数学物理方程chpt5-Green函数法 (1)
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式偏微分方程Green公式是一种重要的数学理论，它可以帮助我们解决很多计算机科学中涉及微分方程的问题。
本文就偏微分方程Green公式的概念和应用进行简要介绍。
一、Green公式的概念Green公式是解决偏微分方程的一种方法，由英国数学家Green 于1837年提出。
Green公式的核心思想是将偏微分方程的求解转化为求解一个特定的定积分。
Green公式的表达式为：$$F(x) =int_{x_0}^x f(t) dt + F(x_0)$$其中，$x_0$是固定的一个常量，$F(x)$和$f(x)$分别是偏微分方程的右端以及多元函数。
二、Green公式的应用Green公式在很多计算机科学中有着广泛的应用。
例如，用Green 公式可以求解偏微分方程的解析解；Green公式也可以用来求解经典微分方程的渐近解；在计算机科学中，Green公式也可以用来计算物体表面的表面积，以及用于解决有限元问题。
三、Green公式的优缺点Green公式与其他解决微分方程的方法相比有着许多优点。
一方面，Green公式可以解决更复杂的偏微分方程；另一方面，Green公式在解决经典微分方程时更快，可以有效减少计算过程所需的时间。
虽然Green公式在许多方面都有着显著的优势，但也要注意它的一些缺点。
例如，Green公式在解决复杂的偏微分方程时，计算量很大，因此不适合求解一些高难度的问题；而且Green公式也不能用来求解有边界条件的偏微分方程。
四、结论以上就是Green公式简要介绍，仅供参考。
虽然Green公式在解决偏微分方程方面有着许多优点，但它也有一些缺点，所以在使用Green公式时要结合实际情况，选择最合适的应用方法。
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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第4章格林函数法
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
数学物理方程第10讲 格林函数法 叶葱
M(x,y,z)
v u (u v u)dV (u n v n )ds
现在的问题是， V(x,y,z)不包含M0这一点！！！！ 所以运用公式时我们要挖去M0点（奇异点）
如何去除M0点？？
最简单的，以M0为中心， ɛ 为半径作一个球面， 球面为Ƭɛ,球体积为Kɛ,挖去这样一个球。
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
我们要求区域内一点M0处的u， 要知道这个函数在区域边界Ƭ上的值 以及在Ƭ上的法向导数的值
1 r 1 u )ds 4u 4 ( u ) 0 根据 (u n r n n
0, lim u u(M 0 )
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
调和函数的积分表达式
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
考虑球面Ƭɛ上，即M点在球面，此时r=ɛ
1 1 r r 1 1 n r r2 2
1 r ds 1 u n 2
uds r 1 u )ds ? (u n r n
2 2
第二格林公式
现在我们求解u（x，y，z）
u0
2
Dirichlet 问题
u
f ( x, y , z )
求出调和函数 的积分表达式
首先构造一个辅助函数
M0(x0,y0,z0) r
M(X,Y,Z)
1 1 v( x, y, z) 2 2 2 r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
数学物理方法 Green函数方法
i x r cos
数学物理方法2015.02
第一节 基本解和积分表示定理
当n=2时
当n=3时
1 1 ( x; ) ln 2 x 1 1 ( x; ) 4 x
一般地，基本解的形式为
1 1 ( x; ) n2 (n 2)n x
数学物理方法2015.02
如果(x,)Lloc(Rn)在广义函数的意义下满 足 n ( x ), x, R 即对于任意的 f C ( R ) 有
n 0
Rn
f dx f ( )
则称(x,)为Laplace方程的基本解
数学物理方法2015.02
第一节 基本解和积分表示定理
基本解的求解：=0的情况
( x)
做Fourier变换
(2 ) n
n 1 ( ) (2 ) 2
2
( x )
数学物理方法2015.02
1 (2 )
n N
lim
e
i x 2
N
d
第一节 基本解和积分表示定理
当n = 3时的情况
当n=2时
1 1 G( x; ) ln g ( x; ) 2 x
数学物理方法2015.02
x g 0, x 1 1 g x 2 ln x
x
第三节 Green函数的求解
上半空间上的Green函数
3 g 0, ( x, y, z ) R 1 g z 0 4 x z 0
( x)
3
3
x ( x1 , x2 , x3 )
x (0,0, x )
第四章 Green函数法(all)
u(r0 ) G( r ,r0 ) f (r)dV G( r ,r0 )(r)dS
T
意义：Poisson方程边值问题的解在 T 内任一 点的值可由Green函数 G(r,r0 ) 和问题的已知函数 f 和 φ 的积分表示.
