[实用参考]高中常见数学模型案例.doc
数学模型应用举例
(1) 试验的样本空间只包含 有限个元素; ( 2) 试验中每个基本事件发 生的可能性相同 . 具有以上两个特点的试 验称为等可能概型或 古典概型 .
2. 古典概型问题的求解计算公式 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A为 E 的任意一个事件，且包含 nA 个样本 点，则事件 A 出现的概率记为:
k n
且两两互相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
P{X k} C p (1 p)
k n k
n k
,
k 0,1,2,, n
记为 X ~ b( n, p).
问题提出 设有80台同类型设备,各台工作是相互 独立的，发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的 故障能由一个人处理. （1）由四人维护,每人负责20台; （2）由3人共同维护台80. 比较这两种管理设备方法的优裂.
问题假设 一、各台设备工作是相互独立的； 二、各台设备发生故障的概率都是0.01; 三、一台设备的故障能由一人处理； 四、只考虑设备发生故障不能及时维修 评价这两种管理； 五、以X表示同一时刻发生故障的台数； 六、以A表示80台中发生故障而不能维修。
模型建立 （1）问题一 管理方案1归结为 X~b(20，0.01);
nA A 所包含样本点的个数 P ( A) . n 样本点总数
问题提出 某接待站在某一周曾接待过 12次来访, 已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的, 问是否可以推断接待时间是有规定的. 问题假设 假设接待站的接待时间没有规定,且各 来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的. 模型建立 把该问题归结为等可能概型（古典概型） 问题。
问题求解 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
高考数学中的常见数学模型
高考数学中的常见数学模型数学作为一门科学，无处不在。
它融入了人们的生活和工作中，为人们提供了解决问题的工具和方法。
高考数学中的常见数学模型就是数学在实际问题中的应用。
下面，我将介绍一些高考数学中常见的数学模型。
第一种常见的数学模型是线性规划模型。
线性规划是一种运用数学方法对实际问题进行优化决策的数学模型。
它将实际问题抽象成一系列的线性方程组，通过设置目标函数和约束条件，求解出使目标函数最优化的变量值。
线性规划模型在高考数学中常常用于求解最大最小值、优化问题等。
例如，一道典型的线性规划题目是：某公司生产两种产品A和B，已知产品A每件需要3个小时的时间，产品B每件需要2个小时的时间；公司每天有40个小时的生产时间可以使用；已知产品A每件利润为200元，产品B每件利润为150元。
问公司应该生产多少个产品A和产品B，才能使利润最大化？第二种常见的数学模型是指数模型。
指数模型是通过数学方式描述实际问题中的指数增长或指数衰减规律的数学模型。
在高考数学中，指数模型常用于描述人口增长、物资消耗、生物繁殖等问题。
例如，一道典型的指数模型题目是：某地的人口增长速度服从指数增长模型，已知2000年时该地人口为100万人，2005年时该地人口为135万人。
问该地人口增长的年增长率是多少？第三种常见的数学模型是随机模型。
随机模型是指将概率论和数理统计的方法应用到实际问题中的数学模型。
它用于描述和分析具有随机性的现象，如投资、风险管理、财务分析等。
在高考数学中，随机模型常用于求解概率问题和统计问题。
例如，一道典型的随机模型题目是：某批产品的质量合格率为90%，抽取其中10件产品检查，如果有2件及以上不合格，则判定该批产品不合格。
问抽取的10件产品中有3件不合格的概率是多少？第四种常见的数学模型是几何模型。
几何模型是通过几何学的方法来解决实际问题的数学模型。
在高考数学中，几何模型常用于解决空间位置、图形形状和大小等问题。
例如，一道典型的几何模型题目是：已知长方体的底面积为36平方厘米，其高为10厘米。
数学模型的应用案例
数学模型的应用案例数学模型是数学在实际问题中的应用，可以通过建立各种方程和函数来描述、分析和解决现实生活中的各种问提。
这种模型可以用于解决自然科学、社会科学以及工程领域的问题。
下面是数学模型的一些应用案例：一、温度变化模型在气象领域，数学模型经常被用于对温度变化进行预测和分析。
例如，气象学家使用数学模型来建立气温和时间之间的关系，以便预测未来几天的气温。
这些模型考虑了大气压力、太阳辐射、地球自转等因素，通过数学方程表示温度的变化规律。
这样的模型能够提供准确的天气预报，帮助人们做出合理的安排。
二、股票市场预测模型在金融领域，数学模型被广泛应用于股票市场的预测和分析。
投资者可以使用数学模型来建立股票价格和各种因素之间的关系，如市场供求关系、公司业绩、宏观经济环境等等。
通过数学计算，可以预测股票价格的变化趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
三、交通流量模型在城市规划领域，数学模型被用于分析和规划交通流量。
交通工程师可以使用数学模型来描述车流量、信号灯设置、道路拥堵等因素之间的关系。
通过观察和测量，可以将这些关系转化为数学方程，并根据模型的预测结果来优化交通流量，减少拥堵，提高交通效率。
四、传染病模型在公共卫生领域，数学模型被广泛用于传染病的控制和防控策略的制定。
数学家根据感染速率、康复率、致死率等参数，建立了各种传染病模型，如SIR 模型、SEIR 模型等。
通过这些模型，可以预测疫情的发展趋势，并评估各种干预措施的效果，从而制定出更有效的防控策略。
五、物理模型在物理学中，数学模型被广泛用于对物理现象的研究和解释。
例如，在力学中，可以使用牛顿定律来描述物体的运动，把质点的位移、速度和加速度等物理量表示为时间的函数。
这些数学模型可以帮助科学家理解物理世界的规律，预测天体运动、电磁场分布等现象。
总之，数学模型的应用范围非常广泛，几乎涉及到各个领域。
通过建立数学模型，可以对实际问题进行更深入的分析和研究，并提供相应的解决方案。
高中数学必修一 3-2-2 函数模型的应用实例
思路点拨 由题目可获取以下主要信息：①原用电单价为0.52 元
/kwh；②换装分时表后，分段计费，峰时段0.55元/kwh，谷时段 0.35元/kwh；③该家庭平均月用电量为200 kwh. 解答本题可先求出原来用电的费用，再设出峰时段的用电 量建立不等式求解．
