排队论的简单应用

基于排队论的简单实际应用摘要：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。

本文根据排队论进行了一个简单的实际应用讨论。

根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律，用)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统中顾客数为n ）的概率。

通过输入过程，排队规则，和服务机构的具体情况建立关于)(t Pn 的微分差分方程求解。

令0)('=t P n 把微分方程变成差分方程，而不再含微分了，因此这样意味着把)(t Pn 当作与t 无关的稳态解。

关于标准的M/M/s 模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。

另外规定各服务器工作是相互独立（不搞协作）且平均服务率相同.==...==s 21μμμμ于是整个服务机构的平均服务率为μs ；令,s =μλρ只有当1<s μλ时才不会排成无限的队列，成这个系统为服务强度，各顾客服务时间服从相同的负指数分布.关键词：泊松分布，指数分布，概率，期望，Little 公式一、基于排队论的简单介绍M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，//1前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。

蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

排队论研究的基本问题（1）排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。

（2）系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。

（3）最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。

二、排队论在实际问题中的应用问题的陈述：办公室有三条电话线可以打进，也就是说在任意时刻最多能打进接待三通话者来访，打进的电话是随机的，其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布，每次电话的持续时间是均值为6分钟的随机变量，经理关心由于占线而可能打不进来的人数。

他们当中有人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的电话平均数是70。

1、问题的提出：请仿真这个办公室的电话系统并给出如下估计：（1）无电话占线，有一条、两条占线和三条占线的时间百分比；（2）没有打进电话的人所占的百分比。

（3）若办公室再新装一部电话，你怎样修改模型？改进这一模型还需要其他什么信息？2、问题的分析：这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K，顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson流），服务台的个数为s，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布，系统的空间为K 。

3、背景的分析：在办公室三部电话系统的前提下，研究其工作情况，无电话占线、有一个、有两个、三个都占线所占的时间百分比，为保证顾客源不致过多的流失，能够接通更多的电话，比较研究是否应该新增加一台电话。

4、建立的模型：①假设：顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务时间服从参数μ的负指数分布，)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统中顾客数为n ）的概率，平稳状态队长N 即系统中的顾客数其期望值S L ，平稳状态排队长P N ,指系统中排队等待服务的顾客数其期望值为q L ，逗留时间T 指平稳状态顾客在系统中的停留时间，记它的期望值为S W ，等待时间p T 指平稳状态顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作q W ，n λ表示当系统处于n 时新来顾客的平均到达率，n μ表示当系统处于n 时，整个系统的平均服务率，s 是系统中并行服务的台数，μλρ/=s 为系统的服务强度。

Little 公式为：,λLW =μλ1-==W L W qq ，顾客拨打这三部电话是等可能性的。

②模型形式：为求平稳分布，考虑系统处的任一状态n 。

假设记录了一段时间内系统进入状态n 和离开状态n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等要么相差1。

但就这两件事件平均发生率来说，可以认为是相等的。

即当系统运行相当时间而达到平衡状态后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理。

根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下： 0 0011p p λ=μ 1 1112200p )(p p μ+λ=μ+λ 2 2223311p )(p p μ+λ=μ+λ n-1 1n 1n 1n n n 2n 2n p )(p p -----μ+λ=μ+λ n n n n 1n 1n 1n 1n p )(p p μ+λ=μ+λ++--由上述平衡方程，可求得 0： 011p p μλ=1： 01201121001121212p p )p p (1p p μμλλ=μλ=λ-μμ+μλ=2： 0123012232112232323p p )p p (1p p μμμλλλ=μλ=λ-μμ+μλ=n ： 01101111111)(1p p p p p p n n n n n n n n n n n n n n n n μμμλλλμλλμμμλ +-+--+++==-+=记11021μμμλλλ ---=n n n n n C n=1，2，…则平稳状态的分布为：0p C p n n = n=1，2，…由概率分布的要求10=∑∞=n np有1101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=p C n n 于是∑∞=+1011n NC p上式只有当分母级数收敛时才有意义，即当〈∞∑∞=1n n C 时，才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。

