线性代数期中考试试题+答案
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
浙江大学07-08《线性代数I》期中试卷及答案
浙江大学2007-2008学年《线性代数I 》期中试卷1．设是集合，是映射。
在Y X ,Y X f →:X 中定义关系R 如下：)()(2121x f x f Rx x =⇔。
证明R 是X 中的等价关系。
证明：（1）自反性：对于x X ∀∈，显然有()()f x f x =，即xRx 。
（2）对称性：设12x Rx ，其中12,x x X ∈。
显然有21()()f x f x =，即21x Rx 。
（3）传递性：设122,3x Rx x Rx ，其中123,,x x x X ∈。
则有12()()()3f x f x f x ==，即13x Rx 。
所以R 是X 中的等价关系。
2．设映射是由2:f → 3),,(),(y x y x x y x f −+=定义。
（a ） 证明是线性映射。
f （b ） 确定是否(i)单射；(ii)满射；(iii)双射；并给出理由。
f 证明：（a ）对21122(,),(,),x y x y λ∀∈∀∈ ，我们有112212121122111111((,)(,))(,)(,)(,),((,))(,)(,)f x y x y f x x y y f x y f x y f x y f x y f x y λλλλ+=++==+===（其中省略号按题设中的定义即可得） 所以是线性映射。
f （b ）(i)因为，所以，即是单射；(,)(,,)0f x y x x y x y x y =+−=⇔==0ker {(0,0)}f =f (ii)因为，所以，所以不是满射； 2dim 2= 3dim Im 23dim f ≤<= f (iii)因为不是满射，所以不是双射。
f f 3．求中向量关于有序基3ℜ)1,1,1()}2,0,1(),0,1,1(),1,1,0({321==−=v v v 的坐标。
解：设其坐标为123(,,)x x x ，则有123(1,1,1)(0,1,1)(1,1,0)(1,0,2)x x x =−++，即有方程组，解之得2312131121x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪−+=⎩1231,0,1x x x ===。
101101线性代数(理工类)A09级期中A卷答案.docx
课程《线性代数（A ） 》・A 卷□ B 卷 任课教师 ____________一、选择题（本题20分〉1. 设A 为加XA ?矩阵，B 为EX #矩阵，C 为pxm 矩阵,m,n,p 互不相等，则下 列运算没有意义的是（D ）(A)C + (AB)Z9、(B)ABC (C)(BC)‘ - A (D) BC-Ar 6 2.令 A = -2 57 的第三行元素的代数余子式分别为每,錢‘绻，则―yz 丿Al + 2人32 + 3^3 =〔 B)(A)-l(B)0(C)l (D)不确定3•设A 和B 均为n 阶矩阵，（AB『=E （E 为n 阶单位矩阵），则下列式子中必成 立的是（A ）（A ） AB = B-]A-] （B ） AB = -E （C ） AB = E （D ） AB = ±E4.设A 为斤阶矩阵，B 是A 经过若干次矩阵初等变换后得到的矩阵，则有 （C ）（A ）|A | = |B |（B ）|A |H |B |(C)若\A\ = 0,则一定有|B| = 0(D)若|A|>0,则一定有|B| > 0Q 人了衣京了悅试卷成 绩2010-2011学年第一学期考试时长：120分钟f ■闭卷】5.四阶行列式°b3b2 0h\°的值等于（D ）(A) a }a 2a 3a 4 -b }b 2b 3b 4 . (B) a x a 2a 3a 4 +/?為伏乞•(C) (。
禺2 一 妙2 ) ( a 3a4 一 側4 ) • (D) (a 2a 3 - b 2b 3)(a y a 4 -)二、填空题（本题20分〉厂-8 2 -2、2.设4= 2 x -4不可逆，则兀二_______-2 -4 x ;\(() A \3.设A为分块矩阵,其中人2，人|均为可逆矩阵，则lAi ° 丿l ( 0每A = .E 0丿4.设是四维向量,已知,|人| = |%%,匕,人| = 5, 0| = |0,了2，匕,％| = 2贝iJ|A+ B\二56 ________‘0 1 1 ••• 1 P1 0 1 ••• 1 11 1 0 ••• 1 15.,2阶矩阵. ! ..,则內=(一1广匕7-1)•••••三、（10分）若力是3阶矩阵，|A| 解(3矿-2A”1.设A = (l,0,3,5)r,B = (-2,8,6,9)丁,则咼=61 , AB T< -2-6<-io824406183092745四、（10分）计算行列式D2354-57-961-1212472的值2354-57-96-12124721-121-57-96235424721-521112512263五、六、2111= -99.Q]+1（10分）计算n阶行列式a2a2d] +1-1••2•■… 色一]…0••••5•••-1■• •…(/1-1)•-1 0 … 0n+ 1 + 守+D -q-LiGT% + S -1)a n-X:的值l n4-/7斤+尹4+斗汕n-114+一7n-n\ 1 + ® +（10分）设人=…+心-431+他72)0、3，…(«-1) 0解 原关系式可化为（A-2E ）B = A.由于<2 2 3 1 0 0、<1 0 0 1-4 -3、(A-2E £)= 1 -1 0 0 1 0 T 0 1 0 1-5 -3<-1 2 1 \ 0 0<0 0 1 -1 6 4丿故A-2E 是可逆的，H< 1 -4 -3、(A-2E)'1 = 1 -5 —3 .<-1 64 )/因此矩阵方程的解厂 1 -4 -3、 ‘ 4 2 3、‘3-8 -6B = (A-2E 『A =1 -5 -3 1 1 0 —2-9-6<-1 6 4 丿,一1 2 3,,-2 129（法 2:利用（A-2E|A ）,求（A-2E ）~l A,略）八、(10分)设方阵A 满足“―A — 2E = 0,证明矩阵A + 3E 可逆，并求其逆矩 阵。
