上海市高考模拟考试数学试卷8

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上海市长宁区2008年高考模拟考试数学理科试卷

上海市长宁区2008年高考模拟考试数学理科试卷一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题4分. 1、复数3)1(i -的虚部为.________2、已知向量),2(m a =→和)2,4(-=→n b ，并且→→b a ||，则=mn ______. 3、已知复数i z 21-=，其中i 是虚数单位，则适合不等式2≤+ai z 的实数a 的取值范围 .4、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ，则公差为.___________5、已知直线b a ,及平面α，下列命题中: ①αα//a b b a ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②αα⊥⇒⎩⎨⎧⊥a b ba //； ③αα//////ab b a ⇒⎩⎨⎧；④αα⊥⇒⎩⎨⎧⊥a b ba //．正确命题的序号为__________（注：把你认为正确的序号都填上）.6、关于x 的方程0s i n s i n 22=+-p x x 在],0[π∈x 有解，则实数p 的取值范围是 .7、已知集合{}N n n n A ∈<<=,100|，从A 中任取3个不同元素分别作为圆方程222)()(r b y a x =-+-中的r b a ,,。

则使圆心与原点的连线恰好垂直于直线013:=++y x l 的概率为________.8、已知P 为抛物线x y 42=上一点，设P 到准线的距离为1d ，P 到点)4,1(A 的距离为2d ，则21d d +的最小值为________. 9、设常数42)1(,0xax a +>展开式中3x 的系数为23，则.________)(lim 2=+++∞→n n a a a 10、函数1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0,>n m ，则nm 21+的最小值为._________ 11、三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”. 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”. 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12、给出如下三个命题：（1）四个非零实数d c b a ,,,依次成等比数列的充要条件是bc ad =；（2）设,,R b a ∈且0≠ab ，若1<ba ，则1>a b；（3）若x x f 2log )(=，则|)(|x f 是偶函数。

上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（）A B C ．2 D ．33．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 5．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的()条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．若直线不平行于平面，且，则（）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．2D ．411．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

上海市宝山区2008年高考模拟考试数学理科试卷

上海市宝山区2008年高考模拟考试数学理科试卷一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 圆03422=+++x y x 的面积是_______________。

2. 方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________。

3. 若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z=__________。

4. 在ABC △中，已知222sin sin sin sin A C B C B =+，则角A 的值为___________。

5. 若复数数列{}n z 的通项公式是11()34n n z i =+（i 是虚数单位），则|)||||(|lim 21n n z z z +++∞→ =__________.6.如图，在ABC △中，4AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=____．7. 由100)2(+x 展开所得的多项式中，系数为有理数的项共有__________项。

8. 在极坐标系中，点（m,6π）（m>0）到直线)6cos(πθρ-=3的距离为2，则m=________。

9. 2008年北京奥运会，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加体操比赛, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 .10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)，则a 的取值范围是__________。

11．现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5的两个三角形纸板，用这四个三角形围成一个四面体，则这个四面体的体积是_______________。

16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1203．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（） A ．B ．C ．1D ．24．已知圆锥的高为33体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2595．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（） A ．37B ．217C ．2112D ．57198．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（）A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 9．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（） A ．19B ．20C ．21D ．2210．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz +=（） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．12．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（） A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市华东师范大学二附中2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

上海市华东师范大学二附中2025届高三第二次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-2．已知函数2()sin 3sincos444f x x x x πππ=-，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20203．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（） A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π125．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（）A ．45 B ．35 C ．25 D ．156．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π8．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =± B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±9．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<10．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞11．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+，则y x -的值为（）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-12．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为213； ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=4．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭5．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（） A ．51-B ．2C ．3D ．58．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56B ．72C ．88D ．4010．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．7811．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -12．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市南汇区2008年高考模拟考试数学理科试卷

