吉林省高三 数学 高考模拟试卷
吉林省吉林市2024年数学(高考)统编版模拟(提分卷)模拟试卷
吉林省吉林市2024年数学（高考）统编版模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，（，为自然对数的底数），若对任意给定的，在上总存在两个不同的（，），使得成立，则的取值范围是A．B．C．D．第(3)题若集合中只有一个元素，则实数（）A．1B．0C．2D．0或1第(4)题已知函数图象两个相邻的对称中心的间距为，则下列函数为偶函数的是（）A．B．C．D．第(5)题若三棱锥的四个面都为直角三角形，且平面，，，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知复数，则（）A．B．C．1D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）A．B．C．D．第(2)题已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，关于函数，下列选项不正确的是（）．A．最小正周期为B．C ．是偶函数D．当时取得最大值第(3)题在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（）A．若，则B．外接圆的半径为C．取得最小值时，D．时，取得最大值为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题若二项式的展开式的各项系数之和为-1，则含项的系数是___________.第(2)题函数的图像记为曲线F，如图所示.A，B，C 是曲线与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为____________.(用，表示)第(3)题抛物线的焦点的坐标是____________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为线段的中点，则__________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。
吉林省吉林地区普通高中2024届高三第三次模拟考试 数学试题(含解析)
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第三次模拟考试数学试题说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1．复数sin1icos1z =+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知()12,1,1.2x x f x x x -⎧<=≥⎪⎩若()1f a =，则实数a 的值为（）A ．1B ．4C ．1或4D ．23．已知随机变量()22,X N σ ，且()30.2≥=P X ，则(1)P X >=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．若互不相等的正数,,a b c 满足2b a c =+，则（）A ．ln ,ln ,ln a b c 成等差数列B ．ln ,ln ,ln a b c 成等比数列C ．e ,e ,e a b c 成等差数列D ．e ,e ,e a b c 成等比数列5．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A ．()23f x x-=B ．()tan =f x x C ．()31f x x x=-D ．()ln f x x=6．已知圆锥的侧面积是4π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）A ．3B ．3C ．3D ．37．已知圆22:1C x y +=与x 轴交于12,F F 两点，点P 在直线:40l x y -+=上，若以12,F F 为焦点的椭圆过点P ，则该椭圆的离心率的最大值为（）A ．2B C D 8．已知,αβ为锐角，且()2sin cos sin βαβα+=，则tan β的最大值为（）A ．12B ．4C ．6D ．2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知集合{}{}2log 1,1A x x B x x =≤=≤，则（）A ．{}02A x x =≤≤B ．{01}A B x x ⋂=<≤C ．{}12A B x x ⋃=-≤≤D ．*N B ⋂的子集个数为210．在61x ⎛- ⎝的展开式中，下列说法正确的是（）A ．各二项式系数的和为64B ．各项系数的绝对值的和为729C ．有理项有3项D ．常数项是第4项11．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ，且224,DC AB AD O ===为BD 的中点，沿BD 将ABD △翻折，使得点A 到达A '的位置，构成三棱锥A BCD -'（如图2），则（）A ．在翻折过程中，A D '与BC 可能垂直B ．在翻折过程中，二面角A BCD '--无最大值C ．当三棱锥A BCD -'体积最大时，A D '与CO 所成角小于π3D ．点P 在平面A BD '内，且直线PC 与直线BC 所成角为π6，若点P 的轨迹是椭圆，则三棱锥A BCD -'的体积的取值范围是⎣⎭三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．12．已知向量()(),1,1,3a m b =-= ，若a b ⊥，则a =r .13．“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用1216,,,A A A 表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达6A 有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观i A 的不同路线有i a 条，其中116,N i i ≤≤∈，记()2117,N n a m n n +=≤≤∈，则21ni i a ==∑（结果用m 表示）.14．已知拋物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，过,A B 作x 轴垂线，垂足分別为11,A B ，直线1AB 与直线l 交于P 点，则PAB 与11PA B △的面积比值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos2a B b A c -=．(1)求A ；(2)AB在AC方向上的投影向量是2,3AC a = ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD PB PC ==，224,PA BC AD CD E ====为BC 中点，点F 在梭PB 上（不包括端点）.(1)证明：平面AEF ⊥平面PAD ；(2)若点F 为PB 的中点，求直线EF 到平面PCD 的距离.17．已知点()2,0F ，直线:1l x =，动圆P 与直线l 相切，交线段PF 于点M ，且PF =．(1)求圆心P 的轨迹方程，并说明是什么曲线；(2)过点F 且倾斜角大于3π4的直线l '与y 轴交于点M ，与P 的轨迹相交于两点12,M M ，且()12,R FM FM FM λμλμ==∈ ，求λμ+的值及11λμ+的取值范围.18．短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.（i ）求经过i 次传递后球回到甲的概率；（ii ）记前m 次传递中球传到乙的次数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；()11m mi i i i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑附表：α0.10.050.010.0050.001aχ 2.7063.8416.6357.87910.82819．已知函数()2()e xx a f x +=．(1)讨论()f x 的单调性；(2)设,m n 分别是()f x 的极小值点和极大值点，记()()()(),,,M m f m N n f n ．（i ）证明：直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 外另一点P ；（ii ）在（i ）结论下，判断是否存在定值(),1t a a ∈+且Z a ∈，使MN t PN =，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.1．A【分析】由复数几何意义及三角函数值符号判断其所在象限即可.【详解】由复数的几何意义知，复数sin1i cos1z =+在复平面中对应点(sin1,cos1)Z ，又因为157.3≈ ，所以sin10>，cos10>，所以点Z 位于第一象限.故选：A.2．B【分析】分1a <和1a ≥，求解()1f a =，即可得出答案.【详解】当1a <时，()121a f a -==，则10a -=，解得：1a =（舍去）；当1a ≥时，()12f a ==2=，解得：4a =.故选：B.3．D【分析】根据正态分布性质可得【详解】因为()22,X N σ~，所以()()130.2P X P X ≤=≥=，所以()(1)110.8P X P X >=-≤=.故选：D.4．D【分析】根据,,a b c 互不相等，且2b a c =+得到2e e b a c +=，转化为()2e e e b a c =⋅，根据等比中项的概念，判断e ,e ,e a b c 成等比数列.【详解】因为,,a b c 互不相等，且2b a c =+，所以2e eba c+=⇒()2ee e bac=⋅，即e e e eb ca b =，所以e ,e ,e a b c 成等比数列.故选：D 5．C【分析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，即可判断四个选项的奇偶性，只有B C 、是奇函数，又正切函数在()0,∞+上不是单调递增函数，而函数()31f x x x=-的导函数恒大于零，所以只有C 正确.【详解】对于A ，()()()2233f x x x ---=-= ，()f x \为偶函数，故A 错误；对于B ，()()()tan tan f x x x f x -=-=-=- ，()f x \为奇函数，又()tan =f x x 在()0,∞+不满足单调递增定义，所以B 错误；对于C ，()()()()()3311f x x x f x x x -=--=-+=-- ，()f x \为奇函数，()22130f x x x'=+>，()f x \在区间()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，ln y x =是非奇非偶函数，所以D 错误.故选：C.6．D【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题意知：π4ππ2πrl l r=⎧⎨=⎩，两式相除解得r =l =；所以圆锥的顶角为π3，轴截面为等边三角形，圆锥的高h =设圆锥的内切圆半径为R ，)222RR =+，解得3R =.故选：D.7．B【分析】根据题意求出点2(1,0)F 关于直线1:40x y -+=对称的点F '的坐标，结合两点之间线段最短，即可求出a 的最小值，由此即可求出离心率的最大值．【详解】由题意知1(1,0)F -，2(1,0)F ，以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆的半焦距为1c =，由题意可知直线1与椭圆有交点P ，设点2(1,0)F 关于直线1:40x y -+=对称的点为(,)F m n '，则111422nm n m ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=+⎪⎩，解得(4,5)F '-，则12112a PF PF PF PF F F =+=+'≥=='因为1c e a a==，=．故选：B ．8．A【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为α，β为锐角，且2sin cos()cos cos sin sin sin βαβαβαβα+==-，两边同时除以cos β得，2tan cos sin tan sin βααβα-=，()2cos sin sin 2tan αααβ∴=+，αQ 为锐角，tan 0α∴>，2222sin cos sin cos tan 1tan 22sin 3sin 2cos 3tan 2123tan tan αααααβαααααα∴====≤=++++，当且仅当23tan tan αα=，即tan 3α=时取等号，tan β∴最大值12．故选：A ．9．BCD【分析】解对数不等式及绝对值不等式，结合集合的交集、并集运算及子集的定义计算即可.【详解】对于A 项，由题意知，2{|0}A x x =<≤，{|11}B x x =-≤≤，故A 项错误；对于B 项，{|01}A B x x =< ≤，故B 项正确；对于C 项，{|12}A B x x ⋃=-≤≤，故C 项正确；对于D 项，因为*N {1}B = ，所以*N B 的子集为∅、{1}共2个，故D 项正确.故选：BCD.10．AB【分析】利用各二项系数和可判断A 选项；根据二项式61x ⎛- ⎝展开式的系数的绝对值和与二项式61x ⎛+ ⎝的展开式的系数和相等，可判断B 选项；根据展开式的通项可判断C选项和D 选项；【详解】在61x ⎛- ⎝的展开式中，各二项式系数的和为6264=，故A 正确；各项系数的绝对值的和与61x ⎛+ ⎝的各项系数和相等，令1x =，可得各项系数的绝对值的和为63729=，故B 正确；展开式的通项为(()63621661C 2C rrr rr r r T xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令36Z 2r ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，得0,2,4,6r =时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，故C 错误；令3602r -=，得4r =，所以常数项是第5项，故D 错误.故选：AB.11．AC【分析】先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当'A O OC ⊥时可证平面'A BD ⊥平面BCD ，从而可证'A D BC ⊥，判断A ；且此时二面角A BC D '--取得最大值，判断B ；还是此时，当三棱锥A BCD -'体积最大，可求异面直线A D '与CO 所成角，判断C ；对D ，根据圆锥曲线的定义，判断二面角A BD C '--的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥A BCD -'的体积的取值范围，判断D.【详解】如图1：在未折起之前，有2AB BC AD ===，4CD =，1OA =，OC =.OA BD ⊥.又60BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以BC BD ⊥.沿BD 将ABD △翻折，则A 点轨迹为一个圆，且圆面一直和BD 垂直，如图：当'A O OC ⊥时，'A C ='A O BD ⊥，,OC BD ⊂平面BCD ，所以'A O ⊥平面BCD ，'A O ⊂平面'A BD ，所以平面'A BD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，平面BCD 平面'A BD BD =，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面'A BD .'A D ⊂平面'A BD ，所以'A D BC ⊥.故A 正确.此时BD BC ⊥，'A B BC ⊥，所以'A BD ∠即为二面角'A BC D --的平面角为30︒，是二面角'A BC D --的最大值，故B 错误；此时三棱锥'A BCD -的高等于'A O ，高取得最大值，又底面BCD 不变，所以三棱锥'A BCD -的体积最大.如图：取'A B 中点E ，连接OE ，CE ，则OCE ∠即为一面直线A D '与CO 所成角，在OCE △中，1'12OE A B ==，OC =，CE ===，所以222cos2OC CE OE OCE OC CE +-∠=⋅1cos 60702=>=︒，所以π3OCE ∠<，故C 正确；对D ：点P 在平面A BD '内，且直线PC 与直线BC 所成角为π6，若点P 的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概念，二面角A BD C '--应该在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭之间取值，且不能为90︒（此时点P 的轨迹是圆），当二面角π3A BD C '--=或2π3时，'11123223A BCD V -=⨯⨯⨯=，当二面角π2A BD C '--=时，'1121323A BCD V -=⨯⨯⨯=，所以点P 在平面A BD '内，且直线PC 与直线BC 所成角为π6，且点P 的轨迹是椭圆时，'A BCD V -∈⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：用一个平面截圆锥体，要想得到的截面是一个椭圆，截面不能和圆锥的母线相交，且截面不能与圆锥的轴垂直（此时的截面是圆）.12【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得m 的值，从而可求模长.