正态分布变差系数的置信区间
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k
n
X1 Xk + 1
, X1 =
1
k
k
所以 g ( x ) 关于 x 严格单调递增 。 T- 1 x- 1 P ( T ≤x ) = P k≤ k = 2 2 CV T +1 CV x +1 Φ
CV x- 1 x +1
2
i =1
∑X
i
, Xk + 1 = T- 1 CV
k ,
i = k +1
∑X .
i
所以
2 ) 当 n = 2 k + 1 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 - α的置信区间为 | T - 1|
CV ∈
2 α ( 1) χ 2
T +1
2
k 的分布函数为 T- 1 k ≤y
F ( y) = P
T
2
k +1 X1 Xk + 1
+
1
k
,
2
| T - 1|
α χ2 1 - ( 1)
Abstract : A problem of t he estimation of t he coefficient of variation for t he normal dist ribution was discussed. A new pivotal variable to const ruct t he classical confidence intervals for t he coefficient of variation was given. And precision confidence intervals for t he coefficient of variation of t he normal dist ribution wit h a simple expression were also obtained. Key words : applied statistical mat hematics ; normal dist ribution ; coefficient of variation ; confidence intervals
3 2
) , > 0 , x ∈[ 0 , + ∞
所以 h ( x ) 关于 x 严格单调递增 。
第7期
正态分布变差系数的置信区间
913
因此类似于上述推导可得
T- 1 CV T
2
2 ) , X 取非负值 等价 定理 3 设 X ～ N (μ,σ
k +1
+
1
k
～ N ( 0 , 1) ,
( 4)
CVu =
1
n
2
+
x m
3 2
| T - 1|
χ2 1 - α( 1) 式 中: T =
1
k +1
n
T2 k +1
+
k
1
k
i
,
( 6)
x 1 + m n
). > 0 , x ∈[ 0 , + ∞
所以 h ( x ) 关于 x 严格单调递增 , 因此类似于上述 推导可得
( T - 1) 2 ～χ2 ( 1) . 2 T 1 2 CV + m n
式 中: T =
1
k
n
X1 Xk + 1
1
k
k
x 1 + - ( x - 1) m n ( x) = h′
2
2x 2m
x 1 + m n
2
i =1
∑X
i
, Xk + 1 =
i = k +1
∑X .
i
x 1 + m n
=
2 ) 当 n = 2 k + 1 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 - α的置信上限为
收稿日期 : 2008 - 09 - 01 ) ,男 ,副教授 。E2mail : zlsun @sjtu. edu. cn 作者简介 : 孙祝岭 (1956 —
基于文献 [ 8 ] 的结果 , 1988 年编制了正态分布变差 系数 置 信 上 限 表 , 作 为 航 天 工 业 部 的 一 项 标 准 :
k +1
+
1
k
- ( x - 1) 2 ( k + 1)
x
2
2x
x
2
k +1
+
1
k
k +1
+
1
k
=
令 g ( x) =
x- 1 x +1
2 2
) , , x∈ [0 , + ∞
1
k
+
x k +1
x + 1 - ( x - 1)
2x 2
x +1
2
x2
因 为 g′( x ) =
x +1
2
=
k +1
+
1
k
σ 1 于μ < 3
, 来自 X 的 2 个独立样本分别为 : X 1 ,
( T - 1) 2 所以 ～χ2 ( 1) , 2 T 1 2 CV + k +1 k 所以给定置信水平 1 - α, 有 P
α ( 1) χ2 12
X 2 , …, X n ; Y 1 , Y 2 , …, Y m , 变差系数 CV =
第 30 卷第 7 期 2 0 0 9年7月
兵 工 学 报 ACTA ARMAMEN TARII
Baidu Nhomakorabea
Vol. 30 No. 7 J ul. 2009
正态分布变差系数的置信区间
孙祝岭
