2020高考数学二轮复习题型汇编《第1讲导数概念运算和几何意义》(教师版)
第1节导数概念及其意义、导数运算--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
C.
e
f'(1)=e+3f'(1),解得 f'(1)=- ,
2
, ≥ 0,
3
(3)函数 f(x)=
的导函数为 f'(x),则 f'(- 2 )=( B )
( + ), < 0
A.0
B.1
C.
2
D.1+
2
解析 设x∈(-2π,-π),则x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin
4
4
4
4
5.(湘教版选择性必修第二册习题1.2第2题改编)过点P(3,5)且与曲线f(x)=x2
相切的直线方程是 y=2x-1或y=10x-25
.
解析 设切点为(x0,02 ),由于 f(x)=x2,所以 f'(x)=2x,因此切线斜率为 k=2x0,所以
切线方程为 y-02 =2x0(x-x0).又因为切线过点(3,5),所以 5-02 =2x0(3-x0),解得
x.又因为f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin x,此时f'(x)=sin
x+(x+2π)cos x,
所以
3π
3π
3π
3π
f'(- 2 )=sin(- 2 )+(- 2 +2π)cos(- 2 )=1+0=1.故选
B.
考点三 导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1求切线方程
f(x)=f'( 4 )sin
2020年高考数学二轮复习专题讲义
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2020高考数学二轮复习 导数基础篇
高考冲刺之导数（基础篇）1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．4．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．5．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答． 两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件． 易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点． 两个条件(1)f ′(x )＞0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． 小题分类1.（导数与积分）定积分ln 20e x dx ⎰的值为（ ）A. －1B. 1C. 2e 1-D. 2e 【答案】B（2）当0x >时，函数2y x =与函数2xy =的图像所围成的封闭区域的面积是 【答案】427（3）用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是 【答案】3512（4）若dx x c dx x b xdx a ⎰⎰⎰-=-==12111,1,，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.ab c << 【答案】A变式设a ＝⎠⎛0π(sinx ＋cosx)dx ，则(a x －1x )6的二项展开式中含x 2的系数是( )A ．192B ．－192C ．96D ．－96解析：因为a ＝⎠⎛0π(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)| π0＝(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(a x －1x)6＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，则可知其通项T r ＋1＝(－1)r C r 626－r x 6－r2－r 2＝(－1)r C r 626－r x 3－r ，令3－r ＝2⇒r ＝1，所以展开式中含x 2项的系数是(－1)r C r 626－r ＝(－1)1C 1626－1＝－192，故答案选B.（2）若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x)dx ，则公比等于________．解析：⎠⎛14(1＋2x)dx ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a 4＝18＝23·q 3⇒q ＝3.2.(导数的单调性)若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()1,0-B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞ 【答案】C（2）函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[2,21]()k k k Z +∈B ．[21,2]()k k k Z -∈C ．[2,22]()k k k Z +∈D ．[22,2]()k k k Z -∈ 【答案】A（3）已知函数2()(21)(R xf x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数). 若函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值范围． 【答案】解： ]322[)12()22()(22+---=⋅+--⋅-='---x ax ax e e x ax eax x f x x x令3)1(2)(2++-=x a ax x g ①若0=a ，则32)(+-=x x g ，在)11(，-内，0)(>x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………7分②若0>a ，则3)1(2)(2++-=x a ax x g ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11>+=aa x ，当且仅当0)1(≥g ，即10≤<a 时，在)11(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.③若0<a ，则3)1(2)(2++-=x a ax x g ，其图象是开口向下的抛物线， 当且仅当⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，即035<≤-a 时，在)11(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减. 综上所述，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减时，a 的取值范围是135≤≤-a ．…12分 3.（导数与切线斜率）设R a ∈,函数()e e x xf x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（ ） A. ln 22-B.ln 2-C.ln 22D. ln 2 【答案】D（2）已知函数)0()1(2131)(23>++-=a x x aa x x f ，则)(x f 在点))1(,1(f 处的切线的斜率最大时的切线方程是______________【答案】31=y (3)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.23 【答案】A4.(导数与图像)函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为A ．[－13，1]∪[2，3）B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[43，3）【答案】A（2）设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是【答案】C（3）已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）【答案】DA ．),1()2,(+∞⋃--∞B ．)2,1()2,(⋃--∞C ．),2()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞D. ),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞5.（导数的运用）已知定义在R 上的函数)(),(x g x f 满足x a x g x f =)()(，且),()()()(x g x f x g x f '<'25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 的值是（ ） A ．2B ．21 C ．3 D ．31【答案】B（2）已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =1，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有)(x f '<)(21R x ∈，则不等式212)(22+<x x f 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．)1,(--∞ C ．)1,1(- D．)1,(--∞∪),1(+∞【答案】D（3）函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ,对任意2)(,'>∈x f R x ,则42)(+>x x f 的解集为（ ）A.)1,1(-B.),1(+∞-C.)1,(--∞D.R 【答案】B（4）()cos(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<,若()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=【答案】（5）)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数 ，且满足()()'≤xf x f x ，对任意的正数b a 、，若b a <，则必有 A ．)()(a bf b af ≤ B ．)()(b bf a af ≥ C ．)()(b bf a af ≤D ．)()(a bf b af ≥【答案】A大题冲关1.（研究函数的单调性、极值、最值等问题） 例1.设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a<2时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．解：（I ）定义域为(1,)-+∞． 12(2)()2(1)11x x f x x x x +'=+-=++． 令()0f x '>，则2(2)01x x x +>+，所以2x <-或0x >．因为定义域为(1,)-+∞，所以0x >．令()0f x '<，则2(2)01x x x +<+，所以20x -<<．因为定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<．所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-．（II ）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．2(2)()(2)11a x ag x a x x x--'=--=++． 因为0<a<2，所以20a ->，02a a >-．令()0g x '> 可得2ax a >-． 所以函数()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,)2a a+∞-上为增函数． ①当032a a <<-，即302a <<时，在区间[03]，上，()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,3)2a a-上为增函数． 所以min 2()()2ln22a g x g a a a==---． ②当32a a ≥-，即322a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数．所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--． 综上所述，当302a <<时，min 2()2ln 2g x a a =--；当322a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--．例 2.已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
高考数学一轮专项复习讲义-导数的概念及其意义、导数的计算(北师大版)