2019-2020-2 线代期中试卷参考答案 -定稿-2
七、问 为何值时线性方程组 2x1 (5 )x2 4x3 2
,
2x1 4x2 (5 )x3 1
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解. （12 分）
解： 设原方程组系数矩阵为 A ，增广矩阵为 ( A, b) ，则有
2
( A, b) 2
2
2 5
则，4 阶行列式| a3, a2 , a1, b1 b2 |
．
答： n m
三、计算下列各题（每题 6 分，共 12 分）
3 5 2 1
1 1 0 5
1． 已知行列式 D 1 3
1
3 ，求 A11 A12 A13 A14 .
2 4 1 3
1111 1 1 0 5 解： A11 A12 A13 A14 1 3 1 3 2 4 1 3
1 3 0
（1）证明：
A
E
为可逆矩阵；（2）已知
B
2
1
0
，求矩阵
A
。
（12 分）
0 0 2
解：（1）由 A B AB 可得 ( A E)(B E) AB A B E E ，.........2 分
故 A E 可逆。
………….4 分
（2）由（1）得 A E (B E)1 ，故 A (B E)1 E ，而
5)
1
1 2
(
1)
1
0
2( 1)
1 2
(
1)(
6)
1 2
(
1)
0
2
1 2
(
6)
1 2
第4页共5页
1 2 r3 2r2 0 1
1 2
(
5)
线性代数考试题及答案
2011级材料 学院《线性代数》期中考试试卷时间：120分钟 满分：100分一、单项选择题 (共10小题，每小题3分，共30分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 ( )(A) 5144322315a a a a a (B) 5344322511a a a a a (C) 3442155321a a a a a (D) 2544133251a a aa a2. 已知矩阵34 6 2 4 2 1 6 3 1 1 2 3- 0 21 1 1 1 1 =A ，则.)(=A r；1 )(A；2 )(B；3 )(C5 )(D3. 设四阶行列式111201110011111------=x D ，则其中x 的一次项的系数为 ( )(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －24. 行列式0=nD 的一个必要条件是 ( )(A) D n 中各行元素之和等于零 (B) D n 中有一行(列)元素全为零(C) D n 中有两行(列)元素对应成比例 (D) 系数行列式为D n 的齐次线性方程组有非零解5. 设A , B 皆为n 阶方阵，且A 可逆，则下列运算一定正确的是 ( ) (A)kk kBA AB =)( (B)AA -=- (C)))((22A B A B AB-+=- (D)1**1)()(--=A A6. 设A , B 皆为n 阶方阵，则必有 ( )(A)BAAB = (B)AB B A -=- (C)BA B A +=+ (D)BA B A ⋅=⋅7. 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231A AO AA ，其中的子块A 1, A 2为方阵，O 为零矩阵，若A 可逆，则 ( )(A) A 1可逆，A 2不一定可逆 (B) A 2可逆，A 1不一定可逆 (C) A 1,A 2都可逆(D) A 1,A 2都不一定可逆 8. 用初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642113112A ，相当于对A 进行如下何种初等变换( )(A)21r r ↔ (B)32r r ↔ (C)21c c ↔ (D)32c c ↔9. 设A 为5×3矩阵，且2)(=A R ，下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=424212347437221P ，则)(PA R 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 10. 非齐次线性方程组bx A=⨯55在以下哪种情形下有无穷多解. ( )(A)5),( ,4)(==b A A R R (B)4),( ,3)(==b A A R R (C)4),( ,4)(==b A A R R (D)5),( ,5)(==b A A R R二、填空题 (共5小题，每空3分，共15分)1. 设x 1,x 2,x 3,x 4是四次方程0234=+++c bxaxx的根，则行列式=0752340000014321x x x x ________.2. 若n 阶下三角行列式1111111111=nD)2(≥n ，则所有．．元素的代数余子式之和等于_____.3. 设A , B 皆为n 阶方阵，2=A ，3=B，则=-1*3BA_____.4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004300002000010A ，则=-1A.5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a212221212111A ，且02121≠n n b b b a aa ，则________)(=A R .三、计算题 (共5小题，每小题6分，共30分)1.yy x x x y y xyy x =+++x2. 设五次多项式1111111111111111111111111)(+++++=x x x x x x f ，求：①x 5的系数；②x 4的系数；③常数项.3. 设四阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612841296386424321A ，求A 99=__________4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322154B ，利用矩阵的初等变换．．．．．．．