上海市南汇区2008年高考模拟考试数学理科试卷数学试卷（时间120分钟满分150分）一、填空题（4×12=48分）1．不等式0112<+-x x 的解集是2．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是3．1132lim____23n n n nx --→∞-=-4．已知iz +=11，则z =5．函数(1)f x +是偶函数, 且1x <时, 2()1f x x =+, 则1x >时, ()f x =6．已知等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则22212n a a a ++= =7．把10本书随意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率 8．(理) 极坐标平面内，曲线θρcos 2=上的动点P 与定点Q ⎪⎭⎫⎝⎛2,1π的最近距离= (文) 已知集合2{,0},{|250,}M a N x x x x Z ==-<∈，若M N ≠∅ ，则a ＝9．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝ 10．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层、第2层、第3层、…….则第2008层正方体的个数是11．(理) 已知16,)1(2102210=++++++++=+n nn n a a a a x a x a x a a x 若，则自然数n =（文）已知x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥--,012,01,01y x y x y x 则202z y x =-+的最大值=1２．若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的取值范围为二、选择题（4×4=16分）13．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形14．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是( )(A) k>2 (B) -3<k<2 (C) k<-3或k>2 (D) ,32,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．已知函数()f x ，并定义数列{}n a 如下：1(0,1)a ∈、*1()()n n a f a n N +=∈。

