狄利克雷和黎曼函数的可积性的证明与推广Dirichlet and Riemann
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n ∑ i=1 n ∑ i=1
Mi △xi mi △xi
¯=S 已知对于 f 在闭区间 Riemann 可积 ⇐⇒ S 可以很显然的看出对于 Dirichlet 函数, 任一下和均为 0, 任一上和均为 1, 故其在 [0, 1] 不 可积. • 一元 Riemann 函数
1 , p R(x) = 1, 0,
Dirichlet 函数和 Riemann 函数的可积性
• 一元 Dirichlet 函数 D(x) =
1, 0,
x∈Q x∈R\Q
x ∈ [0, 1]
对于 [0, 1] 中的任一分割 π : 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 在 π 的第 i 个子区间 [xi−1 , xi ] 上 D(x) 的上下确界分别记为 Mi , mi , 令 ωi = Mi − mi 称 为 D(x) 在 [xi−1 , xi ] 上的振幅 定义： ¯(D, π) = Darboux 上和：S Darboux 下和：S (D, π) =
1.R(x, y ) 在 [0, 1]2 上可积. 由一元 Riemann 函数的讨论可知，对 ∀ε > 0, 要使 R(x, y ) ⩾ ε, 即 的点只能有有限个，除去这有限个点, R(x, y ) < ε. 令 ε → 0 有 k k ∑ ∑ 0⩽ R(xi , yi )σ (Ii ) ⩽ ε ⇐⇒ lim R(ξ)σ (Ii ) = 0.
¯ I I 1 0
2.
dx
1 0
D(x, y )dy 存在. p , 则只有 m
对于任一固定的 y , 若 y 为无理数, 则 D(x, y ) = 0, 若 y 为有理数，不妨设为 x= 1 2 m−1 , ,··· , 这有限个值时，D(x, y ) = 1, 其余均为 0, 即 m m m
1 0
i=1 2.R(x, p q) ∥π ∥→0 i=1
1 1 + ⩾ ε, 满足条件 m q
对 x ∈ [0, 1] 上不可积. 1 1 + , x为有理数时 p m q R(x, ) = q 0 x为无理数时 1 , 所以在 [0, 1] 不可积. q
按定义
该函数在 [0, 1] 的任何子区间的振幅大于 3. 同理可证 R( n , y ) 对 y ∈ [0, 1] 不可积. m
1⩽j ⩽m+1
于是
2∑ m+1 k=1
ωk △rk =
m ∑ i=1
ωi △Ii +
m +1 ∑ j =1
ωj △Tj <
ε ε + =ε 2 2
由 Riemann 可积的定义知 Riemann 函数在 [0, 1] 可积.
• 二元 Dirichlet 函数 如果 x, y ∈ R 为有理数，则 R2 中的点 (x, y ) 称为二维有理点. 定义 Dirichlet 函数 1, 若p是[0, 1]2 中的有理点; D(x) = 0, 若p不是[0, 1]2 中的有理点. 1. 容易看出对 R2 中的任何矩形 I , 有 ¯ Ddσ = 0, dσ = σ (I ) > 0, 故 D 在 I 上不可积.
ε 1 , min |xi − xj |}. 2m 2 1⩽i<j ⩽m δ δ δ δ 令 Ii = [xi − , xi + ], 2 ⩽ i ⩽ m − 1, I1 = [0, x1 + ], Im = [xm − , 1] 2 2 2 2 ∪ 记 为 A 类, 其特点是每个小区间上的振幅 ωi ⩽ 1.
D(x, y )dx = 0
对任意 y ∈ [0, 1] 成立, 于是
1 0
dy
1 0
D(x, y )dx = 0
3. 同理
1 0
dy百度文库
1 0
D(x, y )dx = 0.
• 二元 Riemann 函数 对 (x, y ) ∈ [0, 1]2 , 定义 1 n p 1 + , x = ,y = m q m q R(x) = 0, 其他点
x=
q (p ∈ N∗ , q ∈ Z \ {0}, p, q 互质) p x ∈ [0, 1]
x = 0, x为无理数.
对于任意给定的 ε > 0, 在 [0, 1] 上的有理数 x = x1 , x2 , · · · , xm , 取 δ = min{
1 ε p 中, 满足 ⩾ 的只有有限个, 记为 q q 2
1⩽i⩽m
记 此时
∪
Tj = [0, 1] \ Ii 与 ∪
∪
1⩽i⩽m
Ii , 1 ⩽ j ⩽ m + 1 为 B 类, 易知 ωj <
1⩽j ⩽m+1
∪
ε . 2
Tj 形成 [0, 1] 的一个分割 π, 不妨记为 π : 0 = r0 < r1 < · · · < r2m+1 = 1
1⩽i⩽m
总结：可以看出，一元 Dirichlet 函数不可积，与之类似的是广义二元 Dirichlet 函数，同样不可 积；但是对于累次积分是可积的，且积分值为 0; 一元 Riemann 函数可积，积分值为 0, 广义二元 Riemann 函数也可积，积分值为 0；但是将 x 或者 y 固定为有理数，新定义的函数就是不可积的.
