同角三角函数基本关系式与诱导公式强化训练题(含参考答案)
同角三角函数基本关系式与诱导公式强化训练题(含参考答案)
同角三角函数基本关系与诱导公式强化训练题班级 姓名 得分一．选择题：（5525''⨯=）1．给出下列等式，①sin(3)sin παα--=-；②sin(630)cos αα︒+=-；③cos(4)cos παα--=-；④cos(3)sin παα--=-．其中正确的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知3sin ,(1,)2m m πααπ=<-<<-，那么=αtan （ ） A ．21m m - B ．21m m -- C ．21m m -± D ．m m 21-±3．在ABC 中，若7sin cos 13A A +=，则t a n A = （ ） A ．512 B ．125 C ．512- D ．125- 4．若α为第一象限角，那么α2sin ，tan 2α，cos 2α，cos 2α中，取值必为正的有（ ）A ． 0个B ．1个C ．2个D ．3个5．)3cos()3sin(21+-+ππ化简的结果是（ ）A ．3cos 3sin -B ．3sin 3cos -C ．cos3sin 3+D ．cos3sin 3--二．填空题：（5525''⨯=） 6．sin315sin(1215)cos570sin(840)-+-= ．7．若cos α=，且α的终边过点)2,(x P ，则 tan α= ． 8．已知角θ终边上的一点)0)(4,3(<a a a P ，那么)540cos(θ- = ．9．已知21)3sin(-=+απ，求απ-27cos(）= ． 10．若角α的终边落在直线y x =-上，则+= ．三．解答题（共50分）11． （10分）已知3sin 5cos 12sin 7cos 11αααα+=-，求222sin sin cos cos αααα-+的值．12．（10分）化简：0000sin(540)1cos(360)tan(900)tan(450)tan(810)sin()x x x x x x +-⋅⋅-+---．13． （10分）求证：1sin cos 1sin 1sin cos cos αααααα-+-=++．14．（10分）已知221cos 1m mα-=+ (1m <-)，求sin α与tan α的值．15．（10分）已知sin sin a θφ=，tan tan b θφ=，其中θ为锐角，求证：11cos 22--=b a θ．参考答案一．选择题： 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A二．填空题： 6．54 7． 8．35- 9．12- 10．2- 三．解答题：11．解：由条件得：sin 2cos αα=-，代入22sin cos 1αα+=得：21cos 5α=∴222112sin sin cos cos 11cos 5ααααα-+==12．解：原式sin(180)cos(90)cos(90)cos(360)tan(180)sin(90)sin(90)sin()x x x x x x x x ︒+︒+-︒-︒-=⋅⋅︒-︒+-︒-- (sin )(sin )(sin )cos sin sin cos (tan )cos (cos )(sin )tan x x x x x x x x x x x x ---===---． 13．证明：∵左边22cos (1sin )cos cos (1sin )(1sin )cos (1sin cos )cos (1sin cos )αααααααααααα-+-+-==++++ (1sin )(1sin cos )1sin cos (1sin cos )cos αααααααα-++-===++右边． ∴原等式成立． 注：本题也可由cos 1sin 1sin cos αααα-=+及等比定理得证． 14．解：∵221cos 1m mα-=+ (1m <-)，∴cos 0α<且cos 1α≠-． ∴α是第二或第三象限角，且2222222214sin 1cos 1()1(1)m m m m αα-=-=-=++ (1m <-)． ∴当α是第二象限角时，22sin 1m m α-=+，22tan 1m m α-=-； 当α是第三象限角时，22sin 1m m α=+，22tan 1m mα=-． 15．证明：将sin sin a θφ=①、tan tan b θφ=②两边分别相除可得： cos cos b a θφ=③．再由①③得：2222222sincos (sin cos )b a a θθφφ+=+=． ∴22221cos cos b a θθ-+=，即2221cos 1a b θ-=-． 又∵θ为锐角，∴11cos 22--=b a θ． 注：本题也可由条件将a 、b 代入2211a b --并化简得证．。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(同角三角函数的基本关系及诱导公式)练习(附答案)
2
π
3
5π
6
1
2
α+β=2kπ+ (k∈Z).又 β=- ,所以 α=2kπ+ (k∈Z),即得 sin α= .
12.0 由题知,cos
sin
2π
-θ
3
=sin
π
-θ
3π
2
π
2
2.BCD 角 α 的终边在第三象限,sin α-
=cos α<0,A 不正确;cos α+
=-sin α>0,B 正
确;sin(π+α)=-sin α>0,C 正确;cos(π+α)=-cos α>0,D 正确,故选 BCD.
3.AB 由题意,得 cos θ= 14
9
4
9
√5
3
sin 2√5
1
3
π
2
= ,且-π<α<- ,则 cos
1
3
B.-
π
-α
12
等于(
)
)
1
3
2√2
3
C.
D.-
sin cos
=
sin-cos
.
9.(历年山东济宁三模,13)已知 tan(π-α)=2,则
10.已知 k∈Z,则
sin(π-)cos[(-1)π-]
的值为
sin[( 1)π ]cos(π )
ABMN 内种植绿色草坪,要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积,设∠GFB=θ,AN=y 米.
