习题14S-L本征值问题

p ( x ) ≥ p0 > 0 ， ρ ( x ) ≥ ρ 0 > 0 ， q ( x ) ≥ 0 ， a 与 b 及 c 与 d 均为不同时为 0 的非负常数，
证明本征值 ≥ 0 。 方程两边同乘 y 得 λρ y = − y
2
d ⎛ dy ⎞ 2 ⎜ p ⎟ + qy ，两边积分得 dx ⎝ dx ⎠
dy2 dy − p y2 1 = 0 dx a dx a
∫
ρ y1 y2 dx = 0 ⎢ p ( x ) dx ⎥ + ⎡ ⎣λρ ( x ) − q ( x ) ⎤ ⎦y=0 256．假设 S-L 方程的本征值问题 ⎨ ⎣ 中， ⎦ ⎪( ay′ − by ) = 0, ( cy′ + dy ) = 0 x =0 x =l ⎩
在 a ≤ x ≤ b 上均为连续实函数，且 p ( x ) ≥ p0 > 0 ， ρ ( x ) ≥ 交性。 ，即 设本征值 λ1 对应本征函数 y1 ，本征值 λ2 对应本征函数 y2 （ λ1 ≠ λ2 ）
ρ0 > 0 。试证明本征函数的正
λ1 ρ y1 = − λ2 ρ y2 = −
d ⎛ dy1 ⎞ ⎜p ⎟ + qy1 ， dx ⎝ dx ⎠ d ⎛ dy2 ⎞ ⎜p ⎟ + qy2 。 dx ⎝ dx ⎠
)
⎧ A sin ⎪ ⎨ ⎪ A sin ⎩
( (
) ( λ ln b ) + B cos (
λ ln a + B cos λ ln a
) ， λ ln b ) = 0
λ ln a = 0 λ ln a
sin
所以
( sin (
) λ ln b )
cos
( cos (
) = sin ⎡ ⎣ λ ln b )
（a）
（b）
（a） × y2 − （b） × y1 得 ( λ1 − λ2 ) ρ y1 y2 = y1
b
d ⎛ dy2 ⎞ d ⎛ dy1 ⎞ ⎜p ⎟ − y2 ⎜ p ⎟， dx ⎝ dx ⎠ dx ⎝ dx ⎠
b
两边积分得 ( λ1 − λ2 ) 由于 λ1 ≠ λ2 ，所以
∫
b a
b
a
ρ y1 y2 dx = py1
ω ⎧ ⎪ X1 ( x ) = A sin a x,0 < x < l1 ⎪ 1 由方程及 X1 ( 0) = 0, X2 ( l1 + l2 ) = 0 可得 X ( x ) = ⎨ 。 ω ⎪ X ( x ) = B sin ( l + l − x ) , l < x < l + l 2 1 2 1 1 2 ⎪ a2 ⎩ ω ω ⎧ ⎪ A sin a l1 − B sin a l2 = 0 ⎪ 1 2 ′ ( l1 ) = X 2 ′ ( l1 ) 得 ⎨ ， （*） 代入条件 X 1 ( l1 ) = X 2 ( l1 ) , X 1 ⎪ A ω cos ω l + B ω cos ω l = 0 1 2 ⎪ a1 a2 a2 ⎩ a1
（1）记 L = −
d ⎡ d ⎤ 2 1 − x ，则 ( ) dx ⎢ dx ⎥ ⎣ ⎦ dy ⎤ dy ⎤ d ⎡ d ⎡ 1 − x 2 ) 1 ⎥ − y1 ⎢(1 − x 2 ) 2 ⎥ ( ⎢ dx ⎣ dx ⎦ dx ⎣ dx ⎦ + (1 − x 2 ) y2 d (1 − x d 2 y1 − y1 2 dx dx
254．将下列方程化为 S-L 型方程的标准形式： （1） x
d2y dy + 2 +(x +λ) y = 0； 2 dx dx
（2）
d2y dy d2y dy + cot x + λ y = 0 ； （ 3 ） x 1 − x + ( a − bx ) − λ y = 0 ； ( ) 2 2 dx dx dx dx d2y dy + (1 − x ) + λ y = 0 。 2 dx dx
2
1 1 dy1 dy ⎞ y L y dx = − y1 2 ⎟ =0， ( ) 1 2 ∫−1 ∫−1 L ( y1 ) y2 dx ， dx dx ⎠ x =±1
d ⎛ d ⎞ ⎜ x ⎟ ，重复上小题过程有 dx ⎝ dx ⎠
x =1
dy ⎞ dy ⎞ ⎛ dy1 ⎛ dy y2 − y1 2 ⎟ = − x ⎜ y2 1 − y1 2 ⎟ ， ∫−1 ( y1Ly2 − y2 Ly1 ) dx = x ⎜ dx ⎠ x =0 dx ⎠ x =0 ⎝ dx ⎝ dx
b b
b
⎛a ⎞ a12 ′ ( a ) − y1 ′ ( a ) y2 ( a ) ⎤ = p ( a ) ⎜ 11 − 1⎟ ⎡ ⎣ y1 ( a ) y2 ⎦ a a 21 22 ⎝ ⎠
所以当
a11 a21
a12 a22