求矩阵X ，使得AX =B .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k k 12115210611A 的秩等于2，求k 的值.四、证明题 (共2小题，每小题6分，共12分)1. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，Tβ为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R .2. 设A 为n 阶矩阵，且AA =2，证明：n R R =-+)()(A E A .五、解答题 (13分)用克莱姆法则解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x一、单项选择题 (10×3=30分) 1. (D)；解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
2019-2020线性代数期中试卷 (1)
= 9.
(10分)
2301
3
六. (10分) 设
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
,
3 6 −9 7 9
求矩阵A的秩, 并求A的一个最高阶非零子式.
解: 对矩阵A作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
∼
1 0 0
解: 对增广矩阵B = (A, b)作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
B
=
1+λ 1
1 1+λ
1 1
0 3
∼
1 0
1 λ
1+λ −λ
λ 3−λ
(3分)
1 1 1+λ λ
0 0 −λ(3 + λ) (1 − λ)(3 + λ)
(1) 当λ ̸= 0且λ ̸= 3时, R(A) = R(B) = 3, 方程组有唯一解; (2分)
C. A, B中至少有一个不可逆; D. A + B = O.
4. 设A∗为n阶方阵A的伴随矩阵, 则下列说法不正确的是(C ).
A. 若|A| ̸= 0, 则|A∗| ̸= 0;
B. 若|A| = 10, 则|A∗| = 10n−1;
C. 若R(A) = n − 2, 则A∗ ̸= O;
D. AA∗ = |A|E (其中E 为n阶单位矩阵).
A = EA = (A∗)−1A∗A = (A∗)−10 = 0,
从而与A ̸= 0矛盾. (4分)
(2) 由(1) A ̸= 0, 在A∗A = A E 两侧同时求行列式, A∗ A = A n, 从而 A∗ = A n−1. (3分)
线性代数期中自测题答案
线性代数期中自测题答案一、是非题（判别下列命题是否正确；本大题共 5个小题，每小题2 分，满分10 分）： 1. 若n 阶方阵A 的秩1)(-<n A r ，则其伴随阵0*=A 。
答：对。
（因为1)(-<n A r ，所以任一个n 阶子式都等于0，进而0*=A ） 2. 若s n ⨯矩阵A 和n s ⨯矩阵B 满足0=AB ，则s B r A r ≤+)()(。
答：对。
（这是课本例题）3. 初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。
答：错。
（如⎪⎪⎭⎫⎝⎛111） 4. 若n 阶方阵A 满足A A T-=，则对任意的列向量()Tn x x X 1=，均有0=AX X T 。
答：对。
（这是因为AX X T是一个书，而且AX X X A X AX X AX X TTTTTT-===)(）5. 非齐次线性方程组b AX =有唯一解，则b A X 1-=。
答：错。
（这是因为A 未必是方阵）二、填空题（本大题共 5个小题，每小题4分，满分20分）：1. 若1121013=z y x ，则=---1111023111z y x 21__ 。
2. 设4 阶方阵A 的秩为2 ，则其伴随阵*A 的秩为 0 。
3 设A 是秩为r 的n m ⨯矩阵, B 是p n ⨯矩阵, 且0=AB , 则B 的秩的取值范围是 },min{)(0p r n B r -≤≤ 。
4. 设1,120012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=i i i A ，则=-+-)2()2(1E A E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---384038003i i 。
5． 若n 阶方阵B A ,均可逆，C AXB =，则=X 11--CB A 。
三、证明：A 是n m ⨯矩阵，则)()(A r AA r T=。
(满分10分)证：)()(A r AA r T≤显然成立。
下面只需证明)()(A r AA r T≥，即)()()(TTA r m A r m AA r m -=-≤-。
线代期中考试卷及答案详解
2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。
其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。
所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。
其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。
浙江财经学院10线性代数期中试卷A解答