(1)求 y 与 θ 之间的函数关系;
(2)求 AN 的最大值.
参考答案
1.B
∵sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0,cos θ<0.故选 B.
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
欢迎阅读三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α （二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2 +α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)= tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β） tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β) （4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α 6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= ba)特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4)7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx若A 、B 是锐角，A+B ＝π4，则（1＋tanA ）(1+tanB)=28． 在三角形中的结论若：A ＋B ＋C=π , A+B+C 2 =π2则有tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A2＝1 三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ） A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ） A ．21 B ．－21C ．23 D ．－23 3．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ） A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cos CB ．sin （A +B ）=sinC C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f （x ）=cos3πx（x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）． 10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ． 11．已知cos α=31，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31． 12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α； （2）cos （2π3+α）=sin α． 参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31． 12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边， ∴原等式成立．14证明：（1）sin （2π3－α）=sin ［π+（2π－α）］=－sin （2π－α）=－cos α． （2）cos （2π3+α）=cos ［π+（2π+α）］=－cos （2π+α）=sin α． 三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ）A.21 B. —21C. 23D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ） A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5）B. 51（4-5）C. 51（4±5）D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)=23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）； 12． 求下列三角函数值：（1）sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］. 13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π 7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin （2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－22. 注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos （4π+6π）·tan （π+4π） =（－sin3π）·cos 6π·tan 4π=（－23）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+ =θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++- =θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++- ＝cos θ－1， ∴f （3π）=cos 3π－1=21－1=－21.。
高考数学(人教a版,理科)题库：同角三角函数的基本关系与诱导公式(含答案)
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 答案 C 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析 由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )．A．1＋ 5 B．1－ 5C．1± 5 D．－1－ 5解析由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－ 5.答案 B6．若S n＝sin π7＋sin2π7＋…＋sinnπ7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()．A．16 B．72 C．86 D．100解析由sin π7＝－sin8π7，sin2π7＝－sin9π7，…，sin6π7＝－sin13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C二、填空题7．已知cosα＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝1－cos2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－125，则tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案12 58．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 解析 依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案 －14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题 11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22， 求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值． 解析 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2.(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45³2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.法二 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件， 则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。
试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。
（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又为第二象限角，，则．故选A．【考点】三角函数的平方公式．2.己知a为锐角，且，，则sina的值是( ). A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据诱导公式，已知条件的两个式子可化为如下关系：，解得，又本题要求的是，因此由前述可知有，解得（a为锐角）.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系.3.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切4.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.5.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．6.已知 .【答案】【解析】∵，∴,∴原式=.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.7.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定【答案】B【解析】∵，∴，即．【考点】同角三角函数的基本关系．8.( )A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数基本关系．9.已知，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由【考点】同角三角函数基本关系10. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.11.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件，得，整理得：，即①，代入中，得，整理得：，即，解得（舍）或，把，代入①，得，所以，故选A．【考点】同角三角函数基本关系．12.若，的化简结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，=.【考点】同角的基本关系.13.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，可得＝−2，α为钝角且cosα＜0．再由sin2α+cos2α=1，求得cosα的值．（2）原式=，把tanα=-2代入运算求得结果．试题解析：解：（1）因为，所以cosa=(2)原式＝【考点】1.同角三角函数间的基本关系；2.三角函数的化简求值．14.若，则计算所得的结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据诱导公式化简，原式=，再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.15.已知=，则的值等于( )A．B．－C．D．±【答案】Ａ【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ【考点】诱导公式16.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由与可得，而，选C.【考点】同角三角函数的基本关系式.17.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用三角诱导公式进行化简即可得出答案；（2）根据同角三角函数的基本关系式求出，由求出，最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析：（1） 6分（结果为酌情给3分）（2）由，得. 又已知为第三象限角所以，所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.二倍角公式.18.已知tanα，是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决，，从而求出k =±2，再根据角的范围可知为正，从而求得。
