曲线的直角坐标方程
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2
(3) 圆心C(0, 0), 半径为r；
(4) 圆心在极轴上, 且过极点与点D( 2 3 , ). 6
(1) 圆心C(a, ), 半径为a；
(2) 圆心C(a,
2
), 半径为a；
= 2a cos
=2a sin
= 2a sin
(3) 圆心C(0, 0), 半径为r；
解：设圆上任意一点 M(ρ, θ)． 在△OMC 中, 由余弦定理知： CM2＝OM2＋OC2－2OM· OCcos∠COM， 即：r ＝ρ
2 2 2 ＋ρ0－2ρ0ρcos(θ－θ0)．
(4) 圆心在极轴上, 且过极点与点D(2 3 , ). 6
数学应用
例2、(1)化直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程；
类比直角坐标方程, 思考如何求极坐标方程？
求曲线极坐标方程的基本步骤：
① 建立适当的极坐标系；
② 在曲线上任取一点P(, )；
③ 根据条件写出等式；
④ 用极坐标 、表示上述等式，
并化简得极坐标方程；
⑤ 检验确认.
解题关键： 建立 与 的等量关系.
数学应用
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？
2
课堂小结
本节课你学到了哪些知识？学会了哪些方法？
敬请指导
(2)求圆2-2(cos+ 3sin)-5=0的圆心极坐标与半径.
过极点O, 倾斜角为 的直线l与曲线 变式引申：
4 C: 2-2(cos+2sin)+4=0相交于点M, N, 求|MN|.
数学应用
例3、从极点O作圆C：=4cos 的弦OP, M
求OP的中点的轨迹.
P
M
如果曲线C与方程f(, )=0有如下关系：
(1)曲线C上任一点的坐标中至少有一个满足方程f(, )=0; (2)坐标适合方程f(, )=0的点都在曲线C上.
那么方程f(, )=0叫做曲线C的极坐标方程. 由于点的极坐标表示不唯一, 导致曲线的 说明： 极坐标方程也不唯一. 比如：
5 ( R) 或 ( R) 过极点O, 倾斜角为 的直线： 4 4 4
知识探究
如图, 在极坐标系中, 半径为a的圆的圆心坐标为 (a, 0)(a>0), 你能用一个等式表示圆上任意一点的 极坐标(, )满足的条件吗？
2a cos
O
M
C(a,0)
A
x
=2acos 就是圆心为(a, 0)(a>0), 半径为a的圆的
极坐标方程.
建构数学 极坐标方程的定义
选修4-4
坐标系与参数方程
1.圆的极坐标方程
复习回顾
1. 极坐标系：
y
0, R
o
M ( , )
x
M ( , ) M ( , 2k )
2. 极坐标与直角坐标的互化：
x cos y sin
x y y tan ( x 0) x பைடு நூலகம்
课堂检测：
1、按下列条件写出圆的极坐标方程： (1)以A(3, 0)为圆心，且过极点的圆； =6cos
(2)以B(4， )为圆心，且过极点的圆； 8sin 2 (3)以极点O与点C (4, 0)连接的线段为直径的圆；
4cos
2、极坐标方程分别是＝2 cos 和＝2 sin 的两个圆 的圆心距是多少？
M
解：以圆心O为极点, 从O出发的一条 射线为极轴建立坐标系(如图), 圆上各点 的几何特征是它们的极径都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点, 则 OM r , 即＝r , 故圆心与极点重合时更简单.
O r
x
变式练习: 求下列圆的极坐标方程. (1) 圆心C(a, ), 半径为a； (2) 圆心C(a, ), 半径为a；
C(2, 0) A x
O
变式拓展: 点P是圆C：=4cos 位于极轴上方任意一点, 延长OP至点M, 使得PM=PA, 当P变化时, 求动点M轨迹 的长度.