§3.1导数的概念及其意义、导数的计算课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识梳理1．导数的概念(1)设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值y 从f (x 0)变到f (x 1)，则函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝()()101010lim x x f x f x x x →--＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．3．基本初等函数的导数公式函数导数y ＝c (c 是常数)y ′＝0y ＝x α(α是实数)y ′＝αx α－1y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a ，特别地(e x )′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln a ，特别地(ln x )′＝1xy ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝tan xy ′＝1cos 2x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[kf (x )]′＝kf ′(x )(k ∈R )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (φ(x ))对x 的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )，其中u ＝φ(x )．常用结论1．在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×)(4)(e －x )′＝－e －x .(√)2．若函数f (x )＝3x ＋sin 2x ，则()A ．f ′(x )＝3x ln 3＋2cos 2xB ．f ′(x )＝3x ＋2cos 2xC ．f ′(x )＝3xln 3＋cos 2xD ．f ′(x )＝3xln 3－2cos 2x答案A3．曲线y ＝12x 2－2处的切线的倾斜角是．答案π4解析y ′＝x ，所以切线的斜率k ＝1，所以倾斜角为π4.4．设曲线y ＝e 2ax 在点(0,1)处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为．答案－14解析∵y ＝e 2ax ，∴y ′＝e 2ax ·(2ax )′＝2a ·e 2ax ，∴在点(0,1)处的切线斜率k ＝2a e 0＝2a ，又∵切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，∴2a ×2＝－1，∴a ＝－14.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是()A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2′＝2x cos x ＋4sin xx 3D ．(ln 2x )′＝12x答案AB解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确；对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确；对于C ＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(ln 2x )′＝2·12x ＝1x，故D 错误．(2)(2023·河南联考)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ′(1)ln x ＋xe (f ′(x )为f (x )的导函数)，则f (e)等于()A ．e －1 B.2e ＋1C ．1D ．－2e＋1答案D解析f ′(x )＝2f ′(1)x＋1e ，当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1e ，解得f ′(1)＝－1e，故f (x )＝－2ln x e ＋xe，所以f (e)＝－2ln e e ＋e e ＝－2e＋1.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(多选)下列命题正确的是()A ．若f (x )＝x sin x －cos x ，则f ′(x )＝sin x －x cos x ＋sin xB ．设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝eC ．已知函数f (x )＝3x 2e x ，则f ′(1)＝12eD ．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝－94答案BD解析对于选项A ，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋sin x ，故选项A 不正确；对于选项B ，f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，故选项B 正确；对于选项C ，f ′(x )＝6x e x ＋3x 2e x ，则f ′(1)＝6e ＋3e ＝9e ，故选项C 不正确；对于选项D ，f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94，故选项D正确．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·全国甲卷)曲线y ＝e xx ＋1在点()A ．y ＝e4xB ．y ＝e2xC ．y ＝e 4x ＋e4D ．y ＝e 2x ＋3e4答案C解析因为y ＝e xx ＋1，所以y ′＝e x (x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2，所以当x ＝1时，y ′＝e4，所以曲线y ＝e x x ＋1在点y －e 2＝e 4(x －1)，即y ＝e 4x ＋e4.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为，.答案y ＝1ex y ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2024·泸州模拟)若直线y ＝kx ＋1为曲线y ＝ln x 的一条切线，则实数k 的值是()A ．eB ．e 2 C.1eD.1e 2答案D解析设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，因为y ＝ln x ，所以y ′＝1x ，所以切线在点P 处的斜率k ＝1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又y 0＝ln x 0，所以切线方程为y ＝1x 0·x －1＋ln x 0，又切线方程为y ＝kx ＋1，＝1x 0，＝－1＋ln x 0，0＝e 2，＝1e2.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为000(,()e )xA x x a +，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝0000()e (1)e x x x a x a x +++=，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．跟踪训练2(1)(2023·深圳质检)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是()A ．2x －y －2＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．4x ＋y －4＝0答案C解析当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(－1)＝2，由f (x )为偶函数，得f ′(1)＝－f ′(－1)＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.(2)若函数f (x )＝x －1x ＋a ln x 存在与x 轴平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－2]解析f ′(x )＝1＋1x 2＋ax(x >0)，依题意得f ′(x )＝1＋1x 2＋ax ＝0有解，即－a ＝x ＋1x有解，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴－a ≥2，即a ≤－2.题型三两曲线的公切线例4(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．0答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a ＞0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.12e －3，12e －3D ．[2e ，＋∞)答案B解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x，则切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，2ax 2，x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈32(0,e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈32(e ,) 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )max ＝32(e )g ＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2023·青岛模拟)若曲线C 1：f (x )＝x 2＋a 和曲线C 2：g (x )＝4ln x －2x 存在有公共切点的公切线，则a ＝.答案－3解析f (x )＝x 2＋a ，g (x )＝4ln x －2x ，则有f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝4x －2.设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝4x 0－2，f (x 0)＝x 20＋a ，g (x 0)＝4ln x 0－2x 0.x 0＝4x 0－2，20＋a ＝4ln x 0－2x 0，0>0，0＝1，＝－3.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有()A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1)，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)，对于f (x )＝e x －1，有f ′(x )＝e x ，则直线l 的斜率k ＝e m ，则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m )，即y ＝e m x ＋(1－m )e m －1，对于g (x )＝ln x ＋1，有g ′(x )＝1x ，则直线l 的斜率k ＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n (x －n )，即y ＝1n x ＋ln n m ＝1n ，－m )e m ＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有2条．课时精练一、单项选择题1．若函数f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(0)等于()A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(x )＝e x (sin 2x ＋2cos 2x )，所以f ′(0)＝e 0(sin 0＋2cos 0)＝2.2.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列大小关系正确的是()A ．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)B ．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)C ．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)D ．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)答案A解析由图可知，f ′(3)<f (5)－f (3)5－3<f ′(5)，即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．3．(2023·榆林模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b 等于()A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案B解析因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax＋2x .又函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，所以f ′(1)＝a ＋2＝3，解得a ＝1，则f (x )＝ln x ＋x 2，所以f (1)＝1，代入切线方程得3－1＋b ＝0，解得b ＝－2，故a ＋b ＝－1.4．(2023·成都川大附中模拟)若点P 是曲线y ＝ln x －x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x ＋y －4＝0距离的最小值为()A.22B.2C ．22D ．42答案C解析过点P 作曲线y ＝ln x －x 2的切线，当切线与直线l ：x ＋y －4＝0平行时，点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离最小．