同角三角函数的基本关系与诱导公式习题附答案
1．(2018·石家庄质量检测(二))若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cos α＝( )A ．223B ．－223C ．－429D ．429解析：选B ．因为sin (π－α)＝sin α＝13，且π2≤α≤π，所以cos α＝－223，故选B ．2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B ．由tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．(2018·南昌第一次模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析：选C ．法一：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22cos α－22sin α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，所以由sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13，得cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13. 法二：因为⎝⎛⎭⎫π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13. 4．已知f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B ．因为f (2 018)＝5，所以a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 019)＝a sin (2 019π＋α)＋b cos (2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3. 5．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选B ．因为sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13，所以cos θ2＝13， 所以θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2，所以1－sin θcos θ2－sin θ2＝－(cos θ2－sin θ2)cos θ2－sin θ2＝－1.6．sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3347．已知sin (3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α＝________．解析：因为sin (3π－α)＝sin (π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎨⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎨⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，。
高二数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高二数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】,,【考点】同角三角函数的基本关系.2.的值等于．【答案】.【解析】原式.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.3.的值等于．【答案】.【解析】原式.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.4.设向量,若,则等于___________【答案】【解析】∵，∴，∴，∴＝＝＝．【考点】1、同角三角函数基本关系；2、两角和与差的正切函数；3、平面向量数量积的运算．5.已知，，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）已知，及可由同角三角函数关系求得，，再由二倍角公式求得（2）求角，首先求这个角的某一三角函数值，本题由于，所以求其正弦、余弦、正切值皆可，由于已知条件为弦，所以不妨求余弦值.利用，可将所求角转化为已知角，这样可避开繁琐的开方计算.试题解析：解：（1）由，，得， 2分∴， 4分∴ 7分（2）由，得，又∵， 8分∴， 9分由得，13分∴由得【考点】同角三角函数关系6.已知为第二象限角，，则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为第二象限角，，所以.又因为.故选D.本小题的解题关键是要把握为第二象限角这个条件.【考点】1.三角恒等变形.2.正弦函数的二倍角公式.7.在中，若，则的外接圆半径是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为正弦定理内容可以计算出外接圆的半径.，由正弦定理知故选D.考点: 同角的三角函数关系正弦定理8.已知；（2）已知.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）根据题意，由于，那么根据三角函数的定义列式可知，3分5分7分（不说明角范围扣2分）（2）根据题意，由于那么由诱导公式可知，=10分故可知为 14分（不说明角范围扣2分）【考点】同角关系式的运用点评：主要是考查了同角关系的运用，属于基础题。
9.等于（）A．－B．－C．D．【答案】C【解析】∵，∴选C【考点】本题考查了诱导公式的运用点评：熟练掌握诱导公式及其变形是解决此类问题的关键，属基础题10.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】由已知中函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，过（，0）点，（，-1）点，易得：T=4（-））=π，即ω=2,同时根据图象可知即f（x）=sin（2x+φ），将（，-1）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由|ϕ|＜∴φ=,∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象,则2（x+a）+=2x,解得a=-,故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A【考点】本题主要考查的知识点是由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f （x）=Asin（ωx+φ）的图象变换.点评：解决该试题的关键是由已知中函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象，我进而求出函数f（x）=sin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．11.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】C【解析】直接利用函数的平移的原则，把函数的图像向左平移个长度单位得到，则只要满足等于即可，可知，故可知向左平移个长度单位可得，故选C.【考点】本试题主要考查了函数的图象的平移变换，注意平移时x的系数，考查计算能力，是基础题．点评：解决该试题的关键是理解平移变换是仅仅对x加上或者减去一个值即可，不是对wx整体加上或者减去一个值。
必修四：(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)
同角三角函数基本关系式及诱导公式1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2. 诱导公式1． (2011·大纲全国)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 答案 －55解析 ∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 2． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 ∵α是第二象限的角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4． sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 答案 －334解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 题型分析 深度剖析题型一 同角三角函数基本关系式的应用 例1 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．思维启迪：由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求sin A ，cos A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75.②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α；(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.