【详解】因为()(),1,1,3a m b =-= ，a b ⊥ ，所以=30a b m ⋅-=，解得3m =，所以a ==.13．81m -【分析】结合题意及分类加法原理，依次计算到达2A 、3A 、4A 、5A 、6A 的走法即可.由题意可知数列{}n a 为斐波那契数列，即12n n n a a a +++=（114n ≤≤且*N n ∈），结合累加法求解即可.【详解】由题意知，到达2A 点共有1种走法，到达3A 点共有112+=种走法（一种是经过2A 点到达3A ，一种是直接到达3A ），到达4A 点共有123+=种走法（一种是经过2A ，一种是经过3A ，所以到达4A 将2A 、3A 的走法加起来），到达5A 点共有325+=种走法（一种是经过2A 和4A ，一种是经过3A ，所以到达5A 将4A 、3A 的走法加起来），到达6A 点共有358+=种走法（一种是经过2A 和4A ，一种是经过3A 和5A ，所以到达6A 将4A 、5A 的走法加起来），故按图中所示方向到达6A 有8种不同的打卡路线.由题意知，11a =，21a =，3122a a a =+=，4233a a a =+=，5345a a a =+=，…，12n n n a a a +++=（114n ≤≤且*N n ∈），因为12n n n a a a +++=（114n ≤≤且*N n ∈），所以123a a a +=，345a a a +=，567a a a +=，…，21221n n n a a a -++=，（17n ≤≤且*N n ∈），将上式累加可得12345621235721n n n a a a a a a a a a a a a -+++++++++=++++ ，（17n ≤≤且*N n ∈），整理可得1246221n n a a a a a a ++++++= ，又11a =，21n a m +=，所以24622111n n a a a a a a m +++++=-=- ，即211ni i a m ==-∑.故答案为：8；1m -.14．1【分析】设直线AB 的方程为：1x my =+，联立直线AB 与抛物线的方程求得12124,4y y m y y +=⋅=-，再求出P 点坐标，讨论点A 在点B 的右侧或左侧，表示出()21112PABS y x =+ ，所以()()1121121111PAB PA B y my S S y my ++=++ ，再将韦达定理代入即可得出答案.【详解】依题意作示意图如下图，图一为点A 在点B 的右侧，图二为点A 在点B 的左侧，根据抛物线方程有：()1,0,:1F l x =-，设直线AB 的方程为：1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，()01,P y -，故()()1112,0,,0A x B x ，若12x x =，则直线1AB 与直线l 不相交，故12x x ≠，联立直线AB 与抛物线的方程有：241x xy y m =+=⎧⎨⎩，则2440y my --=，则12124,4y y m y y +=⋅=-，直线1AB 的方程为：()1212y y x x x x =--，令=1x -，得到()102211yy x x x =+-，所以()12211,1y P x x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，因为1112A B x x =-，所以()111101211122PA B S A B y y x ==+ ，而对于PAB ，当点A 在点B 的右侧，根据图象可知，()11222122111111222PAB PBB ABB S S S y x y x x y x =+=++-=+ ，当点A 在点B 的左侧，根据图象可知，()11222122111111222PAB PBB ABB S S S y x y x x y x =-=+--=+ ，即()21112PAB S y x =+ ，所以()()()()11212112121111211112PABPA B y x y my S S y my y x +++==+++ ，()1212111211244242122424m y m y my y m y y my y y m y m--+-====+--.故答案为：1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设直线AB 的方程为：1x my =+，联立直线AB 与抛物线的方程求得12124,4y y m y y +=⋅=-，再求出P 点坐标，讨论点A 在点B 的右侧或左侧，表示出()21112PAB S y x =+ ，所以()()1121121111PAB PA B y my S S y my ++=++ ，再将韦达定理代入即可得出答案.15．(1)π3A=(2)ABC S = 【分析】（1）由cos cos2a B b A c -=，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简得到sin cos2cos sin B A A B =-求解；（2）（方法一）由AB 在AC 方向上的投影向量2cos<,>3AC AB AB AC AC AC =，化简得到cos 23c A b =，再利用余弦定理求得3,4b c ==即可；（方法二）：过B 作BD AC ⊥，设DC t =，在Rt BDC 中，由22213BD DC BC +==求解.【详解】（1）解：由正弦定理得sin cos sin cos2sin A B B A C -=，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，即sin cos2cos sin B A A B =-，又sin 0,cos2cos B A A ≠∴=-，22cos 1cos A A ∴-=-，即22cos cos 10A A +-=得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），又()π0,π,3A A ∈∴=.（2）（方法一）AB 在AC 方向上的投影向量为2cos<,>3AC AB AB AC AC AC =，cos 23AB A AC ∴=即cos 23c A b =，14cos ,23A c b =∴= ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，222441131323329b b b b b ⎛⎫∴=+-⋅⋅= ⎪⎝⎭，3,4b c ∴==，则11sin 3422ABC S bc A ==⨯⨯= （方法二）：如图所示：过B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则AD 为AB在AC 方向上的投影向量，设DC t =，则2,23,4AD t BD AB t ===，在Rt BDC 中，22213BD DC BC +==，1,4,3t AB AC ∴===，1π13sin 43332322ABC S AB AC ∴=⋅=⨯⨯⨯= 16．(1)证明见解析455【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得AE AD ⊥，PA AE ⊥，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.（2）由线面平行判定定理可证得//EF 平面PCD ，则点E 到平面PCD 的距离即为EF 到平面PCD 的距离.方法一：以A 为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法P EDC E PCD V V --=计算即可.【详解】（1）证明：连接AC ，如图所示，PA ⊥ 平面,,ABCD PA AB PA AC ∴⊥⊥，6,4,22PB PC PA AB AC ===∴== ，2224,BC AB AC BC =∴+= ，即AB AC ⊥，又E 为BC 中点，则AE BC ⊥，且2AE EC ==，2,AD CD ==∴ 四边形AECD 为正方形，AE AD ∴⊥，PA ⊥ 平面,ABCD AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，又AD PA A = ，AD 、PA ⊂平面PAD ，AE ∴⊥平面PAD ，又AE ⊂ 平面,AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（2） 在PBC 中，,E F 分别为,BC PB 中点，EF PC ∴∥，又EF ⊄平面,PCD PC ⊂平面PCD ，//EF ∴平面PCD ，∴点E 到平面PCD 的距离即为EF 到平面PCD 的距离，（方法一）,,PA AD PA AE AE AD ⊥⊥⊥ ，∴以A 为原点，,,AE AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,4,0,2,0E C P D ，()()()0,2,0,2,2,4,2,0,0EC CP CD ==--=-，设(),,n x y z =是平面PCD 的法向量，22402,020n CP x y z y z x n CD x ⎧⋅=--+==⎧⎪∴∴⎨⎨=⋅=-=⎩⎪⎩ ，取1z =，则()2,0,2,1y n =∴=是平面PCD 的一个法向量，∴点E 到平面PCD的距离为EC n d n ⋅= 即直线EF 到平面PCD的距离为5.（方法二）连接ED 、PE ，如图所示，EDC △为等腰直角三角形，12222EDC S ∴=⨯⨯=△，又PA ⊥ 平面,ECD PA ∴是三棱锥P EDC -的高，∴11824333P EDC EDC V S PA -=⋅=⨯⨯= ，222,16425,26CD PD PA AD PC =++== 222,PD CD PC CD PD ∴+=∴⊥，11225522PCD S CD PD ∴=⋅=⨯⨯=△设E 到平面PCD 距离为d ，则13P EDC E PCD PCD V V S d --==⋅△，184525,33525d d ∴⨯=∴即EF 到平面PCD 45517．(1)22122x y -=，点P 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长、虚轴长均为22的等轴双曲线．(2)4λμ+=，()2,+∞【分析】（1）设点(),P x y ，根据2PF PM =列出等量关系整理可得；（2）设直线:2l x my =+'，联立双曲线方程，利用韦达定理结合12FM FM FM λμ==，可得λμ+的值及11λμ+的取值范围.【详解】（1）设点(),P x y ，圆P 的半径为,r d 为P 到直线l 的距离，则d r =．根据题意，动点P 的轨迹就是点的集合{}{}22A P PF PM P PF d===22(2)21x y x -+-即222(2)2(1)x y x -+=-，整理得22122x y -=.所以，点P 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长、虚轴长均为22（2）设直线:2l x my =+'，倾斜角大于()3π,14m ∞∴∈--设()()1112222,,,,0,M x y M x y M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭联立2222x my x y =+⎧⎨-=⎩得()()222142010m y my m -++=->，故()()222Δ1681810m m m =--=+>，12241m y y m -+=-，12221y y m ⋅=-，由题知，双曲线的焦点()2,0F ，()()11122222,,2,,2,FM x y FM x y FM m ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ()212121212242222221,421my y m m my my my my my y m λμλμ--⨯-+-=-=-∴+=--===-()222122241122122211m m y y m m m m λμ-+-+====+----由(),1m ∞∈--得()21110,1m ∞λμ∈+∴+-的取值范围是()2,∞+18．(1)列联表见解析，无关(2)（i ）1111554i i P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（ii ）()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用已知条件，完成列联表，利用独立性检验公式求解判断即可；（2）（i ）设经过i 次传递后回到甲的概率为i P ，求出关系式，得到通项公式；（ii ）方法一：设第i 次传递时甲接到球的次数为i Y ，则i Y 服从两点分布，()i i E Y P =，设前m 次传递中球传到甲的次数为Y ，利用公式求期望即可.方法二：设第i 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为i q 与i X ，则i X 服从两点分布，()i i E X q =，利用公式求期望即可.【详解】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：游客短视频合计收看未看南方游客200100300北方游客80120200合计280220500零假设0H ：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联．220.001500(20012080100)800034.63210.828300200280220231χχ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001（2）（i ）设经过i 次传递后回到甲的概率为i P ，()()1111112444i i i P P P i --=-⨯=-+≥，1111545i i P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111055P -=-≠，所以15i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为14-的等比数列，所以1111554i i P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.（ii ）（方法一）设第i 次传递时甲接到球的次数为i Y ，则i Y 服从两点分布，()i i E Y P =，设前m 次传递中球传到甲的次数为Y ，()()12311m mi i mi i E Y E Y E Y P P P P ==⎛⎫===++++ ⎪⎝⎭∑∑111414415525452514mmm m ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=⨯-+-⎪⎝⎭+，因为()()4m E Y E X -=，所以()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.（方法二）设第i 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为i q 与i X ，则i X 服从两点分布，()i i E X q =，由题可知()1114i i q q -=-，1111545i i q q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又114q =，所以111520q -=，所以15i q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为120，公比为14-的等比数列，11115204i i q -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，111554ii q ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，()()11111144115514mm m m i i i i i i m E X E X E X q ===⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦====-⨯⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭∑∑∑，故()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第2问（ii ）的解决关键是，根据题意得到1,i i P P -的关系，利用构造法分析出15i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为14-的等比数列，由此得解.19．(1)()f x 在(),2a a --+上单调递增，在()(),,2,a a -∞--++∞上单调递减(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在定值t ，此时1a =.