浙江财经学院2011～2012学年第一学期 《 线性代数 》课程期中考试试卷 ( A 试卷)适用专业、班级：一.填空题 （每题3分）1 .若1112132122233132331a a a D a a a a a a ==则 1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=-=-12)3(4333231232221131211-=-⨯a a a a a a a a a 2. 由数码1,2,,1,2n n n + 构成的一个排列2,1,21,2,1,n n n n -+ 的逆序数是 (2n-1)+(2n-3)+…+1=n 23.11 n n i i x a aa x aD A a a x===∑ 则1)(0000001111--=--=n a x ax a x a a a x a a a a x a a a （其中11i i A D a 是中元素的代数余子式1,2,i n = ）4. 若方程组123123230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则λ=-1或4 0)4)(1(1121111=-+=--λλλλ5 ()()()3 1,1,0,1,3,1,5,3,t ααα==-=12若向量组线性相关，则t =1 035131011=-t()()()3 1,2,1,1,2,0,,0, 2t ααα=-=126. 若向量组=0,-4,5,-2的秩为，则t=37．若向量组123,,ααα与向量组12ββ，等价，则向量组123, , ααα线性 相关8．若 m n ⨯矩阵A 的n 个列向量线性无关，则r(A)= n9 3,,ααα12设是某四元非齐次线性方程组的三个解向量,方程组的系数矩阵为A ，()()122330123T αααα+=+=T r(A)=3,1,0,1，，，，，，则该方程组的全部解为T T c c )0,1,1,1()23,21,0,21()(23121--+=-++αααα10.设矩阵34()ij A a ⨯=，()2r A =且则它在初等变换下的等价标准形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--↓⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00030011020120151402021t t二.计算行列式（每题6分）22404135 D=31232051-----71305100461211203840553002112-----=-----= 2707135102-=----==n 111222D a an nn a++=+ a n nn a a n n a n n a n n ++++++++=2222)1(2)1(2)1( 12)1(00001112)1(2221112)1(-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=n a a n n aa a n n a n n n a a n n122110000100000001nn n xx x xa a a a a x----=-+n D nn n n n n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a x a x a D x a x a D x a a xD x a xD a D x ++++++=++++++=++++=++=++=+=--+-=----------------+-12322111232221133221221211112)(][)1()1()1(nn n n n nn n n n n a x a x a x a x xx x x x a xx x a x x x a x xx a +++++=---++----++---+----=----+-+122112112221100000010001)1)((1000000010001)1(1000000010000)1(1000000010001)1(三．确定向量间线性关系（每题8分）1．设向量组()()()()1231,4,0,2, 2,7,1,3, 0,1,1,, =3,10,b,4a αααβ===- 问（1）当, b a 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示。
文档：线性代数期终考试卷答案及解析
试卷答案及提示一、试卷一答案及提示1）（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1451551111；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11B C ；（3）1；（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-80232；（5）1，2，－2 2）（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D ；（5）B3)（1）22y x ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121613q 4）1-≠a 时，β可唯一表示成4321,,,αααα的线性组合，这时43210111212ααααβ⋅+++++++-=a a a a 5）0=+y x 。
提示：12,1=λ，要使A 可对角化必须1)(=-I A r ，求得0=+y x 。
6）（1）无解。
因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故)()(A r b A r ≠ 。
（2）2)(=A r ，3=n ，1)(dim =A N ，故通解)(,111202)(112R t t t x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=ξξξ7）（1）2=a 。
提示：321λλλ=A ，即10521303002=••=a a 。
（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q（3）q 为正定二次型，因为特征值全大于零。
8）提示：取j i e y e x ==,，由0=Ay x T 可求得),,2,1,,,2,1(0n j n i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==。