题型二 三角函数的诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪：(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值． 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 题型三 三角函数式的化简与求值例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23. (2)原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， 求cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55， ∴cos α＝－55，又α∈(0，π)，∴sin α＝255. cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin α－cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α－cos α＝－sin αsin α－cos α＝－23.分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )． 审题视角 (1)角中含有变量n ，因而需对n 的奇偶分类讨论．(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．规范解答解 当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则[1分] 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋14π－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[5分] 当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )，则[6分] 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋54π－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[10分] 故sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α＝0.[12分] 温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想． (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.2． cos(－2 013π)的值为( )A.12B ．－1C ．－32D ．0答案 B解析 cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1. 3． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 4． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案265 解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 6． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． 答案 －13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13.7. sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． 解 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π2<θ<π， ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46，∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．－79B ．－13C.13D.79答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 2． 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12， 即cos αsin α－1＝12.3． 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 由cos α＋2sin α＝－5可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝－5cos α，平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________. 答案 －32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－32. 5． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.答案 45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ1＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 6． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 三、解答题7． (13分)已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A .(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3，求tan B . 解 (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1①又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3. (2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3， 得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算2.已知，则( )A. B． C D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数的基本关系.3.化简的结果 .【答案】【解析】,当为奇数时，，原式；当为偶数时，，原式；综上原式【考点】三角函数化简.4.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.5.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号6.若则．【答案】【解析】由故【考点】同角三角函数基本关系式7.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切8.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.9.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是第二象限角，则．【考点】同角三角函数的基本关系式，三角函数的符号．12.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．13.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数14.已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 ( )A．－B．C．－或D．【答案】A【解析】由题意，∵sinθ=，sin2θ＜0，∴cosθ＜0∴cosθ＝−＝−∴tanθ＝＝−，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系．15.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．-【答案】D【解析】∵是第二象限角，∴，故选D．【考点】同角三角函数基本关系．16.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.17.化简：.【答案】.【解析】本小题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及辅助角公式，属于容易题.根据诱导公式及同角三角函数的商数关系：进行展开运算得到，再运用辅助角公式（其中）或运用两角和差公式进行化简即可.试题解析： 4分8分10分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.辅助角公式（两角和差公式）；4.三角恒等变换.18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：由，而，故，；法二：.【考点】同角三角函数的基本关系式.19.已知向量与，其中.（1）问向量能平行吗？请说明理由；（2）若，求和的值；（3）在（2）的条件下，若，求的值.【答案】（1）不能平行；（2），；（3）.【解析】（1）先假设，列方程得，然后利用正弦的二倍角公式化简得，再判断此方程是否有解，若有解，可判断、可能平行；若无解，则可判断、不可能平行；（2）将向量的垂直问题转化为向量的数量积问题，得到，联立方程，并结合，即可求出；（3）先由同角三角函数的基本关系式计算出，然后再根据两角和的余弦公式展开计算得的值，最后结合的取值范围确定的值即可.试题解析：解：（1）向量不能平行若平行，需，即，而则向量不能平行 4分（2）因为，所以 5分即又 6分，即，又 8分（3）由（2）知，得 9分则 11分又，则 12分.【考点】1.向量平行、垂直的判定与应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.两角和与差的三角函数.20.函数的值域是__ ____．【答案】【解析】正切函数在是单调递增的，所以在处取得最小值，在处取得最大值.【考点】正切函数图像及性质.21.的值为________.【答案】【解析】，故.【考点】1.诱导公式；2.三角恒等变换.22.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】(1)利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，(2) 利用分母，将原式化为关于二次齐次式，再利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，本题主要考查利用＂弦化切＂方法求值.本题也可从出发得代入（１）立得，但代入（２）后只得到，还需结合得出，才可最终求值.试题解析：（1）原式（2）原式12分【考点】同角三角函数关系，弦化切.23.已知，则________________；【答案】．【解析】利用公式，把平方得，从而，由于，则，这类问题中确定它们的正负是我们解题时要特别注意的，于是．【考点】同角三角函数关系（平方关系）．24.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则___ ．【答案】【解析】的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，所以，，即，故。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)利用诱导公式进行化简即可；（2）先用诱导公式得出，再利用同角三角函数基本关系式及角所在象限求出，进而求出.规律总结：涉及三角函数的化简与求值问题，往往要利用三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的三角公式以及二倍角公式，进行恒等变形；一定要注意灵活选用公式.试题解析：（I）原式=；（II）由得，即，因为是第三象限角，所以，所以 .【考点】1.诱导公式；2.三角函数基本关系式.2.已知，则 .【答案】3【解析】因为，所以，在所求式子的分子分母同时除以得：，故应填入：３．【考点】同角三角函数的关系．3.的值为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】诱导公式.4.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。