【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，从而解不等式，求出函数单调性；（2）（i ）法一：在（1）基础上得到,2m a n a =-=-+，求出MN 直线方程，联立得到()22()2eea x x a x a -++=，变形得到()()22e 0x a x a x a +-⎡⎤+-+=⎣⎦，构造()()22e ,R x a g x x a x +-=-+∈，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得到结论；法二：在（1）基础上得到,2m a n a =-=-+，求出MN 直线方程，联立得到()22()2ee a x x a x a -++=，变形得到()22e 0e a x x a x a -+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，构造()22e ,R e a x x a h x x -+=-∈，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得到结论；（ii ）法一：在（i ）基础上，得到()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，表达出()022MN t PN a x ==-+，故022(0)a x t t +=->，结合（i ）中的0202e x a x a +-=+得到21e 10(0)t t t-+-=>，换元得到()2e 1,0u H u u u =--<，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，又(),1t a a ∈+，故1a =；法二：由（i ）知，()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，表达出()022MNt PN a x ==-+，故()022(0)a x t t-+=>，根据()0,1x a a ∈--，得到12t <<，又(),1t a a ∈+，故1a =；【详解】（1）()2()e xx a f x +=定义域为R ，()()()()22()2,R e ex x x a x a x a x a f x x +-+-++-='=∈ ，令()0f x ¢>，则2a x a -<<-+，令()0f x '<，x a <-或2x a >-+，()f x \在(),2a a --+上单调递增，在()(),,2,a a -∞--++∞上单调递减．（2）（i ）法一：由（1）知,2m a n a =-=-+且()()0f m f a =-=，()2244e e a a f n --+==，224e 2e 2a a MN k a a--∴==-++，MN ∴直线方程为()22ea y x a -=+，令()22()2e ea x x a x a -++=，即()()22e 0x a x a x a +-⎡⎤+-+=⎣⎦，x a ∴=-或()22e 0x a x a +--+=，设()()22e ,R x a g x x a x +-=-+∈，则()22e 1x a g x +-=-'，令()0g x '=，则12ln2x a +-=，2ln2x a ∴=--，令()0g x '>，则2ln2x a >--，令()0g x '<，则2ln2x a <--，()g x ∴在(),2ln2a -∞--上单调递减，在()2ln2,a --+∞上单调递增，()()220,2e 0g a g a --=-=> ，()()ln22ln22e 2ln2ln210g a ---=--=-<，（或者()()2ln220g a g a --<-<）∴存在唯一的()0,2x a a ∈--，使()00g x =，即0202e x a x a +-=+，故方程①的解有0,2,a a x --综上，直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 点外另一点P ；法二：由（1）知,2m a n a =-=-+且()()0f m f a =-=，()2244e e a a f n --+==，224e 2e 2a a MN k a a--∴==-++，MN ∴直线方程为()22ea y x a -=+，令()22()2e e a x x a x a -++=，即()22e 0e a x x a x a -+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，x a ∴=-或22e 0ea x x a -+-=，设()22e ,R e a x x a h x x -+=-∈，则()1e xx a h x --='，令()0h x '=，则1x a =-；令()0h x '>，则1x a <-；令()0h x '<，则1x a >-，()h x ∴在(),1a -∞-上单调递增，在()1,a -+∞上单调递减，()()()()12221e 2e e e 20,2e 0,20a a a a h a h a h a -----=-=->-=-<-= ，()0,1x a a ∴∃∈--，使得()00h x =，故方程①的解有0,2,a a x --，综上，直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 点外另一点P .（ii ）法一：由（i ）知，()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，()()002222a a MNt PN a x a x -+--===-+--+，022(0)a x t t∴+=->，由（i ）可知，0202e x a x a +-=+，222e 2t t-∴=-，即21e1t t -=-，21e 10(0)tt t-∴+-=>，设10u t =-<，设()2e 1,0u H u u u =--<，()22e 1,0u H u u =-<'，令()0H u '=，则ln22u =-，令()0H u '>，则ln202u -<<，令()0H u '<，则ln22u <-，()H u ∴在ln2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln2,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.()()21111e 0,00,02e 2H H H -⎛⎫-=>=-=-< ⎪⎝⎭ ，011,2u ⎛⎫∴∃∈-- ⎪⎝⎭，使()00H u =，此时()011,2t u =-∈，故存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，又(),1t a a ∈+，故1a =；法二：（ii ）由（i ）知，()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，()()002222a a MNt PN a x a x -+--===-+--+，()022(0)a x t t∴-+=>，()0,1x a a ∈-- ，()0122a x ∴<-+<，212t∴<<，12t ∴<<，故存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，此时1a =.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题(含答案)
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设集合}06|{2≤--=x x x A ，集合}40|{<<=x x B ，则=B A A ．}20|{≤<x x B ．}30|{≤<x xC ．}42|{<≤-x x D ．}43|{<≤-x x 2．在25个互不相等的数据中，记上四分位数为a ，中位数为b ，第75百分位数为c ，则A ．c b a <<B ．b c a <=C ．ab c <<D ．ca b =<3．已知等差数列}{n a 满足4852=++a a a ，前n 项和为n S ，则=9S A ．8B ．12C ．16D ．244．已知函数xax x f +=)()(R a ∈，则)(x f 的图象不可能是A ．B ．C ．D ．5．过点)0,0(与圆042422=+--+y x y x 相切的两条直线夹角为α，则=αcos xOyxOyxO yxOyA ．53B ．54C ．55D ．5526．如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东︒60方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东︒51，且与甲船相距mile n 2的B 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为A ．mile n 2B ．mile n 2C ．mile n 22D ．milen 237．已知函数1)14()(22-+-+=x x log x f x，则关于x 的不等式)2()2(x f x f >+的解集为A ．)232(-B ．)2,21[32,1( --C ．)2,21[]21,32( --D ．)2,21[]21,1( --8．已知双曲线)0,0(1 2222>>=-b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点分别为21,A A ，以21F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P ，且321π=∠A PA ，则双曲线C 的离心率为A ．332B ．2C ．321D ．13二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．CB ︒60︒15A北9．已知复数i z +=1，则A ．2||=zB ．2=⋅z zC ．1)1(2024-=-z D ．若关于x 的方程022=+-ax x ),(R a C x ∈∈的一个根为z ，则2=a 10．已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，且α⊥m ，β//n ，则A ．若n m //，则βα⊥B ．若β//m ，则n m ⊥C ．若β⊥m ，则nm ⊥D ．若n m //，则β//m 11．已知函数)2000)(()(π,,ωA ωx Asin x f <<>>+=ϕϕ的部分图象如图所示，则A ．3π=ϕB ．函数)(x f 在2,12(ππ上单调递减C ．方程1)(=x f 的解集为},12{Z k πkπx|x ∈-=D ．6π-=θ是函数)(θ+=x f y 是奇函数的充分不必要条件12．已知平面向量a ，b ，c ，32||=a ，6||=b ，18=⋅b a ，且60,>=--<c b c a ，则A ．a 与b 的夹角为30B ．)()(c b c a -⋅-的最大值为5C ．||c 的最小值为2D ．若),(R y x b y a x c ∈+=，则y x +21的取值范围是]67,31[三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．高三数学试题第4页（共8页）13．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”．亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为．14．如图，M 是抛物线)0(22>=p px y 上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角︒=∠60xFM ，且8||=FM ，则=p ．15．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．右面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中21==AA AB ，411=B A ，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．16．若实数0x 满足)()(00x g x f --=，则称0x 为函数)(x f y =与)(x g y =的“关联数”．若,0()(>=a a x f x且)1≠a 与2)(x x g -=在实数集R 上有且只有3个“关联数”，则实数a 的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从B A ,两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到B A ,两小区的同日室温平均值如下图所示：FxO yM18．（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -中，311π=∠=∠CAA ABB ，21===AA AC AB ，F E ,分别为11,AA C B 中点，且AC F B ⊥1．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C ,B ,A 的对边分别为c ,b ,a ，ABC ∆的外接圆半径为3，且A sin sinBsinC C sin B sin 222=-+．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求ABC ∆的内切圆半径r 的取值范围．20．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）设21F ,F 分别为椭圆0)(1 2222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知21ΔF PF 的面积为2，3121=∠PF F cos ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，G ,N ,M 是椭圆上不重合的三点，原点O 是MNG Δ的重心．（ⅰ）当直线NG 垂直于x 轴时，求点M 到直线NG 的距离；（ⅱ）求点M 到直线NG 的距离的最大值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，OAB Rt ∆的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数xlnxx f =)(的图象上．（Ⅰ）当顶点B 在x 轴上方时，求OAB Rt Δ以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；（Ⅱ）已知函数xax ex e x g ax 1)(22-+-=，关于x 的方程)()(x g x f =有两个不等实根21,x x )(21x x <.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：ex x 22221>+.xOyMNG吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．12345678CDBDABCD二、多项选择题：本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13．10914．415．3228；π4016．12<<-a ee或eea 21<<（注：16题或写成1{2<<-a e |a e或}12ee a <<，或写成)(1,)1 ,(22eee e -）四、解答题17．【解析】（Ⅰ）A 小区当年随机抽取的20天数据中，供热等级达到“舒适”的有15天，所以可以估计A 小区一天中供热等级达到“舒适”的概率为432015=，··················································2分那么，在当年的供热期内，A 小区供热等级达到“舒适”的天数约为12943172=⨯天········································3分9101112BDACABDACD（Ⅱ）由题意，样本空间Ω中共有20个样本点，设21,x x 表示B A ,两小区室内温度，用),(21x x 表示可能的结果.)}20,24(),20,23(),20,21(),19,24(),19,22(),19,21{(=C ，6)(=C n ，所以，事件C 的概率103206)()()(===Ωn C n C P .··················································6分（Ⅲ）（选择A ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择A 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区室温大于B 小区室温的有14天，B 小区室温大于A 小区室温的有5天，由此可以估计，每天A 小区室温大于B 小区室温的概率为1071=P ，B 小区室温大于A 小区室温的概率为412=P ，2P 远远小于1P ；②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A 05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，B A T T >；③在随机抽取的20天中，B 小区供热等级达到“舒适”的天数为9天，远小于A 小区供热等级达到“舒适”的天数；④A 小区室温中位数为C Z A 5.22=，B 小区室温中位数为C Z B 20=，B A Z Z >10分（选择B ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择B 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区中存在供热不达标的情况，而B 小区供热等级全部达标.