设切点为P (x 0，y 0)(x 0>0)，又y ′＝1x－2x ，所以切线斜率k ＝1x 0－2x 0，由题意知1x 0－2x 0＝－1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍)，所以P (1，－1)，此时点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.5．直线l 与曲线y ＝e x ＋1和y ＝e x ＋1均相切，则l 的斜率为()A.12B ．1C ．2D ．e答案B解析由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ；由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ＋1，设两个切点分别为(x 1，1e x ＋1)和(x 2，21e x +)，直线l 的斜率k ＝121e e x x +=，故x 1＝x 2＋1，即x 1≠x 2，所以k ＝21121e e 1x x x x +---＝－1－1＝1，即直线l 的斜率为1.6．若函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a 的取值范围是()A ．a ≤1B ．a <0C ．a ≥1D ．a ≤0答案A解析因为函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)(x >－1)，所以f ′(x )＝x ＋1x ＋1－a ＝x ＋1＋1x ＋1－a －1≥2(x ＋1)·1x ＋1－a －1＝1－a ，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立，因为函数f (x )的图象上不存在互相垂直的切线，所以f ′(x )min ≥0，即1－a ≥0，解得a ≤1.二、多项选择题7．对于函数f (x )＝ln x －1，则下列判断正确的是()A ．直线y ＝xe 2是f (x )过原点的一条切线B ．f (x )关于y ＝x 对称的函数是y ＝e x－1C ．若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则ln a <b ＋1D ．f (x )≤x －2答案ACD解析对于A ，设切点为(m ，ln m －1)，则k ＝f ′(m )＝1m ＝ln m －1－0m －0，∴ln m －1＝1m ·m ，∴ln m ＝2，∴m ＝e 2，k ＝1e2∴过原点的切线方程为y ＝xe2，故A 正确；对于B ，由反函数的概念可得y ＋1＝ln x ⇒e y ＋1＝x ，故与f (x )关于y ＝x 对称的函数为y ＝e x ＋1，故B 错误；对于C ，若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则点(a ，b )在f (x )上方，如图所示，即b >f (a )，即b >ln a －1，故C 正确；对于D ，由于∀x >0，设g (x )＝x －ln x －1⇒g ′(x )＝x －1x ，令g ′(x )>0⇒x >1，令g ′(x )<0⇒0<x <1，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，∴g (x )≥g (1)＝0⇒ln x ≤x －1⇒f (x )≤x －2，故D 正确．8．(2023·唐山质检)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D ()A ．f (x )＝sin x －cos xB ．f (x )＝ln x －3xC ．f (x )＝－x 3＋3x －1D ．f (x )＝x e －x答案BCD解析对于A ，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－sin x ＋cos x ＝－2sin当x ，f ″(x )＝－2sin ，故A 错误；对于B ，f ′(x )＝1x －3，f ″(x )＝－1x 2<0B 正确；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x <0C 正确；对于D ，f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，f ″(x )＝－e －x －(1－x )e －x ＝－(2－x )e －x ，因为x 2－x >0，所以f ″(x )＝－(2－x )e －x<0D 正确．三、填空题9．(2024·呼和浩特模拟)若曲线y ＝2sin x －2cos x x －ay ＋1＝0垂直，则实数a ＝.答案－2解析∵y ＝2sin x －2cos x ，∴y ′＝2cos x ＋2sin x ，∴曲线y ＝2sin x －2cos x k ＝2cos π2＋2sin π2＝2，∵切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴直线x －ay ＋1＝0的斜率为－12，即1a ＝－12，∴a ＝－2.10．(2023·本溪模拟)请写出与曲线y ＝sin x 在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数．答案y ＝x 3＋x (答案不唯一)解析∵y ＝sin x 的导函数为y ′＝cos x ，又y ＝sin x 过原点，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线斜率k ＝cos 0＝1，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .所求曲线只需满足过点(0,0)且在x ＝0处的导数值y ′＝1即可，如y ＝x 3＋x ，∵y ′＝3x 2＋1，∴y ＝x 3＋x 在原点处的切线斜率为1，又y ＝x 3＋x 过原点，∴y ＝x 3＋x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .11．(2023·南京模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝ax 2和y ＝ln x 均相切，则a ＝.答案14解析设直线y ＝x ＋m 与y ＝ln x 相切于点(x 0，ln x 0)，因为y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x ，所以1x 0＝1，且ln x 0＝x 0＋m ，解得x 0＝1，m ＝－1.因为直线y ＝x －1与曲线y ＝ax 2相切，联立得ax 2－x ＋1＝0，a ≠0且Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14.12．已知直线y ＝k 1x 与y ＝k 2x (k 1>k 2)是曲线y ＝ax ＋2ln|x |(a ∈R )的两条切线，则k 1－k 2＝.答案4e解析由已知得，曲线的切线过点(0,0)，当x >0时，曲线为y ＝ax ＋2ln x ，设x 1>0，直线y ＝k 1x 在曲线上的切点为(x 1，ax 1＋2ln x 1)，y ′＝a ＋2x 1，∴切线方程为y －(ax 1＋2ln x 1)x －x 1)，又切线过点(0,0)，∴－ax 1－2ln x 1－x 1)，∴x 1＝e ，k 1＝a ＋2e；同理，当x <0时，曲线为y ＝ax ＋2ln(－x )，设x 2<0，直线y ＝k 2x 在曲线上的切点为(x 2，ax 2＋2ln(－x 2))，y ′＝a ＋2x 2，∴切线方程为y －[ax 2＋2ln(－x 2)]x －x 2)，又切线过点(0,0)，∴－ax 2－2ln(－x 2)－x 2)，∴x 2＝－e ，k 2＝a －2e ，∴k 1－k 2＝4e .四、解答题13．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x .(1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程．解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee＋ln e ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x ，∴f (e 2)＝－2e 2e ＋ln e 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)－2e ＋x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.14．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12，又∵f ′(x )＝a ＋bx 2，a －b 2＝12，＋b 4＝74，＝1，＝3，∴f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为yx －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0|·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15．已知函数f (x )＝ln x ＋x 的零点为x 0，过原点作曲线y ＝f (x )的切线l ，切点为P (m ，n )，则00e x mx 等于()A.1eB ．e C.1e 2D ．e 2答案B解析f ′(x )＝1x＋1，切点为P (m ，ln m ＋m )，则切线方程为yx －m )＋ln m ＋m ，因为l 过原点，所以0－m )＋ln m ＋m ，解得m ＝e ，则P (e ，e ＋1)，由ln x 0＋x 0＝0，可得x 0＝－ln x 0，故00e xmx ＝e x 0·0ln ex －＝e x 0·1x 0＝e.16．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|e x －1|，x 1<0，x 2>0，函数f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))和点B (x 2，f (x 2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM ||BN |的取值范围是．答案(0,1)解析由题意得，f (x )＝|e x －1|－e x ，x <0，x －1，x ≥0，则f ′(x )e x ，x <0，x ，x ≥0，所以点A (x 1,1－1e x)和点B (x 2，2e x－1)，k AM ＝1e x－，k BN ＝2e x，所以12e e xx⋅－＝－1，x 1＋x 2＝0，所以AM ：y －1＋1e x＝11111(),(0,e e 1),e x x xM x x x -+－－所以|AM |=x 1|，同理|BN |·|x 2|，所以|AM ||BN |1e x ===∈(0,1)．。
2020版高考数学二轮复习教程第二编专题一函数与导数第2讲导数及其应用练习理
第2讲导数及其应用「考情研析」 1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2.利用导数解决函数的单调性与极值（最值）问题是高考的常见题型.核心知识回顾1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x）在错误!x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f（x)在点(x0，f(x0））处切线的斜率,即k＝错误!f′（x0)．（2）曲线y＝f（x）在点(x0,f(x0）)处的切线方程为错误!y－f（x0）＝f′(x0）（x－x0)．2．函数的单调性(1）在某个区间（a,b）内,如果错误!f′(x）＞0（f′(x)〈0),那么函数y＝f（x）在这个区间内错误!单调递增（单调递减）．(2)利用导数求函数f（x)的单调区间的一般步骤：①确定函数错误!f（x）的定义域；②求□，04导数f′（x)；③在函数f（x)的定义域内错误!解不等式f′（x)>0或f′(x)〈0;④根据③的结果确定函数f(x)的错误!单调区间．3．导数与极值函数f(x）在x0处的导数错误!f′（x0）＝0且f′(x）在x0附近“错误!左正右负”⇔f（x）在x0处取得错误!极大值；函数f(x）在x0处的导数□，04f′(x0)＝0且f′（x）在x0附近“错误!左负右正”⇔f(x)在x0处取得错误!极小值．4．求函数f(x)在区间［a，b］上的最值的一般步骤(1）求函数y＝f（x)在［a，b]内的错误!极值；(2)比较函数y＝f(x)的错误!各极值与错误!端点处的函数值错误!f(a)，f(b）的大小，最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．热点考向探究考向1 导数的几何意义例1 (1)（2019·唐山市高三第二次模拟）已知函数f(x）＝错误!为奇函数,则f（x）在x＝2处的切线斜率等于（）A．6 B．－2C．－6 D．－8答案B解析设x>0,则－x〈0，f（－x)＝x2－2x，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x）＝－x2＋2x，f′（x）＝－2x＋2,则f′（2）＝－2，故选B.（2）设直线y ＝错误!x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0）的一条切线,则实数b 的值为（ ）A ．ln 2－1B ．ln 2－2C ．2ln 2－1D ．2ln 2－2答案 A解析 设切点坐标为（x 0,ln x 0），则错误!＝错误!，即x 0＝2，∴切点坐标为（2，ln 2)，又切点在直线y ＝错误!x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ,即b ＝ln 2－1.(3)已知曲线y ＝错误!x 3＋错误!，则曲线在点P （2,4)处的切线方程为_____________；曲线过点P （2,4)的切线方程为__________________________．答案 4x －y －4＝0 4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0解析 ①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋错误!上，y ′＝x 2， ∴在点P （2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4。