（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图5.计算的值为 ()．A．－B．C．D．－【答案】C【解析】.【考点】诱导公式.6.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.7.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.8.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．9.已知，且，则＝________．【答案】【解析】∵，∴，∴＝．∵，∴，，∴＝．【考点】同角三角形的基本关系．10.已知，则()A．B．C．D．或【答案】A【解析】由可得即，也就是，因为，所以，且，所以，联立方程，解得，所以，故选A．【考点】同角三角函数的基本关系式．11.都是锐角，且，，求的值．【答案】．【解析】由都是锐角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．试题解析：都是锐角，且，，．＝＝＝．【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和与差的余弦函数．12.已知，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得即，所以，又因为，从而可得到，所以，所以；法二：因为将代入即可得到，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.13.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.14.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.15.已知，且，求sinx、cosx、tanx的值【答案】，，【解析】由求的值，然后解方程组得和。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知是第四象限角，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用切化弦以及求解即可．，又是第四象限角，,故选：D.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】本题主要考查三角函数求值.由，故选C.【考点】诱导公式，三角函数求值.4.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.5.若，则．【答案】【解析】因为==，故.考点:角的配凑；诱导公式6.在中，若，则的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由题知====，所以，所以，故选A．【考点】诱导公式；两角与差的正弦公式7.已知，则______________．【答案】3【解析】对分子分母同除以得===3．【考点】同角三角函数基本关系式8.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数9.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.10.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.11.已知α∈，.(1) 求值； (2)求的值.【答案】(1) ; (2).【解析】应用公式时注意方程思想的应用；对于，，这三个式子，利用，可以知一求二.解：由，知,即，可得又,可得.【考点】同角的三角函数基本关系式.12.已知，则（）A．2B．1C．4D．【答案】A【解析】本题考查同角三角函数基本关系式,齐次式求值，先利用分子、分母同除以原式=，带人可得答案为A,【考点】不等式的性质13.（1）化简：(2)已知tan α＝3，计算的值．【答案】（1）原式=； (2).【解析】用诱导公式和同角三角函数之间的关系化简即可.1）原式=4分2）由原式==....8分【考点】诱导公式、同角三角函数之间的关系.14.已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）的值为；（2）的值为．【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：即可求出结果；（2）因为，用恒等变换公式可求的值．试题解析：（1）∵，从而．又∵，∴． 4分∴． 6分（2）由（1）可得，．∵为锐角，，∴． 10分∴ 12分。
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式-专项训练【含答案】
同角三角函数的基本关系与诱导公式-专项训练（原卷版）[基础强化]一、选择题1．sin 256π＝()A ．－32B ．－12C ．12D ．322．[2024·辽宁二模]若sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝12，则tan θ＝()A ．13B ．－13C ．－3D ．33．若α∈(π2，3π2)，tan (α－7π)＝34，则sin α＋cos α＝()A ．±15B ．－15C ．15D ．－754．已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为()A ．－35B ．－125C ．35D ．1255．[2024·新高考全国Ⅰ]若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ等于()A.－65B ．－25C ．25D ．656．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝()A ．－79B ．－29C ．29D ．797．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (3，4)，则sin (α－2017π2)＝()A ．－45B ．－35C ．35D ．458．[2024·江西省八所中学联考]魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为355113，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4cos 38°，则π16－π21－2sin 27°的值为()A ．18B ．－18C ．8D ．－89．已知x ∈(0，π)，且cos(2x －π2)＝sin 2x ，则tan(x －π4)＝()A.13B ．－13C ．3D ．－3二、填空题10．[2024·安徽省蚌埠市质检]已知角θ的终边过点A (4，a )，且sin (θ－π)＝35，则tan θ＝________．11．[2024·河南省六市三模]设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________．12．[2024·陕西省西安三模]已知sin 2α＝14，且π3<α<2π3，则cos α－sin α＝________．[能力提升]13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝()A ．15B ．55C ．255D ．114．[2024·江西省临川模拟]已知cos (θ－π12)＝33，则sin (2θ＋π3)＝()A ．－29B ．－13C ．29D ．1315．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos (π2＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin β的值为________．16．设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号).①cos (A ＋B )＝cos C ；②cos B ＋C 2＝sin A 2；③sin (2A ＋B ＋C )＝－sin A .参考答案与解析1．C sin 256π＝sin (4π＋π6)＝sin π6＝12.2．C sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，分子分母同除以cos θ，tan θ＋1tan θ－1＝12，解得：tan θ＝－3.3．D tan (α－7π)＝tan α＝34>0，又α∈(π2，32π)，∴α∈(π，32π)，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－75.4．A 2sin α－cos α＝0，∴tan α＝12，∴sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝14－11＋14＝－35.5．C 解法一因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，θ＝25，θ＝－15θ＝－25，θ＝15，所以sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝45－25＝25.解法二(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.6．A 由sin α－cos α＝43，得1－2sin αcos α＝169，∴2sin αcos α＝1－169＝－79，即sin 2α＝－79.7．B 由题可知α为第一象限角，∴cos α＝35，sin (α－20172π)＝sin (α－π2)＝－cos α＝－35.8．C 因为π≈4cos 38°，所以π16－π21－2sin 27°＝4cos38°16－16cos 238°1－2sin 27°，＝16cos38°sin 38°cos 14°＝8sin 76°cos 14°＝8cos 14°cos 14°＝8.9．