解析
①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．
【思路点拨】 根据已知公司总收益＝总成本＋利润，知道利润＝总收益 －总成本，然后根据分段函数R(x)求出分段函数f(x)，分别求出 函数f(x)在各段内的最大值，再进行比较从而求得f(x)的最大值．
【解析】 (1)月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，那 1 － x2＋300x－20 000，0≤x≤400， 么f(x)＝ 2 60 000－100x，x>400. 1 (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－2(x－300)2＋25 000，所以当x＝ 300时，f(x)有最大值为25 000；当x>400时，f(x)是减函数，且
第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
课 时 学 案
Байду номын сангаас
课 时 作 业
课 时 学 案
题型一
给出函数模型的问题
000
例1 某电子公司生产一种电子仪器的固定成本为20
元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x) 1 400x－ x2，0≤x≤400， 2 ＝ 其中x是仪器的月产量． 80 000，x>400. (1)将利润f(x)表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为 多少元？(总收益＝总成本＋利润)
1 1 － 10 1 1 ②令( )t ＝0.25＝( ) 2 ， 16 16
143个高中高频数学解题模型
143个高中高频数学解题模型一、一元一次方程与一元一次方程组1. 一元一次方程的定义一元一次方程指的是只含有一个变量，并且最高次数为一的方程，通常表示为ax+b=0。
解一元一次方程的方法主要有求解法和图解法。
2. 一元一次方程组的概念一元一次方程组指的是由若干个一元一次方程组成的方程组，通常表示为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2解一元一次方程组的方法主要有代入法、加减法和等系数消去法。
二、一元二次方程与一元二次不等式1. 一元二次方程的特点一元二次方程指的是最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法主要有配方法和求根公式。
2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是最高次数为二的不等式，通常表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
解一元二次不等式的方法主要有因式分解法和图像法。
三、二元二次方程与二元二次不等式1. 二元二次方程的定义二元二次方程指的是含有两个变量且最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0。
解二元二次方程的方法主要有配方法和消元法。
2. 二元二次不等式的概念二元二次不等式指的是含有两个变量且最高次数为二的不等式。
解二元二次不等式的方法主要有图解法和代数法。
四、指数与对数1. 指数的基本性质指数是幂运算的一种表示方式，有基本性质包括乘法法则、除法法则和零指数法则。
2. 对数的基本概念对数是幂运算的逆运算，有基本性质包括对数的乘除法则和对数的换底公式。
五、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，有基本性质包括奇偶性、周期性和对称性。
2. 解三角形的基本方法解三角形主要包括利用三角函数和利用三角恒等式两种方法，主要应用于解直角三角形和不定角三角形。
六、平面向量的运算1. 平面向量的基本定义平面向量是具有大小和方向的量，有基本运算包括数乘、加法和减法。
(完整word版)高中常见数学模型案例.docx
高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部 2003 年 4 月制定的普通高中 《数学课程标准》 中明确指出： “数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容 ”，“数学建模是数学学习的一种新的方式， 它为学生提供了自主学习的空间， 有助于学生体验数学在解决问题中的 价值和作用， 体验数学与日常生活和其他学科的联系， 体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程， 增强应用意识； 有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
”教材中常见模型有如下几种 :一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。
函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用， 两个变量或几个变量， 凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来， 建立起一个函数关系 （数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题例 1：某商人购货，进价已按原价a 扣去 25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价 25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额 y之间的函数关系是 ___________。
分析：欲求货物数 x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式， 关键是要弄清原价、 进价、新价之间的关系。
若设新价为 b ，则售价为 b （ 1－ 20%），因为原价为 a ，所以进价为 a （ 1－ 25％） 解 ： 依 题 意 ， 有 b(1 0.2) a(1 0.25) b(10.2) 0.25 化 简 得 b5a ， 所 以5a4y 0.2bxx Na 0.2，即 yx, x442、一次函数问题例 2：某人开汽车以 60km/h 的速度从 A 地到 150km 远处的 B 地，在 B 地停留 1h 后，再以 50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路 x （ km ）表示为时间t （ h ）的函数，并画出函数的图像。