( 上海交通大学 数学系 , 上海 200240)
摘要 : 研究正态分布的变差系数估计问题 。提出了一个新的枢轴量来构造变差系数的经典置 信区间 ,给出了正态分布变差系数的具有简单表达式的精确置信区间 。 关键词 : 应用统计数学 ; 正态分布 ; 变差系数 ; 置信区间 中图分类号 : O212 文献标志码 : A 文章编号 : 100021093 ( 2009) 0720911204
. T 的分布函数为 P ( T ≤x ) = P P X1 X1 Xk + 1
≤x =
X1
0 . μ- x μ ≤
CV
2
Xk + 1
因为 X 1 与 X k + 1 独立 , 所以 μ - x μ ～ N 1 - x , + , k k +1 x- 1 P ( T ≤x ) = Φ x2 1 , CV + k +1 k x- 1 ) , 令 h ( x) = ,x∈ [0 , + ∞ x2 1 + k +1 k
2 2
σ 系数 CV = μ , 则 1 ) 当 n = 2 k 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 α的置信上限为
CVu = k | T - 1|
CV
x 1 + m n
2
,
令 h ( x) =
) , 仍然有 ,x∈ [0 , + ∞
χ2 1 - α( 1 )
, X1 =
( T 2 + 1)
,
( 5)
2
. ( 7)
由此式即可得到 ( 2) 式 。 说 明 在 证 明 2 ) 中 , T =
1
k
k
X1 Xk + 1
2) 变差系数 CV 置信水平为 1 - α 的置信上限
, X1 =
为
CVu =
i =1
∑
Xi , Xk + 1 =
1 k +1
n
i = k +1
∑
| T - 1|
X i . 取分母 X k + 1 含有
X1 Xk + 1
, X1 =
1
k
i =1
∑X
, Xk + 1 =
i = k +1
∑X
i
, 分位数用的是上侧分位数 。
X1
1,
C2 V k
,
Xk + 1
μ ～ N
1,
由概率统计中的实际推断原理可认为 X 取非 σ 1 负值等价于μ < . 3 在工程实践中 , 考察的随机变量通常均取非负 值 , 加上非负值条件仍不失一般性 。
2 2 CV Xk + 1 σ 证明 1) ～ N 1, 2 = N 1, , μ μ ～ k μ k 2 C2 σ V N 1, 2 = N 1, . k μ k
QJ 1355 — 1988 ; 到了 1989 年又重新编制了相同名
称的表作为国家标准 : GB/ T 11791 — 1989 , 见文献
[ 9 ]. 但这些表的适用范围有局限性 , 在一些场合不
能用 , 并且文献 [ 8 - 9 ]给出的是单侧的区间估计 , 而 有时需要用双侧的区间估计 , 它们就不能用 。本文 给出的精确区间估计能弥补这些缺陷 , 使用特别方 便 , 有简单表达式 。
兵 工 学 报
1+ x
, k | T - 1|
α ( 1) ( T 2 + 1) χ2 12
第 30 卷
α的置信区间为
CV ∈ k | T - 1|
2 α ( 1) ( T 2 + 1) χ 2
, ( 1)
( x 2 + 1)
3 2
) , > 0 , x ∈[ 0 , + ∞
式 中: T =
1
σ μ ,则 1) 变差系数 CV 置信水平为 1 - α 的置信区间
| T - 1| | T - 1|
2 α χ 1 - ( 1) 2
为
2 α ( 1) χ ≤ 2
( T - 1) 2 ≤ T2 1 2 CV + k +1 k
= 1 - α,
CV ∈
2 α ( 1) χ 2
T 1 + m n
2
,
T 1 + m n
∑X
i
, 分位数用的是上侧分位数 。
所以给定置信水平 1 - α, 有 ( T - 1) 2 2 2 α ( 1) ≤ α ( 1) χ Pχ k≤ 12 2 2 2 CV ( T + 1 ) 由此式即可得到 ( 1) 式 。 证明 2 ) μ ～ N
CV k +1
2
= 1 - α,
2 ) , 因为 P ( X ≥ 条件说明 :设 X ～ N (μ,σ 0) = μ σ 1 μ -μ Φ 1- Φ σ = σ , 当 μ < 3 , 即 σ > 3 , 所以 P( X ≥ 0) > Φ( 3 ) = 01999 .
Conf idence Intervals for the Coeff icient of V ariation for the Normal Distribution
SUN Zhu2ling
( Department of Mat hematics , Shanghai Jiaotong University , Shanghai 200240 , China)
, 来自 X 的样本为 X 1 , X 2 , …, X n , 变差
2
T2 1 + m n
,
( 8)
i =1
∑
Xi , Y =
1
m
m
i =1
∑Y .