解题感悟：
1. 当条件中的几何特征是用距离和角度表示时，
选择极坐标方程往往更方便. 2. 求极坐标系下的轨迹方程的方法：直接法、
定义法、代入法等． 3. 处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： (1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理； (2)根据、 的几何意义进行旋转或伸缩变换．
2 2 2
3. 曲线的直角坐标方程：
在平面直角坐标系中, 可以用方程 f(x, y)=0表示曲线, 曲线与方程满足如下关系： (1) 曲线C上点的坐标都是方程f(x, y)=0的解； (2) 以方程f(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
思考：
在极坐标系中, 能否用方程f(, )=0来表示曲线呢？
(3) 圆心C(0, 0), 半径为r；
(4) 圆心在极轴上, 且过极点与点D( 2 3 , ). 6
(1) 圆心C(a, ), 半径为a；
(2) 圆心C(a,
2
), 半径为a；
= 2a cos
=2a sin
= 2a sin
(3) 圆心C(0, 0), 半径为r；
解：设圆上任意一点 M(ρ, θ)． 在△OMC 中, 由余弦定理知： CM2＝OM2＋OC2－2OM· OCcos∠COM， 即：r ＝ρ
2 2 2 ＋ρ0－2ρ0ρcos(θ－θ0)．
(4) 圆心在极轴上, 且过极点与点D(2 3 , ). 6
数学应用
例2、(1)化直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程；
类比直角坐标方程, 思考如何求极坐标方程？
求曲线极坐标方程的基本步骤：
① 建立适当的极坐标系；
② 在曲线上任取一点P(, )；
③ 根据条件写出等式；
④ 用极坐标 、表示上述等式，
并化简得极坐标方程；
⑤ 检验确认.
解题关键： 建立 与 的等量关系.
数学应用
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？
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课堂小结
本节课你学到了哪些知识？学会了哪些方法？
敬请指导
(2)求圆2-2(cos+ 3sin)-5=0的圆心极坐标与半径.
过极点O, 倾斜角为 的直线l与曲线 变式引申：
4 C: 2-2(cos+2sin)+4=0相交于点M, N, 求|MN|.
数学应用
例3、从极点O作圆C：=4cos 的弦OP, M
求OP的中点的轨迹.
P
M
如果曲线C与方程f(, )=0有如下关系：
(1)曲线C上任一点的坐标中至少有一个满足方程f(, )=0; (2)坐标适合方程f(, )=0的点都在曲线C上.
那么方程f(, )=0叫做曲线C的极坐标方程. 由于点的极坐标表示不唯一, 导致曲线的 说明： 极坐标方程也不唯一. 比如：
5 ( R) 或 ( R) 过极点O, 倾斜角为 的直线： 4 4 4
知识探究
如图, 在极坐标系中, 半径为a的圆的圆心坐标为 (a, 0)(a>0), 你能用一个等式表示圆上任意一点的 极坐标(, )满足的条件吗？
2a cos
O
M
C(a,0)
A
x
=2acos 就是圆心为(a, 0)(a>0), 半径为a的圆的
极坐标方程.
建构数学 极坐标方程的定义
选修4-4
坐标系与参数方程
1.圆的极坐标方程
复习回顾
1. 极坐标系：
y
0, R
o
M ( , )
x
M ( , ) M ( , 2k )
2. 极坐标与直角坐标的互化：
x cos y sin
x y y tan ( x 0) x பைடு நூலகம்
课堂检测：
1、按下列条件写出圆的极坐标方程： (1)以A(3, 0)为圆心，且过极点的圆； =6cos
(2)以B(4， )为圆心，且过极点的圆； 8sin 2 (3)以极点O与点C (4, 0)连接的线段为直径的圆；
4cos
2、极坐标方程分别是＝2 cos 和＝2 sin 的两个圆 的圆心距是多少？
M
解：以圆心O为极点, 从O出发的一条 射线为极轴建立坐标系(如图), 圆上各点 的几何特征是它们的极径都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点, 则 OM r , 即＝r , 故圆心与极点重合时更简单.
O r
x
变式练习: 求下列圆的极坐标方程. (1) 圆心C(a, ), 半径为a； (2) 圆心C(a, ), 半径为a；
C(2, 0) A x
O
变式拓展: 点P是圆C：=4cos 位于极轴上方任意一点, 延长OP至点M, 使得PM=PA, 当P变化时, 求动点M轨迹 的长度.
解题感悟：
1. 当条件中的几何特征是用距离和角度表示时，
选择极坐标方程往往更方便. 2. 求极坐标系下的轨迹方程的方法：直接法、
定义法、代入法等． 3. 处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： (1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理； (2)根据、 的几何意义进行旋转或伸缩变换．
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3. 曲线的直角坐标方程：
在平面直角坐标系中, 可以用方程 f(x, y)=0表示曲线, 曲线与方程满足如下关系： (1) 曲线C上点的坐标都是方程f(x, y)=0的解； (2) 以方程f(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
思考：
在极坐标系中, 能否用方程f(, )=0来表示曲线呢？