= 1 时， y1 和 y2 正交。
260．两条质料不同，长各为 l1 与 l2 的均匀弦连接在一起，而两端（ x = 0 及 x = l1 + l2 ）固 定。试决定弦的横振动本征频率，并验证本征函数的正交性。 令 u1 ， u2 分别表示两段弦的横向位移，由弦的连续性可得连接条件 u1
2
（4） x
d2y dy （1）方程两边同乘 x 得： x + 2 x + x ( x + λ ) y = 0 ，写成： 2 dx dx
d ⎛ 2 dy ⎞ 2 ⎜x ⎟ + (λ x + x ) y = 0 。 dx ⎝ dx ⎠
（2）两边同乘 sin x 得： sin x
d2y dy + cos x + λ y sin x = 0 ，写成： 2 dx dx
2 ⎧ ⎛ω ⎞ ⎪ X 1′′( x ) + ⎜ ⎟ X 1 ( x ) = 0, 0 < x < l1 ⎪ ⎝ a1 ⎠ ⎪ 2 ⎪ ⎛ω ⎞ 界条件和连接条件得： ⎨ X 2 ′′ ( x ) + ⎜ ⎟ X 2 ( x ) = 0, l1 < x < l1 + l2 。 ⎪ ⎝ a2 ⎠ ⎪ ⎪ X 1 ( 0 ) = 0, X 2 ( l1 + l2 ) = 0 ⎪ ′ ( l1 ) ⎩ X 1 ( l1 ) = X 2 ( l1 ) , X 1′ ( l1 ) = X 2 当 ω = 0 时只有零解，故 ω > 0 （ ω < 0 是同一解） 。
d ⎛ dy ⎞ ⎜ sin x ⎟ + λ y sin x = 0 。 dx ⎝ dx ⎠
（3）两边同乘
x a −1
(1 − x )
a − b +1
得：
xa
(1 − x )
a −b
a −1 d 2 y x ( a − bx ) dy x a −1 y = 0， + − λ a − b +1 a − b +1 dx 2 dx (1 − x ) (1 − x )
l l ⎛ dy ⎞ p ⎜ ⎟ dx + ∫ qy 2 dx 0 ⎝ dx ⎠ 2
λ ∫ ρ y dx = p ⎡ ⎣ y ( 0 ) y′ ( 0 ) − y ( l ) y′ ( l ) ⎤ ⎦ + ∫0 0
2
l
b b y ( 0 ) ， y ( 0 ) y′ ( 0 ) = y 2 ( 0 ) ≥ 0 ， a a a a 2 若 b ≠ 0 ，则 y ( 0 ) = y′ ( 0 ) ， y ( 0 ) y′ ( 0 ) = y′ ( 0 ) ≥ 0 ； b b d 2 d 若 c ≠ 0 ，则 y′ ( l ) = − y ( l ) ， − y ( l ) y′ ( l ) = y ( l ) ≥ 0 ， c c c 2 c 若 d ≠ 0 ，则 y ( l ) = y′ ( l ) ， − y ( l ) y′ ( l ) = y′ ( l ) ≥ 0 ； d d 所以 λ ≥ 0 。
λ ( ln b − ln a ) ⎤ ⎦ = 0，
nπ ⎛ ln r − ln a ⎞ ⎛ ⎞ nπ ⎟ （ n = 1, 2," ） 。 则本征值 λn = ⎜ ⎟ ，本征函数 Rn ( r ) = sin ⎜ ⎝ ln b − ln a ⎠ ⎝ ln b − ln a ⎠
2
⎧d ⎡ 2 dy ⎤ ⎪ ⎢(1 − x ) ⎥ + λ y = 0 dx ⎦ 258．证明下列奇异的本征值问题是自伴的： （1） ⎨ dx ⎣ ； ⎪ y ( ±1) 有界 ⎩ ⎧ 1 d ⎛ dy ⎞ ⎪ ⎜x ⎟+λy = 0 。 （2） ⎨ x dx ⎝ dx ⎠ ⎪ y ( 0 ) 有界,y (1) = 0 ⎩
1
由于 y ( 0 ) 有界，所以上式等于 0，即 L 为自伴算符。
dy ⎤ ⎧d ⎡ λρ ( x ) − q ( x ) ⎤ ⎪ ⎢ p ( x) ⎥ + ⎡ ⎦y=0 dx ⎦ ⎣ ， 259．设有本征值问题： ⎨ dx ⎣ ⎪ y ( b ) = a y ( a ) + a y′ ( a ) , y′ ( b ) = a y ( a ) + a y′ ( a ) 11 12 21 22 ⎩
dy ⎞ ⎛ dy 两边积分得 ∫ ( y1 Ly2 − y2 Ly1 ) dx = (1 − x ) ⎜ y2 1 − y1 2 ⎟ ， −1 dx ⎠ x =−1 ⎝ dx
1 2
x =1
所以 1 − x 由于 y ( ±1) 有界， 即 L 为自伴算符。 （2）记 L = −
(
2
)⎛ ⎜y ⎝
d ⎡ xa dy ⎤ x a −1 y=0。 写成： ⎢ ⎥ −λ a −b a − b +1 dx ⎣ (1 − x ) ⎢ (1 − x ) dx ⎦ ⎥