A ∵cos (2x －π2)＝sin 2x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴tan x ＝2，∴tan (x －π4)＝tan x －tan π41＋tan x tan π4＝2－11＋2＝13.10．－34解析：sin (θ－π)＝－sin θ＝35，sin θ＝－35<0，由于角θ的终边过点A (4，a )，所以θ在第四象限，所以cos θ＝1－sin 2θ＝45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－34.11.17250解析：α为锐角，π6<α＋π6<2π3，sin (α＋π6)＝1－cos 2（α＋π6）＝35.sin(2α＋π12)＝sin (2α＋π3－π4)＝22sin (2α＋π3)－22cos (2α＋π3)＝22×2sin (α＋π6)cos (α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250.12．－32解析：因为π3<α<2π3，所以sin α>cos α，因此有cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－cos 2α＋sin 2α－2cos αsin α＝－1－sin 2α，把sin 2α＝14代入，得cos α－sin α＝－1－14＝－32.13．B 由题意得tan α＝b －a 2－1＝b －a ，又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－（b －a ）21＋（b －a ）2＝23，得|b －a |＝55.14．B 由题，因为2θ＋π3＝2(θ－π12)＋π2，所以sin(2θ＋π3)＝sin [2(θ－π12)＋π2]＝cos 2(θ－π12)＝2cos 2(θ－π12)－1＝2×(33)2－1＝－13.15.13解析：2tan(π－α)－3cos ＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝13.16．②③解析：由题意得A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos (A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ，故①不正确；由于B ＋C 2＝π2－A 2，∴cos B ＋C 2＝cos (π2－A 2)＝sin A 2，故②正确；由于A ＋B ＋C ＝π，∴2A ＋B ＋C ＝π＋A ，∴sin (2A ＋B ＋C )＝sin (π＋A )＝－sin A ，故③正确．。
4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 练出高分(含答案解析)
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.2． cos(－2 013π)的值为( )A.12B ．－1C ．－32D ．0答案 B解析 cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1. 3． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 4． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案265解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 6． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． 答案 －13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 7. sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． 解 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π2<θ<π， ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46，∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．－79B ．－13C.13D.79答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 2． 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12， 即cos αsin α－1＝12.3． 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 由cos α＋2sin α＝－5可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝－5cos α， 平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________. 答案 －32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－32. 5． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.答案 45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ1＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 6． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 三、解答题7． (13分)已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A . (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解 (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0， 得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3， 将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式专题及答案
同角三角函数基本关系及诱导公式1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝ .2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝ .3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α＝ .4．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为 ．5．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的取值是 ．6．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝7．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ .8．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝ .9．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值． (已知：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2))同角三角函数基本关系及诱导公式1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝ . 答案 －513解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1. 又sin α<0，∴sin α＝－513. 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝ . 答案 －79解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α＝ . 答案 －25解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α， 所以tan α＝－2，所以sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 4．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为 ． 答案 12解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 5．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的取值是 ． 答案 k π－π4(k ∈Z) 解析 ∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＋φ＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π－φ(k ∈Z)，令π4＝k π－φ(k ∈Z)得φ＝k π－π4(k ∈Z)． 6．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝ . 答案 265解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 7．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ . 答案 －74解析 由题意可得cos(π4＋α)＝±74，又因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 8．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝ . 答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 9．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．(已知：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2))解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系2.设，向量，若，则______.【答案】【解析】因为，所以，即，所以；因为，所以，故，所以，故答案为.【考点】共线定理；三角恒等变换.3.已知sin(π－α)＝log，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．8【答案】【解析】sin(π－α)＝sin α＝log＝－，8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4. sin6000等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故D正确.