高中数学同步课件：第2章圆锥曲线抛物线第二课时2(北师大选修1-1)

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高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修1_1

• A．y2＝8x
B．y2＝－8x
• C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
• 解析：由题意知通径长2p＝8，且焦点在x轴上，但开口向左或右不确定，故方程为y2＝8x或y2＝－8x.
• 答案： C
2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 x2＋4y2＝1 的一
个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
答案： (±4,8)
4．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的方程．
解析：设所求抛物线方程为 y2＝ 2px(p>0)或 y2＝－ 2px(p>0)，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
即 3x－y－11＝0.
又由3y2x＝－6yx－11＝0 得：9x2－72x＋121＝0，①
Δ＝722－4×9×121＝828.
直线与抛物线交于两个不同的点，
故 3x－y－11＝0 即为所求直线．
由①可得：x1＋x2＝8，x1·x2＝1921.
∴|P1P2|＝
1＋9·
82－4×1921＝2
设弦 AB 端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y1＋y2＝8k. 又 Q(4,1)为弦 AB 中点， ∴y1＋2 y2＝1，即 y1＋y2＝2， ∴8k＝2，∴k＝4. 所以所求直线方程是 y＝4x－15.
• 求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【错解】设直线方程为 y＝kx＋1，由yy＝2＝k2xx＋，1，得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 当 k＝0 时，解得 y＝1，即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点．

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简单性质(一)课件北师大版选修1-1.pptx

8
题型探究
9
类型一抛物线简单性质的应用
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A， B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解. 答
由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点 F(m2 ，0).直线 l：x＝m2 ，所以 A，B 两点坐标为(m2 ，m)，(m2 ，－m)，所以|AB|＝2|m|. 因为△OAB的面积为4，所以12·|m2 |·2|m|＝4，所以 m＝±2 2. 所以抛物线的标准方程为 y2＝±4 2x.
10
引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点， OA⊥OB，则△AOB的面积是__4_p_2_. 答案解析
11
反思与感悟
把握三个要点确定抛物线简单性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解答设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2 ＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3. 又准线方程是 x＝－32，所以 M 到准线的距离等于 3＋32＝92.
23
反思与感悟
抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质课件4 北师大版选修1-1

第5课时抛物线的简单性质
K12课件
1
1.根据图像理解抛物线的对称性、顶点坐标和离心率并展开应用.了解“p”的意义,会求简单的抛物线方程. 2.通过与双曲线、椭圆的类比,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情.
K12课件
2
某公园要建造一个如图1的圆形喷水池,在
水池中央垂直于水面安装一个花形柱子
OA,O恰在水面中心,OA=0.81米,安置在柱子
线的轴 .
K12课件
4
(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点 .
在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此这条抛物线的顶点就是坐标原点 .
(4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比,叫作抛物线的离心率 ,用e表示,按照抛物线的定义,e= 1 .
(5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦,称
点到定点的最值问题.
(2)方法:以抛物线 y2=2px(p>0)为例,设 P(x0,y0)是 y2=2px 上
一点,则 x0 =
y
2 0
,即
P
点坐标为
2p

(
y
2 0
2p
,y0
),由两点间的距离公
式、点到直线的距离公式表示出所求距离,再用函数最值的方
法求解.
K12课件
6
1 抛物线y=x2的对称轴是( B ). A.x轴 B.y轴 C.y=x D.y=-x
问题2 (1)范围:若p>0,由方程y2=2px可知,这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足等式.所以这条抛物线在y轴的右侧
;当x的值增大时,|y|也增大 ,这说明抛物线向右上方和
右下方无限延伸,它开口越开阔 .

北师大版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程第2节抛物线第一课时《抛物线及其标准方程》教学课件 (共18张

解:(1)由已知p=6，故抛物线的焦点坐标是(0,3)，
准线方程为y=－3.
l
(2)设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），
其焦点坐标为
(
p 2
, 0)
，由已知得
p 2
2
，故p=4.
所求抛物线的标准方程为y2=8x. 待定系数法
y P
F
O
x
K
ly P
KO F
x
巩固提升：理解方程
1. 抛物线的标准方程为 4 y2 3x ，则其焦点坐标和准线方程为（ C ）
2如何将方程2 与图像对应2 记忆？ 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方
程 y2 2 px
y2 2 px
x2 2 py
x2 2 py
巩固提升：理解方程
例 (1)已知抛物线的方程为x2=12y ，求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点 F(2,0) ，求抛物线的标准方程.
B
.
CP
A
.F
看图说话：运用概念
经过定点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是什么？为什么？
l F
自主建系：推导方程
建立直角坐标系，求出抛物线方程.
l
dP
F
思考交流：归纳方程
图
像
ly P
图
KO F
x
像
y P
l
F OK
x l
y Pl
F
O
x
K
y
K
O
F
x
P
焦点
F( p ,四0) 种方F (程 p有, 0什) 么结F(0构, p特) 征？F(0, p )