由上面推导知本电话系统模型中有：=n λ⎩⎨⎧≥-=K n K n 01,2,1 λ⎩⎨⎧≤≤μ≤≤μ=μKn s s s n 0n n于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤ρ<≤ρ=-Kn s p s!s s n 0p !n p 0s n 0n n其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=ρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ρ+ρ=-≠ρ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ-+-ρ-ρ+ρ=-=--∑∑1)1s K (!s !n 0n 1s 1)1(!s )s 1s K 1(!n 0n 1s p s 1s n s 1s sn由平稳分布n ρ，n=0,1,2,…，K,可得平均排队长为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ρ+--ρ≠ρ-ρ+-ρ--+-ρ-ρ-ρρ=-=∑=1!s 2)1s K )(s K (p 1]s s K )1s K )(1(s 1s K 1[)1(!s p p )s n (L s s0s s2s ss 0n K s n q为求平均队长，由∑∑∑===-=-=Ksn nK sn n Ks n nP p s np p s n L )(⎪⎭⎫⎝⎛---=∑∑∑-=-==101001s n n s n n K n n p s np np s p )s n (L 1s 0n n ---=∑-=得到∑-=ρ-++=1s 0n n 0P !n )s n (p s L L由系统的空间的有限性，必须考虑顾客的有效到达率e λ。

对多服务台系统有e λ=)p 1(K -λ再利用Little 公式为：,LW eλ=μλ1-==W L W e q q 平均被占用的服务台数（也就是正在接受服务的顾客的平均数）为：因此，又有)p 1(L s L L K q q -ρ+=+=③模型求解：题中该办公室系统可看成M/M/3/3排队模型，其中 平均到达率：λ= ==⨯-48760)917(700.146人/分钟；平均服务率：μ=167.061=人/分钟 服务强度：=ρμλ=167.1146.1=0.982 于是可得空闲(无电话占线)的概率1320!3!21p -⎥⎦⎤⎢⎣⎡ρ+ρ+ρ+==0.381=38.1% 有一条占线的概率 01p p ρ==0.982⨯0.381=0.375=37.5%有两条占线的概率 !2)982.0(p !2p 2022=ρ=0p =0.184=18.4% )p 1(p s !s 1s !s s !s s !n p s !s s )!1n (p s !s s !n n p p s np s K 0s K K1s 0n K s n s K K s n n n 01s 1n Ks n 1s n 1n 1n 01s 0n Ks n s n n n 0Ksn n1s 0n n -ρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ-ρ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ρ-ρ+ρρ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ρ+-ρρ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ρ+ρ=+=--==---==-----==-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑有三条占线率的概率 =⨯=ρ=381.0!3)982.0(p !3p 30330.158=0.06=6.0%系统的顾客损失率为3p =0.06，即有6%的呼叫不能接通，即没有打进电话的人占6%。

系统的相对通过能力Q=1-3p =0.94，即有94%的呼叫可以接通。

系统的绝对通过能力A=λQ=0.146⨯0.94=0.137，即每分钟可接通0.137次（每小时8.23次）呼叫。

被占用的中继线的平均数为：Q p s ρρ=-=)1(3=0.982×0.94=0.923（条）通道利用率：s s =η=3923.0=0.308=30.8%4、结果分析：工作时间内，接通电话的总时间（三部电话）为：6×70=420（分钟），由于三部电话相互独立，打进的电话是随机的，其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布则知三部电话的空闲率直观上看其和为：p=)8607061(⨯⨯-×3=3/8=0.375与模拟的结果0.381相差不大。

5、讨论模型的优缺点：优点在于能巧妙的利用排队论的理论及概率学里边的函数分布规律（泊松分布、指数分布等）将一个看似离散随机的电话系统赋予数学的推导，得出一套基本可行方案，对实际问题的研究和解决提供参考依据。

缺点在于实际问题中顾客往往会选择拨打三部电话当中的第一部，当第一部占线时才会去拨第二部或第三部，这样第一部电话的忙时的概率相对另外两部来说要高很多，还有顾客打来电话很有可能在一段时间内会很多，这样的时间也许会延续很长因而模型估计的三条都占线的概率可能偏小导致与实际情况相差很大，即在忙的时间内可能还有很多的顾客打来电话。

这些电话因占线接不到而流失，模型的相对理想化忽略了这些情况。