Mi △xi mi △xi
¯=S 已知对于 f 在闭区间 Riemann 可积 ⇐⇒ S 可以很显然的看出对于 Dirichlet 函数, 任一下和均为 0, 任一上和均为 1, 故其在 [0, 1] 不 可积. • 一元 Riemann 函数
1 , p R(x) = 1, 0,
Dirichlet 函数和 Riemann 函数的可积性
• 一元 Dirichlet 函数 D(x) =
1, 0,
x∈Q x∈R\Q
x ∈ [0, 1]
对于 [0, 1] 中的任一分割 π : 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 在 π 的第 i 个子区间 [xi−1 , xi ] 上 D(x) 的上下确界分别记为 Mi , mi , 令 ωi = Mi − mi 称 为 D(x) 在 [xi−1 , xi ] 上的振幅 定义： ¯(D, π) = Darboux 上和：S Darboux 下和：S (D, π) =
1.R(x, y ) 在 [0, 1]2 上可积. 由一元 Riemann 函数的讨论可知，对 ∀ε > 0, 要使 R(x, y ) ⩾ ε, 即 的点只能有有限个，除去这有限个点, R(x, y ) < ε. 令 ε → 0 有 k k ∑ ∑ 0⩽ R(xi , yi )σ (Ii ) ⩽ ε ⇐⇒ lim R(ξ)σ (Ii ) = 0.
¯ I I 1 0
2.
dx
1 0
D(x, y )dy 存在. p , 则只有 m
对于任一固定的 y , 若 y 为无理数, 则 D(x, y ) = 0, 若 y 为有理数，不妨设为 x= 1 2 m−1 , ,··· , 这有限个值时，D(x, y ) = 1, 其余均为 0, 即 m m m
1 0
i=1 2.R(x, p q) ∥π ∥→0 i=1
1 1 + ⩾ ε, 满足条件 m q
对 x ∈ [0, 1] 上不可积. 1 1 + , x为有理数时 p m q R(x, ) = q 0 x为无理数时 1 , 所以在 [0, 1] 不可积. q
按定义
该函数在 [0, 1] 的任何子区间的振幅大于 3. 同理可证 R( n , y ) 对 y ∈ [0, 1] 不可积. m
1⩽j ⩽m+1
于是
2∑ m+1 k=1
ωk △rk =
m ∑ i=1
ωi △Ii +
m +1 ∑ j =1
ωj △Tj <
ε ε + =ε 2 2
由 Riemann 可积的定义知 Riemann 函数在 [0, 1] 可积.
• 二元 Dirichlet 函数 如果 x, y ∈ R 为有理数，则 R2 中的点 (x, y ) 称为二维有理点. 定义 Dirichlet 函数 1, 若p是[0, 1]2 中的有理点; D(x) = 0, 若p不是[0, 1]2 中的有理点. 1. 容易看出对 R2 中的任何矩形 I , 有 ¯ Ddσ = 0, dσ = σ (I ) > 0, 故 D 在 I 上不可积.
ε 1 , min |xi − xj |}. 2m 2 1⩽i<j ⩽m δ δ δ δ 令 Ii = [xi − , xi + ], 2 ⩽ i ⩽ m − 1, I1 = [0, x1 + ], Im = [xm − , 1] 2 2 2 2 ∪ 记 为 A 类, 其特点是每个小区间上的振幅 ωi ⩽ 1.
D(x, y )dx = 0
对任意 y ∈ [0, 1] 成立, 于是
1 0
dy
1 0
D(x, y )dx = 0
3. 同理
1 0
dy百度文库
1 0
D(x, y )dx = 0.
• 二元 Riemann 函数 对 (x, y ) ∈ [0, 1]2 , 定义 1 n p 1 + , x = ,y = m q m q R(x) = 0, 其他点
x=
q (p ∈ N∗ , q ∈ Z \ {0}, p, q 互质) p x ∈ [0, 1]
x = 0, x为无理数.
对于任意给定的 ε > 0, 在 [0, 1] 上的有理数 x = x1 , x2 , · · · , xm , 取 δ = min{
1 ε p 中, 满足 ⩾ 的只有有限个, 记为 q q 2
1⩽i⩽m
记 此时
∪
Tj = [0, 1] \ Ii 与 ∪
∪
1⩽i⩽m
Ii , 1 ⩽ j ⩽ m + 1 为 B 类, 易知 ωj <
1⩽j ⩽m+1
∪
ε . 2
Tj 形成 [0, 1] 的一个分割 π, 不妨记为 π : 0 = r0 < r1 < · · · < r2m+1 = 1
1⩽i⩽m
总结：可以看出，一元 Dirichlet 函数不可积，与之类似的是广义二元 Dirichlet 函数，同样不可 积；但是对于累次积分是可积的，且积分值为 0; 一元 Riemann 函数可积，积分值为 0, 广义二元 Riemann 函数也可积，积分值为 0；但是将 x 或者 y 固定为有理数，新定义的函数就是不可积的.