-可分离变量的微分方程

1
且满足
lim
h0
f (x hx) h
f (x)
1
ex.
求f (x).
1
answer : f (x) e x .
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§12-2 可分离变量的微分方程
研究对象 解法 举例
研究对象：
dy f (x)h(y) 或 g( y)dy f (x)dx
dx
---可分离变量的微分方程
解法：
(1)分离变量； (2)两边求不定积分
举例：
(1) xy ' y ln y 0
注意对方程的解中 任意常数的处理哦！
解：分离变量得
1 dy dx .
y ln y
x
两端积分得
即 从而
y
1 ln
y
dy
dx. x
隐式（通）解
ln ln y ln x C1.
y eCx
其中C eC1是任意常数.
(2) y ' e2xy , y 0. x0
思考：
(1) (x xy2 )dx (x2 y y)dy 0 (2) y ' sin(x y) sin(x y)
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2ghdt, (1)
h
h dh r
源自文库设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由h降至 h dh , 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
所求规律为t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
作业
12 1(263页)： 2.(3); 3.(2); 4.(2); 5.(2)
12-2(269页)： 1.(5)(7); 2.(3)(4); 4; 5.
附加题
已知函数f (x)在(0, )内可导，f (x) 0, lim f (x) 1. x