03自主招生物理讲义：静力学拓展【讲师版】

自主招生物理
静力学拓展
知识定位
静力学作为高中物理的重要基础，在自主招生的考试中也是常客，除了基础的物体的平衡以及受力分析技巧的考察外，摩擦角等技巧也是经常出现在自主招生考试中。

总体而言，静力学考点在自主招生考试中的难度（除了华约的计算题，以及早年清华大学外）相对比较容易。

知识梳理
➢知识点一：摩擦角
➢ 知识点二：一般物体的平衡条件
例题精讲
【试题来源】2011年卓越自主招生
【题目】1、明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg 的物体。

一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=
3
3
≈0.58。

试求该同学向上拉动的重物质量M 的最大值? 【答案】70.7kg 【解析】
设该同学拉动重物的力F 的方向与斜面成角度φ，根据力的平衡，在垂直于斜面的方向上有
F N +F sin φ-Mg cos θ=0 ①
式中F N 是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力。

沿斜面的方向上有
F cos φ-μF N - Mg sin θ=Ma ②
根据题意，重物刚能被拉动，加速度a 近似为零，由牛顿运动定律
F cos φ-μF N - Mg sin θ=0 ③
联立①③式得 θ
θμϕμϕsin cos sin cos ++⋅=
g F M ④ 令Ω=tan μ⑤ 联立④⑤式得
)
sin()cos(Ω+-Ω⋅=
θϕg F M ⑥ 要使质量最大，分子须取最大值，即
1)cos(=-Ωϕ，ϕ=Ω⑦ 此时能拉动的重物的质量的最大值为 )sin(1Ω+⋅=
θg F M max ⑧ 由题给数据，知
3
3
tan =
Ω，︒=Ω30⑨ 于是该同学能拉动的重物质量不超过M max ，有 kg 7.702)
1530sin(1
≈=︒+︒⋅=
<m g mg M M max ⑩ 评分参考：①②式各3分，得到⑦式5分，得到⑩式4分。

【知识点】静力学拓展 【难度系数】4
【试题来源】2011复旦大学自主招生
【题目】2、如图所示，竖直杆AB 在细绳AC 的拉力作用下处于平衡。

若AC 加长，使C 点左移，AB 仍保持平衡状态.。

细绳AC 上拉力T 和杆AB 受到的细绳的压力N 与原先相比，下列说法正确的是 A ．T 增大，N 减小 B ．T 减小，N 增大 C ．T 和N 都减小 D ．T 和N 都增大 【答案】C 【解析】
【知识点】静力学拓展 【难度系数】4
【试题来源】2010北京大学自主招生
【题目】3、如图，一个质量为M 、棱边长为L 的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的动摩擦因数。

【答案】见解析 【解析】
向后翻滚如左图，向前翻滚如右图。

考虑拉力与重力的共同作用。

要求施加的力最小，则力臂最大，以获得大的力矩。

（1）向后翻滚时：对A 点力矩平衡，有：FL =MgL /2，F =Mg /2 此时摩擦力满足：F Mg μ=，12
μ=
（2）向前翻滚时：对B 点力矩平衡，有： F 2L =MgL /2，2Mg
F =
4
， 此时摩擦力满足：μ-︒=︒(sin 45)
cos 45M F g F ， μ=13
【知识点】静力学拓展
【难度系数】4
【试题来源】2009年清华大学自主招生
【题目】4、如图，一细棒质量为m ，初始时θ=30°方形木块以恒定速度向正左方运动。

则细棒受到木块的力 A ．一直增大 B ．一直减小 C ．先增大后减小 D ．先减小后增大
【答案】C 【解析】
当θ=30°，细棒受到木块的力的力矩°l N =mgl /2cos30，解得3
N =mg 4
， 由力矩平衡l
N
=mgl /2cos θ2sin θ
，可知当45θ=︒时，N 取到极值。

所以细棒受到木块的力先增大后减小，选C 。

A
L F
Mg
A
L
F
Mg
B
C
【知识点】静力学拓展
【难度系数】3
【试题来源】2009年清华大学自主招生
【题目】5、质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底端A、B、C的间距均为L，如图所示。

