勾股定理易错点剖析

勾股定理及其逆定理的探究

忽视运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状

例在Ｂ港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６０°方向以每小时８海里的速度前进，乙船沿南偏东某角度以每小时１５海里的速度前进．２小时后，甲船到达Ｍ岛，乙船到达Ｐ岛，两岛相距３４海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

错解：甲船航行的距离为BM＝８×２＝１６（海里），乙船航行的距离为BP＝１５×２＝３０（海里）．

∵2

230

16 ＝３４（海里），且MP＝３４（海里），

∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP＝９０°，

∴乙船是沿着南偏东３０°的方向航行的．

错解分析：本题最终判断的结果虽然也是正确的，但是在解题的过程中忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误．本题考查的重点是对三角形形状的判定，应该先应用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状，再求出乙船的航行方向．

正解：甲船航行的距离为BM＝８×２＝１６（海里），乙船航行的距离为BP＝１５×２＝３０（海里）．

∵１６２＋３０２＝１１５６，３４２＝１１５６，

∴BM２＋BP２＝MP２，∴△MBP为直角三角形，且∠MBP＝９０°，

∴乙船是沿着南偏东３０°的方向航行的．

点拨：已知三角形为直角三角形求其边的关系时，应用直角三角形的勾股定理；知道三角形的三边关系判定三角形是否为直角三角形时，应用勾股定理的逆定理.在解题时要分清这两个定理的使用方法．通过本例告诉我们，

掌握勾股定理的逆定理要注意以下两点：一是勾股定理的逆定理是利用三角形三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理；二是只要一个三角形的三边满足两较小边的平方和等于第三边的平方，就可以判定这个三角形是直角三角形，反之，这个三角形就不是直角三角形．