②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，在B A T T ,全部达标的情况下，A 小区室温方差大于B 小区室温方差，B 小区室温波动较小，说明B 小区供热更加稳定.（A 小区室温方差为84.7≈2A s ，B 小区室温方差为01.4≈2B s ，以上数值仅作参考，不要求计算方差具体值）.·····························10分赋分说明：①只做判断没能说明理由的不给分；②给出一个正确理由的给3分，给出两个及以上正确理由的给4分；③除以上理由外，其它符合统计概率知识的判断依据都可酌情给分.18．【解析】（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连接EG AG ,，E 为C B 1中点，1//BB GE ∴，121BB GE =，在三棱柱111C B A ABC -中，111,//AA BB AA =F 为1AA 中点，AF GE AF GE =∴,//，∴四边形AGEF 为平行四边形，GA EF //∴，又⊂GA 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC .··································5分（Ⅱ）解：在平行四边形11A ABB 中，3,11π=∠=ABB AA AB ,∴平行四边形11A ABB 为菱形，连接1AB ，则11ΔB AA 为正三角形，F 为1AA 中点，11AA F B ⊥∴，同理可证1AA CF ⊥，又AC F B ⊥1，A AA AC =1 ，⊥∴F B 1平面CC AA 11∴以F 为原点，FC FB FA ,,1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Fxyz ，)23,23,0(),3,0,0(),0,3,0(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,0(1E C B B A F ∴，)23,23,1(),3,0,1(),0,3,1(-=-==∴AE AC AB ，··································8分设),,(z y x n =是平面ABC 的法向量，F EA1A CB1B 1C xyz则ACnABn⊥⊥,，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅∴,03,03zxACnyxABn⎩⎨⎧=-=∴,3,3zxyx取1=z，则1,3-==yx，)1,1,3(-=∴n是平面ABC的一个法向量，565210123)1(2331||||,-=⨯⨯+-⨯+⨯-=>=<∴nAEnAEnAEcos，设直线AE与平面ABC所成角为θ，则56|,|=><=nAEcossinθ，即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为56.··················································12分19．【解析】（Ⅰ）AsinsinBsinCCsinBsin222=-+由正弦定理可得bcacbabccb=-+∴=-+222222由余弦定理得2122222==-+=bcbcbcacbcosA3),0(ππ=∴∈AA······················································································5分设ABCΔ外接圆半径为R，则3=R，由正弦定理得323322=⨯==RsinAa····················································································································6分注意：求角未写范围扣1分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3,3π==Aa由余弦定理Acosbccba2222-+=得32922πcosbccb-+=bccb3)(92-+=∴4)(39)(322cbcbbc+≤-+=36)(2≤+∴cb acb>+63≤+<∴cb.当且仅当3==cb时取等号 (8)分又由等面积法可知r c b a bcsinA )(2121++=cb a bc r ++=∴2339)(2-+=c b bc ，)3(63339)(232-+=++-+⨯=∴c b c b c b r ····························10分23)3(630,330≤-+<∴≤-+<c b c b r ∴的取值范围为230(，···············································································12分20．【解析】（Ⅰ）42=a ··········································································································1分93=a ··········································································································2分（Ⅱ）由22221ππn sinn cosa a n n +-=+，可得22221ππn sina n cos a n n +=++即）（）（）（*1,2222221N n n sin a n sin a n sin a n n n ∈+=+=+++πππ·····················4分又因为0221≠=+πsina 所以2{πn sin a n +是首项为2，公比为2的等比数列············································5分所以n n n sin a 22=+π，即*22N n n sin a n n ∈-=，π·········································6分（Ⅲ）)( 2)2(*N n n nsin a n n n ∈-=-，π·····································································7分①当)( 4*N k k n ∈=，时，[]0)1(0)3()0705()0301(+-++--+⋯++++-++++-=n n T n 22224n n=+⋯++=个令20242==mT m，得4048=m······································································8分②当)(,14*Nkkn∈-=时，[]nnT n++--+⋯+++-+++-+++-=0)2()1190()750(3121222243+=+⋯+++=-nn个令202421=+=mT m，得4047=m································································9分③当)(24*Nkkn∈-=，时，[]0)1()2()097()053(1+--+-+⋯++-+++-+++-=nnT n2221)2()2()2(142nnn-=---=-+⋯+-+-+-=-令20242=-=mT m，得4048-=m舍去··························································10分④当)(34*Nkkn∈-=，时，))2(0()970()530(1nnT n-+-++⋯+-+++-+++-=21211)2()2()2(141+-=---=-+⋯+-+-+-=-nnn个令202421=+-=mT m，得4049-=m舍去······················································11分综上：4048=m或4047··············································································12分21．【解析】（Ⅰ）由题可知222121Δ==⨯⨯=bcbcS FPF····························································1分3112222221=-∠=∠=∠OPF cos OPF cos PF F cos 362=∠∴OPF cos 在2OPF Rt ∆中，362==∠a b OPF cos ·····························································2分222c b a += ································································································3分解得1,2,3===c b a 即椭圆C 的标准方程为12322=+y x ···································································4分（Ⅱ）（ⅰ）当NG 垂直于x 轴时，点M 为椭圆C 的左顶点或右顶点，此时3==a OM ，O 是MNG ∆重心，设线段NG 的中点为D则2321==OM OD M ∴到直线NG 的距离是2333=OD ·······················6分（ii ）当NG 斜率存在时，设直线NG 方程为)0(≠+=t t kx y 设),(11y x N ，()22,y x G ，)(33y ,x M 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322y x t kx y 消去y 得：0636)3(2222=-+++t ktx x k 02)24(322>+-=∆t k ，则2223t k >+由韦达定理得221326k kt x x +-=+，22213263k t x x +-=··········································7分O 是MNG Δ重心，2213326)(k ktx x x +=+-=∴222212133242326]2)([)(k tt k t k t x x k y y y +-=-+=++-=+-=∴M在椭圆C上1)322(61)323(632222222=+++∴ktkt k即2222)326()32(24kkt+=+0322>+k22324kt+=∴222324tkt>+=，符合0>∆tkkktx2332623=+=∴，tkty132423-=+-=······················································8分设1,23(ttkM-到直线NG：0=+-tykx的距离为d2222222221433143313k12223k1123tttktttktttkd+=+=+=+++=+++=·················10分232422≥+=kt212≥∴t233223<≤∴d················································11分由（i）知，当NG垂直于x轴时，M到直线NG的距离为233.综上所述，M到直线NG的距离取值范围为233,223[.故M到直线NG的距离的最大值为233···························································12分22．【解析】（Ⅰ）设)0,(xA，则1),,(>xxlnxxB则xxlnxxlnxOAABV3)(3||||31222πππ=⋅⋅=⋅⋅=···············································2分令xxlnxh2)(=，1>x则2)2()(xlnxlnxxh-=',令0)(='x h ，2e x =；令0)(>'x h ，21e x <<；令0)(<'x h ，2ex >故)(x h 在),1(2e 单调递增，在)(2∞+，e 单调递减.故224)()(e e h x h max ==，故234)(3e x h V maxmax ππ==···········································4分（Ⅱ）(ⅰ)由)()(x g x f =得lnx ax ex eax =-+-122，即)(22ex ln ex ax e ax +=+令x e x x+=)(ϕ，则)]([)(2ex ln ax ϕϕ=，又11)(>+='xe x ϕ，故)(x ϕ在R 上单调递增，故)(2ex ln ax =在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，············································5分即21xlnx a +=在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，令21)(x lnx x F +=，312)(x lnx x F --='，令0)(='x F ，21-=e x ；令0)(>'x F ，210-<<ex ；令0)(<'x F ，21->ex 故)(x F 在),0(21-e单调递增，在),(21+∞-e 单调递减.故2)()(21e eF x F max ==-又0)1(=eF ，当+→0x 时，-∞→+1lnx ，02→x -∞→∴)(x F ；当+∞→x 时，+∞→+1lnx ，+∞→2x ，与对数函数相比，二次函数增长速度更快，→∴)x (F 故当且仅当20ea <<时，直线a y =与)(x F y =图象有两个不同公共点，故实数a 的取值范围是2,0(e .············································································8分（ⅱ）由(ⅰ)知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22212111lnx ax lnx ax ，两式作差得212221lnx lnx ax ax -=-，即alnx lnx x x 2122212221=--，··················································································9分令1)1(2)(+--=x x lnx x G ，1>x ，则0)1()1()1(41)(222>+-=+-='x x x x x x G 故)(x G 在),1(+∞单调递增，故0)1()(=>G x G ，即当1>x 时，1)1(2+->x x lnx ，又012>>x x ，故1)1(2212221222122+->x x x xx x ln 故2221222122212lnx lnx x x x x -->+···········································································11分故a x x 2122221>+，由(ⅰ)知20e a <<，故ex x 122221>+，即e x x 22221>+·········12分。
吉林省长春市2024高三冲刺(高考数学)部编版模拟(自测卷)完整试卷
吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）部编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种第(2)题已知函数和有相同的极大值，则（）A．2B．0C．-3D．-1第(3)题已知，则（）A．B．C．D．第(4)题在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为A．B．C．D．第(5)题已知点和在直线的两侧，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．第(6)题已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题下列命题错误的是（）A．若“”为真命题，则与均为真命题B．命题“为真”是“为真”的必要不充分条件C．若，，则，D．“”是“”的充分不必要条件第(8)题已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（）A．或B．或C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，，点是圆上的动点，则（）A．当的面积最大时，点的坐标为B．C．若点不在轴上，则平分D．当直线与圆相切时，第(2)题已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（）A．若PA与C相切，则PB也与C相切B．C．若点P在x轴上，则为定值D．若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为第(3)题已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（）A．B．的图象关于点对称C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布__________尺．第(2)题已知，，则的最小值为___________.第(3)题函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，三条直线，，与曲线分别交于不同于极点的三点，，.（1）求证：；（2）直线过，两点，求与的值.第(2)题“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；(2)记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.第(3)题在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差（单位：分）与历史偏差（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差20151332历史偏差（1）已知与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为，试预测数学成绩126分的同学的历史成绩．附：参考公式与参考数据，，，．第(4)题某超市计划销售某种产品，先试销该产品天，对这天日销售量进行统计，得到频率分布直方图如图．(1)若已知销售量低于50的天数为23，求；(2)厂家对该超市销售这种产品的日返利方案为：每天固定返利45元，另外每销售一件产品，返利3元；频率估计为概率．依此方案，估计日返利额的平均值．第(5)题如图，是抛物线：上横坐标大于零的一点，直线过点并与抛物线在点处的切线垂直，直线与抛物线相交于另一点.(1)当点的横坐标为2时，求直线的方程；(2)若，求过点的圆的方程.。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(评估卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为（）A．0.83B．0.78C．0.76D．0.63第(2)题已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（）A．为等差数列，为等比数列B．为等比数列，为等差数列C．为等差数列，为等比数列D．为等比数列，为等差数列第(3)题（）A．B．C．D．第(4)题已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（）A．2B．3C．D．第(5)题设，，，，则（）A．B．C．D．第(6)题1.命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（）A．若，则函数在其定义域内不是减函数B．若，则函数在其定义域内不是减函数C．若，则函数在其定义域内是减函数D．若，则函数在其定义域内是减函数.第(7)题已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．有下列结论：①四边形为平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若（为坐标原点），则四边形的面积为；④若，则椭圆的离心率可以是．其中错误结论的个数是（）A．1B．2C．3D．0第(8)题函数在区间上的零点设为…，，则（）A．6B．18C．12D．16二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知向量，，，则（）A．若，则B．在方向上的投影向量为C．存在，使得在方向上投影向量的模为1D．的取值范围为第(2)题新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则（）A．年我国新能源汽车年产量逐年增加B．年我国新能源汽车年产量的极差为万辆C．年我国汽车年总产量超过万辆D．年我国汽车年总产量不低于年我国汽车年总产量第(3)题用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）A．直角三角形B．直角梯形C．正五边形D．正六边形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，已知边长为1的正方形与正方形所在平面互相垂直，为的中点，为线段上的动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______.第(2)题将一个四棱锥和一个半圆柱进行拼接，所得几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．第(3)题已知向量，若，则___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知.(1)若，求在处的切线方程；(2)设，求的单调区间；(3)求证：当时，.第(2)题，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：合格不合格合计高三年级的学生54高一年级的学生16合计100(1)请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？(2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828第(3)题已知函数．（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．第(4)题温度作为环境因子，在种子的发芽过程中起着重要的作用．某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y与环境平均温度x（℃）之间的关系进行研究，他们经过5次独立实验，得到如下统计数据：第n次12345环境平均温度x/℃1819202122种子发芽率y62%69%71%72%76% (1)根据散点图可以发现，变量y与x之间呈线性相关关系．如果在第6次实验时将环境平均温度控制在，试根据回归方程估计这次实验该植物种子的发芽率；(2)若从这5次实验中任意抽取3次，设种子发芽率超过70%的次数为X，求X的分布列与数学期望．参考公式：线性回归方程中，，．第(5)题在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．(1)证明：；(2)求的取值范围．。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(综合卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知i 是虚数单位，若复数z 满足，则（ ）A．1B ．C ．2D ．第(2)题已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题在中，，.则（ ）A．B ．C ．D ．或第(4)题（ ）A．2B ．C ．5D ．第(5)题已知集合，，则（ ）A ．（1，4）B ．（1，2）C ．D ．第(6)题已知函数为偶函数，且当时，．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题关于函数，有下列四个命题．甲：；乙：；丙：在上单调递增；丁：对任意，总有．其中恰有一个是假命题，则该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第(8)题瑞士数学家贝努利提出了一个重要的不等式：设实数，则，该不等式被称为“贝努利不等式”．当比较接近于0时，，常被用于估值问题，则方程的根的近似值为（ ）（结果保留四位小数）A ．1.0003B ．1.0006C ．1.0008D ．1.0050二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示，已知三棱锥的外接球的半径为为球心，为的外心，为线段的中点，若，则（ ）A ．线段的长度为2B ．球心到平面的距离为2C ．球心到直线的距离为D ．直线与平面所成角的正弦值为第(2)题已知向量，，则（ ）A．B．C．与的夹角为D．在上的投影向量为第(3)题已知圆上的两个动点，始终满足，直线与轴交于点（，，三点不共线），则（）A．直线与圆恒有交点B．C．的面积的最大值为D．被圆截得的弦长最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则的值为______．第(2)题不等式组，表示的可行域的面积等于___________，的最大值是___________.第(3)题已知等比数列的公比为，前项和为，且满足.若对一切正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，．(1)求三棱锥的体积．(2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由.第(2)题已知矩形中，点是边上的点，与相交于点，且，，，现将沿折起，点的位置记为，此时.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.第(3)题如图甲，在矩形中，是的中点，，，以、为折痕将与折起，使，重合（仍记为），如图乙.（1）探索：折叠形成的几何体中直线的几何性质（写出一条即可，不含，，说明理由）；（2）求翻折后几何体外接球的体积第(4)题设函数，.（1）若函数图像的一条切线与直线平行，求该切线的方程；（2）若函数与的图像在轴右边有唯一公共点，证明：.第(5)题在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤．下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：合格不合格合计男性1050女性20合计70100(1)根据此表依据的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关?(2)游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为，男生合格的概率为，求这3人经过指导后成绩合格总人数的分布列和数学期望．参考公式：①相关性检验的临界值表：0.100.050.102.7063.841 6.635②，其中．。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(提分卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）A．或B ．C ．或D ．第(2)题不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．或D ．第(3)题已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30第(4)题已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）A ．366B ．367C ．368D ．369第(5)题设全集，集合，那么是（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题直线与圆相切，则A ．-2或12B ．2或-12C ．-2或-12D ．2或12第(7)题等比数列满足，则（ ）A ．30B ．62C ．126D ．254第(8)题设，．若p ：成等比数列；q ：，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，结论正确的有（ ）A ．是周期函数B ．的图象关于原点对称C．的值域为D ．在区间上单调递增第(2)题已知三棱锥，过顶点B 的平面分别交棱，于M ，N （均不与棱端点重合）．设，，，，其中和分别表示和的面积，和分别表示三棱锥和三棱锥的体积．下列关系式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题过点的直线l与相切，切点Q的纵坐标为p，过点S的直线m交抛物线于A，B两点，则（）A．B．直线l的斜率为1C．直线AQ与BQ的斜率之和为2D．A，B两点的纵坐标之积为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．第(2)题已知向量，则__________.第(3)题在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知中，角所对的边分别为，且.(1)求的值.(2)若的面积，且，求的外接圆半径.第(2)题如图，已知斜三棱柱中，底面是正三角形，，点O是点A1在下底面内的正投影.(1)求证：(2)若点O是的中心，求高度A1O；(3)在（2）的条件下求二面角的余弦值.第(3)题在中，，过点的直线与其外接圆交于点，交延长线于点.（1）求证：；（2）若，求的值．第(4)题已知函数，.(1)若的解集为，求直线与坐标轴围成的三角形面积；(2)若的值域为，且，求的取值范围.第(5)题2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在内，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．(1)已知该省对本省每家企业每年的环保奖励（单位：万元）与考核评分的关系式为（负值为企业上缴的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；(2)在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机2家企业座谈环保经验，求抽取的2家企业全部为考核评分在内的企业的概率．。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)人教版摸底(评估卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（）A．B．C．D．第(3)题设数列，则数列的最小项是（）A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项第(4)题在公比为的等比数列中，前项和，则（）A．1B．2C．3D．4第(5)题算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（）A．B．C．D．第(6)题已知复数满足，则（）A．B．C．1D．第(7)题已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（）A．B．C．D．第(8)题函数的图象大致为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某地区为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取了该地区四类垃圾箱中总计生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）．根据样本估计本地区生活垃圾投放情况，下列说法中正确的是（）项目“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾3008020100可回收物302004030有害垃圾20205010其他垃圾20101060A．该地区居民可回收垃圾约占生活垃圾的B．该地区居民生活垃圾投放错误的概率约为0.39C．该地区四类垃圾箱中投放正确的概率最低的是“有害垃圾”箱D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为106800第(2)题已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（）A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值B．当时，C．有且仅有4个点，使得为直角三角形D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为第(3)题1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A．若，则满足戴德金分割B．若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素C．若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素D．若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题将参加冬季越野跑的名选手编号为：，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，把编号分为组后，第一组的到这个编号中随机抽得的号码为，这名选手穿着三种颜色的衣服，从到穿红色衣服，从到穿白色衣服，从到穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为__________．第(2)题已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是____.第(3)题已知向量，满足，则m的值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C的方程．第(2)题已知函数(m R)的导函数为．（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．第(3)题如图，在四面体中，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，且．(1)求AD与BC所成角的余弦值(2)求二面角的余弦值．第(4)题已知数列满足，.数列满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．