由以上讨论知, 要求解Poisson方程边值问题, 就要首先求出相应的Green函数。要知区域 T上 的Green函数, 还必须解一个特殊的定解问题。以 第一边值问题为例, 须求解
减T 去①式得:
u[vx cos( n, x) v y
(vu uv)dV
T
co(sv(nun,
y)uvvz
cos(
)dS
n
n, z)]dS
……②
即
第二Green公式
uvdV
T
u
v dS n
(uxvx
T
uyv y
uzvz )dV……①
第一Green公式
2.基本解
定义：设 M ( r ), M0(r0 ) 为n维空间中的点，
ln[1
02
20
cos(
)]
k 1
k 0
cos k(
k
)
有
G1
|
1
4
k 1
0k
k
(cos k
cos k
sin k
sin k
)
通过比较系数可得
a0 0,
ak
k 0
4 k
cos k ,
bk
0k 4 k
sin k
从而得:
G1( , ;0 ,
)
1
4
(0 )k
k1 k
cos k(
)
1
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]
![数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/0fa571d09fc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d6e6.png)
第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
数学物理方法 第十二章 格林函数解的积分公式
9
Poisson 方程： 考虑非齐次边值问题
n
r'
T r
u f ( r ), r T (12.1.4) u u ( M ) n
2
O
0, 0 第一边值问题或狄里希利问题 0, 0 第二边值问题或诺依曼问题 0, 0 第三边值问题
T
T
z K r0 y
ε
u ( r0 ) v ( r , r0 ) f ( r )dV v ( r , r0 ) u( r ) v( r , r0 ) n u( r ) n dS
T
o
x
——泊松方程的基本积分公式
2 0 ln(| ' |) C dq ( ' , ' ) , 令C 0 2 0 ln(| ' |) du ( , ) d q ( ' , ' ) 2 0
dq ( ' , ' )
T K T K
2
２ （的半径）
1 1 4 | r r0 | 4
立体角
0（V 不包含 r0 )
1 1 1 2 )dS u r d u(r0 ) 2 r 4 r
vf dV u v dS u ( 1 n (r ) 4
· (x, y, z) /0 E=
2
G代表位于( , , )的带电量为 0 )的点电荷在( x, y, z )产生的电势。 (
二维无界空间Green公式
泊松方程 u=f (x, y)
数学物理方程19_王现版
=0
. . . . . .
Y.S. Li (清华大学物理系)
第十三讲
Green 函数方法 (一)
10 / 31
Green 函数方法
实现方法
最后就得到 ∫∫∫ ∫∫ ′ ′ 3 u( r ) = G(r; r )ρ(r) d r − ε0 f(Σ )∇G(r; r′ )
V Σ
Σ
· dΣ
.
.
.
.
.
.
对于有界空间，情况会变得比较复杂
.
.
.
.
.
.
Y.S. Li (清华大学物理系)
第十三讲
Green 函数方法 (一)
5 / 31
Green 函数方法
Green 函数的概念
. 格林函数方法的思想 . 从 . 点电荷的电势叠加出任意电荷分布产生的电势
对于有界空间，情况会变得比较复杂 如果是有界空间，原则上仍然可以把空间内的电荷无限分割
.
.
.
.
.
.
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第十三讲
Green 函数方法 (一)
10 / 31
Green 函数方法
实现方法
在公式的面积分当中 ∫∫∫ ′ u(r ) = G(r; r′ )ρ(r) d3 r ∫∫ ] [ V − ε0 u(r)∇G(r; r′ ) − G(r; r′ )∇u(r) · dΣ
有了点电荷的电势分布，根据静电场的线性叠加性，可以直接求出 任意电荷分布的静电势
1 u(r) = 4πε0
∫∫∫
ρ(r′ ) 3 ′ d r |r − r′ |
.