上海市青浦区2008年高考模拟考试数学理科试卷

上海市青浦区2008年高考模拟考试数学理科试卷2008.4．16★考生注意：1、试卷中使用向量的符号(){} a x,ya x,y == 与表示意义相同．2、本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟．可使用符合规定的计算器答题．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.１. 不等式01>-x的解为． 2. 若2,121=⋅+=z z i z １，则2z ＝．3. 若集合A ＝}032{2≤--x x x ，B ＝}{a x x >，且φ=⋂B A ，则实数a 的取值范围是． 4. 方程03241＝--+x x的解是．5. 若函数()2x f x x =+的反函数是y f x =-1()，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-211f ． 6. 若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相切，则实数ab 的取值范围是． 7. 在ABC ∆中，若6,3,60===∠AB AC B ，则=∠A ．8. 过抛物线241x y =焦点F 的直线交该抛物线于B A 、两点，则线段AB 中点的轨迹方程为．9. 无穷等比数列}{n a 的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：1m的分数，m 为正整数），若该数列的各项和为3，则=+21a a ．10. 某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加的概率为54，则该学习小组中的女生有名．11．若曲线的参数方程为θθθθ()sin 1(21|2sin 2cos |⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x 为参数，πθ≤≤0），则该曲线的普通方程为．12. 若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则)(+⋅的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 设函数)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以3为周期的奇函数，2log )2(,1)1(a f f =>（10≠>a a ，且），则实数a 的取值范围是（） (A)1>a (B)121<<a 或1>a (C) 121<<a (D) 10<<a 14. 以n n S , T 分别表示等差数列{}{}n n a , b 的前n 项和，若3n n S 7nT n =+，则55a b 的值为（）(A) 7 (B)421 (C) 837 (D) 3215. 在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-＝关于（）(A)直线3πθ=轴对称 (B)点），（32π中心对称(C)直线65πθ=轴对称（D ）极点中心对称16. 在直三棱柱111-C B A ABC 中，2π＝BAC ∠；1AA AC AB ＝＝＝1．已知E G 与分别为11B A 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若EF GD ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（） (A)），155[ （B ）)2151[，（C ）），21( （D ）），2251(三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，（如图）E 是棱11D C 的中点，F 是侧面D D AA 11的中心．（1）求三棱锥EF D A 11-的体积；（2）求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示） 18. （本题满分12分）已知复数θθsin cos 21⋅+=i z ，)cos 3(12θ⋅-=i z ，其中i 是虚数单位，R ∈θ．（1）当33cos =θ时，求21z z ⋅； (2) 当θ为何值时，21z z =．ABC D A 1B 1C 1F ED 119. （本题满分14分）设函数)(x F ＝⎩⎨⎧<≥)()()()()()(x g x f x g x g x f x f ，，，其中)7(log )()1(log )(222+=+=x x g x x f ，．（1）在实数集R 上用分段函数形式写出函数)(x F 的解析式；（2）求函数)(x F 的最小值．20. （本题满分14分）建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为36平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底．．．．．线段．．BC 与．两腰长的和．．．．．）要最小．（１）求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少米？（２）如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内，外周长最小为多少米？21. （本题满分16分）已知向量)(21a x , -x=+，(1b =（n 为正整数），函数b a x f ⋅=)(，设)(x f 在(０，)∞+上取最小值时的自变量x 取值为n a ．（１）求数列}{n a 的通项公式；（２）已知数列}{n b ，对任意正整数n ，都有1)54(2=⋅－n n a b 成立，设n S 为数列}{n b 的前n 项和，求n n S ∞→lim ；（３）在点列、、、、、),(),3(),2(),1(332211n n a n A a A a A a A 中是否存在两点i j A , A (i , j 为正整数)使直线j i A A 的斜率为１？若存在，则求出所有的数对),(j i ；若不存在，请你写出理由．22. （本题满分18分）在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线1C 的方程0),(=y x F 中，以),(y x λλλ(为非零的正实数）代替),(y x 得到曲线2C 的方程0),(=y x F λλ，则称曲线21C C 、关于原点“伸缩”，变换),(),(y x y x λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．（1）已知曲线1C 的方程为14922=-y x ，伸缩比2=λ，求1C 关于原点“伸缩变换”后所得曲线2C 的方程；（2）射线l 的方程)0(22≥=x x y ，如果椭圆：1C 141622=+y x 经“伸缩变换”后得到椭圆2C ，若射线l 与椭圆21C C 、分别交于两点B A 、，且2=AB ，求椭圆2C 的方程；（3）对抛物线x p y C 1212=：，作变换),(),(11y x y x λλ→，得抛物线x p y C 2222=：；对2C 作变换),(),(22y x y x λλ→得抛物线x p y C 3232=：，如此进行下去，对抛物线x p y C n n 22=：作变换),(),(y x y x n n λλ→,得抛物线x p y C n n 1212++=：，．若n n p )21(,11==λ，求数列{}n p 的通项公式n p ．上海市青浦区2007—2008学年第二学期质量监控高三数学（理科）试卷一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1．10<<x ； 2. i ＋1； 3. }3≥a a ｛； 4. 3log 2=x ；5. 2；6. ]2121[，-； 7. 75； 8. 理1212+=x y ；文1arccos 4（等）； 9.38； 10.文理3； 11.理)12121(22≤≤≤≤=y x y x ，, 文 -2.； 12.[-2，41]．二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17.解：（1）3111311111=⋅⋅==--F D A E EF D A V V ．（体积公式正确3分）------------（6分）（2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，-------------------（8分）在GEF Rt ∆中22tan =∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是22arctan． -------------------------------------------------------（12分）（建坐标系解答参照本标准给分）．18.解：（1）33cos =θ, 则32sin ,31cos 22==θθ，------------------------------------(2分)2cos 31sin cos 4cos 31sin cos 22222121=++=-+==θθθθθθi i z z z z ． -----------------------------------（6分）(2) z 1＝z 2，由两复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧==θθθcos 3sin 12cos －，----------------------- （8分）∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈±=zk k z k k ,3,32ππθππθ－＝得z k k ∈=，－32ππθ．-----------------------------------------（12分）（另解：⎩⎨⎧==θθθcos 3sin 12cos －得2sin θ=- z k k ∈=，－32ππθ）19.解：解：（1）)(x F ＝⎪⎩⎪⎨⎧+<+++≥++)7(log )1(log )7(log )7(log )1(log )1(log 222222222x x x x x x ，，，---------------（1分）令)7(log )1(log 222+≥+x x ，得062≥--x x ，--------------------------（3分）解得：3-≤x 或3≥x ，（5分）=∴)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧<<-+-≤≥+33),7(log 33),1(log 222x x x x x 或．