第(5)题“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)人教版摸底(提分卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，点在内，且与的夹角为，设，则的值为A．2B．C．3D．4第(3)题设集合，或，则（）A．B．或C．或D．或第(4)题等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（）A．20B．22C．24D．8第(5)题已知直线与曲线相切，则的最大值为A．B．C．D．第(6)题已知变量满足约束条件则的取值范围是A．B．C．D．第(7)题已知，，若，则的最大值为（）A．B．C．D．第(8)题已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知一圆锥的高，底面圆的半径为4，为母线的中点，过点截圆锥，如图所示，若四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，则下列四个命题中错误的是（）①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角的正切值为；④抛物线中焦点到准线的距离为．A．①B．②C．③D．④第(2)题将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论中正确的有（）A ．函数的最大值为2B．函数的图象关于点对称C ．函数是偶函数D．直线是函数图象的一条对称轴第(3)题在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为，中间四天走的路程之积为，则下列说法正确的是（）A．此人第一天走了全程的一半B．此人第五天和第六天共走了18里路C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某圆锥的母线长为2，底面半径为1，则其表面积为___________.第(2)题我校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是_____.第(3)题若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线上的点(非原点)处切线与、轴分别交于、点，为抛物线的焦点．(1)若，求的取值范围；(2)若抛物线上的点满足，求面积的最小值，并写出此时过点的切线方程．第(2)题某超市推出了一项优惠活动，规则如下：规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为．记中奖2次的概率为，求取得最大值时，的值．(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．第(3)题直线经过矩阵变换后还是直线，求矩阵的特征值．第(4)题已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.第(5)题为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）分数[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]甲班频数1145432乙班频数0112664（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95％以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：，其中．临界值表P（）0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)人教版摸底(综合卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，则（）A．B．C．D．0第(2)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知点．若曲线上存在，两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中型曲线的个数是A．B．C．D．第(4)题记为等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（）A．1B．2C．3D．4第(5)题若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．3C．D．5第(7)题已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，．若有5个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知命题，总有，则为（）A．，使得B．，使得C．，总有D．，总有二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C ．当时，有且仅有一个点，使得D ．当时，有且仅有一个点，使得平面第(2)题如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积随着点的运动而变化B．异面直线与所成角的取值范围是C．直线平面D．三棱锥的外接球表面积的最小值为第(3)题设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法正确的有（）A．直线l恒过定点B．弦AB长的最小值为4C．当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：D．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题双曲线的渐近线方程为，则________．第(2)题已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.第(3)题函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题选修4-5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.第(2)题设函数，．(1)若函数在点处的切线方程为，求a，b；(2)若方程有两个不同的实数根，求b的取值范围．第(3)题如图，正方形对角线的交点为，四边形为矩形，平面平面为的中点，为的中点．(1)证明：平面．(2)若，求二面角的余弦值．第(4)题已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，(1)求的方程；(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．第(5)题如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；(3)若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.。
吉林省长春市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(评估卷)完整试卷
吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在数列及中，，设，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题若（为虚数单位），则的值可能是A ．B ．C ．D ．第(3)题函数的最小正周期和最大值分别为A．B ．C ．D ．第(4)题若非零向量满足（为单位向量），且，则的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8第(5)题若，则（ ）A．B ．C ．D ．第(6)题抛物线C ：的焦点为F ，过F 且斜率为的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则面积的最大值为A ．B ．C ．D ．第(7)题已知复数满足，则（ ）A．2B ．3C ．D ．第(8)题设集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知一组数据构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据，则（ ）A ．平均数不变B ．中位数不变C ．方差变小D ．方差变大第(2)题在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（ ）A．若，则B．外接圆的半径为C．取得最小值时，D ．时，取得最大值为第(3)题把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ）B．的图象关于直线对称A．C．的最大值为D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事．赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动．现将4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为____．第(2)题若过点有条直线与函数的图象相切，则当取最大值时，的取值范围为__________.第(3)题已知圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，且圆截轴所得的弦长为，则圆的方程为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列，若，且.(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；(2)若，且数列的前项和为，求证：.第(2)题已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．第(3)题已知中，内角的对边分别为，，，.(1)求A；(2)若且的内切圆的半径，求的面积.第(4)题记.(1)当时，为数列的前项和，求的通项公式；(2)记是的导函数，求.第(5)题如图四棱锥中，四边形为等腰梯形，，平面平面，，，，．(1)证明：平面；(2)若在线段上，且，求三棱锥的体积．。
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吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（）A ．函数在上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值第(2)题已知函数方程有两个不同的根，分别是则（）A．B．3C．6D．9第(3)题函数的值域是（）A．B．C．D．第(4)题在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．第(6)题复数等于（）A．１+ｉB．１－ｉC．－１+ｉD．－１－ｉ第(7)题已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（）A．4B．2C．D．或4第(8)题设集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A ．是的一个周期B．的图象关于中心对称C．在上恒成立D．在上的所有零点之和为第(2)题如图过抛物线：的焦点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，，、分别是弦和弦的中点，则下列说法中正确的是（）A．若点，则周长的最小值为B．的最小值为C．最小时，D．和面积之和的最小值为8第(3)题已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A．，B．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象C．点为图象的一个对称中心D．函数在上的值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则___________.第(2)题在的展开式中，常数项为______（请用数字作答）．第(3)题在中，，，，则的值为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的焦距为2离心率.(1)求椭圆的方程.(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.第(2)题已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.(1)求椭圆的方程；(2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；(3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）第(3)题等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 15=17，S 10=55．数列{b n }满足a n =l o g 2b n ．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）若数列{a n +b n }的前n 项和T n 满足T n =S 32+18，求n的值．第(4)题设m ∈R ，关于x的不等式的解集为.（1）求m 的取值范围；（2）求关于x的不等式的解集.第(5)题App 是英文Application 的简称，现多指智能手机的第三方应用程序．随着智能手机的普及，人们在沟通、社交、娱乐等活动中越来越依赖于手机App 软件．某公司为了了解其研发的App 在某市的普及情况，进行了问卷调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用总计男性70100女性90100总计(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为该市市民经常使用该款App 与性别有关；(2)将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用该款App 的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差（该市参与调查的市民男女比例为1：1）．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828(3)阅读下列材料，回答问题：以（2）中所求的概率为基准，如果从该市所有参与调查的市民中随机抽取100人赠送礼品，每次抽取的结果相互独立，记经常使用该款App 的人数为，计算．材料：二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布，并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X 服从二项分布，当且时，二项分布就可以用正态分布近似替代，即，其中随机变量．参考数据：，，，．。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)人教版摸底(预测卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题设，则“”是“，”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要第(3)题定义在上的函数满足，则等于（）A．B．C．50D．100第(4)题在三棱锥中，，，且，则当的面积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，的定义域均为，且，，，若，且，则（）A．305B．302C．300D．400第(7)题已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：①直线平面；②直线平面；③直线平面；④直线平面CDE.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4第(8)题已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题计算下列各式的值，其结果为2的有（）A．B．C．D．第(2)题某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有A和B两种结果．第一轮是对所有生产产品进行检测，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品需进行第二轮检测．在第二轮检测中，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品定等级为甲．在每轮检测中，甲等品检测结果为A的概率是0.95，乙等品检测结果为A的概率是0.05．已知该厂生产的产品中甲等品的占比为，则（）A．已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是0.0025B．已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0025C．从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为0.8125D．已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于0.001第(3)题已知，，且，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题是虚数单位，复数___________.第(2)题已知动圆经过点及原点,点是圆与圆的一个公共点,则当最小时,圆的半径为___________.第(3)题某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（ii）若开启2号或4号，则关闭1号；（iii）禁止同时关闭5号和1号.现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，，．(1)求；(2)设为边的中点，若，求的面积．第(2)题已知.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当且时，证明：曲线在轴的上方.第(3)题记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和．第(4)题设为椭圆E：上的三点，且点关于原点对称，.(1)求椭圆E的方程；(2)若点B关于原点的对称点为D，且，证明：四边形ABCD的面积为定值.第(5)题2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表：喜欢足球不喜欢足球合计男生50女生25合计(1)根据所给数据完成上表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关．(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：，．0.0500.0100.001 3.841 6.63510.828。