.
.
.
.
.
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数学物理方法_第7章 Green函数法
2 2
公式，经过繁复的推导，并考虑Green函 数的对易性 G(M , M0 ) G(M0 , M ) 得到
其中， G(M , M 0 ) 为二维Poisson方程的Dirichlet -Green函数，即定解问题
G( M , M 0 ) ( M M 0 ) ( M D), G( M , M ) 0 (7.2.22) 0 c
2
的解。 应当指出，Green法，即解的积分表示具 有上述理论意义，在实际求解中，只有几种 特殊边界可以求出Green函数，下面我们 来讨论求Green函数的一种特殊方法—电 像法。
因此，普遍地说，Green函数是一个点源在 一定的边界条件和（或）初始条件下所产生 的场，利用Green函数，可求出任意分布的 源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、 二、三类边界条件为例进一步阐明Green函 数的概念，并讨论Green函数法—解的积分 表示。
§7.2 Poisson方程的边值问题 三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成
1
0
可见，只要从式（7.2.6）和式（7.2.15）中 解出G(M , M0 ) 则式（7.2.16）也已全部由已知 量表示。我们称方程（7.2.6）和边界条件 （7.2.15）所构成的定解问题
2G(M , M 0 ) (M M 0 ) (M ), n G( M , M 0 ) G(M , M 0 ) 0 S 的解 G(M , M 0 ) 为由方程（7.2.1）和边界条件
Green函数统一求解方法
（方法二）
i H 0 G0 t t t
t t
t t
H 0 G0 t t i t t
t t i
H 0 G 0
2 2 2 p H 0(x) 2m 2m
G0
x , x ; E
1
2
3
1 k 2m
2 2
2
2
e i
ik x x
dk
2m
G0
x , x ; E
1
2m
3
2
1
Ae
iH 0 /
1 2
3
0:
i H 0 G 0 i H 0 G 0
i G 0 G 0
0 G 0
1 q Ea b i 2m
2 2
e
iq x x
弹性散射含时自由Green函数满足的方程 形式解为
G0 t t i 1 t H 0 i
i H 0 G0 t t t
1 Eb H i
a
b a b a b V
a a
1 2
1 E H 0 i
e
iE t t /
dE
1 G 0 t t lim 0 2
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式偏微分方程（PartialDifferentialEquations，简称PDE）在数学和物理学中有着重要的作用，它可以描述多元函数的变化，进而用于解决实际问题。
其中，green公式是一种有用的方法，用于把复杂的PDES（偏微分方程组）转化为更容易求解的形式。
本文将介绍green 公式的定义、推导以及应用，并结合一些实例进行说明。
一、green公式的定义green公式是一种把偏微分方程组转化为更容易求解的形式的方法，由英国数学家George Green在19世纪发现，因此也称为green 公式。
它的形式为：$$ oint_{sp} left[f frac {partial u}{partialn}-frac{partial f}{partial n} Uright]ds=0 $$其中，U代表未知函数，f为边界条件，n为法向量，sp代表边界曲线。
二、green公式的推导green公式的推导可以分为四个步骤：1.先考虑f=0的特殊情况，即特征值方程。
2.令U(x,y)构成 Green数，写出 Green数的偏微分方程；3.给出 Green数 U(x,y)特解，并写出特解的表达式；4.根据Green函数U(x,y)的特解，推导出green公式。
三、green公式的应用Green公式可以用于许多应用领域，如热传导、电磁场、气流模拟等。
1.Green公式在热传导中的应用：热传导是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解温度场的变化问题。
如果将温度场用U(x,y)表示，则可以将热传导问题转化为求解green公式的问题。
2.Green公式在电磁场中的应用：电磁场是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解电和磁场分布的变化问题。
如果将电场用U(x,y)表示，则可以把电磁场变化问题转化为求解green公式的问题。
3.Green公式在气流模拟中的应用：气流模拟是一种应用green公式求解流体力学问题的方法。
[研究生入学考试]工科数学分析Green公式
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Q 2u x yx P , Q有 一 阶 连 续 偏 导 Q 在 D 内成立 . x
注:1. 若du=Pdx+Qdy, 称u(x,y)为表达式Pdx+Qdy的 原函数. 2. 由Th2知: 若 P,Q 在单连域 D 上有一阶连 续偏导数,则 P Q P dx+Q dy在D内存在原函数 u y x ( x, y)
内 有 一阶 连 续 偏导 数 ,由Green公 式 :I
(2) (a )当 (0,0)在 L 外 部 时 , P , Q在 L 及 L 围 成 的区 域
0
L
(b). 若O(0,0)在L内, 则P , Q在O(0,0)处没有一阶连续 偏导数 , 不满足 Green定理的条件 .