-------（8分）(写出：⎪⎩⎪⎨⎧+<+++≥++=71),7(log 71),1(log )(22222x x x x x x x F -------------------------------- （4分)）（2）当33-≤≥x x 或时，)1(log )(22+=x x F ，设1012≥+=x u ，u y 2log =在),10[+∞上递增，所以10log )(2min =x F -----------------------------------------------------------------（10分）（说明：换元及单调性省略不扣分）同理，当7log )(332min =<<-x F x ，；----------------------------------（12分）又10log 7log 22<7log )(2min =∈∴x F R x 时，．---------------------------（14分）另解：因为)(x F 是偶函数，所以只需要考虑0≥x 的情形，-------------------------------（9分）当7log )(0),7(log )(302min 22==+=<≤x F x x x F x 时，当，；---------------（11分）当3≥x 时，)1(log )(22+=x x F ，当3=x 时，10log )(2min =x F ；-------------（12分）7log )(2min =∈∴x F R x 时，．------------------------------------------（14分）20.解理科评分标准：解（1）h BC AD )(2136+=， ----------------------------------------------------------（1分）AD ＝BC+2×hcot60=BC+h 332，-------------------------------------------------------------（2分） h h BC )3322(2136+=，h h BC 3336-=．-------------------------------------------（3分）设外周长为l ，则h h h BC AB l 333660sin 22-+=+=，------------------------------（4分） 26363≥+=hh ；------------------------------------------------------------------------------（6分）当hh 363=，即6=h 时等号成立．外周长的最小值为26米，此时渠高h 为6米．---------------------------------------------（8分）(2) 外周长为l =),6(3363hh h h +=+设32321≤<≤h h ，则=--+112266h h h h 0)61)((2112>--h h h h ,l 是h 的增函数，------------------------------------------------------（12分）3533633min =+⨯=∴l (米)．-------------------------------------------------------------（14分）20文科评分标准：解：AD ＝BC+2×hcot60=BC+h 332，------------------------------------------------------（2分） )(2136BC AD +=h h BC h )3322(21+=，---------------------------------------------（3分） h h BC 3336-=．----------------------------------------------------------------------------------（4分）设外周长为l ，则h h h BC AB l 333660sin 22-+=+=，-----------------------------（7分） 26363≥+=hh ；----------------------------------------------------------------------------（10分）当hh 363=，即6=h 时等号成立．----------------------------------------------------（12分）外周长的最小值为26米，此时渠高h 为6米．-----------------------------------------（14分） 21.解：(1)=)(x f 112)12,1(),1(2222++-=+⋅-+=⋅x n x n x x b a-----------（２分）抛物线的顶点横坐标为012>+=n x ，开口向上，在(０，)∞+上当12+=n x 时函数取得最小值，所以12+=n a n ； --------------------------------------------------------------（4分）理科评分标准：（2）]121121[21)12)(12(11415)1(4122+--=-+=-=-+=n n n n n n b n ．---（6分）)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n S n ，--------------------------------（8分）)1211(21lim lim +-=∞→∞→n S n n n 21=； ---------------------------------------------------（10分）（3）任取),(j i N j i A A j i ≠∈*、、，设j i A A 所在直线的斜率为ij k ，则=+++--=-+-+=--=）11)((11222222j i j i j i j i j i j i a a k ji ij 11122<++++j i j i ．-----------------------------------------------------------（16分）（另解：对于),(n n a n A ，设⎪⎩⎪⎨⎧+==12n y nx ，则)2,1(122≥≥=-y x x y ，一条渐近线方程为x y =，显然满足条件的点列中任两点连线不与直线平行＝x y ，故斜率不为1.）文科评分标准：（２）,1211)1(22221+=--++=-=+n n n a a b n n n ------------------------------（6分）则,3]2)1([22n n n n n S n +=++= ---------------------------------------（8分） 22)1(3lim lim 22=++=∞→∞→n n n n C S n n n n ． ------------------------------------------（10分）（3）2)20082010)(20082010(21008201020082010222200822010-+=-=--=a a k ＝4018． ----------------------------------------------（16分）22.解（1）由条件得14)2(9)2(22=-y x ，得2C ：14922=-y x ；----------------（4分）（2）理科评分标准：关于原点、12C C “伸缩变换”，对1C 作变换)0)(,(),(>→λλλy x y x ，得到2C 14162222=+y x λλ， ----------------------------------------（5分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≥=1416)0(2222y x x x y 得点A 的坐标为)362,334(；-------------------（7分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≥=1416)0(222222y x x x y λλ得点B 的坐标为)362,334(λλ；-------------------（8分） 22)362362()334334(-+-=λλAB ＝λλ122-＝2，---------------（10分）化简后得04832=+-λλ，解得32221==λλ，，--------------------------(11分) 因此椭圆2C 的方程为1422=+y x 或193622=+y x ．-------------------------（12分）（漏写一个方程扣1分）文科评分标准：x y 22=，由伸缩变换得x y λλ2)(2=，则x y λ122=，令=λ116,则161＝λ．------------------------------（10分）（3）理科评分标准：对n C ：x p y n 22=作变换),(),(y x y x n n λλ→得抛物线1+n C ：，x p y n n n λλ2)(2=得x p y n nλ22=，又n nn n p p x p y λ=∴=++112,2 ，即n nn n p p 211==+λ， ---------------------（14分） ⋅12p p ⋅23p p ⋅⋅ 34p p ⋅-21n n p p －1-n n p p ＝1322222-⋅⋅⋅⋅n , 则)1()1(32112122--++++==n n n n p p ， --------------------------------------（16分）（另解：1)1(21112)2()1(111222,2p p p p p p n n n n n n n n n n -+++-+---+===== ） 11=p ，)1(212-=∴n n n p ． -------------------------------------------（18分）文科评分标准：关于原点、12C C “伸缩变换”，对1C 作变换)0)(,(),(>→λλλy x y x ，得到2C 14162222=+y x λλ， --------------------------------------------（12分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≥=1416)0(2222y x x x y 得点A 的坐标为)362,334(--------------------（14分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≥=1416)0(222222y x x x y λλ得点B 的坐标为)362,334(λλ ------------------（15分） 22)362362()334334(-+-=λλAB ＝λλ122-＝2，---------------（17分）化简后得04832=+-λλ，解得32221==λλ，，因此椭圆2C 的方程为1422=+y x 或193622=+y x ．-------------------------（18分）（漏写一个方程扣1分）。