2020年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第3章 第1讲 导数的概念与导数的计算 Word版含解析
第1讲 导数的概念与导数的计算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x ∆→Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 3.基本初等函数的导数公式4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( )(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x )′＝x ·2x －1.( )(4)若f (x )＝e 2x ，则f ′(x )＝e 2x .( )解析 (1)f ′(x 0)是函数f (x )在x 0处的导数，(f (x 0))′是常数f (x 0)的导数即(f (x 0))′＝0；(3)(2x )′＝2x ln 2； (4)(e 2x )′＝2e 2x .答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A.x sin x B.－x sin x C.x cos xD.－x cos x解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案 B3.(选修2－2P18AT7改编)曲线y＝sin xx在x＝π2处的切线方程为()A.y＝0B.y＝2πC.y＝－4π2x＋4πD.y＝4π2x解析∵y′＝x cos x－sin xx2，∴y′|x＝π2＝－4π2，当x＝π2时，y＝2π，∴切线方程为y－2π＝－4π2⎝⎛⎭⎪⎫x－π2，即y＝－4π2x＋4π.答案 C4.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a ＝________.解析y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案 35.(2017·丽水调研)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f′(5)＝________；f(5)＝________.解析f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3.答案－1 36.(2017·舟山调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝12f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x，则f(0)＝________；f(x)＝________.解析 ∵f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ， ∴f ′(x )＝f ′(1)e 2x －2＋2x －2f (0)， ∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，∴f (0)＝1， 即1＝12f ′(1)e －2，∴f (x )＝e 2x ＋x 2－2x . 答案 1 e 2x ＋x 2－2x考点一 导数的运算【例1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x . 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x . (4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )， ∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x.规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；(4)y ＝ln(2x －5).解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x.(3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x . ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x . (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u . 则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5. 考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线的方程【例2－1】 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0D.x ＋y ＋1＝0(2)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为________. 解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故函数f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得 y ′|x ＝x 0＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4.故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)， 即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0.答案 (1)C (2)3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 命题角度二 求参数的值【例2－2】 (1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A.1B.2C.－1D.－2(2)(2017·温州调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设切点为(x 0，y 0)，y ′＝1x ＋a，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0＋1，1x 0＋a ＝1，y 0＝ln （x 0＋a ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝0，a ＝2.(2)∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x . ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线， ∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x －a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x ≥2(x >0). 答案 (1)B (2)[2，＋∞) 命题角度三 公切线问题【例2－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2). 由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，a ＝8.答案 8规律方法 (1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 的值为( ) A.－1或－2564 B.－1或214 C.－74或－2564D.－74或7解析 由y ＝x 3得y ′＝3x 2，设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32.①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2＋154x －9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋4·a ·9＝0得a ＝－2564.②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2－3x －94＝0，Δ＝32＋4·a ·94＝0得a ＝－1.综上①②知，a ＝－1或a ＝－2564. 答案 A[思想方法]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. [易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝()A.0B.1C.2D.3解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－1x＋1，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A.2B.0C.－2D.－4解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.答案 D3.(2017·杭州质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.答案 C4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A.eB.－eC.1e D.－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1 x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1e.答案 C5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案 B 二、填空题6.(2015·天津卷改编)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________；f (x )在x ＝1处的切线方程为________.解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.f (x )＝3x ln x ，f (1)＝0，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝3(x －1)，即为3x －y －3＝0.答案 3 3x －y －3＝07.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________.解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝08.(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题9.(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( ) A.－sin x －cos x B.sin x －cos x C.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ，故选D. 答案 D12.已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A.4B.－14C.2D.－12解析 f ′(x )＝g ′(x )＋2x .∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4. 答案 A13.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1).y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2). ∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 214.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15.如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k ，0)(k ＝1，2，…，n ).(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解 (1)设点P k －1的坐标是(x k －1，0)， ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k－1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n ). (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.。
2020版高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修2_2
(1)因为切线的倾斜角为 45°,
所以切线斜率为 tan 45°=1,
即
f'(x0)=6x0=1,得
x0
=
1.