作一以 O为 圆 心 , 为半径的 圆L , L 取 顺 时 针 方 向 ， 取 适当小 , 使L 在L围 成 的 区 域 内
P Pdx dxdy [ P ( x , y1 ( x )) P ( x , y 2 ( x ))]dx L a y D
Q 同 样 : Qdy dxdy L x D Q P Pdx Qdy ( )dxdy L x y D
2
2
xdy ydx
2 a π 2 π. 2 a
例6 质点 M 在变力F的作用下，沿着以AB 为直径的
半圆周从点A（ 1 ， 2 ）运动到点 B(3,4), F的大小等于点M与原 点的距离，其方向垂直 于线段 OM且与y轴正向的夹角小于 , 2 求变力F 对质点 M 所作的功.
y
F
D D
o
x
由Green定理, I (2)dxdy 2 dxdy 8
第五章Green函数法
所以，
(t ) f (t )dt f (0).
更一般地有， (t t0 ) f (t )dt f (t0 ).
2.函数是偶函数 ,即 (t ) (t );
3.
t
d 0, t 0 ( )d H (t ), H (t ) (t ),其中 H (t ) dt 1, t 0
所以,当t 0时, i (t ) 0;当t 0时,由于 q (t )是不连续的， 从而在普通导数的意义 下， q (t )在这一点导数不存在， 如果我们从形式上计算 这个导数，则得
dq( t ) q(0 t ) q(0) 1 i( t ) lim lim . t 0 t 0 t dt t
2 , t 0 sin t d 0, t0 0 , t 0 2 则 当t 0时,
1 1 1, t 0 1 1 sin t 2 2 f (t ) dt 2 0 1 1 ( ) 0, t 0 2 2
' (t ) 0
ti
( ti ) 1 1 所以有 [ (t )]dt ( w)dw t i ( t i ) ' ( ) ' ( t ) i k
于是
k i 1
f (t ) [ (t )]dt
i 1
ut 2 u 0
§5.1
函数
物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性 如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、 点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压 强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、 瞬时电压等 。 它们不在某一空间范围内出现，也不在某一时间间隔内 出现，而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。 研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的δ函数
第5章格林函数法
第5章格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．5.1 格林公式TΣ上具有连续一阶导数,在区域及其边界中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理d d T T div =∇∫∫∫∫∫∫i A V =A V (5.1.1)单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量单位时间内V 内各源头产生的流体的总量将对曲面Σ的积分化为体积分d ()d d d T T Tu u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2)()uv u v u v∇=∇⋅+∇以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有d ()d d d T T T u u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3)上述两式相减得到()d ()d Tu u u u V Σ∇−∇=Δ−Δ∫∫∫∫∫i S v v v v的外法向偏导数．5.1.4）为第二格林公式．进一步改写为()d ()d Tu S u u V n Σ∂∂−=Δ−Δ∂∂∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4）5.2 泊松方程的格林函数法讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=−r r (5.2.1)（5.2.2）是区域边界Σ上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题()()[]()u f u u n αβϕΣΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r (5.2.3)上沿界面外法线方向的偏导数格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解定解问题（5.2.3），我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数0(,)G r r 