i
分位
数用的是上侧分位数 。 只要注意到 :仿定理 1 证明可得 T 的分布函数 为
x- 1 P ( T ≤x ) = Φ x- 1 x 1 + m n
0 引言
变差系数是一个应用较广的参数 , 由于这一参 数能很好反映变量取值的分散程度 , 因此它是衡量 产品质量稳定性的一个重要的可靠性指标 。结构可 靠性是机械可靠性的主要问题之一 , 它常常与产品 的应力与强度的变差系数有密切关系 。由于变差系 数的重要性 , 引起了不少人对研究变差系数统计推 断问题的兴趣 。很多文献讨论了变差系数的区间估 计问题 。其中文献 [ 1 - 2 ] 分别讨论了 Weibull 分 布、 Gumbel 分布变差系数的区间估计问题 ; 对正态 分布变差系数的区间估计研究最多 , 已发表 10 多篇 研究论文 , 文献 [ 3 - 8 ] 是其中的 6 篇 , 文献 [ 8 ] 用经 典方法给出了精确区间估计 , 其它给出的均是近似 区间估计 。但文献 [ 8 ] 给出的结果计算非常复杂 。 变差系数上限满足含有非中心 t 分布函数的方程 , 要求解方程才能得到变差系数上限 。为应用方便 ,
χ2 1 - α( 1 ) 式中 : T =
X 1 ; X = n Y
n
的变量个数比分子 X 1 含有的变量个数多 1 , 是考 虑到这样能保证 Var ( X k + 1 ) < Var ( X 1 ) , 从而提高 统计量 T 取值的稳定性 。 定理 2 设 X～ N (μ,σ ) , X 取非负值 等价 σ 1 于μ < 3
CV
T +1
2
= Φ( y ) .
( 3)
T
2
k +1
+
1
k
, ( 2)
所以
CV
T- 1 T +1
2
k ～ N ( 0 , 1) ,
式 中: T =
1
k +1
n
, X1 =
1
k
k
所以
i =1
∑X
i
, Xk + 1 =
( T - 1) 2 2 k ～χ ( 1) , 2 2 CV ( T + 1 )
i = k +1
x ( x) = 因为 h′
2
X1
Xk + 1
x CV
2
2
T 的分布函数为 P ( T ≤x ) = P P X1 Xk + 1 X1
≤x = P μ ≤x μ
Xk + 1
X1
Xk + 1
=
0 . μ- x μ ≤
2 2 2
因为 X 1 与 X k + 1 独立 ,
CV x CV 所以 μ - x μ ～ N 1 - x , + , k k x- 1 所以 P ( T ≤x ) = Φ k . 2 CV x +1 X1 Xk + 1
1 正态分布变差系数的置信区间
2 ) , X 取非负值 等价 定理 1 设 X ～ N (μ,σ
σ 1 于μ < 3
, 来自 X 的样本为 X 1 , X 2 , …, X n , 变差
σ 系数 CV = μ , 则 1) 当 n = 2 k 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 -
912
n
X1 Xk + 1
, X1 =
1
k
k
所以 g ( x ) 关于 x 严格单调递增 。 T- 1 x- 1 P ( T ≤x ) = P k≤ k = 2 2 CV T +1 CV x +1 Φ
CV x- 1 x +1
2
i =1
∑X
i
, Xk + 1 = T- 1 CV
k ,
i = k +1
∑X .
i
所以
2 ) 当 n = 2 k + 1 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 - α的置信区间为 | T - 1|
CV ∈
2 α ( 1) χ 2
T +1
2
k 的分布函数为 T- 1 k ≤y
F ( y) = P
T
2
k +1 X1 Xk + 1
+
1
k
,
2
| T - 1|
α χ2 1 - ( 1)
Abstract : A problem of t he estimation of t he coefficient of variation for t he normal dist ribution was discussed. A new pivotal variable to const ruct t he classical confidence intervals for t he coefficient of variation was given. And precision confidence intervals for t he coefficient of variation of t he normal dist ribution wit h a simple expression were also obtained. Key words : applied statistical mat hematics ; normal dist ribution ; coefficient of variation ; confidence intervals
3 2
) , > 0 , x ∈[ 0 , + ∞
所以 h ( x ) 关于 x 严格单调递增 。
第7期
正态分布变差系数的置信区间
913
因此类似于上述推导可得
T- 1 CV T
2
2 ) , X 取非负值 等价 定理 3 设 X ～ N (μ,σ
k +1
+
1
k
～ N ( 0 , 1) ,
( 4)
CVu =
1
n
2
+
x m
3 2
| T - 1|
χ2 1 - α( 1) 式 中: T =
1
k +1
n
T2 k +1
+
k
1
k
i
,
( 6)
x 1 + m n
). > 0 , x ∈[ 0 , + ∞
所以 h ( x ) 关于 x 严格单调递增 , 因此类似于上述 推导可得
( T - 1) 2 ～χ2 ( 1) . 2 T 1 2 CV + m n
式 中: T =
1
k
n
X1 Xk + 1
1
k
k
x 1 + - ( x - 1) m n ( x) = h′
2
2x 2m
x 1 + m n
2
i =1
∑X
i
, Xk + 1 =
i = k +1
∑X .
