2020高考数学二轮复习题型汇编《第1讲导数概念运算和几何意义》(教师版)

第1讲 导数概念运算和几何意义

[基础回顾]

1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0

lim x ∆→

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δy

Δx 为函数y ＝

f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim

x ∆→Δy

Δx ＝0

lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。

(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数

如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.

3.导数公式表

4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )

[g (x )]2(g (x )≠0). 5.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.

[完美题型展现]

题型一 导数的运算

【玩转角度1】 根据求导法则求函数的导数 例1 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝cos x e x ；

(3)f (x )＝ln

1＋2x .

【解析】(1)y ′＝(e x

)′ln x ＋e x

(ln x )′＝e x

ln x ＋e x x ＝e x ⎝⎛

⎭⎫ln x ＋1x . (2)因为 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x

′＝(cos x )′e x

－cos x (e x

)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . (3)因为y ＝ln

1＋2x ＝1

2

ln ()1＋2x ，

所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝1

1＋2x .

【玩转角度2】 抽象函数的导数计算

例2 (2020·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1

x ，则f (1)

＝( ) A.－e

B.2

C.－2

D.e

【解析】 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1

x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)

＝2.

[题型特训]

1.求下列函数的导数． (1)y ＝cos x －sin x ；

(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1

.

解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.

(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x

(x 2

＋1)－2x ·ln x

(x 2＋1)2

＝x 2(1－2ln x )＋1

x (x 2＋1)2

.

2.(2020·南昌模拟)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π

4的值为________．

解析：因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，所以f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π

4sin x ＋cos x ，

故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin π4＋cos π4，得f ′⎝⎛⎭⎫π

4＝2－1.

所以f ⎝⎛⎭⎫π

4＝(2－1)·cos π4＋sin π4＝1.

答案：1

题型二 导数的几何意义

【玩转角度1】 导数求切线方程（两类）

例3 （1）(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2x

D.y ＝x

解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D

（2）(2019·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0

解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，