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类(,)()[]0G G G n δαβΣΔ=−−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩00r r r r （5.2.4）()δ−0r r 代表三维空间变量的δ函数，在直角坐标系中其形式为0()()()()x x y y z z δδδδ−=−−−r r 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内）0r 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(5.2.4)的解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函格林函数互易定理：因为格林函数0(,)G r r 代表0r 处的脉冲（或点源）在r 处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离0||−r r 的函数,故它应该遵守如下的互易定理：(,)()G G ,=r r r r （5.2.5）)得到())d (()())d T u S u G G u V n ∂⋅=Δ−Δ∂∫∫∫r r r （5.2.6）0()]d (()())d ())()()]d T G u S G u u G Vf u V δ∂−⋅=Δ−Δ∂−+−∫∫∫r r r r r r r n (5.2.7)根据δ函数性质有：00()()]d ()T u V u δ−=∫∫∫r r r r (5.2.8)故有0(,)()]d G u S ∂−∂r r r)r n (5.2.9)泊松方程的基本积分公式．00000000((,))d [(,)()]d u G V G u S n Σ∂∂+−∂∂∫∫ r )r r r r r n 格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到（5.2.10）解的基本思想：通过上面解的形式（5.2.9）我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程(5.2.1)与任意边值问题（5.2.2）所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题（5.2.4）. 一般后者的解容易求得，通（5.2.9）即可求出（5.2.1）和（5.2.2）定解问题的解．考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：()()|()u f u ϕΣΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r （5.2.11）相应的格林函数0(,)G r r 是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0 G G δΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r r r r （5.2.12）考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（5.2.9）可得第一类边值问题的解000(,)()(,)()d ()d T G u G f V S ϕΣ∂=−∂∫∫∫∫∫ nr r r r r r r （5.2.13）另一形式的第一类边值问题的解000(,)()d G S ∂∂0n r r r (5.2.5)2.第二类边值问题()()|()p u f unϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.15）00,)|0n Σ=r （5.2.16）5.2.9）可得第二类边值问题解00(,)()d ()(,)d G f V G SϕΣ+∫∫ r r r r r r （5.2.17）3.第三类边值问题()() []()p u f u u n αβϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.18）0(,)]0G G n βΣ∂+=∂r r （5.2.19）边值条件，两边同乘以格林函数G（5.2.19）的边值条件的两边同乘以函数u得[]0Gu G nαβΣ∂+=∂G ϕ[]()p uG u G nαβϕΣ∂+=∂r ）得到第三类边值问题的解001,)()d ((,)d f V G S ϕβΣ+∫∫ r r r r)r r (5.2.20)格林函数的互易性则得到000001)()d ()(,)d 0f V G S ϕβΣ+∫∫r r r r r (5.2.21)这就是第三边值问题解的积分表示式．