高等数学第2章第2节收敛数列的性质

§２ 收敛数列的性质
引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞
=的方法，这是极限较基本的内容，要
求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．
一、收敛数列的性质
１ 极限唯一性
定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性
定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．
注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}
(1)n
-有界，但它不收敛．
３ 保号性
定理2.4 若lim 0n n a a →∞
=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得
当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．
注 在应用保号性时，经常取2
'
a
a =． ４ 保不等式性
定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则
l i m l i m n n n n a b →∞
→∞
≤．
思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞
→∞
<？
保不等式性的一个应用：
例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞
=，则n =
思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？
５ 迫敛性
定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有
n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞
=.
注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例：
例2 求数列
的极限．
６ 极限的四则运算法则
定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
±=±=±;
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
⋅=⋅=⋅.
若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠，则数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
也收敛，且有 lim lim lim n
n n n n n
n a a a b b b →∞→∞→∞
==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞
→∞
+=+，lim lim n n n n ca c a →∞
→∞
=.
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例； 例3 求 n
n n n n 1
13lim
++∞→
例4 求 6
521
4lim 22-++∞→n n n n
类似可求 1110
1110
lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.
例5 求1
lim +∞→n n
n a a ，其中1a ≠-.
例6
求n .
例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫
+++
⎪+⎝
⎭ . 二 数列的子列
１． 引言
极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推
断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”． ２． 子列的定义
定义１ 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列
12,,,,k n n n a a a
称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}
k n a .
注1 由定义可见，{}n a 的子列{}
k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从
{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．
注2 子列{}
k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}
k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}
{}k n n a a =.
注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．
如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．
那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．
注 若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．
例7 证明 }2
{sin
π
n 发散． 作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。