高等数学第2章第2节收敛数列的性质
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§2 收敛数列的性质
引 言
上节引进“数列极限”的定义,并通过例题说明了验证lim n n a a →∞
=的方法,这是极限较基本的内容,要
求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.
一、收敛数列的性质
1 极限唯一性
定理2.2 若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. 2 有界性
定理2.3 若数列{}n a 收敛,则{}n a 为有界数列.
注:有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分重要条件.例如数列{}
(1)n
-有界,但它不收敛.
3 保号性
定理2.4 若lim 0n n a a →∞
=>(或0a <),则对任何(0,)a a '∈(或(,0)a a '∈),存在正数N,使得
当n N >时有n a a '>(或n a a '<).
注 在应用保号性时,经常取2
'
a
a =. 4 保不等式性
定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛,若存在正数0N ,使得当0n N >时有n n a b ≤,则
l i m l i m n n n n a b →∞
→∞
≤.
思考:如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”,那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞
→∞
<?
保不等式性的一个应用:
例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ,证明:若lim n n a a →∞
=,则n =
思考:极限运算与一般函数运算可交换次序吗?
5 迫敛性
定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限,数列{}n c 满足:存在正数0N ,当0n N >时有
n n n a c b ≤≤,则数列{}n c 收敛,且lim n n c a →∞
=.
注:迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提供了一个求数列极限的工具. 下面是其应用一例:
例2 求数列
的极限.
6 极限的四则运算法则
定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列,则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛,且有
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
±=±=±;
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
⋅=⋅=⋅.
若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠,则数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
也收敛,且有 lim lim lim n
n n n n n
n a a a b b b →∞→∞→∞
==. 特别地,若n b c =,则lim()lim n n n n a c a c →∞
→∞
+=+,lim lim n n n n ca c a →∞
→∞
=.
在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则.下举几例; 例3 求 n
n n n n 1
13lim
++∞→
例4 求 6
521
4lim 22-++∞→n n n n
类似可求 1110
1110
lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ,其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.
例5 求1
lim +∞→n n
n a a ,其中1a ≠-.
例6
求n .
例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫
+++
⎪+⎝
⎭ . 二 数列的子列
1. 引言
极限是个有效的分析工具.但当数列{}n a 的极限不存在时,这个工具随之失效.这能说明什么呢?难道{}n a 没有一点规律吗?当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么,如果“整体无序”,“部分”是否也无序呢?如果“部分”有序,可否从“部分”来推
断整体的性质呢?简而言之,能否从“部分”来把握“整体”呢?这个“部分数列”就是要讲的“子列”. 2. 子列的定义
定义1 设{}n a 为数列,{}k n 为正整数集N +的无限子集,且123k n n n n <<<<< ,则数列
12,,,,k n n n a a a
称为数列{}n a 的一个子列,简记为{}
k n a .
注1 由定义可见,{}n a 的子列{}
k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序.简单地讲,从{}n a 中取出无限多项,按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列,就是{}n a 的一个子列(或子列就是从
{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列.
注2 子列{}
k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项,k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项,即{}
k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项,故总有k n k >. 特别地,若k n k =,则k n n a a =,即{}
{}k n n a a =.
注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列,称为{}n a 的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为{}n a 的非平凡子列.
如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列.由上节例知:数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限.
那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢?此即下面的结果: 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛.
注 若数列{}n a 有一个子列发散,或有两个子列收敛而极限不相等,则数列{}n a 一定发散.这是判断数列发散的一个很方便的方法.如})1{(n -,})1{(2k -收敛于1,})1{(12+-k 收敛于1-,故})1{(n -发散.
例7 证明 }2
{sin
π
n 发散. 作业:P33 1(1)(4)(5),2,4(1)(4)(6),6(1)