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：3.2.2 函数模型的应用实例 Word版含解析
3.2.2函数模型的应用实例A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副解析：利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4 000)≥0.解得x ≥800.答案：D3．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A ．14 400亩B ．172 800亩C ．20 736亩D ．17 280亩解析：设年份为x ，造林亩数为y ，则y ＝10 000×(1＋20%)x －1，∴x ＝4时，y ＝17 280.故选D.答案：D4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ， (1≤x <10，x ∈N *)2x ＋10， (10≤x <100，x ∈N *)1.5x ， (x ≥100，x ∈N *)其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．解析：令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25人．答案：25类型一 二次函数模型例1 某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【解析】 设每个提价x 元(x ≥0，x ∈N )，利润为y 元．每天销售总额为(10＋x )(100－10x )元，进货总额＝8(100－10x )元，显然100－10x >0，即x <10，则y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：设某林区的森林蓄积量原来为a，依题意知，ax＝a(1＋9.5%)y，所以y＝log1.095x.答案：D2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：因为自行车x辆，所以电动车(4 000－x)辆，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.答案：D3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)，所以当x＝10时，S max＝45.6(万元)．答案：B4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的一名工人组装第x件某产品所用的时间，(A，c为常数)．已知工人组装第容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，(1) (3) (2)计算机的价格大约每3年下降2，那么今年花8 100画出散点图如图所示．由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些t (h)的函数关系式是一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩。
高中物理数学模型应用案例分享
高中物理数学模型应用案例分享概述在高中物理学习中，数学模型的应用十分重要。
通过运用数学方法和工具，我们可以解决一系列与物理相关的问题。
本文将分享一些高中物理领域常见的数学模型应用案例，展示它们的实际意义和解决问题的能力。
1. 简谐振动模型简谐振动是高中物理课程中经常涉及到的一个重要概念。
例如，弹簧振子、单摆等都可以使用简谐振动模型进行分析。
应用案例：弹簧振子考虑一个质量为m的弹簧振子，已知其劲度系数为k，并受到外力F(t)作用。
我们可以建立以下方程来描述其运动:m * x'' + k * x = F(t)其中x表示位移，x''表示加速度。
通过求解上述微分方程，我们可以确定该弹簧振子在外力作用下的运动规律。
2. 牛顿第二定律模型牛顿第二定律是经典力学中最基本也是最重要的定律之一。
它描述了一个物体所受合力在大小和方向上与物体的加速度成正比。
在高中物理学习中，我们经常利用牛顿第二定律建立力学模型。
应用案例：匀变速直线运动考虑一个沿直线运动的自由落体，已知其质量为m，受到重力作用。
根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程:m * a = -mg其中a表示加速度，g表示重力加速度。
通过求解上述方程，我们可以确定自由落体在重力作用下的运动规律。
3. 热传导模型热传导是研究物质内部温度分布和传播过程的一门学科，在高中物理学习中也有广泛应用。
应用案例：热扩散问题考虑一个长条形杆体，在不同端温度已知的情况下，我们希望推导出杆体内部温度分布。
通过应用热传导方程:∂T/∂t = k * ∂²T/∂x²其中T表示温度，t表示时间，k表示热扩散系数。
通过求解上述偏微分方程，并满足边界条件，可以得到杆体内部温度随时间的变化情况。
4. 电路模型在高中物理中，我们学习了许多关于电路的知识。
通过建立电路模型，我们可以分析电流、电势差、电阻等各种参数之间的关系。
应用案例：串联和并联电阻考虑一个由两个电阻R1和R2串联或并联组成的电路，已知电源提供的电压为V。
高中数学学习中的数学模型构建实例
高中数学学习中的数学模型构建实例数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，我们能够更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
在高中数学学习中，数学模型构建是一个重要的环节，它能够帮助学生将数学知识与实际问题相结合，提高数学学习的深度和广度。
本文将通过几个实例，介绍高中数学学习中的数学模型构建。
实例一：人口增长模型假设某城市的人口增长率与城市的发展速度和工作机会数量成正比，与老年人口比例和生育率成负比。
我们可以通过建立数学模型来分析该城市的人口增长趋势。
首先，假设城市当前的总人口为P，年人口增长率为r，老年人口比例为a，生育率为b，工作机会数量为c，那么可以表示人口增长模型为：P' = P + rP - aP - bP + cP。
接下来，我们可以通过观察和调查得到一些初始条件和参数值，比如P=10000，r=0.02，a=0.15，b=0.01，c=500。
