高考数学-10.5古典概型、几何概型及概率的综合应用配套练习

第5讲 古典概型、几何概型及概率的综合应用随堂演练巩固1.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程20x bx c ++=有实根的概率为( )A.1936B.12C.59D.1736【答案】 A【解析】 一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为24b c ≥.由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的概率为P 1936=. 2.已知正方体ABCD-1111A B C D 内有一个内切球O,则在正方体ABCD-1111A B C D 内任取点M,点M 在球O 内的概率是( )A.4πB.8π C.6π D.12π 【答案】 C【解析】 设正方体棱长为a,则正方体的体积为3a ,其内切球的体积为341()326a π⨯=π3a , 故M 在球O 内的概率为33166a aππ=. 3.如图,一矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96颗,以此 实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )A.7.68B.16.32C.17.32D.8.68【答案】 B【解析】 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率S P S =,椭圆矩形 而300960300P -==.6824S ,=,矩形故S =椭圆P ⋅0S =矩形.682416⨯=.32. 4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它 们的长度恰好相差0.3 m 的概率为 .【答案】 15【解析】 21105P ==. 5.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达 路口时,看见下列三种情况的概率各是 、 、 .(1)红灯(2)黄灯(3)不是红灯【答案】 25 115 35【解析】 在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于与长度有关的几何概型.302(1)304055P ===++红灯亮的时间全部时间; 51(2)7515P ===黄灯亮的时间全部时间; 453(3)755P ====不是红灯亮的时间黄灯或绿灯亮的时间全部时间全部时间.课后作业夯基基础巩固1.方程20((01))x x n n ++=∈,有实根的概率为( )A.12B.13C.14D.34【答案】 C 【解析】 由140n ∆=-≥得14n ≤,又(01)n ∈,,故所求事件的概率为14P =. 2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的概率是( )A.14B.16927【答案】 D【解析】由题意可知正方体被切割为27块,六个面均没有涂色的只有最中间的那一块,则其概率为1 27.3.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上,有一位乘客等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )A.12 B.23C.35 D.25【答案】 D【解析】 1、3、4、5、8这5路汽车中的任何一路到站的可能性是相同的,故所求概率为25P=.4.如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60o角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在xOT∠内的概率是( )A.1 3B.1 4C.1 5D.1 6【答案】 D【解析】记“射线OA落在xOT∠内”为事件A.事件A的几何度量是60o,而所有区域的几何度量是360o,故601 ()6360P A==oo.5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率为( )A.16 B.14129【答案】 A 【解析】 点P 在直线x+y=5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概率为 61666=⨯. 6.(2012山东枣庄段考)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n,记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为α,则(0α∈,]2π的概率为( ) A.78 B.1316C.316D.712【答案】 D【解析】 由(0]2πα∈,,得cos 0α≥,从而⋅a b 0m n =-≥.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1,2;当m=3时,n=1,2,3;…;当m=6时,n=1,2,3,4,5,6.故所求概率为12345673612+++++=. 7.已知函数2()f x x bx c =++,其中0404b c ≤≤,≤≤.记函数f(x)满足条件(2)12(2)4f f ≤,⎧⎨-≤⎩ 为事件A,则事件A 发生的概率为( )A.14B.58C.12D.38【答案】 C 【解析】 由题意知事件A 对应280200404b c b c b c +-≤,⎧⎪-≥,⎪⎨≤≤,⎪⎪≤≤⎩ 表示的区域,其面积为8,试验的全部结果构成的区域面积为16,故所求概率为81162P ==. 8.向面积为9的△ABC 内任投一点P,那么△PBC 的面积小于3的概率是 .【答案】 59【解析】 如图,由题意,△PBC 的面积小于3,则点P 应落在梯形BCED 内,∵22()3ADE ABC S S =,V V ∴4ADE S =V .∴5BCED S =梯形.∴59P =.9.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .(结果用最简分数表示)【答案】 112【解析】 将一骰子连续抛掷三次,共有666216⨯⨯=种可能的结果,其中点数依次成等差数列的情况有(42)2+⨯+6=18种,故所求概率为18121612=. 10.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1,2,…,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)= .【答案】 14【解析】 当08k ≤≤时,S=2k+1,当k=9时,S=9+1+0=10,当1018k ≤≤时,令10(08)k t t S =+≤≤,=2+2t+1=2t+3,当k=19时,S=1+9+2+0=12,令21147k k +≥⇒≥,则k=7、8,令23146t t +≥⇒≥,则t=6、7、8,即k=16、17、18,故51()204P A ==. 11.一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字,今随机地先后 抽取2个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求2个小球上的数字为相邻整数的概率.【解】随机抽取2个小球,记事件A 为“2个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9),共18种.(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x 有10种可能,y 有9种可能,共有可能结果10⨯9=90种,因此事件A 的概率为181905=. (2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x 有10种可能,y 有10种可能,共有可能结果1010100⨯=种,因此,事件A 的概率为950. 12.两人约定在20:00到21:00之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发 是各自独立的,在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.【解】 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内相见,当且仅当2233x y -≤-≤. 两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为2211()3891S P S -===阴影单位正方形. 13.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号 为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b. ①记事件A 表示“a+b=2”,求事件A 的概率;②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“222()x y a b +>-恒成立”的概率.【解】 (1)由题意可知:1112n n =,++解得n=2. (2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:(0,1121211122221)(02)(02)(10)(12)(12)(20)(21)(22)(20)(21)(22),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共12个,事件A 包含的基本事件为:1212(02)(02)(20)(20),,,,,,,共4个.∴41()123P A ==. ②记“222()x y a b +>-恒成立”为事件B,则事件B 等价于“224x y +>”,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0202x y x y ≤≤,≤≤,,∈R },而事件B 所构成的区域B={(x,y)|224()x y x y +>,,∈Ω}22()1224B S P B S Ω⨯-ππ,===-⨯. 拓展延伸14.已知函数2()2(f x ax bx a a b =-+,∈R ).(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率;(2)若b 从区间(0,2)中任取一个数,a 从区间(0,3)中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.【解】 (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,a ,b 取值的情况是:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值,即基本事件总数为16.记“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A,当00a b ≥,≥时,方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a 且a 不等于零,当b>a 且0a ≠时,a,b 取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即A 包含的基本事件数为3,∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率P(A)=316. (2)记“方程f(x)=0没有实根”为事件B.∵b 从区间(0,2)中任取一个数,a 从区间(0,3)中任取一个数, 则试验的全部结果构成区域{(a,b)|0<a<3,0<b<2},这是一个矩形区域,其面积236S =⨯=,则事件B 所构成的区域为{(a,b)|0<a<3,0<b<2,a>b},其面积为162242-⨯⨯=. 由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率42()63P B ==.。