的轨迹是什么? 动点的轨迹是什么?

|F I F 2| ” 去掉, “小于 请同学

F1

F 曾雷

P={M||MF i|-|MF 2||=2a}={M|MF i|-|MF 2|= ± 2a}.

(3) 代数方程

+ I 亚 I 卡一八汽 J (K + c)2 +5? ■ J(if +y2 = ± 2a.

(4) 化简方程

将这个方程移项，两边平方得：

(£ + + 护=4『+ (;: Y 尸 +y<

cx+a 2 2=± a J (x c)2

y 2

化简整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2).

由双曲线定义，2c >2a>0 即c >a>0,所以c 2-a 2>0. 设 c 2-a 2=b 2(b > 0)，代入上式得：b 2x 2-

a 2y 2=a 2

b 2.

2

y

E T 1(a 0,b 0) b

这就是双曲线的标准方程.(从以上推导过程中可知，曲线上的每一点的坐 标都满足方程。 若以F I F 2所在的直线为y 轴，F I F 2的中垂线为x 轴建立直角坐标系，只须将

2 2

方程中的X 、y 对调即得务 1

a 2

b 2

2 双曲线标准方程中，a >0, b > 0,但a 不一定大于b ;

2

x

~2

a

(1) 2

x

2 a

2 y b 1(a 0,b 0)表示焦点在 0)、

F 2 (c ， 0)， 这里 c 2=a 2+b 2。

2 2

⑵ y

2

x 2 1(

a

0,b 0)表示焦点在

a

b

-C )、

冃(0, c )， 这里

2 2 , 2

c =a +b 。

X 轴上的双曲线，焦点是F i (-c ,

y 轴上的双曲线，焦点是 F i (O ,

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：