右边第一个积分表示区域T 中分布的源0()f r 在r点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的对于拉普拉斯方程0()0f ≡r 第一边值问题的解为0000(,)()()]d G u S ϕΣ∂=−∂∫∫ r r r r n (5.2.22)第三边值问题的解为1()()(,)d u G S ϕβΣ=∫∫ r r r r (5.2.23)5.3 无界空间的格林函数基本解无界区域这种情形公式（5.2.10）中的面积分应为零，故有000()(,)()d T u G f V =∫∫∫r r r r (5.3.1)选取()u r 和0(,)G r r 分别满足下列方程()()u f Δ=−r r (5.3.2)00(,)(-)G δΔ=−r r r r (5.3.3)5.3.1 三维球对称对于三维球对称情形，我们选取00=r 对（5.3.3）式两边在球内积分)d V（5.3.4）T∫∫∫（5.3.5）5.1.1）得到2(,0)d (,0)d sin d d S S G G V G r r θθϕ∂⋅∇=∇⋅=∂∫∫∫∫ r r S (5.3.6)故有2sin d d (,0)d 1S T G r G V r θθϕ∂=Δ=−∂∫∫∫∫∫ r 使上式恒成立，有2(,0)4π1G r r∂=−∂r 14πcr=+0G →因此0c =，,故得到1(,0)4πG r=r对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001(,)4π||G =−r r r r （5.3.7）代入（5.3.1）得到三维无界区域问题的解为0（5.3.8）上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式5.3.2 二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即(,0)d ()d TTG V VδΔ=−∫∫∫∫∫∫r r ()d 1V δ=∫∫∫r ,0)d (,0)d SV G =∇∫∫i r SG只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即d d ()d 1T Gr z V r ϕδ=−=−∫∫∫r选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果12πG r r∂=−∂11(,0)ln 2πG c r =+r 令积分常数为0，得到11(,0)ln 2πG r=r 0011(,)ln 2π||G =−r r r r （5.3.9））代入式（5.3.1）得到二维无界区域的解为000011()()ln d 2π|S u f S |=−∫∫r r r r。
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式由偏微分方程green公式可知，偏微分方程在数学中一直占有着特殊的地位，它将某些类型的难题转化为算术问题，可以说是数学家们解决问题的法宝。
而green公式是偏微分方程的重点、核心内容，它则是数学界的一个重要的数学理论。
本文就green公式的基本内容及其在工程中的应用进行介绍与分析。
Green公式是由英国数学家George Green在十九世纪末提出的，它可以帮助解决那些涉及二阶偏微分方程的复杂椭圆型和平面型问题。
Green公式可以用来求解偏微分方程在特定范围内的通解，并可以获得其中一阶偏微分方程解的两个系数和定积分。
Green公式最根本的原理是基于示范法来解决问题。
Green公式的基本形式可表示为：中f（x）,g（x）和h（x）是可积函数，a和b是常数。
这个式子的意思是：若f（x）,g（x）和h（x）任何两个以上的函数有可积部分，那么就可以根据上述公式求得它们之间的定积分，其中a和b都是常数。
Green公式的应用主要有：1.Green公式可以求出在一定范围内，满足偏微分方程的通解2.以求出偏微分方程的两个系数3.以求出偏微分方程的定积分green公式在工程中的应用是非常丰富的。
它可以应用于气体、流体力学、数学物理学等许多学科，尤其是在解决复杂的椭圆型和平面型问题时，它可以为解决问题提供重要的指导。
以下是众多green公式在工程中的实际应用：1.以用green公式解决水力和热传导方程，这在求解实际工程中有重要的意义。
2.以用green公式求解电磁场的线圈的励磁情况，从而有助于理解电场的概念。
3.以用green公式求解导体微分方程，从而有助于理解电力系统的工作原理。
4.声学、超声学和激光技术等领域中，Green公式也可以提供有效 for助。
以上事实表明，green公式十分重要，它在数学理论和实际应用中都发挥着重要作用。
未来，green公式将继续深入人们的生活并受到更多关注，它将对数学理论的发展及人类社会的发展产生积极的影响。
第十三章 Green函数 解的积分
∑ T T
∫∫uv ds = ∫∫∫(uv)dV = ∫∫∫uvdV+ ∫∫∫u vdV.(1)
n ∑
其中φ(M)是区域边界∑上的给定函数.当α=0,β≠0时(5) 式为第一类边界条件,而当α ≠0 β =0时为第二类边界条件,一般情况为第三类边界条 件.
为了研究点源所产生的场,引入δ函数来描 述点源的密度分布. v(r,r0)=δ(r-r0) (6) 下面我们利用格林公式导出泊松方程解的 积分表示式.
2
2
π ∫ (x x )
∞ 0
1
2
+y
2
f (x0 )dx0.
�
1 G G = = , r n ∑ r r = a r r r0 = r r0 cos Θ
2
(r
2 rr 0 cos Θ + r
2 0
)
3 2
r2 r r 2 a2 0 0 1 . = 3 r r r0 2 r r r0 ∑ ∑
G |∑ = 0 ,
(
)
G = G1 + G
0
(1)
其中G0与G1分别满足: G 0 = δ r r0 .