二、试卷二答案及提示1) (1)I ；（2）0；（3）63；（4）a ＝2，b ＝－1；（5）0 2）（1）C; (2)C; (3)B; (4)C; (5)D3)01≠≠b a 且时，方程组有唯一解；0=b 时，方程组无解；211≠=b a 且时，方程组无解；211＝且b a =时，方程组有无穷多解，解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222101t x ，（)R t ∈。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
线性代数期中考试(答案)
( C
n
)
( A) k A
( B) k A
(C ) k n A
1 0 0 1 0 0 1 1 0 A = 0 2 0 ， 则 A = 5、 设 0 0 1 0 0 3
6、 设 A=
1 −1 1 1 2 3 ， B= ；则 1 1 −1 −1 −2 4
ì ï ï x1 = ï ï ï ï 所 以 方 程 组 的 通 解 为 ï x2 = í ï ï ï ï ï ï ï ï î
0 −
3 16 7 1 − 16 0 0 0 0
9 16 5 − 16 0 − 0
9 16 5 16 0 0
ì x1 = - 4k 2 ï ï ïx = k + k +1 ï 2 1 2 ï 所以通解为 í , k1 , k 2 Î R ï x 3 = k1 ï ï ï x4 = k2 ï î
T T
( C )
中
考
试
试卷
使 用 班 级 ： 2009 经 管
考试形式：闭卷
7． A 为 m × n 矩 阵 ， r ( A) = r 的 充 分 必 要 条 件 是 ： (A)、A 中 有 r 阶 子 式 不 等 于 零 ， (C)、A 中 非 零 子 式 的 最 高 阶 数 小 于 r+1, （ 每 题 2 分 ， 共 16 分 ） 8 。.
嘉 兴 学 院
2010— 2011 学 年 第 一 学 期 期
课 程 名 称 ： 线 性 代 数 C(N) 班 级 ：____________
6. 已 知 An × n , Bm × n ， 则 ( AB ) 等 于 ： (A)、 AB ， (C)、 BAT ， (B)、 AT B ， (D)、 B T AT 。
线性代数期中考试解答
线性代数期中考试试卷一、判断下列各题是否正确1． 若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。
（ × ） 2． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。
（ × ） 3． 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝E ，则BCA ＝E 。
（ √ ） 4． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。
（ √ ） 5． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A )＝r ，秩(B )=s ,则r = s 。
（ √ ）二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）1．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++020209873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ D ]。
（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －42．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ C ]。
(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B | 3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ D ]。
（A ）（2A ）-1= 2 A -1(B) |2A | = 2 | A | (C) ()AA A11*--= (D) (A -1 )T = ( A T )-1 4．设6115210112344321--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44 = [ A ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5．已知可逆方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A，则A ＝ [ B ]。
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 6．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ C ]。
2016-2017线性代数期中试卷答案(2)
(
A
2E)1
3
3
5
2
2
1 1 1
(7 分)
3
5 1
X
5 2
21
(10 分)
七、设方阵 A 满足 A2 2A 4E 0 ，证明 A 及 A E 都可逆，并求 A1 及 A E 1 . (8 分)
证明：由 A2 2A 4E 0 得 A A 2E 4E ，即 A A 2E E ，
1
1
1
3
1 1 1
1 1
1 0
1 1 1
r3 r21r1 r1
0
3
0 2 1
1 1 1
r3 r2
0
3
3、
设
A, B 为两个 3 阶方阵，且
A
1,
B
2 ，则
2
AT
0
0
Hale Waihona Puke B1
32
.
1 4 5
4、
设
A
0
2
3 ，则 A3
0 0 3
216 .
1 2 2
5、
设
A=
4
a
1
，
B
为三阶非零矩阵，且
AB
0 ，则 a
1
.
3 1 1
(12 分)
4
2、对于 n 元方程组，下列命题正确的是( C ) A. 若 AX 0 只有零解，则 AX b 有唯一解.