6
所以该点的坐标为 1 , 85 .
6 12
(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,
所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1. 所以该点的坐标为(1,10).
典例透析
典例透析
1.1.3 导数的几何意义
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目标导航
1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义. 2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
知识梳理
1.导数的几何意义
(1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…)沿着曲线f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称
注意:若f'(x0)>0,则切线与x轴正方向的夹角是锐角;若f'(x0)<0,则 切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重 合.
重难聚焦
2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的 直线是切线”的区别是什么?
剖析在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时, 我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做 切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切 线:当直线和曲线有唯一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,这 种推广是不妥当的.
方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.
题型一
题型二
题型三
题型四
∴y'|x=2
2020高考数学(文理通用)大二轮课件：专题二函数与导数第1讲
“一府两院”改称“一府一委两院”展开全文2016年11月7日，中央办公厅印发《关于在北京市、山西省、浙江省开展国家监察体制改革试点方案》，方案明确，党的纪律检查委员会、监察委员会合署办公。
《方案》强调，要建立党统一领导下的国家反腐败工作机构。
整合反腐败资源力量，扩大监察范围，实现对行使公权力的公职人员监察全面覆盖。
紧接着，2016年12月25日，十二届全国人大常委会第二十五次会议表决通过《全国人民代表大会常务委员会关于在北京市、山西省、浙江省开展国家监察体制改革试点工作的决定》。
根据《决定》：在北京市、山西省、浙江省及所辖县、市、市辖区设立监察委员会，行使监察职权。
将试点地区人民政府的监察厅（局）、预防腐败局及人民检察院查处贪污贿赂、失职渎职以及预防职务犯罪等部门的相关职能整合至监察委员会。
目前的反腐败资源力量有哪些？政府内部的监察机关、审计机关、预防腐败部门；政府外部的人民检察院的反腐败、反渎职部门，以及检察院内部的预防腐败局。
各种重要反腐职能分布在这些行政机关、司法机关中，多头负责，资源分散，而且还有重复重叠之处。
为了建立起一个“集中统一、权威高效的监察体系”，就要把这些反腐败资源力量整合在一起。
单靠协调肯定不行，要通过一个平台重新分工整合。
新设立的国家监察委员会就是这样一个平台。
试点地区监察委员会由本级人民代表大会产生。
监察委员会主任由本级人民代表大会选举产生；监察委员会副主任、委员，由监察委员会主任提请本级人民代表大会常务委员会任免。
监察委员会对本级人民代表大会及其常务委员会和上一级监察委员会负责，并接受监督。
一、“实现对行使公权力的公职人员监察全面覆盖”具体包括哪些人群？依据现在的行政监察法，监察部门的覆盖范围只包括国家行政机关及其公务员，以及国家行政机关任命的其他人员。
这个范围窄于公务员法。
我国的公务员法调整对象不仅仅是行政机关工作人员，也包含了立法机关、司法机关、各党派和主要人民团体的公职人员等。
2020届人教A版高三数学二轮复习分层次辅导讲义——导数.01导数概念和几何意义(A级)理科.学生版
内容要求层次重难点导数概念及其几何意义导数的概念 A1.理解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义．2.熟记基本导数公式，掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则，会求简单函数的导数．3.熟练掌握求导公式，会求复合函数的导数．导数的几何意义 C导数的运算根据导数定义求函数的导数y c=，y x=，3y x=，1yx=，y x=的导数A导数的四则运算 C复合函数的导数 B导数公式表 B导数的概念导数的运算基本初等函数的导数公式导数的四则运算复合函数求导导数的几何意义导数的应用函数的单调性函数的极值与最值定积分微积分基本定理导数知识框架高考要求导数的概念及其几何意义一、 导数1. 导数的定义：对于函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量()()00y f x x f x =+-ΔΔ．比值yx∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，即()()00f x x f x y x x +-∆=∆ΔΔ． 如果当0x →Δ时，yx∆∆有极限，我们就说函数()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在0x 处的导数（或变化率），记作()0'f x 或0'x x y =，即()()()00000'limlimx x f x x f x yf x x x→→+-∆==∆ΔΔΔΔ 二、 函数的平均变化率：1. 已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=- 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b知识内容内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．三、 导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示：AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．四、 导数的运算1. 初等函数的导数公式表注：ln e a =L ． 注意()x x e e '=．2. 导数的四则运算法则： （1）函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． （3）函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦． 特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．1. 导数的几何意义【例1】 2111lim 1333n n →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭L （ ）A ．53B ．32C ．2D ．不存在2. 求下列函数的导数．【例2】 （1）322()1,a f x x x=++其中0a >．（2）1()ln ah x x a x x+=+- （3）()(1)e (0)xa f x x x =->（4）ln ()1a x bf x x x=++ （5）2()()x kf x x k e =- （6）3()h x x x x=--例题精讲【例3】 求函数y =的导数．【例4】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----L ，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0３．切线方程【例5】 （1）曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．（2）曲线32242y x x x =--+过点(13)-，处的切线方程是_________．【巩固】曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）AB ．C ．D ．0【例6】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例7】 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()()1'0x f x -≥，则必有（ ）A ． ()()()0221f f f +<B ．()()()0221f f f +>C ．()()()0221f f f +≥D ．()()()0221f f f +≤【例8】 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【例9】 已知函数432()f x ax bx cx dx e =++++（其中a 、b 、c 、d 、e R ∈）为偶函数，它的图象过点(01)A -，，且在1x =处的切线方程为220x y +-=．函数()f x 的表达式本章是选修内容中较重要的知识，分析今年的高考试题可以看出，导数是必考内容之一，本节主要考察的是导数的概念及其几何意义，1．导数的概念，要结合实例，理解概念的实质，利用导数的几何意义，求导数的切线方程，要注意切线平行于y 轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为0x x =．并且要注意在点和过点的切线方程的区别． 2．在理解导数的0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆得公式时要主要注意和斜率公式，和单调性的定义的证明的方法的区别．识记正切函数在[0.]π的图像，更加便利的准且的解答习题 （1）直线的斜率：211221()y y k x x x x -=≠- （2）函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，课堂总结则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．（3）切线的图像-π23π2π2πo -π-3π2yx3．掌握其相关的知识．（1）两直线平行：1212k k b b =≠且；两直线垂直121k k =-；两直线的倾斜角互补：12k k =- （2）函数的点调性和奇偶性 （3）掌握函数的值域的求法【习题1】 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=【习题2】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ） A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+课后检测【习题3】 点P 在曲线323y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．324ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．3[)4ππ， D ．3[0)[)24πππ⋃，，。
第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测
(0 +ℎ)−(0 −ℎ)
(, )，则 lim
ℎ
ℎ→0
）
A．′ 0
B．2′ 0
C．−2 ′ 0
D．0
【答案】B
0 +ℎ − 0 −ℎ
【解析】由题意知， lim
ℎ
ℎ→0
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ→0 0 +ℎ − 0 −ℎ
= 2lim
故选：B
= 2′ 0 ．
变化率为（ ）
3
A．
300
cm/s
6π
3
B．
3
300
cm/s
5π
C．
150
cm/s
3π
3
D．
150
cm/s
2π
【答案】C
2
1
1
【解析】设注入溶液的时间为（单位：s）时，溶液的高为ℎcm，则 π ⋅ ℎ
3
5
因为ℎ′ =
1 3 150
，所以当
3 π 2
= π时，ℎ′ =
1 3 150
3
π3
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为
1
【解析】() = ′(1) −1 − (0) + 2 2 ⇒ ′() = ′(1) −1 − (0) +
令 = 1得： (0) = 1
() =
′(1) −1
−+
1 2
2
⇒ (0) = ′(1) −1 = 1 ⇔ ′(1) =
1
得：() = − + 2 2
则 ′ (0) = 1且(0) = 0，即切线的斜率为 = 1，切点坐标为(0,0)，
所以切线方程为 = ．
2020新课标高考数学(理)二轮总复习课件：1导数与不等式问题
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
1．(2019·重庆模拟)已知 a≤8，函数 f(x)＝aln x－x2＋5，g(x)＝2x＋ax. (1)若 f(x)的极大值为 5，求 a 的值 解析：(1)函数 f(x)＝aln x－x2＋5，函数的定义域为{x|x＞0}， 函数的 f(x)的导数 f′(x)＝ax－2x＝a－x2x2， 当 a≤0 时，则 f′(x)＜0，此时函数单调递减，无极大值，∴a＞0， ∴f(x)在0， a2上单调递增，在 a2，＋∞上函数单调递减． ∴函数 f(x)的极大值为 f a2＝5，解得 a＝2e.