高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程第二节抛物线2.2抛物线的简单性质教学课件(共21张PPT)

功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
抛物线的简单几何性质
一、温故知新
抛物线的定义
及标准方程
定义：在平面内,与一个定点 F和一条定直线l(l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
图形
标准方程焦点坐标
ly
y2 2px p
( ,0)
O F x (p0) 2
准线方程
x p 2
yl
y2 2px (
p
,0)
x p
F O x (p0)
由已知得抛物线的焦为F点(1,0), 所以直线AB的方程为y x1
A’
y
A
代入 y2 方 4x,得 (程 x1)24x,
化简 x26得 x10.
OF
x
x1 x2 6
B’ B
AB x1 x2 2 8 所以，A 线B的段长8。是
练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x轴，焦点在
准l线 :x1.
2
A’
y
A
设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B到
准线 l的距离分d别 A,d为 B.
由抛物线的定义可知
OF
x
AF d A x1 1,
B’ B
BF dB x2 1, 所 A以 B A F B F x 1 x 2 2
例 2、斜 1 的率直 l经为线过y抛 24x的物焦 F 线 ,且点与抛物线 A ,B 两相点交， A 于的 B 求长线。段
9, 4
故所求抛物线的方程为 y216x或x29y.
3
4
例 2、斜 1 的率直 l经为线过y抛 24x的物焦 F 线 ,且点与抛物线 A ,B 两相点交， A 于的 B 求长线。段

2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修1_1

[解析] 解法一由题意知，点N的坐标为(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线
AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得
x2＝2py， y＝kx＋p，
消去y，得x2－2pkx－2p2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝
又直线A2P的方程为y＝x0y－0 2(x－2)，令x＝2 2，则y＝2 x20－－22y0，即|DF|＝(2 2－2)|x0|y－0|2|. 所以|DE|·|DF|＝(2 2＋2)|x0|y＋0|2|·(2 2－2)|x0|y－0|2|＝|x204－y204|＝4－4y20x20. (*) 又P(x0，y0)在椭圆C上，所以3x20＋4y20＝12，即4y20＝12－3x20，代入(*)式，得|DE|·|DF|＝344－－xx2020＝3，所以|DE|·|DF|为定值3.
探究三抛物线中的定点、定值(最值)、焦点弦问题
— 对称问题
— 最值问题
抛物线中的定点、定值、焦点弦问题
——
—
焦点弦问题定值问题
—
定点问题
5．等腰直角△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则
△ABO的面积是( )
A．8p2
B．4p2
∴ 2－p22＋y20＝2＋p2＝3.解得p＝2，y0＝±2 2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)由(1)知点M(2，±2 2)，根据两点间的距离公式有|OM|＝ 22＋±2 22＝2 3.
探究二直线与抛物线相交问题 [典例2] 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝ 2py(p>0)相交于A，B两点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点．求△ABN面积的最小值．

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2 抛物线 2.2 抛物线的简单性质实用课件北师大版选修1-1

2.2
第 §2
二
抛物
抛物线的
章线简单
性质
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
K12课件
考点一考点二考点三
1
§2
抛物线
2．2 抛物线的简单性质
K12课件
2
太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线 (平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．
由yy2＝＝22xpx，得三角形的一顶点为2p，p，
y2＝2px，由y＝－12x 得三角形的另一个顶点为(8p，－4p)，
由已知，得8p－p22＋(－4p－p)2＝(2 13)2. 解得 p＝45.故所求抛物线的方程为 y2＝85x.
K12课件
15
抛物线的定义及性质的应用 [例 2] 若动点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x＋5＝0 的距离小 1，求动点 M 的轨迹方程． [思路点拨] “点 M 与点 F 的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1”，就是“点 M 与点 F 的距离等于它到直线 x＋4＝0 的距离”，由此可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 x＋4＝0 为准线的抛物线．
_e_＝__1___
_向__左__
_向__上__Байду номын сангаас
_向__下__
通径
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1， P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝_2_p__
K12课件
7
1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e＝1； 4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程课件北师大版选修1-1.ppt

[小组合作型] 由抛物线方程求焦点坐标、准线方程
已知抛物线方程如下，分别求其焦点和准线方程． (1)y＝6x2；(2)4y2＋7x＝0；(3)029】
【精彩点拨】首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出 p. 再写出焦点坐标和准线方程．
【自主解答】 (1)将 y＝6x2 变形得 x2＝16y，故 2p＝16， ∴p＝112，抛物线开口向上． ∴焦点坐标是0，214，准线方程为 y＝－214. (2)将 4y2＋7x＝0 变形为 y2＝－74x. ∴2p＝74，p＝78，抛物线开口向左． ∴焦点为－176，0，准线方程为 x＝176.
(3)将 x＝2ay2 化为 y2＝21ax. ∴焦点坐标为81a，0，准线方程为 x＝－81a.
1．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出 2p，进而求出 p 和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．
2．一般地，不论 a 符号如何，形如 y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为 Fa4，0，准线方程均为 x＝－a4；形如 x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为 F0，a4，准线方程为 y＝－a4，而 p(指焦点到准线的距离)总是正数．
【精彩点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p；从实际分析，一般需确定 p 值和开口方向，如不能确定，应分类讨论．
【自主解答】 (1)设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)或 x2＝2py(p＞0)，则将点 (－3,2)代入方程，得 2p＝43或 2p＝92，
故抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)①令 x＝0，由方程 x－2y－4＝0，得 y＝－2. ∴抛物线的焦点为 F(0，－2)．设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)，则由p2＝2，得 2p＝8. ∴抛物线方程为 x2＝－8y.

