数学物理方程chpt5-Green函数法 (1)

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§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
Green函数法可以求解各类数理方程，包括常微分方程和 偏微分方程，既可以研究齐次方程，也可以研究非齐次方 程；既可以研究有界区域，也可以研究无界区域，因此其 应用十分广泛。其解为积分形式的解。 对于方程∇ 2u = f ，它既可以描述点电荷电场的电位分布， 也可以描述稳恒温度场的温度分布。它没有初始条件，仅 有边界条件。---Poisson方程。
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
Laplace方程的解，即具有二阶连续偏导数并且 满足Laplace方程的连续函数，称为调和函数。 所以，狄氏问题也可以这么描述：在区域Ω内寻找 一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。 这里所谈到的两种情况都是在边界Γ上给定某些 边界条件，在区域Ω内部求解Laplace方程，这样的 问题称为内问题。 在边界以外考虑的问题成为外问题。
Ω
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
B) Neumann内问题(第二类边值问题) 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑闭曲面的边界，在Σ 上给定连续函数f ，要求u满足 ∇ u = 0(在Ω内)
2
⎫ Σ ⎪ 2 ①u ∈ C (在Ω内)(即有二阶连续偏导数) ⎪ ⎪ ⎬ Neumann内问题 ②u ∈ C (在Ω+Σ)(连续,包括边界) ⎪ ∂u ⎪ ③ |Σ = f ⎪ ∂n ⎭ ∂u 其中 代表u沿着Σ的外法向矢量的方向导数。 ∂n
§5 Green函数法
The simplest wave is the harmonic wave 最简单的波是 简谐波
A complicate waveform can be taken as a summation of a series of simple wave with different amplitude and period. 一个复杂的波形可 以分解为若干简单 波形的叠加
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
对于稳态场方程(如Poinsson方程和Laplace方程)，不能提 初始条件,只能提边界条件。至于边界条件，第一章讲过 一共有三种类型。应用得较多的是以下两种边值问题： (1)第一类边值问题（Dirichlet问题or狄氏问题） 给出了边界上的值, u |Γ = f (2)第二类边值问题（Neumann问题） ∂u |Γ = f , n为Γ的外法线方向。 ∂n
§5 Green函数法
数学物理方程的定解问题物理实质上都反映了 场u ( x , t ) ⇔ 源 f ( x , t ) 的关系。 e.g.热传导问题反映了温度场u与热源f 之间的关系； Poisson方程反映了静电场与电荷之间的关系；等等。 正如任何一个复杂波形可以看成是由任意多个简谐波 的叠加一样，产生这些场的源也可以看成点源的叠加， 因此，如果知道了一个点源的场，利用叠加原理就可 以得到同样边界条件下任意源的场。这种求解方法在 数学物理方程上就称为Green函数法，也叫点源法，在 一定条件下点源的场就称为Green函数。 对Green函数，δ 函数扮演着重要的角色。
Ω Σ
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
D) Neumann外问题 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑的闭曲面边界，Ω ' 为Ω的外部区域，在Σ上给定连续函数f ，要求u满足 ⎫ ∇ 2u = 0(在Ω '中) ⎪ ⎪ ①u ∈ C 2 (在Ω '中) ⎪ ⎪ ②u ∈ C (在Ω ' +Σ) ⎬ Neumann外问题 ⎪ ∂u ⎪ ③ |Σ = f ∂n ' ⎪ ⎪ ④ lim u = 0 r →∞ ⎭ ∂u 其中 代表u沿着Σ的内法向矢量的方向导数。 ∂n ' 本章我们将重点介绍内问题。所用的方法可用于外问题。
§5.1 狄拉克函数
一、δ 函数定义 定义：满足下列两个条件的函数 ⎧0, M ≠ M 0 , 1)δ ( M - M 0 ) = ⎨ ⎩ ∞, M = M 0 b ⎧0, M 0 ∉ (a, b) 2) ∫ δ ( M - M 0 )dM = ⎨ a ⎩1, M 0 ∈ (a, b) 称为δ 函数(Dirac函数)，δ 函数是一种广义函数。
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
Σ
(1)
若u , v ∈ C 2 (在Ω内)，并且在Ω + Σ上连续，那么令 ∂v ∂v ∂v P = u , Q = u , R = u , 代入Guass公式(1)得到 ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v 2 ∫∫∫ (u∇ v)dv + ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dv = ∫∫ (u ∂n )dS Ω Ω Σ ∂v 或者， (u∇ v)dv = ∫∫ (u )dS − ∫∫∫ ( gradu ⋅ gradv)dv ∫∫∫ ∂n Ω Σ Ω
r →∞
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
C ) Dirichlet外问题 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑的闭曲面边界，Ω ' 为Ω的外部区域，在Σ上给定连续函数f ，要求u满足 ∇ 2u = 0(在Ω '中) ⎫ ⎪ 2 ①u ∈ C (在Ω '中) ⎪ ⎪ ②u ∈ C (在Ω ' +Σ) ⎬ Dirichlet外问题 ⎪ ③u |Σ = f ⎪ ⎪ ④ lim u = 0 r →∞ ⎭
§5.1 狄拉克函数
二、δ 函数的性质 1、分选(筛选)性质 若f ( x)在x = x0处连续，则
∫
+∞
−∞
f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 )
+∞ +∞
同理，更一般地，有
∫ ∫ ∫
−∞ −∞
+∞
−∞
f ( M )δ ( M − M 0 )dV = f ( M 0 )