(G 0
G1 = 0
(
)
(2) (3)
+ G 1 ) |∑ = 0
称G0是基本解,是无界空间中非齐次方程的 解,而G1是相应的齐次方程的解. 1 .(4) 对三维空间 G0 r r0 = 4π r r0
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Ω
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
ii)外问题：在区域Ω的外部Ω ' 求解的问题称为外问题。 例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在 区域Ω外部求调和函数u, 使得u满足边界条件u |Σ = f ，f 为 物体表面Σ上的温度，这个问题就是外问题。 ⎧∇ 2u = 0，在单位球外部 考虑 ⎨ ⎩u |s = 1 这个问题有两个解：u1 = 1, u2 =
Ω Σ Ω'
1 = x2 + y 2 + z 2 r
1
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
1 若限制在外部求解，即 lim u = 0, 则仅有u2 = 才能满足， r →∞ r 1 即u2 = 为该定解问题的唯一解。 r 事实上，由于外问题通常是在无穷区域上给出的，是否 应加一定限制？ 基于电学上总是假定∞处电位为零，因此在外问题中常 常附加如下条件： lim u ( x, y, z ) = 0
Ω
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
B) Neumann内问题(第二类边值问题) 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑闭曲面的边界，在Σ 上给定连续函数f ，要求u满足 ∇ u = 0(在Ω内)
2
⎫ Σ ⎪ 2 ①u ∈ C (在Ω内)(即有二阶连续偏导数) ⎪ ⎪ ⎬ Neumann内问题 ②u ∈ C (在Ω+Σ)(连续,包括边界) ⎪ ∂u ⎪ ③ |Σ = f ⎪ ∂n ⎭ ∂u 其中 代表u沿着Σ的外法向矢量的方向导数。 ∂n
§5.1 狄拉克函数
二、δ 函数的性质 1、分选(筛选)性质 若f ( x)在x = x0处连续，则
∫
+∞
−∞
f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 )
+∞ +∞
同理，更一般地，有
∫ ∫ ∫
−∞ −∞
+∞
−∞
f ( M )δ ( M − M 0 )dV = f ( M 0 )
2、δ 函数是偶函数，即δ (− x） δ ( x) = 3、xδ ( x) = 0
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
Green函数法可以求解各类数理方程，包括常微分方程和 偏微分方程，既可以研究齐次方程，也可以研究非齐次方 程；既可以研究有界区域，也可以研究无界区域，因此其 应用十分广泛。其解为积分形式的解。 对于方程∇ 2u = f ，它既可以描述点电荷电场的电位分布， 也可以描述稳恒温度场的温度分布。它没有初始条件，仅 有边界条件。---Poisson方程。
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
Σ
(1)
若u , v ∈ C 2 (在Ω内)，并且在Ω + Σ上连续，那么令 ∂v ∂v ∂v P = u , Q = u , R = u , 代入Guass公式(1)得到 ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v 2 ∫∫∫ (u∇ v)dv + ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dv = ∫∫ (u ∂n )dS Ω Ω Σ ∂v 或者， (u∇ v)dv = ∫∫ (u )dS − ∫∫∫ ( gradu ⋅ gradv)dv ∫∫∫ ∂n Ω Σ Ω
r →∞
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
C ) Dirichlet外问题 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑的闭曲面边界，Ω ' 为Ω的外部区域，在Σ上给定连续函数f ，要求u满足 ∇ 2u = 0(在Ω '中) ⎫ ⎪ 2 ①u ∈ C (在Ω '中) ⎪ ⎪ ②u ∈ C (在Ω ' +Σ) ⎬ Dirichlet外问题 ⎪ ③u |Σ = f ⎪ ⎪ ④ lim u = 0 r →∞ ⎭
§5 Green函数法
The simplest wave is the harmonic wave 最简单的波是 简谐波
A complicate waveform can be taken as a summation of a series of simple wave with different amplitude and period. 一个复杂的波形可 以分解为若干简单 波形的叠加
数学物理方程
Equation of Mathematical Physics
第五章 Green函数法 Chpt5 Green function method
§5 Green函数法 基本要求
