工程流体力学 禹华谦 习题答案 第6章

第六章 理想流体动力学

6-1平面不可压缩流体速度分布为

Vx=4x+1；Vy=-4y.

(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解：（1）由于044=-=∂∂+∂∂y

Vy x Vx ，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz =

21(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=)44(21+-＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，.

（3）因 Vx y

x ∂∂=∂∂=ψϕ=4x+1 Vy=y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-4y d φ=x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy φ= ⎰d φ=⎰x ∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (4x+1)dx+(-4y)dy =2x 2-2y 2+x

d ψ=x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy ψ= ⎰d ψ=⎰x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰ 4ydx+(4x+1)dy =4xy+y

6-2 平面不可压缩流体速度分布:

Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y).

(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ .

解：（1）由于x Vx ∂∂+x

Vy ∂∂=2x ＋1－（2x ＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz =

21(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=))2(2(21y y ---＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.

（3）因 Vx=x

∂∂φ =y ∂∂ψ= x 2-y 2+x, Vy=y ∂∂φ=-x ∂∂ψ=-(2xy+y). d φ=x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(x 2-y 2+x )dx+(-(2xy+y).)dy φ= ⎰d φ=⎰x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy =⎰ (x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y))dy =3

3

x -xy 2+(x 2-y 2)/2 d ψ=x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy ψ= ⎰d ψ=⎰x ∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy =⎰(2xy+y)dx+ (x 2-y 2+x)dy =x 2y+xy-y 3/3

6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2-y 2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值

解: 因 Vx=x ∂∂φ =y ∂∂ψ=2x-1，V y ＝y x y 2-=∂∂-=∂∂ψφ，由于x Vx ∂∂+x

Vy ∂∂＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在

d ψ=x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy ψ= ⎰d ψ=⎰x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰2ydx+(2x-1)dy=2xy-y 在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3

在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6

6-4已知平面流动速度势函数 φ=-

π2q lnr,写出速度分量Vr,V θ,q 为常数。 解: Vr=r ∂∂φ =-r q π2, V θ=θ

φ∂∂r ==0 6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-m θ+C ,写出速度分量Vr 、V θ, m 为常数

解: Vr=r ∂∂φ =0, V θ=θφ∂∂r ==-r

m 6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx ,εyy , 求出速度势函数

φ.

解： 因 Vx=x

∂∂φ =y ∂∂ψ= 1 Vy=y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-1 d φ=x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy φ= ⎰d φ=⎰x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰dx+(-1)dy=x-y y v x v y yy x xx ∂∂=∂∂=

εε,

a x=0=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx ； a y =0=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vy Vy x Vy Vx t Vy dt dVy 6-7 已知平面流动流函数ψ=x 2-y 2,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.

解： 因 Vx=x

∂∂φ =y ∂∂ψ= -2y Vy=y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-2x d φ=x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy φ= ⎰d φ=⎰

x ∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰-2ydx+(-2x)dy=-2xy a x=4=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx x a y =

4=∂∂+∂∂+∂∂=y Vy Vy x Vy Vx t Vy dt dVy y; 6-8一平面定常流动的流函数为

(,)x y y ψ=+

试求速度分布，写出通过A （1，0），和B （2.

解：1x v y ψ∂==∂, y v x

ψ∂=-=∂

平面上任一点处的速度矢量大小都为2=，与x 和正向夹角都是

060=。

A 点处流函数值为3-?301-=+，通过A 点的流线方程为y +=

样可以求解出通过B 点的流线方程也是y +=

6-9 已知流函数ψ=V ∞(ycos α-xsin α),计算其速度,加速度,角变形率

(xy ε=yx ε=2

1(x v y ∂∂+y v x ∂∂)),并求速度势函数φ. 解： 因 Vx=x

∂∂φ =y ∂∂ψ= V ∞cos α Vy=y ∂∂φ=-x

∂∂ψ= V ∞sis α d φ=

x ∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy φ= ⎰d φ=⎰x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy= V ∞⎰cos αdx+ sis αdy = V ∞( cos αx+ sis αy)

a x =0=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx a y =0=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vy Vy x Vy Vx t Vy dt dVy ; xy ε=yx ε=

21(x v y ∂∂+y v x ∂∂)=0 6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。

解: 不可压缩三维流动的连续性方程为