将这些数值代入到人口增长模型中，可以计算得到不同时期城市的人口情况。
实例二：投资回报模型假设某人投资一笔钱到一个项目中，该项目每年回报率为r，投资时间为t年。
我们可以建立一个数学模型来分析投资回报的变化。
首先，假设初始投资金额为P，年回报率为r，投资时间为t年，那么可以表示投资回报模型为：R = P(1+r)^t。
接下来，我们可以通过设定不同的初始投资金额、回报率和投资时间，计算得到不同情况下的投资回报。
比如，当P=1000，r=0.1，t=5时，代入模型计算可得回报R=1610.51。
实例三：物体运动模型假设某物体从静止开始，以初速度v0经过时间t后速度变为v，我们可以建立数学模型来分析物体的运动情况。
首先，根据牛顿第二定律，可以得到速度变化的方程为：v = v0 + at，其中a为加速度。
接下来，我们可以通过设定不同的初速度、加速度和时间，计算得到不同情况下物体的速度。
比如，当v0=0，a=2，t=5时，代入模型计算可得速度v=10。
高中数学 3.2.3函数模型的应用实例(一)教案 新人教A版必修1.doc
3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.= –20(x– 10)2 + 8000.由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩这个函数的图象如图所示.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题⇒简化假设⇒数学建模⇒解答模型⇒检验模型⇒评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程S km与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为x kg，则食品的价格y元与重量x kg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm，则另一组对边的长为3002x-m，从而矩形菜地的面积为：学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.宽各为多少时，这块菜地的面积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.21(300)21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<<当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大. 4．解：所求函数的关系式为 100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业 习题2—3B 第1、3题：教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩（1）当0≤x ≤400时，由3.75x =750，得x =200.（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.例2投资A 种商品金额(万元) 123456获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润 (万元)0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x–m)2 + b后发生的变化.。
高中数学-函数模型的应用实例
y 55196e0.0221t，t N
从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
y
70000 65000 60000 55000 50000
0
2
4
6
8
t
（2）将y=130 000代入
y 55196e0.0221t
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口达到13亿？
因为 Байду номын сангаасi
ai ai 1 ，所以可以得出 ai 1
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函y数解析式，并作出相应的图像。
90 80 70
60
50
40
30
20
10
t
123 45
y
2400 2300
2200
2100
2000
x
123 45
2:人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型:
函数模型的应用实例
1:一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图:
y (Km/h)
90
90
80
80
75
70
65
60 50 50
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高中常见数学模型案例
中华人民共和国教育部20KK 年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
”教材中常见模型有如下几种:
一、函数模型
用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。
函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题
例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系是___________。
分析：欲求货物数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(⋅-=---b a b 化简得a b 4
5=，所以x a bx y ⋅⋅==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4
2、一次函数问题
例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路P （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。
分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程P 和时间t 得函数关系式P （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。
