中考数学复习动点问题的解题技巧

中考数学复习动点问题的
解题技巧
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December 10, 2020
在运动中分析在静态中求解
动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，本文以一道中考题为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发．
题目如图1，已知点A(2，0)，B(0，4)，∠AOB的平分线交AB于点C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于点Q，作点P、Q关于直线OC 的对称点M、N．设点P运动的时间为t(0<t<2)秒．
(1)求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）．
(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．
①试求S关于t的函数关系式；
②在直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否
有最大值若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．
一、探求解题思路
1．利用基础知识轻松求解
由题意不难发现第1问是对基础知识的考查，有多种方法，考生可自行选择解法，
简解1 可通过作辅助线，过点C作CF上x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．由比例式求出
点C的坐标(4
3
，
4
3
)．
简解2 由点A、B的坐标可得直线AB的解析式y＝－2x＋4；由OC是∠AOB的平分线可得直线OC的解析式y＝x；联立方程组轻松解得点C的坐
标(4
3
，
4
3
)．
关于求点M、N的坐标，是对相似及对称性的考查，根据相似可得P(0，
2t)，Q(t，0)，根据对称性可得M(2t，0)，N(0，t).这样，第1问轻松获解．
2．动静结合找界点，分类讨论细演算
第2问的第一小题中，所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论，这是本题的难点之一；而关键是动静结合找界点，得出t＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是本题的难点之二．解答时需动手画出草图，随着点M、N的位置的变化，△MNC的位置也随之发生变化，△MNC与△OAB重叠部分的面积S也发生变化.S可能会存在两种情形：①△OAB将△MNC全部覆盖；②△OAB将△MNC部分覆盖；点M从点O出发运动到点A时，即t＝1时重叠部分的关系会发生变化，函数关系式也随之改变．
由t＝1这个界点确定两个范围，以此界值进行分类讨论：
当0<t≤1时，点M在线段OA上，△OAB将△MNC全部覆盖，重叠部分面积为
S△CMN＝S四边形CMON－S△OMN.
结合点C的坐标(4
3
，
4
3
)，可得
S△CMN＝－t2＋2t；
当1<t<2时，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，△OAB将△MNC部分覆盖，则重叠部分面积为S△CDN.
另一个关键是要用t的代数式表示D点的横坐标，即△BDN的高，这是本题的难点之
三．
由M(2t，0)，N(0，t)可先用t的代数式表示直线MN的解析式y＝－
1
2
x＋t．
再结合直线AB的解析式y＝－2x＋4，联立方程组，解出D点的横坐标
为82
3
t
，则重叠部分面积为
S△CDN＝S△BDN－S△BCN
综上所述，
由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象，观察图象可知，
当t＝1时，S有最大值，最大值为1．
二、规范解答问题
(1)如图2，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．
∴OP＝2DQ．
∵P(0，2t)，∴Q(t，0).
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M(2t，0)，N(0，t).
(2)①当0<t≤1时，如图3所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S △CMN.
当1<t<2时，如图4所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN
设直线MN的解析式为y＝kx＋b，将M(2t，0)、N(0，t)代入，得
综上所述，
②画出函数图象，如图5所示：
观察图象可知，当t＝1时，S有最大值，最大值为1．
三、解题反思
1、关键的一步
本题在突破第2问时，能否得出t＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是决定性的一步，否则就不知该如何分类讨论，解题就难以找到前进的方向．
2、解题难点
解决本题的主要困难首先是分类讨论，依据题意知点P运动的时间为
t(0<t<2)秒，可以确定点肘、N运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点）和终点，由界点值划分范围，确定分类标准（通常情况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动态的范围），然后进行分类计算（对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算）．其次是重叠面积分类，当1<t<2时，我们面对的困难是如何对重叠部分的面积进行分割；如何用t的代数式表示点D的横坐标；得出S△CDN＝S△BDN－S△BCN也是比较困难的；再者分类后的计算，稍不注意也可能出错．
3、解题收获
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解．首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律．
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来．再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系
在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想．。