上海市(新版)2024高考数学统编版模拟(提分卷)完整试卷

上海市（新版）2024高考数学统编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．－3B．C．3D．第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线，垂足为，若，则的值为( ) .A．B．C．D．第(5)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(6)题在半径为R的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取得最大值时，圆柱的高为（）A．R B．C．D．第(7)题（）A．B．C．1D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（）A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3B．样本中消费支出不少于40元的人数为132C．n的值为200D．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间第(2)题已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．当时，直线的斜率为B．C．的面积不小于的面积D．第(3)题已知，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．ab的最大值为D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.第(2)题已知双曲线，则点到的渐近线的距离为_______.第(3)题三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题抛物线：在第一象限上一点，过作抛物线的切线交轴于点，过作的垂线交抛物线于，（在第四象限）两点，交于点．（1）求证：过定点；（2）若，求的最小值．第(2)题如图，椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于，，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，直线与轴交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求点的横坐标的取值范围.第(3)题已知椭圆C：的右焦点为F，过F作不平行于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AM垂直x轴于点M，BN垂直x轴于点N，直线AN与BM相交于点P.(1)当直线l的斜率为1时，求；(2)求证：动点P的横坐标为定值.第(4)题已知数列满足，．(1)已知，①若，求；②若关于m的不等式的解集为M，集合M中的最小元素为8，求的取值范围；(2)若，是否存在正整数，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．第(5)题在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上.过作平行于轴的直线，与交于点，再过点作平行于轴的直线，与交于点.(1)若，请直接写出的值；(2)若，求证：是等比数列；(3)若，求证：.。

上海市长宁区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析

上海市长宁区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10C ．10D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据b r 在a r 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-rr ，可得min 2b =r ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入minbr即可求得min3a b -r r.【详解】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r rr 0b >r Q cos ,0a b∴<><r r又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min 2b ∴=r2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin3946410a b∴-=⨯+=r r本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b r的最小值.2．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D 【解析】【分析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ，本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】计算313cossin 3322πππ=+=+i ei i ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故313cossin 3322πππ=+=+i e i i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.4．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确；对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确；对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D 【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.5．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A．2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B．33⎛⎛- ⎝⎭⎝UC．⎝ D．⎛ ⎝⎭⎝U 【答案】D 【解析】【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得2k >或2k <-，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx xk x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k 的取值范围为k ⎛∈ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．6．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26【答案】D 【解析】【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.7．已知向量(,1),(3,2)a mb m ==-r r，则3m =是//a b r r的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】【分析】向量1a m =r （，），32b m =-r （，），//a b r r，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r， //a b r r，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.8．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 9．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】依题意()()()()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限.故选A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 10．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数，而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-，故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题11．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A ．5 B ．3C ．32D ．2【答案】D 【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 12．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i + B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C 【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市三林中学2024届高三5月毕业班模拟考试数学试题

上海市三林中学2024届高三5月毕业班模拟考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．153．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（）A ．6B ．8C ．10D ．124．已知x 与y 之间的一组数据：x1 2 3 4 ym3.24.87.5若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.55．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π6．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（） A ．24B ．36C ．48D ．647．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.1478．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（）A ．34B ．33C ．32D ．39．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．5B ．3C ．2D ．210．下列命题是真命题的是（）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.11．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π12．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理A卷