要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。
解：汽车离开A 地的距离Pkm 与时间th 之间的关系式是：⎪⎩
⎪⎨⎧∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。
速度vkm/h 与时间th 的函数关系式是：⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。
3、二次函数问题
例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。
解：设小矩形长为P ，宽为P ，则由图形条件可得：l y x x =++911π
∴x l y )11(9π+-=
要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：
)44(32)442(644])11([322622
222
2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s
∴当π
+=
442l x 时，)44(9)22(9)11(πππ+-=+-=l x l y 即：π-=2218y x 此时窗框面积S 有最大值)44(322m ax π+=l s 。
可见，一般的设自变量为P ，函数为P ，并用P 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。
二、数列模型
数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。
在高一年级教材中就有这类数学问题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。
例4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575％，那么每月应还多少钱呢？
分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。
在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通
通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。
2423004575.110000004575.1004575.1⨯=+++x x x
可以发现，上述等式是一个关于P 的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是：
2424
004575.110000004575
.11004575.11⨯=--⋅x
即24
24004575.11)004575.11(004575.110000--⨯⨯=x 解之得91.440≈x 提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款a 元，m 个月将款全部付清，月利率为r ，那么每月付款款额的计算公式是什么？
显然问题转化为建立关于P 的方程。
设采用分期付款方式贷a 元，m 个月将款全部付清，月利率为r ，每月付款P 元，那么：
把右边求和，得r r x r a m m ]1)1[()1(-+=+，
所以：1
)1()1(-++=m m
r r ar x 万元。
三、初等概率模型
()()()()122(1)11...11m m m a r x rx r x r x r x --+=+++++++++
古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率来解决。
例5：将n 个球随机地放入n 个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。
分析与求解：因为每一个球都可以放进n 个盒子中的任一个盒子，共有n 种不同的放法，n 个球放进n 个盒子就有n ×n ×…×n=n
n 种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为n n 个。
现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同放法的种数。
第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒子之一，有（n-1）种放法，…，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以n 个球放进n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有!n 种不同的放法，因而所求得概率为： n n
n
A A P =)(。
几何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域可以是一维、二维甚至n 维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某一个可度量的子集A 的可能性与A 的几何测度成正比，而与A 的形状及位置无关。
如下面的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。
例7：两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内） 解：以P 、P 分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：∣P －P ∣≤20，两人到达时刻的所有可能结果可用边长为60的正方形区域上的任意点（P ，P ）表示，该正方形上的所有点的集合构成了样本空间。
如下图的阴影部分（满足不等式∣P －P ∣≤20的点的集合）表示“两人能相遇”这一事件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。
9536002000)(===大小
S S A P 。
通过这一段的研究，笔者有如下心得：
（1）在数学教学中和对学生数学学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
（2）在数学教学和课外活动中，要鼓励支持学生“面对实际问题时，能主动尝试着以数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略”。
开阔学生的数学视野，使他们了解数学的应用价值。