（1）求OA棒顶端所受的作用力F的大小。

（2）若有一质量也为m的人（视为质点）坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA棒顶端所受的作用力F的大小又为多大？（3）在（2）的情况下，地面与棒之间的动摩擦因数μ至少为多大？
【答案】（1）
2
4
mg；（2）
52
12
mg；（3）0.44
【解析】
【知识点】静力学拓展
【难度系数】4
【试题来源】更高更妙的物理
【题目】6、如图，质量为m、长度为l的均匀柔软粗绳穿过半径为R的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子，两钉子间距离为2R，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮的总质量为M且相互间无摩擦，求绳上最低点C处的张力。

【答案】
(2)
2
Mgl mgR T
l
π
+-
=
【解析】
【知识点】静力学拓展
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】未知
【题目】1、如图所示，建筑工人要将建筑材料送到高处，常在楼顶
装置一个定滑轮（图中未画出）．用绳AC通过滑轮将建筑材料提到
某一高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另
外用绳CB拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离L．若不计两
根绳的重力，在建筑材料缓慢提起的过程中，绳AC与CB的拉力
F1和F2的大小变化情况是（）
A．F1增大，F2增大B．F1增大，F2不变
C．F1不变，F2增大D．F1减小，F2减小
【答案】BC
【解析】
在建筑材料缓慢提起的过程中，其合力保持为零。

因物体与墙壁的距离始终保持不变，先明确两点：
（1）根据平衡条件得知两绳拉力的合力与物体的重力大小相等、
方向相反，保持不变；
（2）在题型设条件下图中标明的两角度一个增大，另一个减小。

然后就用平行四边形定则作出图（2），由图知，
两根绳子上的拉力F1和F2均增大，故A正确。

【知识点】静力学拓展
【难度系数】2
【试题来源】更高更妙的物理
【题目】2、一人对一均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直，要将杆从地板上无滑动地慢慢抬到竖直位置，试求杆与地板之间的静摩擦因数至少应为多大？
【答案】
2 4
【解析】
【知识点】静力学拓展 【难度系数】4
【试题来源】更高更妙的物理
【题目】3、如图所示，一台轧钢机的两个滚子,直径各为d=50cm,以相反方向旋转,滚子间距离为a=0.5cm,如果滚子和热钢间的动摩擦因数为0.1,试求进入滚子前钢板的最大厚度。

【答案】0.75m
【解析】热钢板靠滚子的摩擦力进入滚子之间，根据摩擦力和压力的关系，便可推知钢板的厚度。

以钢板和滚子接触的部分为研究对象，其受力情况如图所示，钢板能
进入滚子之间，则在水平方向有:cos sin f N θθ≥ (式中f N μ=)，所以由两式可得：tan μθ≥，
设滚子的半径为R ，再由图中的几何关系可得
22
()
2tan b a R R b a R a
θ---
=
--
，将此式代入得()21d b d a μ≤+-+代入数据得b ≤0.75cm
即钢板在滚子间匀速移动时，钢板进入流子前厚度的最大值为0.75cm. 【知识点】静力学拓展 【难度系数】4
【试题来源】更高更妙的物理
【题目】4、在钉入墙内的钉子上系一根绕在线团上的细线，线团靠墙悬挂如图所示。

先软的半径r=0.5cm ，线团侧板的半径R=10cm ，线团侧板与墙面之间的动摩擦因数μ=0.1。

求线团处于临界平衡状态时，悬线与墙面之间的夹角α为多大？
【答案】30°
【解析】
【知识点】静力学拓展
【难度系数】4
【试题来源】更高更妙的物理
【题目】5、如图所示，把一段线密度为λ的绳子放置与半径为R的光滑
圆木上，A端固定在圆木的最高点，绳子等于圆木周长的1
4
，求绳子上端
A处的张力T A的大小。

【答案】T A=λgR
【解析】
【知识点】静力学拓展【难度系数】3。