高中数学同步课件:第2章圆锥曲线抛物线第二课时2(北师大选修1-1)

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2.2.2
抛物钱的简单性质
M是抛物线y2 = 2px 点M的横坐标为m 丙7E
(p>0)上一点9若则点M到焦点的距
>x
抛物线上一点到焦点的距离
P(Xo, y°)在y2=2px上,|PF| = x°+f
P(x(), y(>)在y2=・2px上,|”| = £-兀0
P(x(), y°)在x2=2py上 |PF\ =
y0 + ^-
P(x°, y°)在x2=・2py上PF =^-y0
1、抛物线的对称性y^2px
天于兴轴对称
抛物线又叫做无心
没有对称中心“因此丿
圆锥曲线。

2>抛物线的范H: y2=2px
3、抛物线的顶点
^=2px
定文:抛物线与对称轴的交点’叫做抛物线的顶点
只有一个顶点
4、抛物线的离心率y2=2px
所有的抛物线的藹心率都是
1
5、抛物线的基本元素
基本量:焦准距Q
(决定抛物线开口犬小)
6、焦点弦和通径
通径是焦点弦中y2=2px(p>0) 最短的弦,
通径IABI=2p
设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦
点F的
—条弦。

设A(Xi,yJ,B(X2,
y2),AB的中点M(xo,yo),过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线,垂足为
y2
=2px(p>0)
y2=2px(p>0)
已知抛物线方程为y2=4小直线Z 过定点P (-2, 1),斜率为k.
则k为何值时,直线Z与抛物线护=4兀只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点呢。

过抛物殳焦点弦的{響点的一条直线和阶线雲边》黃点的纵坐标为
JW2 2 力丿
2 = 一 P 求证: 一条性质)
过焦点的直线具有上述性质,反之,若直线与抛物线B的纵坐标为,且,
的两个交点4,那么直线是否经过焦点F呢?
=2px
2 力宀
J1J2 =-P
既然过抛物线焦点的直线与其相交,交点的纵坐标的乘积是一个定值,那么过抛物线对称轴上其他任意一定点,是否也有这个性质呢?
设抛物线上两动点2
,且满足V = / ,迥&嚣窈恒过某一定点?、4(兀兀2』2)
J1J2=氐仏为常数)
设抛物线上两动点 2 c
,且满足v = 2px
厶/ ,来&狀亭p的轨迹齐程.、
A(x1,y1),B(x2,y2)
J1J2 =比仏为常数)
设抛物线上两动点2
,o为坐标原点,V
OA±OB,则直线&3是否井声?求力B中点PI A(x1,y1),U(x2,y2
=2 nx 迪轨迹彳!呈.
设抛物线上两动点 2 c
则直线AB是否过定点?
,M为该抛物线上一0点,托讹$底
〃(兀2汀2)
右M为抛物线上一个定点,力、(衲非零常数),求证:直线过定点。

^MA ^MB = r 臨盘農和为180。

”,"劉瓠
|澤变为“直线“人与直线将“探究6”的 MB 的倾斜角之和为90。

”,
“直线M A 朽誉 即 变为 “直线MA 与直
线
上一个定点,&、物线少“彌衣初区 旨昭w 求证:直线力B 的斜率为型。

—厶P 入XP ? U 丿若M 为抛物线 与直线MB 的倾斜角互补,
设计意图:
培养我们研究数学问题的一般思想方法:
一是考虑原命题的逆命题是否成立;
二是考虑能否把原命题进行一般推广; 三是考虑从原命题条件中还能推岀什么结论?四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。

过抛物线上一定点
•当刊与PB的斜率存,作两条直纟射别交在且倾斜角互补时,V =
求的值,并证明懂线力B的:
率毆和沟)(沟>°)
」)/(兀2』2)
于匸抛物线,若直线点的J驚确2〃加承鋼矚溜衢孑
P(兀o』o)(儿>0)
A(兀1),〃(兀2』2 )
P
Jo
设动直线AB: y=-x+b与抛物线,相交于两点,问在直线MN: x=2上能否找到一定点P (坐标与b的值无关),使得直线P4与FB的倾斜角互
y2 = 8x
过点戶霭乍豐鶴k的直线咬抛物'线于力、B两切A^x^P^P) 交x轴H Q点,当k 变化时,探究点Q是否为定点?
如图,定长为3的线段AB的两端点在抛物线『2=兀上移动,设线段AB的中点为M,求点M到y 轴的最短距离。

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个三角形的边长。

已知在抛物线y=x?上三个点A、B、C组成一个等腰直角三角形,且顶点B是直角顶点,
⑴设直线BC的斜率为觥求顶点
B的坐标;
(2)求等腰直角三角形的面积的最小
值。

例•已知直线过原点,抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,且点A (-1, 0)和B (0, 8)关于直线的对称点都在抛物线上,求直线和抛物线的方程。

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