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)证明：当 a≥12时，不等式 f(x)>2ax＋1x在区间(1，＋∞)上恒成立． 解析：(2)证明：令 h(x)＝f(x)－2ax－1x＝a(x＋1)2－ln x－2ax－1x＝ax2＋a－ln x－1x， 则 h′(x)＝2ax－1x＋x12≥x－1x＋x12＝x2－x 1＋x12>0， ∴函数 h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)>h(1)＝2a－1≥0， ∴当 a≥12时，不等式 f(x)>2ax＋1x在区间(1，＋∞)上恒成立．
(2 分)
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0；当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0.所以 f(x)在0，1a
上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．
(6 分)
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范围．
导数及其应用(教学案)-2020年高考理数二轮复习精品资料Word版含解析_1
高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(x m)′＝mx m－1；③(sin x)′＝cos x; ④(cos x)′＝－sin x；⑤(e x)′＝e x; ⑥(a x)′＝a x ln a；⑦(ln x)′＝1x；⑧(log a x)′＝1x ln a.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[f xg x ]′＝f′x g x－f x g′xg2x.④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′u u′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f (x )>0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；②当f (x )<0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；③当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .高频考点一 导数的几何意义及应用 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】-3 【解析】，则 所以【变式探究】(1)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：基本法：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.速解法：∵f (1)＝2＋a ，由(1，f (1))和(2,7)连线斜率k ＝5－a1＝5－a ，f ′(x )＝3ax 2＋1，∴5－a ＝3a ＋1，∴a ＝1.答案：1(2)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：基本法：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x ，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，∴a ＝0或x 0＝－12，又ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，即ax 20＋ax 0＋2＝0，当a ＝0时，显然不满足此方程， ∴x 0＝－12，此时a ＝8.速解法：求出y ＝x ＋ln x 在(1,1)处的切线为y ＝2x －1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或a ＝0(显然不成立)．【变式探究】设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：基本法：y ′＝a －1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2，∴a ＝3，故选D. 答案：D高频考点二 导数与函数的极值、最值例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
2020年高考数学二轮复习 导数讲学案 理.doc
回扣3 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．a，b，c依次表示函数f(x)＝2x＋x－2，g(x)＝3x＋x－2，h(x)＝ln x＋x－2的零点，则a，b，c的大小顺序为( )A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．b<a<c答案 D解析a，b，c为直线y＝2－x分别与曲线y＝2x，y＝3x，y＝ln x的交点横坐标，从图象可知，b<a<c，故选D.2．若曲线f(x)＝x4－4x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为( )A．(－1,2) B．(1，－3)C．(1,0) D．(1,5)答案 B解析对f(x)＝x4－4x，求导得f′(x)＝4x3－4，由在点A处的切线平行于x轴，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即点A的坐标为(1，－3)．3．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B ，故选C.4．设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．(3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 答案 D解析 由f (x )＝－e x－x ，得f ′(x )＝－e x－1， 因为e x＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.5．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.6．(2016·全国Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析 方法一 (特殊值法)不妨取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增，排除A ，B ，D.故选C. 方法二 (综合法)∵函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －53在(－∞，＋∞)上恒成立．当cos x ＝0时，恒有0≥－53，得a ∈R ；当0<cos x ≤1时，得a ≥43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，g (t )＝43t －53t 在(0,1]上为增函数，得a ≥g (1)＝－13；当－1≤cos x <0时，得a ≤43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，g (t )＝43t －53t 在[－1,0)上为增函数，得a ≤g (－1)＝13.综上，可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13，故选C.7．(2016·全国Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.9．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 答案 B解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32，故选B.10．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＋4f (－2)＜0的解集为( ) A ．(－∞，－2 016) B ．(－2 016，－2 012) C ．(－∞，－2 018) D ．(－2 016,0)答案 A解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数， 所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＋4f (－2)＜0， 可得(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＜4f (2)， 即g (x ＋2 018)＜g (2)，所以x ＋2 018＜2，故x ＜－2 016，故选A. 11．ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝________. 答案π＋34解析 因为ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝ʃ101－x 2d x ＋ʃ10(x ＋x 3)d x ， ʃ10(x ＋x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋14x 410＝34，ʃ101－x 2d x 等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为π4， 所以ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝π＋34. 12．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0，得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 13．已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．② 将点(1,0)代入②式，得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意它们互为相反数，得a ＝278.14．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2＞0， 因此函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知，存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 成立，令h (x )＝x 2＋52x，则若存在x ∈[1,2]，使a ≥h (x )成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x在[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞. 15．设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围． 解 (1)由题意可得f ′(x )＝(1＋kx )e kx，f ′(0)＝1，f (0)＝0，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为x －y ＝0. (2)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)，若k ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若k ＜0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．所以当k >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ；当k <0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞.(3)由(2)知，若k ＞0，则当且仅当－1k≤－1，即0<k ≤1时，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增； 若k ＜0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增．综上可知，当函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．16．已知函数f (x )＝ax e x ，其中a ＞0，且函数f (x )的最大值是1e. (1)求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝ln f (x )－b 有两个零点，求实数b 的取值范围；(3)若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )＜1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝a (1－x )e x ，因为a ＞0，所以当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0，f (x ) 在(－∞，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )max ＝f (1)＝a e ＝1e，所以a ＝1. (2)由题意知，函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b (x ＞0)，所以g ′(x )＝1x －1＝1－x x， 易得函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－1－b ， 依题意知，－1－b ＞0，则b ＜－1，所以实数b 的取值范围是(－∞，－1)．(3)由题意知，f (x )＝x e x ＜1k ＋2x －x 2对任意x ∈(0,2)都成立， 所以k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)都成立，从而k ≥0.又不等式整理可得k ＜e x x＋x 2－2x ， 令h (x )＝e x x＋x 2－2x ， 所以令h ′(x )＝e x (x －1)x 2＋2(x －1) ＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2＝0，得x ＝1， 当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1,2)上单调递增，同理，函数h (x )在(0,1)上单调递减， h (x )min ＝h (1)＝e －1.依题意得k ＜h (x )min ＝h (1)＝e －1，综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1)．。