2016-2017学年西安交通大学线性代数期中考试答案
3．设 3 元非齐次线性方程组 Ax b 的三个解向量1 ,2 ,3 满足 1 22 (3, 0, 6)T ， 22 3 (2, 2, 3)T
且 r( A) 2 ．则该方程组的通解是 (1, 0, 2)T k(1, 2, 3)T (k任意) ．
(3) 1时， r(A) r(A) 2 3 ，线性方程组有无穷多解．同解方程组为
x1 x2
1
3 5
x3
1
3 5
x3
，通解为
x1 x2 x3
1
3 5
t
1
3 5
t
t
或
x1
x2
1 1
t
3 5
的伴随矩阵为
【B】
aA*
(A)
O
O bB*
．
(B)
bA*
O
O aB*
．
(C)
bB*
O
O aA*
．
(D)
aB*
O
O bA*
．
2．设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行和第 3 行
【A】
二、填空题 (每小题 3 分，共 15 分)
1． 设 A 为 n 阶方阵，det(A) 5 ，A* 为 A 的伴随矩阵，则 det A*
1
A 1
1n 5n1 ．
10
2．设方阵 A 满足 A3 O ，则 ( A2 2A 4I )1 1 (2I A) ． 8
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. .word 资料. ..一、填空题（共30分，每填对一空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿方向(1,2,3)有最大方向导数，最大方向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ∂=∂22y x y+，. .word 资料. ..22z x ∂=∂()2222xyx y -+．3、函数(,)z z x y =由方程230zx y z e ++-=确定；则 z x ∂=∂21z x e -， z y ∂=∂231z y e -．. .word 资料. ..4、微分方程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =⎰⎰14，(,)f x y =14xy +．. .word 资料. ..二、单项选择题（共20分，每题4分） 1、设函数(,)z f x y =的全微分d d d z x x y y =+，则点. .word 资料. ..(0,0)O (D) ．(A) 不是(,)f x y 的连续点； (B) 不是(,)f x y 的极值点；(C) 是(,)f x y 的极大值点； (D) 是(,)f x y 的极小值点．2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在；. .word 资料. ..(B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，. .word 资料. ..332sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，443sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则. .word 资料. ..()d d Df xy x y ⎰⎰等于 (D) ．(A)11d ()d x f xy y -⎰⎰；(B) 2002d ()d y f xy x ⎰⎰；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ⎰⎰； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ⋅⎰⎰．5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的一个充分条件. .word 资料. ..是 (D) ． (A)(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)lim0x y f x y f →-=．三、（10分）求微分方程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．. .word 资料. ..解 特征方程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次方程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分 设原方程的特解*2()xy ax b e =+并代入原方程，解得: *2xy xe = -----9分 原方程的通解: 212x x xy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L ：22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩ 在点(1,2,1)P -处的切线和法平面方程．. .word 资料. .. 解 对x 求导，得 222010x yy zz y z ''++=⎧⎨''++=⎩ 在点(1,2,1)P -处，211y z y z ''-+=-⎧⎨''+=-⎩，得 0y '=，1z '=- ------6分切线方程： 121101x y z -+-==- -----8分 法平面方程： 0x z -= -----10分五、（10分）计算二重积分 2(3)d d D I x y x y =+⎰⎰，其中D ：221x y +≤．. .word 资料. .. 解 2222(96)d d (9)d d D D I x y xy x y x y x y =++=+⎰⎰⎰⎰（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ⎡⎤=+++=+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （轮换对称性） -------4分2130055d d 2r r πθπ==⎰⎰ ------10分 六、（10分）在曲面S ：22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点、最远点．. .word 资料. ..解 点(,,)x y z 到平面的距离26x y z +--，---2分 设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分令 2224(26)402(26)202(26)20210x y z L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=⎧⎪'=+--+=⎪⎨'=-+--+=⎪⎪'=++-=⎩ ------6分 解得 最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --. .word 资料. .. -----10分六、（10分）在曲面S ：22221x y z ++=上求距离平面∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球面S 过0P 切平面方程. .word 资料. .. 1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有: 0002211x y z ==-， (1) 又： 22200021x y z ++=， (2) 解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --定理 设0000(,,)P x y z S ∈，而S 为实二次曲面22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=. .word 资料. .. 若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H,Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则二次曲面S 在0000(,,)P x y z 处的切平面方程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞二阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =. .word 资料. .. 满足22220z z x y ∂∂+=∂∂，求()f u ． 解u =，则 ()z x f u x u∂'=∂，222232()()z y x f u f u x u u ∂'''=+∂； ()z y f u y u∂'=∂，222232()()z x y f u f u y u u ∂'''=+∂. --4分 代入原方程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即 ()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分. .word 资料. .. 从而 1()u f u c '=。
由(1)1f '=，得11c =，故：1()f u u'=。
2()ln f u u c =+，再由(1)0f =，得20c =，所以 ()ln f u u =. ------10分。