吉林省长春市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(综合卷)完整试卷
吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题平面向量，则与的夹角是（）A．B．C．D．第(2)题某惠民医院开展“关爱健康，守护生命，服务老人”的义诊活动，需要临时从某科室中抽调3名医护人员，已知该科室现共有3名医生和4名护士.为了保障医院工作正常运作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有（）A．72种B．36种C．30种D．18种第(3)题正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（）A．B．C．D．第(4)题若为全体正实数的集合，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(5)题若函数，当时函数值，则的取值范围是（）A．；B．；C．；D．．第(6)题变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则A．B．C．D．第(7)题若，是第二象限的角，则的值等于（）A．B．C．D．第(8)题如图，在四面体中，为的重心，若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．离心率的取值范围为B．当离心率为时，的最大值为C．存在点使得D．的最小值为1第(2)题已知圆，点P是直线l:x + y = 0上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（）A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为B．切线长PA的最小值为1C．四边形AMBP面积的最小值为1D．直线AB恒过定点第(3)题如图，圆心在坐标原点、半径为的半圆上有一动点，、是半圆与轴的两个交点，过作直线垂直于直线，为垂足．设，则下列结论正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.第(2)题参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则这15人成绩的第80百分位数是__________．第(3)题已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．第(2)题已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且．(1)求抛物线E的标准方程；(2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值．第(3)题为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.(1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.第(4)题一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；(2)停止取球时，记总的抽取次数为，求的分布列与数学期望：(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求Y的数学期望，并从实际意义解释X与Y的数学期望的大小关系．第(5)题在等差数列中，，且等差数列的公差为4.(1)求；(2)若，数列的前项和为，证明：.。
吉林省长春市2024高三冲刺(高考数学)人教版摸底(评估卷)完整试卷
吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知递增正整数数列满足（），则（）A．B．，，可能成等比数列C．D．，，可能成等比数列第(2)题若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（）A．B．C．D．第(3)题良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2019年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：（表示碳14的初始量）．2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是（参考数据：，）A．3450年B．4010年C．4580年D．5160年第(4)题已知，则（）A．0B．C．D．第(5)题已知函数，其中，若函数满足以下条件：①函数在区间上是单调函数；②对任意恒成立；③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题设x、，则“”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题点到双曲线的一条渐近线的距离为（）.A．B．C．D．第(8)题《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（）A ．米B．米C．米D．米二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某网友随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：1.7，2.3，1.9，2.1，2.2，2.1，1.9，1.7，2.2，1.9．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法正确的是（）附：若随机变量服从正态分布，则，，A．这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0B．这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04C．这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8D．用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135第(2)题已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．不等式无解D．的最大值为第(3)题已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（）A．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2B．当时，面积为C．当时，点M的坐标为D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题实数满足，则不等式组所表示的平面区域的面积为_________．第(2)题如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60° ，∠BCD=90° ，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为__________．第(3)题已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数f(x)＝2e x(x＋1)－x sin x－kx－2，k∈R．(1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；(2)讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．第(2)题等比数列的前n项和为，，且成等差数列．(1)求；(2)若，求数列前n项和．第(3)题已知数列的首项，通项，且成等差数列，求：（Ⅰ）p,q的值；(Ⅱ) 数列前n项和的公式.第(4)题椭圆的右顶点，过椭圆右焦点的直线l与C交于点M，N，当l垂直于x轴时．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与y轴交于P点，直线与y轴交于Q点，点，求证：．第(5)题在中，边所对的角分别为，，．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．。
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吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题的虚部为（ ）A ．B ．C ．0D ．第(2)题设，若存在正实数x ，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）A．B ．C ．D ．第(3)题已知向量，且与的夹角为，，向量与的夹角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种第(5)题若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是（ ）A ．B ．(x -2)2+(y -1)2=1C ．(x -1)2+(y -3)2=1D ．第(6)题抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C ：，一条平行于x 轴的光线，经过点，射向抛物线C 的B 处，经过抛物线C 的反射，经过抛物线C 的焦点F ，若，则抛物线C 的准线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题某单位有职工450人，其中男职工150人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本，得出体重情况：男性平均体重为63千克；女性平均体重为54千克.则下列说法不正确的是（ ）A ．抽查的样本中女职工人数为60B ．该单位男职工的体重普遍比女职工较重C ．估计该单位职工平均体重为58.5D．每一位男或女职工被抽中的可能性均为第(8)题“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，曲线的方程为，则下列结论成立的是（ ）A ．曲线关于直线对称B ．曲线关于原点中心对称C ．曲线是正方形D ．曲线关于直线对称第(2)题已知复数满足(为虚数单位)，则（ ）A．复数的实部为B．复数的虚部为C．复数的模为D．在复平面内对应的点位于第二象限第(3)题设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D.H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题153与119的最大公约数为__________．第(2)题某校学生参加社会劳动实践活动，把一个半径为的球形钢材切削成一个圆锥，当圆锥的体积最大时，高为，则__________．第(3)题抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，角所对的边分别为，且满足为中点.(1)若，求长；(2)若周长为6，求面积的最大值.第(2)题设的内角，，所对边的长分别为，，，且(1)求角的大小；(2)若，，为的中点，求的长.第(3)题已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设为整数，且对于任意正整数.若恒成立，求的最小值.第(4)题在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：①；②；③.(1)求角A的大小；(2)若，求的值.第(5)题在三棱柱中，平面是的中点．(1)证明：直线平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．。
吉林省吉林市2024高三冲刺(高考数学)部编版摸底(培优卷)完整试卷
吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（）A．B．C．D．第(2)题已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（）A．B．C．是递减数列D．存在最小值第(3)题的展开式中的系数为（）A．B．C．D．第(4)题以下说法不正确的是（）A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性C．的展开式中常数项为15D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立第(5)题若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题函数的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3第(7)题“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为（）A．B．C．D．第(8)题已知等差数列的前项和为，，则（）A．66B．72C．132D．144二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（）A．a，b满足B．的最大值为C．存在点P，使得D．第(2)题已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是第(3)题关于函数，下列结论正确的是（）A．函数的最大值是B ．函数在上单调递增C ．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到D ．若方程在区间有两个实根，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________．第(2)题在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=______.第(3)题在（﹣1）4的展开式中，x的系数为_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).(1)求E的渐近线方程；(2)若实数满足，求的取值范围．第(2)题将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.已知是数列前n项和，___________.(1)求的通项公式；(2)证明：对一切，能被3整除.第(3)题某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有名学生，男女生人数之比为，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为．（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下列联表：否定肯定总计男生10女生30总计①完成列联表；②能否有的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有名男生被抽到，其中人持否定态度，人持肯定态度；二班有名女生被抽到，其中人持否定态度，人持肯定态度．现从这人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：0.100.050.0250.0100.0052.7063.841 5.024 6.6357.879第(4)题已知为数列的前项和，满足，．再从条件①②③中选择一个作为已知条件，完成下列问题：（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．条件①；②（为常数）；③．注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分．第(5)题圆柱中，四边形为过轴的截面，，，为底面圆的内接正三角形，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.。