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2＞抛物线的范H: y2=2px
3、抛物线的顶点
^=2px
定文:抛物线与对称轴的交点’叫做抛物线的顶点
只有一个顶点
4、抛物线的离心率y2=2px
所有的抛物线的藹心率都是
1
5、抛物线的基本元素
基本量：焦准距Q
（决定抛物线开口犬小）
6、焦点弦和通径
通径是焦点弦中y2=2px(p>0) 最短的弦,
通径IABI=2p
设AB是抛物线y2=2px（p>0）过焦
点F的
—条弦。

设A（Xi，yJ，B（X2，
y2），AB的中点M（xo，yo），过A，B，M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为
y2
=2px(p>0)
y2=2px(p>0)
已知抛物线方程为y2=4小直线Z 过定点P (-2, 1),斜率为k.
则k为何值时，直线Z与抛物线护=4兀只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点呢。

过抛物殳焦点弦的｛響点的一条直线和阶线雲边》黃点的纵坐标为
JW2 2 力丿
2 = 一 P 求证：一条性质）
过焦点的直线具有上述性质，反之，若直线与抛物线B的纵坐标为,且,
的两个交点4,那么直线是否经过焦点F呢？
=2px
2 力宀
J1J2 =-P
既然过抛物线焦点的直线与其相交，交点的纵坐标的乘积是一个定值，那么过抛物线对称轴上其他任意一定点，是否也有这个性质呢？
设抛物线上两动点2
,且满足V = / ，迥&嚣窈恒过某一定点？、4（兀兀2』2）
J1J2=氐仏为常数）
设抛物线上两动点 2 c
,且满足v = 2px
厶/ ,来&狀亭p的轨迹齐程.、
A(x1,y1),B(x2,y2)
J1J2 =比仏为常数)
设抛物线上两动点2
,o为坐标原点，V
OA±OB,则直线&3是否井声？求力B中点PI A(x1,y1),U(x2,y2
=2 nx 迪轨迹彳!呈.
设抛物线上两动点 2 c
则直线AB是否过定点?
,M为该抛物线上一0点，托讹$底
〃（兀2汀2）
右M为抛物线上一个定点，力、（衲非零常数），求证：直线过定点。

^MA ^MB = r 臨盘農和为180。

”,"劉瓠
|澤变为“直线“人与直线将“探究6”的 MB 的倾斜角之和为90。

”,
“直线M A 朽誉即变为 “直线MA 与直
线
上一个定点，&、物线少“彌衣初区旨昭w 求证：直线力B 的斜率为型。

—厶P 入XP ? U 丿若M 为抛物线与直线MB 的倾斜角互补,
设计意图：
培养我们研究数学问题的一般思想方法：
一是考虑原命题的逆命题是否成立；
二是考虑能否把原命题进行一般推广; 三是考虑从原命题条件中还能推岀什么结论？四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。

过抛物线上一定点
•当刊与PB的斜率存,作两条直纟射别交在且倾斜角互补时，V =
求的值，并证明懂线力B的:
率毆和沟）（沟＞°）
」）/（兀2』2）
于匸抛物线，若直线点的J驚确2〃加承鋼矚溜衢孑
P（兀o』o）（儿＞0）
A（兀1），〃（兀2』2 ）
P
Jo
设动直线AB： y=-x+b与抛物线，相交于两点，问在直线MN： x=2上能否找到一定点P （坐标与b的值无关），使得直线P4与FB的倾斜角互
y2 = 8x
过点戶霭乍豐鶴k的直线咬抛物'线于力、B两切A^x^P^P) 交x轴H Q点，当k 变化时，探究点Q是否为定点？
如图，定长为3的线段AB的两端点在抛物线『2=兀上移动，设线段AB的中点为M,求点M到y 轴的最短距离。

正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个三角形的边长。

已知在抛物线y=x?上三个点A、B、C组成一个等腰直角三角形,且顶点B是直角顶点,
⑴设直线BC的斜率为觥求顶点
B的坐标;
(2)求等腰直角三角形的面积的最小
值。

例•已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点A (-1, 0)和B (0, 8)关于直线的对称点都在抛物线上，求直线和抛物线的方程。