2、δ 函数是偶函数，即δ (− x） δ ( x) = 3、xδ ( x) = 0
Ω
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
ii)外问题：在区域Ω的外部Ω ' 求解的问题称为外问题。 例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在 区域Ω外部求调和函数u, 使得u满足边界条件u |Σ = f ，f 为 物体表面Σ上的温度，这个问题就是外问题。 ⎧∇ 2u = 0，在单位球外部 考虑 ⎨ ⎩u |s = 1 这个问题有两个解：u1 = 1, u2 =
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
Σ
(1)
其中, α , β , γ 为Σ上的外法向矢量的方向角。 (1)式通常称为Guass公式(or奥 − 高公式)。
Ω Σ
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = Ω
数学物理方程
Equation of Mathematical Physics
第五章 Green函数法 Chpt5 Green function method
§5 Green函数法 基本要求
• 1、掌握狄拉克函数的定义和性质； • 2、理解Green函数的定义，学会构造各类定解 问题的Green函数； • 3、掌握内外问题的定义； • 4、记住几种简单区域(半平面、半空间等)的 Green函数； • 5、掌握Dirichlet、Neumann积分公式的构造， 学习使用Dirichlet积分公式求解Poisson方程和 Laplace方程的Dirichlet问题； • 6、掌握Green公式。 • 7、掌握使用电像法求解Green函数的方法。
2
(2)
∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v i+ j + k , = cos α + cos β + cos γ 其中gradu = ∂x ∂y ∂z ∂n ∂x ∂y ∂z 称(2)为Green第一公式。
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
若在(2)中，交换u , v的位置，则得到 ∂u 2 ∫∫∫ (v∇ u )dv = ∫∫ (v ∂n )dS − ∫∫∫ ( gradu ⋅ gradv)dv (3) Ω Σ Ω 令(3) − (2), 得到
−∞
⎧0, x < 0 7、设H ( x) = ⎨ , ⎩1, x > 0 H ( x)为单位阶跃函数，则H '( x) = δ ( x) 即δ 函数是单位阶跃函数的导数。
§5.1 狄拉克函数
三、δ 函数的Fourier级数 a0 ∞ nπ nπ δ ( x − x0 ) = + ∑ (an cos x + bn sin x) (当0 < x, x0 < l时) 2 n =1 l l 根据δ 函数的分选性质，其系数分别写为 2 l 2 nπ nπ an = ∫ δ ( x − x0 ) cos xdx = cos x0 0 l l l l 2 l 2 nπ nπ an = ∫ δ ( x − x0 ) sin xdx = sin x0 0 l l l l n = 0,1, 2,..., 从而有 nπ nπ 1 2 ∞ nπ nπ δ ( x − x0 ) = + ∑ (cos x0 sin x) x0 cos x + sin l l l l n =1 l l
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
一、内问题与外问题 i)内问题：在区域Ω内求解的问题称为内问题。 A) Dirichlet内问题(第一类边值问题，本章重点内容) 设Ω为空间区域，Σ为Ω的分片光滑的闭曲面边界，在 Σ上给定连续函数f ，要求u满足 ∇ u = 0(在Ω内)
2
⎫ Σ ⎪ 2 ①u ∈ C (在Ω内)(即有二阶连续偏导数) ⎪ ⎬ Dirichlet内问题 ②u ∈ C (在Ω+Σ)(连续,包括边界) ⎪ ⎪ ③u |Σ = f ⎭
§5.1 狄拉克函数
4、微分性质 若f ( x)在(−∞, +∞)内连续可微，则
∫ ∫
+∞
−∞
f ( x)δ '( x − x0 )dx = − f '( x0 ) f ( x)δ ( n ) ( x − x0 )dx =(−1) n f ( n ) ( x0 )
+∞
更一般地，有
+∞ −∞
5、δ '(− x) = −δ '( x)，即偶函数的导数为奇函数。 6、 δ ( x − a)δ ( x − b)dx =δ (a − b) ∫
2 2
(u∇ 2 v)dv = ∫∫ (u ∫∫∫
Ω Σ
∂u ∂v ∫∫∫ (v∇ u − u∇ v)dv = ∫∫ (v ∂n − u ∂n )dS Ω Σ 称(4)为Green第二公式。 若在Green公式(4)中，取v( M , M 0 ) =
∂v )dS − ∫∫∫ ( gradu ⋅ gradv)dv ∂n Ω
Ω Σ Ω'
1 = x2 + y 2 + z 2 r
1
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
1 若限制在外部求解，即 lim u = 0, 则仅有u2 = 才能满足， r →∞ r 1 即u2 = 为该定解问题的唯一解。 r 事实上，由于外问题通常是在无穷区域上给出的，是否 应加一定限制？ 基于电学上总是假定∞处电位为零，因此在外问题中常 常附加如下条件： lim u ( x, y, z ) = 0
(2)
(4)
1 rMM 0
其中M 0是Ω中的某一个定点，M 为动点。
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
rMM 0 =| M − M 0 | ，则得
∫∫∫ [ r
Ω
1
MM 0
1 ∂u ∂ 1 ∇ u − u∇ ( )]dv = ∫∫ [ −u ( )]dS rMM 0 rMM 0 ∂n ∂n rMM 0 Σ
Ω Σ
Ω'
§5.2 Laplace方程(Poisson方程)的解法
二、Green公式 为了导出Laplace方程解的积分表达式，需要先推出Green 公式。而Green公式是线面积分中奥 - 高公式的直接推论。 设Ω为有界区域,Σ为Ω的分片光滑的闭曲面边界,P ( x, y, z ), R ( x, y, z ), Q ( x, y, z )是Ω + Σ上连续的、在Ω内具有一阶连续偏导 数的任意函数，则有 ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = Ω