吉林省长春市2024高三冲刺(高考数学)部编版摸底(评估卷)完整试卷
吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知数列的前项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．第(3)题已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（）A．B．C．2D．4第(4)题定义在上的函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知抛物线的交点为，直线与相交于两点，与双曲线的渐近线相交于两点，若线段与的中点相同，则双曲线离心率为A．B．C．D．第(6)题函数的图象大致是（）A．B．C．D．第(7)题已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A．B．e C．D．第(8)题若为偶函数，则（）．A．B．0C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的周期为1B．函数的图象关于直线对称C．函数在上有3个零点D．函数在[0，2]上的最大值为1第(2)题甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）A．B ．C．D ．的最大值为第(3)题若展开式中常数项为28，则实数m 的值可能为（ ）A ．B ．1C ．2D ．3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在△中，角所对的边分别为，已知，则________．第(2)题在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若·20，则点P 的横坐标的取值范围是_________第(3)题已知向量，若，则_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．第(2)题如图在三棱柱中，为的中点，，.(1)证明：；(2)若，且满足：______，______（待选条件）.从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值.①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；③二面角的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.第(3)题已知抛物线与圆一个交点的横坐标，动直线与相切于点，与交于不同的两点，，为坐标原点.（1）求的方程；（2）若，求的值.第(4)题设函数，．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）已知函数图象上任意两个点，，（），设直线的斜率为（其中为函数的导函数），证明：．第(5)题已知椭圆：的离心率为，过的下顶点作直线交圆于､两点，直线交于另一点.（1）求的方程；（2）求面积的最大值.。
吉林省长春市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(押题卷)完整试卷
吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型模拟，其中，，均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A．时，y是偶函数B．模型函数的图象是中心对称图形C．若，均是正数，则y有最大值D．苹果树负载量的最小值是第(3)题已知平行四边形中，为中点.为线段上靠近点的四等分点，设，，则（）A．B．C．D．第(4)题五经为历代儒客学子核心研习书经，一般指儒家典籍《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，也是中国保存至今的最古老的文献．某文学社团将社团成员分成两组摘抄五经，每组分配两本或三本经文摘抄，每本经文只摘抄一次，则《诗经》与《春秋》恰好分配到同一组的概率为（）A．B．C．D．第(5)题的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20第(6)题已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(7)题已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（）A．B．C．D．第(8)题埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，，则下列说法正确的是（）A．若，两圆的公切线过点B．若，两圆的相交弦长为C．若两圆的一个交点为，分别过点的两圆的切线相互垂直，则D．若时，两圆的位置关系为内含第(2)题下列命题中正确的是（）A ．已知随机变量，则B．已知随机变量，且，则C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8D．抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80第(3)题已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（）A．的最小值为2B．当直线的斜率为时，C．设直线，的斜率分别为，，则D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.第(2)题已知的展开式中项的系数为，则a＝________.第(3)题已知，，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题，，已知的图象在处的切线与x轴平行或重合．(1)求的值；(2)若对，恒成立，求a的取值范围；(3)利用如表数据证明：．1.0100.9902.1820.458 2.2040.454第(2)题“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复．(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．第(3)题已知椭圆的离心率是，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.(1)求证：；(2)若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.第(4)题阅读以下材料：①设为函数的导函数.若在区间D单调递增；则称为区上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.②平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.(1)已知函数.（i）当时，讨论的凹凸性；（ii）当时，点在轴右侧且为的“3切点”，求点的集合；(2)已知函数，点在轴左侧且为的“3切点”，写出点的集合（不需要写出求解过程）.第(5)题在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求面积的最大值.。
吉林省长春市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(提分卷)完整试卷
吉林省长春市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为A．—2B．4C．6D．8第(2)题设x，y为正数，则的最小值为（）A．6B．9C．12D．15第(3)题若与满足，，则等于（）A．B．C．D．第(4)题复数的实部是（）A．1B．－1C．0D．第(5)题复数（）A．B．C．D．第(6)题将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8第(7)题有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（）A．72种B．144种C．288种D．576种第(8)题设．则a，b，c大小关系是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某杂交水稻种植研究所调查某地所种植的超级杂交水稻的株高（单位:）的情况，得出，且大于120的概率为0.1.现从中随机选取20棵超级杂交水稻，记其中株高在区间[80，100]的水稻棵数为随机变量，则（）A．B．C．D．第(2)题在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（）A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为C．为定值D．存在点，使得第(3)题如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且4，点为的中点，点满足，平面交于点，则下列说法正确的是（）A ．的最小值为B ．三棱锥的体积不变C ．若，则D．若，则四边形的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在二项式的展开式中，的系数为______________.第(2)题已知双曲线C ：的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为__________．第(3)题在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，，E 为CD 的中点，且△VBC 为等边三角形．(1)若VB ⊥AE ，求证：AE ⊥VE ；(2)若二面角A －BC －V 的大小为，求直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值．第(2)题已知常数，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：，（）．(1)若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；(2)若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．第(3)题已知函数（，为自然对数的底数）．（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当有两个零点，，且，求证：．第(4)题在中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c，且（1）求的值；（2）若，，求B 和c .第(5)题已知等差数列为递增数列，且满足,．（1）求数列的通项公式；（2）令，为数列的前n项和，求．。
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吉林省高三数学高考模拟试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共60分)
1. （5分） (2018高二下·哈尔滨月考) 命题“ ”的否定是（）
A . ∃x0∈∁RQ，x03∈Q
B .
C .
D .
2. （5分）已知全集，集合，那么集合是（）
A .
B .
C .
D .
3. （5分）(2019·淮南模拟)
A .
B .
C .
D .
4. （5分）数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=250,，则a2a4a6……a20的值为（）
A .
B .
C .
D .
5. （5分） (2017高二下·新余期末) 椭圆上一点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|的值为（）
A . 4
B . 8
C . 3
D . 2
6. （5分） (2019高二上·营口月考) 直线和，若，则
与之间的距离（）
A .
B .
C .
D .
7. （5分） (2019高二下·九江期末) 2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.一名同学随机选择3门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（）
A .
B .
C .
D .
8. （5分）一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（）
A .
B .
C .
D .
9. （5分）三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为，则该三棱锥的高的最大值为（）
A . 7
B . 7.5
C . 8
D . 9
10. （5分） (2020高二下·应城期中) 函数在区间上是单调函数，且的图像关于点对称，则（）
A . 或
B . 或
C . 或
D . 或
11. （5分） (2018高一上·新余月考) 已知等边的边长为2，则（）
A .
B .
C .
D .
12. （5分）(2019·新乡模拟) 若曲线在点处的切线的斜率为，则（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共20分)
13. （5分） (2020高二下·嘉兴月考) 函数在点处的切线方程为，则 a= ________， b= ________.
14. （5分） (2016高一下·榆社期中) α、β均为锐角，sinα= ，cosβ= ，则sin（α+β）=________．
15. （5分） (2019高二上·河南期中) 已知实数，满足条件，若的最小值为，则实数 ________．
16. （5分）(2020·济南模拟) 已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．
三、解答题 (共5题；共60分)
17. （12分） (2019高三上·广东月考) 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
（1）求角C；
（2）若，求当的面积最大时a，b的长，并求出最大面积.
18. （12分）(2017·泰安模拟) 如图所示，直角梯形ABCD两条对角线AC，BD的交点为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，M为线段AB上一点，AM=2MB，且AB⊥BC，AB∥CD，AB=BE=6，CD=BC=3．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O﹣EF﹣C的余弦值．
19. （12分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
价格x（元/kg）1015202530
日需求量y（kg）1110865
（1）求y关x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
参考公式：线性回归方程y=bx+a，其中b= ，a= ﹣b ．
20. （12分）(2019·河南模拟) 已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且 .
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于不同两点，，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
21. （12分） (2020高三上·福州期中) 已知函数的极值为 .
（1）求的值并求函数在处的切线方程；
（2）已知函数，存在，使得成立，求得最大值.
四、选做题 (共2题；共20分)
22. （10分） (2020高二上·辽源期末) 已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，求线段的长．
23. （10分）(2017·沈阳模拟) 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．
（1）求a+b+c的值；
（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．
参考答案一、单选题 (共12题；共60分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共20分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、
考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共5题；共60分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
考点：解析：
答案：19-1、答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、
考点：
解析：
四、选做题 (共2题；共20分)
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：
答案：23-1、答案：23-2、
考点：
解析：。