• 1、掌握狄拉克函数的定义和性质； • 2、理解Green函数的定义，学会构造各类定解 问题的Green函数； • 3、掌握内外问题的定义； • 4、记住几种简单区域(半平面、半空间等)的 Green函数； • 5、掌握Dirichlet、Neumann积分公式的构造， 学习使用Dirichlet积分公式求解Poisson方程和 Laplace方程的Dirichlet问题； • 6、掌握Green公式。 • 7、掌握使用电像法求解Green函数的方法。
Ω Σ
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
D) Neumann外问题 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑的闭曲面边界，Ω ' 为Ω的外部区域，在Σ上给定连续函数f ，要求u满足 ⎫ ∇ 2u = 0(在Ω '中) ⎪ ⎪ ①u ∈ C 2 (在Ω '中) ⎪ ⎪ ②u ∈ C (在Ω ' +Σ) ⎬ Neumann外问题 ⎪ ∂u ⎪ ③ |Σ = f ∂n ' ⎪ ⎪ ④ lim u = 0 r →∞ ⎭ ∂u 其中 代表u沿着Σ的内法向矢量的方向导数。 ∂n ' 本章我们将重点介绍内问题。所用的方法可用于外问题。
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
一、内问题与外问题 i)内问题：在区域Ω内求解的问题称为内问题。 A) Dirichlet内问题(第一类边值问题，本章重点内容) 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑的闭曲面边界，在 Σ上给定连续函数f ，要求u满足 ∇ u = 0(在Ω内)
2
⎫ Σ ⎪ 2 ①u ∈ C (在Ω内)(即有二阶连续偏导数) ⎪ ⎬ Dirichlet内问题 ②u ∈ C (在Ω+Σ)(连续,包括边界) ⎪ ⎪ ③u |Σ = f ⎭
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
Laplace方程的解，即具有二阶连续偏导数并且 满足Laplace方程的连续函数，称为调和函数。 所以，狄氏问题也可以这么描述：在区域Ω内寻找 一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。 这里所谈到的两种情况都是在边界Γ上给定某些 边界条件，在区域Ω内部求解Laplace方程，这样的 问题称为内问题。 在边界以外考虑的问题成为外问题。
(2)
(4)
1 rMM 0
其中M 0是Ω中的某一个定点，M 为动点。
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
rMM 0 =| M − M 0 | ，则得
∫∫∫ [ r
Ω
1
MM 0
1 ∂u ∂ 1 ∇ u − u∇ ( )]dv = ∫∫ [ −u ( )]dS rMM 0 rMM 0 ∂n ∂n rMM 0 Σ
§5 Green函数法
数学物理方程的定解问题物理实质上都反映了 场u ( x , t ) ⇔ 源 f ( x , t ) 的关系。 e.g.热传导问题反映了温度场u与热源f 之间的关系； Poisson方程反映了静电场与电荷之间的关系；等等。 正如任何一个复杂波形可以看成是由任意多个简谐波 的叠加一样，产生这些场的源也可以看成点源的叠加， 因此，如果知道了一个点源的场，利用叠加原理就可 以得到同样边界条件下任意源的场。这种求解方法在 数学物理方程上就称为Green函数法，也叫点源法，在 一定条件下点源的场就称为Green函数。 对Green函数，δ 函数扮演着重要的角色。
−∞
⎧0, x < 0 7、设H ( x) = ⎨ , ⎩1, x > 0 H ( x)为单位阶跃函数，则H '( x) = δ ( x) 即δ 函数是单位阶跃函数的导数。
§5.1 狄拉克函数
三、δ 函数的Fourier级数 a0 ∞ nπ nπ δ ( x − x0 ) = + ∑ (an cos x + bn sin x) (当0 < x, x0 < l时) 2 n =1 l l 根据δ 函数的分选性质，其系数分别写为 2 l 2 nπ nπ an = ∫ δ ( x − x0 ) cos xdx = cos x0 0 l l l l 2 l 2 nπ nπ an = ∫ δ ( x − x0 ) sin xdx = sin x0 0 l l l l n = 0,1, 2,..., 从而有 nπ nπ 1 2 ∞ nπ nπ δ ( x − x0 ) = + ∑ (cos x0 sin x) x0 cos x + sin l l l l n =1 l l
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
Σ
(1)
其中, α , β , γ 为Σ上的外法向矢量的方向角。 (1)式通常称为Guass公式(or奥 − 高公式)。
Ω Σ
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y &#(Poisson方程)的解法
对于稳态场方程(如Poinsson方程和Laplace方程)，不能提 初始条件,只能提边界条件。至于边界条件，第一章讲过 一共有三种类型。应用得较多的是以下两种边值问题： (1)第一类边值问题（Dirichlet问题or狄氏问题） 给出了边界上的值, u |Γ = f (2)第二类边值问题（Neumann问题） ∂u |Γ = f , n为Γ的外法线方向。 ∂n