矢量代数

l l0 l
：标量场在P点沿 l 方向的方向微商
n ：P点处等值面的法线
n 很小： 和 等值面平行
P
n
等值面 l
P点处沿n 方向的方向微商最大
Q Q
lim n n0 n
标量场的梯度：沿方向微商最大的方向（即等势面法线方
向），数值等于最大的方向微商
直角坐标： grad
i
j
k
x y z
标量场的梯度为矢量，例：电场中电势U为标量场
电场强度：
E gradU
直角坐标式：
U
U
i
U
j
U
k
x y z
三、矢量场的通量和散度 高斯定理
A
（1）散度定义
r
通量： A A dS A dS cos
(S)
(S)
A A dS （闭合曲面r外法线方向）
(S)
(2)散度
A dS
C
② 和 位置对调
B
A (B C) B (C A) C (AB)
(A B)C (B C) A (C A) B
(B A) C (C B) A (A C) B
A (C B) B (A C) C (B A)
2、三重矢积 A(BC)
A (B C) 1B 2C ( AC)B ( A B)C
A B ABcos AxBx AyBy Az Bz
性质： 1) 2) 3)
4)
A B B A
A(B C) AB AC
AB 0 A B
A A A2
3、矢量的矢积 S AB
大小：S ABsin（以两个矢量为边组成的平行四边形的面积）
方向： S A ，S B （满足右手螺旋定则）
BC
A
B
C
A(BC)
§2 矢量分析提要
一、标量场和矢量场
标量场：在空间各点存在着一个标量Φ，它的数值是空间位置
的函数
(x, y, z)
气压场 温度场
等值面：(x, y, z) 常量
例：电场中的等势面
矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的大小和方向是空间位
置的函数
A A(x, y, z)
Ax Ay
Ax (x, Ay (x,
y, z) y, z)
Az Az (x, y, z)
流速场
电场
场线：有方向的曲线，切线与该点
A
方向相同，线密值正比
于 A 的大小
例：电场线
二、标量场的梯度
梯度：空间位置函数的变化率
x
y
（分三个坐标的变化率） z
P
n
等值面 l
Q Q
lim
四、矢量的三重积
1、三重标积 A (B C)
Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz Ax ByCz Az ByCx Ay BzCx Az BxCy Ax BzCy Ay BxCz
物理意义：三个矢量为边的平行六面体的体积
A
BC
θ
恒等公式：① A，B ，C顺序轮换
A lim A lim (S) V 0 V V 0 V
坐标表达式：
标量
纳布拉算符
i
j
k
x y z
divA
A
( x
i
y
j
z
k )(Axi
Ay
j
Azk )
Ax Ay Az x y z
矢量场各分量分别沿各自
方向的变化率
（3）高斯定理
各量关系：
V1 V2 V S1 S1 D
§1 矢量代数
z
一、矢量定 义 A AeA
大小：A
方向： eA
k
eA
j
y
xi
直角坐标下的分量形式： A Axi Ay j Azk
加法：平行四边形法则或三角形法则
例子：力、速度、加速度、电场强度、磁感应强度等
二、矢量的加减
A
C
C AB
( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
A dS AdV
(S)
(V )
矢量场通过任意闭合曲面S的通量等于它所包围的体积V内散 度的积分
四、矢量场的环量和旋度 斯托克斯定理
1、环度
A dl Adlcos
A A dl
(L)
环路积分方向给定
n
2、旋度n：右旋半径法线方向
A dl
(
A)n
(rotA)n
(curlA)n
lim
性质：
1）A B B A
2） A (B C) A B A C
3） A B 0 A // B
4） A A 0
分量式：
i
j
k
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
(L1 )
M
L2 A dl A dl N A dl
( L2 )
(L2 )
L1 L2 A dl A dl L
( L1 )
( L2 )
n
n
L Li ( A)i Si ( A) dS
i1
i1
(S)
矢量场在任意闭合回路L上的环量等于以它为边界的曲面S上旋
度的积分
S1 S2 S
S2 S2 D
A1 A dS1 A dS1 A dS1
(S1) (S1) (D)
A2 A dS2 A dS2 A dS2
(S2 )
(S2 )
(D)
A dS1 A dS2
(D)
(D)
A1 A2 A dS1 A dS2 A dS A
( S1 )
(S2 )
(S)
n
把V分割成很多的块： A Ai
i 1
当 V 0 时:
A dSi
(Si )
Vi
Ai
Ai A dSi ( A)i Vi
(Si )
n
n
A A dS= Ai ( A)i Vi
(S)
i1
i1
A AdV A dS
(V )
(S)
高斯定理：
B
C B
D
C
A
A
B
D ABC
被减矢量
A
C
B 减矢量
三、矢量的乘积
1、矢量乘以标量
大小：mA
C AB
( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
B mA mAeA
方向：
eA
m( A B) mA mB
2、矢 量的标积（点积）
S 0
A S
lim
S 0
A dl
(L)
S
坐标表达式：
i jk
A
x y z
AxHale Waihona Puke BaiduAy Az
( Az
Ay
)i
( Ax
Az
)j
( Ay
Ax
)k
y z
z x
x y
斯托 克斯公式
A dl ( A) dS
(L)
(S)
M
L1 A dl A dl N A dl
( L1 )