关于导热问题的数值解法课件
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第4章-导热问题的数值解法PPT
∴ x = 0.6 × = 0.88 m 4aτ = 0.6 × 4 × 1.38 × 10 − 7 × 45 × 24 × 3600 m
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
《传热学》教学课件—第4章 导热问题数值解法基础
基本泰勒 展开式
一阶导数
t i 1,
j
ti,
j
t x
i,
j
x
2t x 2
i, j
x 2
2!
3t x 3
i, j
x 3
3!
t i 1,
j
ti,
j
t x
i,
j
x
2t x 2
i, j
x 2
2!
3t x 3
i,
j
x 3
3!
二阶导数中心差分
向前 差分
向后 差分
中心 差分
t x
i, j
F
o
a
x2
稳定性条件 14Fo0
11
隐式格式
tin1,j tin,j y tin1,j tin,j y tin,j1 tin,j x tin,j1 tin,j x
x
x
y
y
c x y tin,j tin,j1
或 xy 时：
14Fotin,j Fo tin1,j tin1,j tin,j1tin,j1 tin,j1
ti1, j ti, j
x
Ox
2t x 2
i, j
ti1, j
ti1, j
x 2
2ti, j
O
x 2
t x
i, j
ti, j
ti1, j
x
Ox
同理，y方向二阶导数中心差分
t x
i, j
ti1, j ti1, j
2x
O
x 2
2t y 2
i, j
ti, j1 ti, j1
tin,j1 Fo 2tin1,j tin,j1tin,j12Bit f 14Fo2BiFotin,j
导热问题的数值解法-PPT精选文档
例：一圆形金属棒，长L=0.5m，横截面积为A=0.01m2，其 导热系数为常数1000W/m.℃，无内热源，金属棒两端温度 已给定，分别为100℃、500℃，且不随时间变化，金属棒 径向的温度变化忽略不计。求该金属棒内的温度分布。 解：
t t t q t V 2 2 2 x y z c
导
差分方程的建立－热平衡法 j n
t Q qF F n t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j j y x t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j x
x V y 1 2
n 1
Q t t y 1 f i , j f i , j
Q Q Q Q 0 i 1 , j i , j f i , j i , j 1 i , j i , j 1 i , j
Q i ,j 1 i ,j t t i ,j 1 i ,j y x 1
热
y
m 1 n 1
i, j1 i1 , j
i1 , j i, j1
y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
i1 , j i, j1
y
稳态导热的有限差分方法
j y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
2t 2t 2 0 2 x y
0,0
ix
i m
d2t ti 2 ti ti 1 1 2 2 dx x i
2 2 2
三维稳态导热问题数值求解 实验内容的ppt讲解
第一类边界条件
tAB=ti,M=200℃； tBC=tL,j=100℃ ； tCD=ti,0=50℃； tDA=t0,j=50℃；
上边界200℃
其余边界50℃
导热系数为常数、稳态、无内热源时的导 热微分方程式（控制方程）为
t t t 2 2 0 0℃； tbob=50℃； tlb=50℃； trb=50℃； tfb=50℃； tbab=50℃；
划分为10×10×10的三维网格后，Δx=Δy=Δz
实验一、三维稳态导热问题数值求解
一正方体金属块，其长宽 高均为0.1m,上边界面温 度为200℃，其他5个面 温度均为50℃，利用C语 言在10×10×10三维网 格上编写该三维稳态导热 问题计算程序，并求出图 2中所示中间面的温度分 布。
实验一、三维稳态导热问题数值求解
一正方体金属块，其长宽高均为0.1m,上边界面温度 为200℃，其他5个面温度均为50℃，利用C语言在 10×10×10三维网格上编写该三维稳态导热问题计 算程序，并求出图中所示中间面的温度分布。
a /( c) ，称为热扩散率。 式中，
对于二维问题，导热微分方程式为
2 2 t t t a x 2 y 2
初始条件（时间条件）
t 0 t0 50 C
第一类边界条件
t
tAB=200℃； tBC=100℃； tCD=50℃； tDA=50℃；
划分为10×5的二维网格后，Δx=Δy 内节点离散方程（显式差分格式）
t i , j Fo t i 1, j t i 1, j t i, j 1 t i , j 1 1 4Fot i , j
k 1 k k k k k
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
东南大学传热学课件第四章导热问题数值解法2
显式差分格式稳定性分析
由内部节点差分方程可见，在节点n上，i+1时刻 的温度是在该点i 时刻温度的基础上考虑了左右相 邻两点温度的影响后得出的。现在，假设相邻两 点的温度不变，那么合理的情况是:i时刻节点n的 温度越高，则其相继时刻（i+1时刻）的温度也越 高；反之，i时刻节点n的温度越低，则其相继时 刻的温度也越低。所以，在差分方程中要满足这 i 1 i t 种合理性的条件，则差分方程中 n 与 tn 前面的系 i 1 数必须保持同方向变化。由于 tn 的系数大于零， i 因此 tn 前面的系数也必须大于零 。
h, t f
h, t f
2
x
控制方程
解：由于问题的对称性，只要研究一半即可，此时，该问 题的控制方程为
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
ydy
m,n+1
m+1,n
y y x x
左侧面导入元体的热量 右侧面导入元体的热量
i i tm t 1, n m,n
i i tm t 1, n m,n
m-1,n
m,n
x
m,n-1
区域离散化
• 将所研究平板的一半N等分， 共有N+1个节点，其中节 点1在平板中心截面上，节 点N在平板右侧面上，如图 所示 • 两个节点之间的距离为 x • 节点-1与节点2换热情况对 称，固有相同的温度 • 时间步长取
-1
n=1 2
3
N-1
N
导热问题的数值解法课件.ppt
2tm,n y2
tm,n1
m,n
x y
tm,n
1 4
(tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
x2 )
2t x 2
2t y 2
=0时：
0
tm,n
1 4
(tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n 1 )
§4-2 稳态导热问题的数值解法 长江大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering
三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） 内节点 (2) 热平衡法
基本思想：对每个有限大 y
小的控制容积应用能量守
恒，从而获得温度场的代
数方程组，它从基本物理
现象和基本定律出发，不
必事先建立控制方程，依 据 能 量 守 恒 和 Fourier 导
t0
热定律即可。
h3tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf
(m,n+1)
(m,n)
(m-1,n)
§4-1导热问题数值求解的基本思想长江大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering
数值求解的步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
§4-1导热问题数值求解的基本思想长江大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering
为什么要建边界 节点离散方程？
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y
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法
6
控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：
2t 2t 0
x2 y 2
其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种， 三个边界条件为：
tw C1
关于导热问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
3 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直 接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的 解称之为分析解，或叫理论解；
4 (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的 场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一 定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散 点上被求物理量的值；并称之为数值解；
内部节点： Φ m 1 , n Φ m 1 , n Φ m , n 1 Φ m , n 1 0
(m,n+1)
y
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 0 (m-1,n)
y
y
x
o
x
第四章 导热问题的数值解法
(m, n) (m,n-1)
x
(m+1,n)
16
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
(nt)w C2
(nt)wh(twtf )