i
x 1 + m n
=
2 ) 当 n = 2 k + 1 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 - α的置信上限为
收稿日期 : 2008 - 09 - 01 ) ,男 ,副教授 。E2mail : zlsun @sjtu. edu. cn 作者简介 : 孙祝岭 (1956 —
基于文献 [ 8 ] 的结果 , 1988 年编制了正态分布变差 系数 置 信 上 限 表 , 作 为 航 天 工 业 部 的 一 项 标 准 :
k +1
+
1
k
- ( x - 1) 2 ( k + 1)
x
2
2x
x
2
k +1
+
1
k
k +1
+
1
k
=
令 g ( x) =
x- 1 x +1
2 2
) , , x∈ [0 , + ∞
1
k
+
x k +1
x + 1 - ( x - 1)
2x 2
x +1
2
x2
因 为 g′( x ) =
x +1
2
=
k +1
+
1
k
σ 1 于μ < 3
, 来自 X 的 2 个独立样本分别为 : X 1 ,
( T - 1) 2 所以 ～χ2 ( 1) , 2 T 1 2 CV + k +1 k 所以给定置信水平 1 - α, 有 P
α ( 1) χ2 12
X 2 , …, X n ; Y 1 , Y 2 , …, Y m , 变差系数 CV =
第 30 卷第 7 期 2 0 0 9年7月
兵 工 学 报 ACTA ARMAMEN TARII
Baidu Nhomakorabea
Vol. 30 No. 7 J ul. 2009
正态分布变差系数的置信区间
孙祝岭
( 上海交通大学 数学系 , 上海 200240)
摘要 : 研究正态分布的变差系数估计问题 。提出了一个新的枢轴量来构造变差系数的经典置 信区间 ,给出了正态分布变差系数的具有简单表达式的精确置信区间 。 关键词 : 应用统计数学 ; 正态分布 ; 变差系数 ; 置信区间 中图分类号 : O212 文献标志码 : A 文章编号 : 100021093 ( 2009) 0720911204
. T 的分布函数为 P ( T ≤x ) = P P X1 X1 Xk + 1
≤x =
X1
0 . μ- x μ ≤
CV
2
Xk + 1
因为 X 1 与 X k + 1 独立 , 所以 μ - x μ ～ N 1 - x , + , k k +1 x- 1 P ( T ≤x ) = Φ x2 1 , CV + k +1 k x- 1 ) , 令 h ( x) = ,x∈ [0 , + ∞ x2 1 + k +1 k
2 2
σ 系数 CV = μ , 则 1 ) 当 n = 2 k 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 α的置信上限为
CVu = k | T - 1|
CV
x 1 + m n
2
,
令 h ( x) =
) , 仍然有 ,x∈ [0 , + ∞
χ2 1 - α( 1 )
, X1 =
( T 2 + 1)
,
( 5)
2
. ( 7)
由此式即可得到 ( 2) 式 。 说 明 在 证 明 2 ) 中 , T =
1
k
k
X1 Xk + 1
2) 变差系数 CV 置信水平为 1 - α 的置信上限
, X1 =
为
CVu =
i =1
∑
Xi , Xk + 1 =
1 k +1
n
i = k +1
∑
| T - 1|
X i . 取分母 X k + 1 含有
X1 Xk + 1
, X1 =
1
k
i =1
∑X
, Xk + 1 =
i = k +1
∑X
i
, 分位数用的是上侧分位数 。
X1
1,
C2 V k
,
Xk + 1
μ ～ N
1,
由概率统计中的实际推断原理可认为 X 取非 σ 1 负值等价于μ < . 3 在工程实践中 , 考察的随机变量通常均取非负 值 , 加上非负值条件仍不失一般性 。
2 2 CV Xk + 1 σ 证明 1) ～ N 1, 2 = N 1, , μ μ ～ k μ k 2 C2 σ V N 1, 2 = N 1, . k μ k
QJ 1355 — 1988 ; 到了 1989 年又重新编制了相同名
称的表作为国家标准 : GB/ T 11791 — 1989 , 见文献
[ 9 ]. 但这些表的适用范围有局限性 , 在一些场合不
能用 , 并且文献 [ 8 - 9 ]给出的是单侧的区间估计 , 而 有时需要用双侧的区间估计 , 它们就不能用 。本文 给出的精确区间估计能弥补这些缺陷 , 使用特别方 便 , 有简单表达式 。
兵 工 学 报
1+ x
, k | T - 1|
α ( 1) ( T 2 + 1) χ2 12
第 30 卷
α的置信区间为
CV ∈ k | T - 1|
2 α ( 1) ( T 2 + 1) χ 2
, ( 1)
( x 2 + 1)
3 2
) , > 0 , x ∈[ 0 , + ∞
式 中: T =
1
σ μ ,则 1) 变差系数 CV 置信水平为 1 - α 的置信区间
| T - 1| | T - 1|
2 α χ 1 - ( 1) 2
为
2 α ( 1) χ ≤ 2
( T - 1) 2 ≤ T2 1 2 CV + k +1 k
= 1 - α,
CV ∈
2 α ( 1) χ 2
T 1 + m n
2
,
T 1 + m n
∑X
i
, 分位数用的是上侧分位数 。
所以给定置信水平 1 - α, 有 ( T - 1) 2 2 2 α ( 1) ≤ α ( 1) χ Pχ k≤ 12 2 2 2 CV ( T + 1 ) 由此式即可得到 ( 1) 式 。 证明 2 ) μ ～ N
CV k +1
2
= 1 - α,
2 ) , 因为 P ( X ≥ 条件说明 :设 X ～ N (μ,σ 0) = μ σ 1 μ -μ Φ 1- Φ σ = σ , 当 μ < 3 , 即 σ > 3 , 所以 P( X ≥ 0) > Φ( 3 ) = 01999 .