【考点】诱导公式.5. [2014·滨州模拟]sin600°＋tan240°的值等于()A．－B．C．－D．＋【答案】B【解析】sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝，选B项．6.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．7.的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数．8.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．9.已知，则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数同角公式，二倍角的正弦公式.10.已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－，则sinθ＝____________，tanθ＝____________．【答案】－，【解析】cosθ＝＝－，解得x＝sinθ＝＝－，tanθ＝11.已知cos(-α)=,则sin(α-)等于()A．B．-C．D．-【答案】B【解析】∵sin(α-)=-sin(-α)=-sin(+-α)=-cos(-α),而cos(-α)=,∴-cos(-α)=-,故sin(α-)=-.12.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于()A．-2B．2C．-2或2D．0【答案】D【解析】原式=+,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与cosα的符号相反,所以原式=0.13.已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.【答案】【解析】【思路点拨】利用三角函数定义先确定P到原点的距离r,再代入三角函数公式可解. 解:∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=,又cosα=x,∴cosα==x.∵x≠0,∴x=±,∴r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,有sinα=-,=-,∴sinα+=--=-;当x=-时,同理可求得sinα+=.14.设sin＝，则sin 2θ＝()A．－B．－C．D．【答案】A【解析】因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝，两边平方得1＋2sin θcos θ＝，所以sin 2θ＝－.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知sin x＝，x∈，则tan＝______.【答案】－3【解析】∵sin x＝，x∈，∴cos x＝－.∴tan x＝－.∴tan＝＝－3.17.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于()．A．B．C．－D．－【答案】C【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝＝－.18.若sin＝，则sin＝______.【答案】-【解析】sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－.19.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础图.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为.【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.20.已知，，则的值是 .【答案】【解析】先由，结合的范围，求出，再利用两角和的正切公式可得．【考点】已知一个三角函数值，求其他三角函数值；两角和的正切公式．21.若3cos ＋cos (π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是______．【答案】【解析】∵3cos ＋cos (π＋θ)＝0，即3sin θ－cosθ＝0，即tanθ＝.∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝=22.在△ABC中，a=15，b=10，A=60o，则cosB= 。
高考数学必考点专项第10练 同角三角函数基本关系式、诱导公式(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第10练同角三角函数基本关系式、诱导公式一、单选题1. 已知4sin cos 3αα-=，则sin2α=( ) A. 79- B. 29- C. 29 D. 792. tan 255︒=( )A. 2-B. 2-+C. 2D. 2 3. 已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( )A. B. 23 C. 13 D. 4. 若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( ) A. 65- B. 25- C. 25 D. 655. 已知 1.32.1a =， 2.1log 1.3b =，sin 2021c ︒=，则a 、b 、c 的大小关系为( )A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D. c a b >>6. 若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是 ( ) A. {|2,}3k k Z πααπ=-∈ B. 2{|2,}3k k Z πααπ=+∈ C. 2{|,}3k k Z πααπ=-∈ D. {|,}3k k Z πααπ=-∈7. 《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为8π米，一只手臂长约为4π米，“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为( )A. 1516米 B. 15216米 C.15316米 D. 15332米8. sin 1.5，cos1.5，tan 1.5的大小关系为.( )A. tan 1.5sin 1.5cos 1.5>> B. sin 1.5tan 1.5cos 1.5>>C. sin 1.5cos 1.5tan 1.5>> D. tan 1.5cos 1.5sin 1.5>>9. 已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角，则下列各式中化简结果一定是0的是( )A. sin()sin A B C ++B. tan()tan A B C +-C. sin()cos()tan A B C C +--D. cos[2()]cos 2B C A ++10. 已知倾斜角为α的直线l ：2y kx =-与圆22(1)1x y +-=相切，则1cos 2cos()2απα-+的值为( )A. 3-B. 3C.D. 311. A 为三角形ABC 的一个内角，若12sin cos 25A A +=，则这个三角形的形状为( ) A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形二、多选题 12. 下列说法正确的是( )A. 若α，β都是第一象限角且αβ>，则sin sin αβ>；B. 1312tan()tan()45ππ->-；C. cos()2y x π=-在区间2[,]63ππ的值域为1[22； D. 已知()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数.若(2020)1f =-，则(2021) 1.f =13. 对于函数()sin ()tan ()f x a x b x c ππ=-+++，(其中a ，b R ∈，)c Z ∈，选取a ，b ，c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果可能是( )A. 4和6B. 3和2C. 2和4D. 1和2三、填空题14. 已知tan 2θ=，则cos2θ=__________；tan()4πθ-=__________.15. 已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第__________象限．16. 已知α为锐角，且3cos()34πα+=-，则72sin()sin()63ππαα-+-=__________.17. 若x 为三角形的内角，1sin()cos()2x x ππ+++=，则sin cos x x =__________，1tan x3sin()cos()22x x ππ+=-+-__________.四、解答题18. 已知2tan ().3παπ+=- (1)求的值；(2)若为α第四象限角，求sin cos αα+的值．19. 如图，半径均为1的光滑圆形轨道圆1O 、圆2O 外切于点M ，点H 是直线12O O 与圆2O 的交点，在圆形轨道圆1O 、圆2O 上各有一个运动质点,P Q 同时分别从点M 、H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点,P Q 运动的角速度之比为2:1，设点Q 转动的角度为θ，以1O 为原点，12O O 为x 轴建立平面直角坐标系。
同角三角函数的基本关系与诱导公式练习题(基础、经典、好用)