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A. (7,4)-- B.(7,4) C.(1,4)- D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.2.【黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-，()1,7MB =，则12AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=-()()()1111,732,41,222=+-==，故选B.3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=()5,7，故选A. 4.【重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量，，∴，又∴∴点的坐标为故选：C.5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB =　，23CD CA CB λ=+，则λ=（） A ．13- B.13C.231-D.2 【答案】B【解析】由已知得，13AD AB =，故13CD CA AD CA AB =+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=．6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C.【解析】∵a 与b 共线，∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故22|2|435a b -=+=,故应选D.8.【襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为ABC ∆的重心（三边中线的交点）．设,GB a GC b ==，则12AB 等于（） A.3122a b - B. 12a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，∵点G 为ABC ∆的重心，∴0GA GB GC GA a b ++=++=， ∴GA a b =--， ∴()()11112222AB GB GA a a b a b ⎡⎤=-=++=+⎣⎦.选B.9.已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==，且//a b ，则tan θ=（）A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A. 10.向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．2-D ．22-【答案】A11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（）A.1142+a b B.1124+a b C.2133+a b D. 1233+a b 【答案】C 【解析】,AC a BD b ==，11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+ 因为E 是OD 的中点,||1||3DE EB ∴=,所以，13DF AB = ()1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166AC BD -=1166a b - ，11112266AF AD DF a b a b =+=++-＝2133a b +,故选C.12. ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG x AE y AF =+，则x y +等于（）A.32B.43C.1D.23【答案】B ．第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市六校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

上海市六校2025届高考仿真模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．222．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．24．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（）A ．4B ．25C ．2D ．235．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（）A ．73B ．14C ．203D ．76．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（） A ．13B ．14C ．15D ．167．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了9．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（） A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④11．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[2]-， C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣12．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市市辖区2024年数学(高考)统编版测试(巩固卷)模拟试卷

上海市市辖区2024年数学（高考）统编版测试(巩固卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题甲､乙两人组队去参加乒乓球比赛，每轮比赛甲､乙各比赛一场，已知每轮比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，在每轮比赛中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲､乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为（）A．B．C．D．第(2)题在九位数123456789中，任意交换两个数字的位置，则交换后任意两个偶数不相邻的概率为（）A．B．C．D．第(3)题在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（）A．B．C．D．第(4)题直线截圆所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．第(5)题不等式的解集是A．B．C．D．第(6)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(7)题已知，，，则a，b，c的大小关系是（）．A．B．C．D．第(8)题已知向量，，且，则（）A．3B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（）A．直线过定点B．当时，线段长的最小值为C．半径的取值范围是D．当时，有最小值为第(2)题已知函数，若，其中，则（）A．B．C．D．第(3)题已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（）A．d的最大值是6B．C．一定是奇数D．137一定是数列中的项三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知，分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于A，C两点，直线与圆相交于B，D两点，若四边形的面积为，则的离心率为________.第(2)题设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为___________.第(3)题在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，|OB| = 3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若函数的图象（图中未画出）与△OAB的边界至少有2个交点，则实数k的取值范围是_______________．四、解答题（本题包含5小题，共77分。

上海市市辖区2024年数学(高考)统编版真题(巩固卷)模拟试卷

上海市市辖区2024年数学（高考）统编版真题(巩固卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知，，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（）A．B．C．D．第(3)题设是和的等比中项，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4第(4)题已知椭圆()，，分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若、A、、B四点共圆，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(5)题已知三维数组，，且，则实数（）A．-2B．-9C．D．2第(6)题已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（）A．4B．6C．8D．10第(7)题已知函数那么不等式的解集是（）.A．B．C．D．第(8)题已知向量，，且，则（）A．3B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知直线（不同时为0），圆，则（）A．当时，直线与圆相切B．当时，直线与圆不可能相交C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足第(2)题著名的伯努利（Bemoulli）不等式为：，其中实数同号，且均大于－1．特别地，当，且时，有．已知伯努利不等式还可以推广为：设x，，若，且，则．设a，b为实数，则下列结论正确的为（）A．任意，且任意，都有B．任意，存在，使得C．任意，且任意，都有D．任意，存在，且，使得第(3)题分别是正方体的棱的中点，则（）A．平面B．C．直线与直线相交D．与平面所成的角大小是三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知，则______．第(2)题若“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，则a的取值范围是______．第(3)题已知双曲线的方程为，点、分别在的左支和右支上，则直线斜率的取值范围是_______．四、解答题（本题包含5小题，共77分。