第四章 导热问题的数值解法
7
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n) N
n
y
y
x x
m
第四章 导热问题的数值解法
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
8
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区 域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ， n 表 示。
第四章 导热问题的数值解法
2
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
y2m ,n
y2
未明确写出的级数余项
中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
12
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 x2 y2
其节点方程为：
ti1,j 2ti,j ti1,j x2
ti,j12ty i,2 j ti,j1v,i,j
0
第四章 导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
10
第四章 导热问题的数值解法
11
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no ( x2)
x2m ,n
x2
同样可得：
截断误差
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
此时：
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
左 yd d x t ytm 1 ,n xtm ,n
右
ytm1,ntm,n x
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
上xtm,n 1ytm,n 下xtm,n 1ytm,n
内热源：Φ v Φ V Φ x y
第四章 导热问题的数值解法
18
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0
y tm 1 ,n tm ,n y tm 1 ,n tm ,n x tm ,n 1 tm ,n x tm ,n 1 tm ,n
x
x
y
y
Φ x y 0
xy时：tm 1 ,n tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 4 tm ,n x 2 Φ 0
相邻两节点间的距离称步长。 △x, △y 每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点 代表的小区域称为元体（又叫控制容积）。
第四章 导热问题的数值解法
9
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
13
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
第四章 导热问题的数值解法
3
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分Ad dxtyd dxt
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
第四章 导热问题的数值解法
17
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
5
2 例题条件
即： i v o
单位：[W ]
第四章 导热问题的数值解法
14
i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
第四章 导热问题的数值解法
15
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法
6
控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：
2t 2t 0
x2 y 2
其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种， 三个边界条件为：
tw C1
关于导热问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
3 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直 接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的 解称之为分析解，或叫理论解；
4 (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的 场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一 定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散 点上被求物理量的值；并称之为数值解；
内部节点： Φ m 1 , n Φ m 1 , n Φ m , n 1 Φ m , n 1 0
(m,n+1)
y
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 0 (m-1,n)
y
y
x
o
x
第四章 导热问题的数值解法
(m, n) (m,n-1)
x
(m+1,n)
16
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
(nt)w C2
(nt)wh(twtf )
第四章 导热问题的数值解法
7
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n) N
n
y
y
x x
m
第四章 导热问题的数值解法
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
8
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区 域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ， n 表 示。
第四章 导热问题的数值解法
2
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
y2m ,n
y2
未明确写出的级数余项
中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
12
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 x2 y2
其节点方程为：
ti1,j 2ti,j ti1,j x2
ti,j12ty i,2 j ti,j1v,i,j
0
第四章 导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
10
第四章 导热问题的数值解法
11
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no ( x2)
x2m ,n
x2
同样可得：
截断误差
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
此时：
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
左 yd d x t ytm 1 ,n xtm ,n
右
ytm1,ntm,n x
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
上xtm,n 1ytm,n 下xtm,n 1ytm,n
内热源：Φ v Φ V Φ x y
第四章 导热问题的数值解法
18
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0
y tm 1 ,n tm ,n y tm 1 ,n tm ,n x tm ,n 1 tm ,n x tm ,n 1 tm ,n
x
x
y
y
Φ x y 0
xy时：tm 1 ,n tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 4 tm ,n x 2 Φ 0
相邻两节点间的距离称步长。 △x, △y 每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点 代表的小区域称为元体（又叫控制容积）。
第四章 导热问题的数值解法
9
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
13
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
第四章 导热问题的数值解法
3
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分Ad dxtyd dxt
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
第四章 导热问题的数值解法
17
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
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2 例题条件
即： i v o
单位：[W ]
第四章 导热问题的数值解法
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i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
第四章 导热问题的数值解法
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稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0