2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算教案理(含解析)新人教A版
第1讲 导数的概念及运算基础知识整合1．导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的□01瞬时变化率，记作：y ′|x ＝x 0或f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时，f ′(x )即为f (x )的导函数，简称导数，即y ′＝f ′(x )＝□02lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx . 2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点□03P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，切线方程为□04y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．基本初等函数的导数公式 (1)C ′＝□050(C 为常数)； (2)(x n )′＝□06nx n －1(n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝□07cos x ；(4)(cos x )′＝□08－sin x ； (5)(a x )′＝□09a x ln_a ；(6)(e x )′＝□10e x ； (7)(log a x )′＝1x ln a ；(8)(ln x )′＝□111x. 4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝□12f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝□13f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[C ·f (x )]′＝□14Cf ′(x )(C 为常数)． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝□15f x g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．1．(2019·海南模拟)曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0答案 B 解析 y ′＝2x －1－2xx －2＝－1x －2，当x ＝1时，y ′＝－1，所以切线方程是y －1＝－(x －1)，整理得x ＋y －2＝0.故选B.2．函数f (x )＝x (2017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2018，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e 答案 B解析 f ′(x )＝2017＋ln x ＋x ·1x＝2018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2018，得2018＋ln x 0＝2018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.故选B.3．若曲线y ＝e x＋ax ＋b 在点(0,2)处的切线l 与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a ＋b ＝( )A ．3B ．－1C ．1D ．－3 答案 A解析 因为直线x ＋3y ＋1＝0的斜率为－13，所以切线l 的斜率为3，即y ′|x ＝0＝e 0＋a＝1＋a ＝3，所以a ＝2；又曲线过点(0,2)，所以e 0＋b ＝2，解得b ＝1.故选A.4．(2019·河北质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e.故选C.5．f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．答案 x －y ＋4＝0解析 f ′(x )＝－2x2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1,5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.6．(2019·郑州模拟)直线x －2y ＋m ＝0与曲线y ＝x 相切，则切点的坐标为________． 答案 (1,1)解析 ∵y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x －12 ，令y ′＝12x －12 ＝12，则x ＝1，则y ＝1＝1，即切点坐标为(1,1)．核心考向突破考向一 导数的基本运算 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 3x ＋sin3x ；(4)y ＝1x －3.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝xx－cos xxx2＝－sin x ＋cos x ex. (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝(sin 3x )′＋(sin3x )′＝3sin 2x cos x ＋3cos3x . (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x －3′＝[(2x －1)－3]′ ＝－3(2x －1)－4×2＝－6(2x －1)－4. 触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.对数形式：先化为和、差的形式，再求导. 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.即时训练 1.求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝11－2x；(4)y ＝ln xx 2＋1. 解 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝[(1－2x ) －12 ]′＝－12(1－2x ) －32 ×(－2)＝(1－2x ) －32 .(4)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.考向二 导数的几何意义角度1 求切线的方程例2 (1)(2019·四川成都模拟)曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是( ) A ．y ＝－πx ＋π2B ．y ＝πx ＋π2C ．y ＝－πx －π2D ．y ＝πx －π2答案 A解析 因为y ＝x sin x ，所以y ′＝sin x ＋x cos x ，在点P (π，0)处的切线斜率为k ＝sin π＋πcos π＝－π，所以曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是y ＝－π(x －π)＝－πx ＋π2.故选A.(2)曲线y ＝f (x )＝e2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为________．答案 2x －y ＋2＝0 解析 ∵f ′(x )＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2e 0＝2，∴曲线y ＝e2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －y ＋2＝0. 角度2 求切点的坐标例3 (1)(2019·陕西模拟)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P处的切线垂直，则点P 的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1,1)答案 A解析 对y ＝e x求导得y ′＝e x，令x ＝0，得曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以点P 的坐标为(1,1)．故选A.(2)(2018·江西模拟)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (e ，e)解析 设点P (x 0，y 0)，∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ．∴曲线y ＝x ln x在点P 处的切线斜率k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 角度3 求公切线的方程例4 (1)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2.故选D.(2)若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．答案 y ＝x ＋1解析 设直线l 与曲线y ＝e x 的切点为(x 0，e x0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214，因为y ＝e x 在点(x 0，e x 0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x 0，y ＝－x 24在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2| x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x或y ＝－12x 1x ＋14x 21，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x0＝－x 12，－x 0ex＋e x0＝x 214，所以e x 0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.触类旁通(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．求曲线f x ，g x的公切线l 的方程的步骤,①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标x 0，f x 0，x 1，g x 1，并分别求出两曲线的切线方程；,②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y 轴上的截距都分别相等，得到关于参数x 0，x 1的方程组，解方程组，求出参数x 0，x 1的值；,③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可.即时训练 2.(2019·衡水调研)已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.故选A.3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2答案 A 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2x ＋2，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.答案 1－ln 2解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.考向三 求参数的范围例5 (1)(2019·沈阳模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．5D ．－1答案 A解析 由题意可得3＝k ＋1,3＝1＋a ＋b ，则k ＝2.又曲线的导函数y ′＝3x 2＋a ，所以3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝3，所以2a ＋b ＝1.故选A.(2)已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞解析 由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e 即可．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.触类旁通处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.即时训练 5.已知函数f (x )＝ax 2＋2b ln x ，若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝x ＋2－6ln 2，则a ＋b ＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 答案 A解析 由切线方程，得f (2)＝4－6ln 2，f ′(2)＝1. ∵f (x )＝ax 2＋2b ln x ，∴f ′(x )＝2ax ＋2b x，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ln 2＝4－6ln 2，4a ＋b ＝1，解得a ＝1，b ＝－3，∴a ＋b ＝－2.故选A.6．若曲线y ＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞答案 B解析 令y ＝f (x )＝13x 3＋ax 2＋x ，则f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1，∵曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解，∴Δ＝(2a )2－4≥0，∴a ≥1或a ≤－1，即实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选B.。