Conf idence Intervals for the Coeff icient of V ariation for the Normal Distribution
SUN Zhu2ling
( Department of Mat hematics , Shanghai Jiaotong University , Shanghai 200240 , China)
, 来自 X 的样本为 X 1 , X 2 , …, X n , 变差
2
T2 1 + m n
,
( 8)
i =1
∑
Xi , Y =
1
m
m
i =1
∑Y .
i
分位
数用的是上侧分位数 。 只要注意到 :仿定理 1 证明可得 T 的分布函数 为
x- 1 P ( T ≤x ) = Φ x- 1 x 1 + m n
0 引言
变差系数是一个应用较广的参数 , 由于这一参 数能很好反映变量取值的分散程度 , 因此它是衡量 产品质量稳定性的一个重要的可靠性指标 。结构可 靠性是机械可靠性的主要问题之一 , 它常常与产品 的应力与强度的变差系数有密切关系 。由于变差系 数的重要性 , 引起了不少人对研究变差系数统计推 断问题的兴趣 。很多文献讨论了变差系数的区间估 计问题 。其中文献 [ 1 - 2 ] 分别讨论了 Weibull 分 布、 Gumbel 分布变差系数的区间估计问题 ; 对正态 分布变差系数的区间估计研究最多 , 已发表 10 多篇 研究论文 , 文献 [ 3 - 8 ] 是其中的 6 篇 , 文献 [ 8 ] 用经 典方法给出了精确区间估计 , 其它给出的均是近似 区间估计 。但文献 [ 8 ] 给出的结果计算非常复杂 。 变差系数上限满足含有非中心 t 分布函数的方程 , 要求解方程才能得到变差系数上限 。为应用方便 ,
χ2 1 - α( 1 ) 式中 : T =
X 1 ; X = n Y
n
的变量个数比分子 X 1 含有的变量个数多 1 , 是考 虑到这样能保证 Var ( X k + 1 ) < Var ( X 1 ) , 从而提高 统计量 T 取值的稳定性 。 定理 2 设 X～ N (μ,σ ) , X 取非负值 等价 σ 1 于μ < 3
CV
T +1
2
= Φ( y ) .
( 3)
T
2
k +1
+
1
k
, ( 2)
所以
CV
T- 1 T +1
2
k ～ N ( 0 , 1) ,
式 中: T =
1
k +1
n
, X1 =
1
k
k
所以
i =1
∑X
i
, Xk + 1 =
( T - 1) 2 2 k ～χ ( 1) , 2 2 CV ( T + 1 )
i = k +1
x ( x) = 因为 h′
2
X1
Xk + 1
x CV
2
2
T 的分布函数为 P ( T ≤x ) = P P X1 Xk + 1 X1
≤x = P μ ≤x μ
Xk + 1
X1
Xk + 1
=
0 . μ- x μ ≤
2 2 2
因为 X 1 与 X k + 1 独立 ,
CV x CV 所以 μ - x μ ～ N 1 - x , + , k k x- 1 所以 P ( T ≤x ) = Φ k . 2 CV x +1 X1 Xk + 1
1 正态分布变差系数的置信区间
2 ) , X 取非负值 等价 定理 1 设 X ～ N (μ,σ
σ 1 于μ < 3
, 来自 X 的样本为 X 1 , X 2 , …, X n , 变差
σ 系数 CV = μ , 则 1) 当 n = 2 k 时 , 变差系数 CV 置信水平为 1 -
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