同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k2k C.k1－k 2 D ．－k 1－k 22.1－2sin （π＋2）cos （π＋2）等于( )A ．sin 2－cos 2B ．cos 2－sin 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 23．(2013·厦门模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝55则sin(－π－α)＝() A.55 B.255 C ．－55 D ．－2554．(2013·惠州模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.455．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根， 则sin （－α－3π2）sin （3π2－α）tan 2（2π－α）cos （π2－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝()A.35B.53C.45D.54二、填空题6．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．7．已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________．8．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π6－x )＝________．三、解答题9．已知函数f (x )＝1－sin （x －3π2）＋cos （x ＋π2）＋tan 34πcos x .(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值．10．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2＜α＜π)．求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)．11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(2，1)满足a ∥b ，其中θ∈(0，π2)．(1)求tan θ的值； (2)求2sin （θ＋π4）（sin θ＋2cos θ）cos 2θ的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 由cos(－80°)＝k ，得cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2，∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k 2k .【答案】 B2.【解析】 原式＝1－2（－sin 2）（－cos 2）＝1－2sin 2cos 2＝|sin 2－cos 2|，∵sin 2＞0，cos 2＜0，∴原式＝sin 2－cos 2.【答案】 A3．【解析】 ∵sin(－α－3π2)＝－sin(3π2＋α)＝cos α＝55，且α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－525＝－255，∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α＝－255.【答案】 D4．【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 【答案】 D5．【解析】 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α（－cos α）tan 2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sin α＝53. 【答案】 B二、填空题6．【解析】 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.【答案】 327．【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 3158．【解析】 原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x ) ＝－14＋(1－142)＝1116.【答案】 1116三、解答题9．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}．(2)∵tan α＝－43，∴f (α)＝1－sin （α－3π2）＋cos （α＋π2）＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13. 10．【解】 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79.又π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－(－79)＝169， ∴sin α－cos α＝43.(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝－43×(1－718)＝－2227.11．【解】 (1)∵a ∥b ，∴sin θ2＝cos θ1，所以tan θ＝2.(2)2sin （θ＋π4）（sin θ＋2cos θ）cos 2θ ＝2（22sin θ＋22cos θ）（sin θ＋2cos θ）cos 2θ－sin 2θ＝（sin θ＋cos θ）（sin θ＋2cos θ）（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝sin θ＋2cos θcos θ－sin θ＝tan θ＋21－tan θ ＝2＋21－2＝－4.。
同角三角函数间的基本关系与诱导公式测试练习题
3.2同角三角函数间的基本关系与诱导公式一、选择题1. sin 2(π÷α)-cos(π+α)∙cos(-a)+1的值为() A.1B.2sin 2αC.OD.2解析：原式=(—sina)2—(—cosa)cosa+1=sin 2a÷cos 2a+1=2.答案：D2. (2009,辽宁)已知tan 0=2,则sin 2^+sin OCOSO-Icos 2O 的值为()答案：B24 .若448C 的内角A 满足sin2A=y 贝!∣sinA÷cosA 等于(c I 解析：∙.∙()<A V 7Γ,0<2A<2π,又sin2A=；,即2sinAcosA=g,.∙.0vA<^,(SiiIA +COS A)? 5 .4, ,而 =q,S1nA+COSA=W -.答案：A 二、填空题5.若tanα=2,则;； ÷1..1—sin a 1十SIna 4-5 D. 3- 4 - C 5-4 B. 4- 3- A- 解析：sin 2^+sin 夕COS 夕一2CoS Si1r 〃+sin 夕COS θ~2cos 2θtan-^÷tan Θ-24 Si1I2〃+COS2。
tan?。
+1 答案：D3.若Si11伊CoS0=；,则tan 。
+/的值是（A.—2B.2C.±2 D -2 解析：tan 0Λ cos 0sin 0.cos 0 sin 。
-CoS 〃+sin 〃-SinOCoS2D.—22 2 2(sin 2α÷cos 2a) ,, 解析:原式=Ti•、/.I ∙ ∖~~i .2—.rκc ,2zv — 2Λ. =2(tan~α+1)=2(4 (1—sina)(1÷smα)1—sιn 2αCoSZacos 2α ÷1)=10.答案：10答案：O7 .已知sin 〃+cos 〃=；,且WW 〃/手，贝!|cos 20的值是解析：由巳知Si1ι"+cosO=/①7见Isin 夕——cos e=g,②由①@知COS2。
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同角三角函数基本关系与诱导公式
强化训练题
班级 姓名 得分
一．选择题：（5525''⨯=）
1．给出下列等式，①sin(3)sin παα--=-；②sin(630)cos αα︒+=-；
③cos(4)cos παα--=-；④cos(3)sin παα--=-．其中正确的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知3sin ,(1,)2
m m πααπ=<-<<-，那么=αtan （ ） A ．21m m - B ．21m m -- C ．21m m -± D ．m m 21-±
3．在ABC 中，若7sin cos 13
A A +=
，则t a n A = （ ） A ．512 B ．125 C ．512- D ．125- 4．若α为第一象限角，那么α2sin ，tan 2α
，cos 2α，cos 2α
中，取值必为正的有（ ）
A ． 0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．)3cos()3sin(21+-+ππ化简的结果是（ ）
A ．3cos 3sin -
B ．3sin 3cos -
C ．cos3sin 3+
D ．cos3sin 3--
二．填空题：（5525''⨯=） 6．sin315sin(1215)cos570sin(840)-+-= ．
7
．若cos α=，且α的终边过点)2,(x P ，则 tan α= ． 8．已知角θ终边上的一点)0)(4,3(<a a a P ，那么)540cos(θ- = ．
9．已知21)3sin(-=+απ，求απ-2
7cos(）= ． 10．若角α的终边落在直线y x =-上，则
+= ．
三．解答题（共50分）
11． （10分）已知
3sin 5cos 12sin 7cos 11
αααα+=-，求222sin sin cos cos αααα-+的值．
12．（10分）化简：0000sin(540)1cos(360)tan(900)tan(450)tan(810)sin()
x x x x x x +-⋅⋅-+---．
13． （10分）求证：
1sin cos 1sin 1sin cos cos αααααα
-+-=++．
14．（10分）已知2
21cos 1m m
α-=+ (1m <-)，求sin α与tan α的值．
15．（10分）已知sin sin a θφ=，tan tan b θφ=，其中θ为锐角，求证：1
1cos 22--=b a θ．
参考答案
一．选择题： 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A
二．填空题： 6．54 7． 8．35- 9．12
- 10．2- 三．解答题：11．解：由条件得：sin 2cos αα=-，代入22sin cos 1αα+=得：21cos 5α=
∴222112sin sin cos cos 11cos 5ααααα-+==
12．解：原式sin(180)cos(90)cos(90)cos(360)tan(180)sin(90)sin(90)sin()
x x x x x x x x ︒+︒+-︒-︒-=⋅⋅︒-︒+-︒-- (sin )(sin )(sin )cos sin sin cos (tan )cos (cos )(sin )tan x x x x x x x x x x x x ---=
==---． 13．证明：∵左边22cos (1sin )cos cos (1sin )(1sin )cos (1sin cos )cos (1sin cos )
αααααααααααα-+-+-==++++ (1sin )(1sin cos )1sin cos (1sin cos )cos αααααααα
-++-===++右边． ∴原等式成立． 注：本题也可由cos 1sin 1sin cos αααα
-=+及等比定理得证． 14．解：∵2
21cos 1m m
α-=+ (1m <-)，∴cos 0α<且cos 1α≠-． ∴α是第二或第三象限角，且
2
2
22
222214sin 1cos 1()1(1)m m m m αα-=-=-=++ (1m <-)． ∴当α是第二象限角时，22sin 1m m α-=+，2
2tan 1m m α-=-； 当α是第三象限角时，22sin 1m m α=+，22tan 1m m
α=-． 15．证明：将sin sin a θφ=①、tan tan b θφ=②两边分别相除可得： cos cos b a θφ=③．
再由①③得：2222222sin
cos (sin cos )b a a θθφφ+=+=． ∴22221cos cos b a θθ-+=，即22
21cos 1a b θ-=-． 又∵θ为锐角，∴1
1cos 22--=b a θ． 注：本题也可由条件将a 、b 代入2211a b --并化简得证．。