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第1讲 导数概念运算和几何意义[基础回顾]1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。
(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.[完美题型展现]题型一 导数的运算【玩转角度1】 根据求导法则求函数的导数 例1 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)f (x )＝ln1＋2x .【解析】(1)y ′＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋e x x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)因为 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .【玩转角度2】 抽象函数的导数计算例2 (2020·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e【解析】 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.[题型特训]1.求下列函数的导数． (1)y ＝cos x －sin x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.2.(2020·南昌模拟)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．解析：因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，所以f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin π4＋cos π4，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)·cos π4＋sin π4＝1.答案：1题型二 导数的几何意义【玩转角度1】 导数求切线方程（两类）例3 （1）(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D（2）(2019·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 【玩转角度2】 导数求切点坐标例4(1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.【解析】 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1. 又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).【玩转角度3】 求参数的值或取值范围例5 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.【解析】 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).(2)f ′(x )＝1－ax2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 【玩转角度4】 公切线求法例6 （2016全国卷）若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝⎛⎭⎫1k ，－ln k ＋2， B ⎝⎛⎭⎫1k －1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎨⎧2－ln k ＝k ·1k＋b ，－ln k ＝k ·⎝⎛⎭⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.答案：1－ln 2【玩转角度5】 与切线有关的距离最值问题 例7 已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩，所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4[题型特训]1．(2020·衡阳模拟)曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C.f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，又∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.2．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ， 于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0， m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.3．(2018·江西南昌二中月考)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．－e玩 转 秘 籍处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.．C.1eD ．－1e解析：选C.解法一：∵f (x )＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x .设切点P (x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f (x )＝ln x 及曲线f (x )＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.4．(2018·江西新余质检)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4D ．－2解析：选D.∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )图象的切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 2＋mx 0＋72（m ＜0），∴－m ＝12(1－m )2＋m (1－m )＋72，得m ＝－2，故选D.5.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________.【解析】 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. [特训作业]1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′＝3x ln 3 B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2 D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x【答案】 C【解析】 因为⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝－x sin x －cos xx 2，C 项错误. 2.(2019·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2 B.eC.ln 22D.ln 2【答案】 B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 3.(2019·南阳一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A.7 B.4C.0D.－4【答案】 A【解析】 ∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1， ∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.4.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e【答案】 B【解析】 ∵y ′＝a e x ＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行， ∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e.5.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A ，C ；又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.6.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2D.1＋ln 2【答案】 D【解析】 由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1. 7.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________. 【答案】 (－2，9)【解析】 由题意得f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2， ∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2，9).8.(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________. 【答案】 1【解析】 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y－a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.9.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________.【答案】 －94【解析】 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， 所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.10.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________. 【答案】 6x －y －5＝0【解析】 由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7， ∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0. 11.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1 B.0C.－1D.－2【答案】 D【解析】 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2.12.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [－2，－1]【解析】 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1].13.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [2，＋∞)【解析】 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x－a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号).。