矢量代数
电动力学常用数学公式
垐,,AA AAA A A A===（单位矢量）在坐标系中 31i ii A Ae ==∑ 直角系 z yz A A i Aj A k =++方向余弦：cos ,cos cos cos cos x y z Ax Ay Az Ae e e A Aβγαβγ===++321(A A =+二．矢量运算加法： A B B A +=+ 交换律 ()()A B C A B C ++=++ 结合律 31()iiii A B A B e =+=+∑ 满足平行四边形法则标量积：31cos i ii A B A BAB θ=⋅==∑A B B A ⋅=⋅ 交换律()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅ 分配律123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯== ()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律 123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=3乘2，点2乘3）()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+ ()A B dB dAA B dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 四．并矢与张量并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,i i ijij i ji j i jT AB A B e e T e e====∑∑ i j e e 为单位并矢，矢量与张量的矩阵表示：123,i iA A Ae A A A ⎛ == ⎝∑1211223(,B AB A A A B A B A B ⎛⎫==++T AB = T T T T ⎛ = ⎝单位张量：31i j i e e ==∑0100 = ⎝,i j()()()()AB C A B C A C B AC BC B A C BAB C A B CA⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅()()()C AB C A B B C A B A C BA C ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅与矢量叉乘：()()AB C A B C C AB C A B ⎧⨯=⨯⎪⎨⨯=⨯⎪⎩并矢并矢两并矢点乘：()()()AB CD A B C D A B C AD CD AB ⋅=⋅=⋅≠⋅ (并矢) 两并矢二次点乘： ()():AB CD B C A D =⋅⋅ 标量与单位张量点乘：C C C ⋅=⋅=AB AB AB ⋅=⋅=:AB A B =⋅15-20分钟）)()A B A B +⨯- ()()2B A =⨯ ()()M b a c a b c =⋅-⋅与矢量C 垂直。
标量场和矢量场
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
A B
B
A
B
A
AB
B
矢量的乘法
1）矢量与标量相乘
v kA
evx
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。
2）矢量与矢量点乘
A B | A || B | cosAB Ax Bx Ay By Az Bz
设矢量 A与三个坐标轴 x, y, z 的夹角分别为, , ，则
z
Ax Acos
Ay Acos
v Az
v A
Az Acos
A A(ex cos ey cos ez cos ) 任一方向的单位矢量为
v Ax
o
eA ex cos ey cos ez cos x
v Ay
y
2
2.位置矢量
R2 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]
3
3.矢量的代数运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evyLeabharlann ByevzBz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
Bx
)
evy (Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
A B | A || B | sin AB en Ax
Ay
Az
大学物理矢量代数
大学物理矢量代数在大学物理的学习中，矢量代数是一个非常重要的基础知识领域。
它不仅在理论物理中有着广泛的应用，还在工程技术、计算机科学等众多领域发挥着关键作用。
首先，让我们来明确一下什么是矢量。
矢量是一种既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量不同，矢量的方向对于其描述和运算有着至关重要的影响。
比如，力、速度、位移等都是常见的矢量。
在大学物理中，矢量的表示方法有多种。
常见的是用箭头来直观地表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
同时，也可以用坐标分量的形式来表示矢量。
矢量的运算包括加法、减法、乘法等。
矢量的加法遵循平行四边形法则或者三角形法则。
假设我们有两个矢量 A 和 B，要将它们相加，我们可以以 A 和 B 为邻边作平行四边形，其对角线就是 A ＋ B 的结果；或者将 B 的起点移动到 A 的终点，从 A 的起点到 B 的终点的矢量就是A ＋ B。
矢量的减法可以看作是加上一个相反的矢量。
例如，A B 就等于 A ＋（B)。
而矢量的乘法有两种，一种是点乘（也称为数量积或内积），另一种是叉乘（也称为矢量积或外积）。
点乘的结果是一个标量。
其定义为 A·B ＝｜A| ｜B| cosθ，其中θ是 A 和 B 之间的夹角。
点乘在计算功、计算矢量在某一方向上的投影等方面有着广泛的应用。
叉乘的结果是一个矢量。
其大小为｜A×B| ＝｜A| ｜B| sinθ，方向遵循右手定则。
在计算磁场对电流的作用力、计算角动量等方面，叉乘发挥着重要作用。
在解决物理问题时，熟练运用矢量代数可以使问题变得清晰和简洁。
例如，在研究物体的运动时，速度和加速度都是矢量。
如果只考虑大小而忽略方向，就无法准确描述物体的运动状态。
再比如，在电场和磁场的研究中，电场强度和磁感应强度都是矢量。
通过矢量的运算，可以得到电场力和洛伦兹力等重要的物理量。
学习矢量代数需要我们具备较强的空间想象力和逻辑思维能力。
通过大量的练习和实际应用，我们能够更好地掌握这一工具。
矢量代数的基本知识
M1
数量积的坐标表达式
A Ax i Ay j Az k ,
B B x i B y j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( B x i B y j Bz k ) Ax Bx Ay B y Az Bz
7
矢量的加法满足下面的运算规律：
A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k A B C C xi C y j Czk A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量加法在直角坐标系中的正交分解式
C x Ax B x C y A y B y C z Az Bz
2、矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算，实际上与加 法运算是一回事。 8
矢量的乘法运算 3、数量乘矢量： 实数与矢量a的乘积是一个矢量，记 做 a ,它的
矢量积的坐标表达式
k
j
i
23
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k a x bx (i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) j k a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y bz ( j k ) i a z bx (k i ) a z b y (k j ) a z bz ( k k )
a
a
4
1 ei e j ij
(完整版)常用矢量公式
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
矢量代数的基本知识
含平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则 三角形法则B AC ρρρ+= 加法满足：交换律：A B B A +=+结合律：C B A C B A ++=++)()( 零矢量的定义：A A =+0 2. 矢量的数乘⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<>==反向与同向与方向大小A C A C A C C A 0 0 λλλλ 结合律：A A ) () ( μλμλ= 分配律：B A B A )( λλλ+=+0)1(=⨯-+=-A A A A3. 矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量1e 和2e ，则平面内的任一矢量可以分解为：2211e A e A A +=。
（1）正交分解：选择21e e ⊥（2）三维空间中应有3个不共面的矢量 4. 矢量的标积（点积、内积）（1）定义 cos θAB B A S =⋅=；其中θ 为A 与B 的夹角。
如果B 为单位矢量，则B A ⋅为矢量A 在B 方向上的投影（分量）。
（2）性质举例说明交换律：A B B A ⋅=⋅分配律：C B A C B A ⋅+⋅=+⋅A ) (βαβα02≥=⋅A A A若0=⋅B A ，则可能是0=A 或0=B或B A ⊥。
5. 矢量的矢积（叉积、外积） （1）定义：C B A =⨯大小：)0( sin πθθ<<=⨯=AB B A C ，平行四边形的面积。
方向：A 至B 右手螺旋方向。
（2）性质) () ()( 0)( B A C C A B C B A A A C A B A C B A AB B A ⋅-⋅=⨯⨯=⨯⨯+⨯=+⨯⨯-=⨯βαβαρρρρ6. 矢量的混合积C A B A C B B A C C B A •⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯) () () () （几何意义：以A 、B 和C 为棱边的平行六面体的体积。
7. 注意*矢量的非法运算包括：ΛD e C B A,,ln ,1*矢量与标量不能相等！*书写时别忘记加上矢量号（帽子）。
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
1-1矢量代数的基本知识
一个矢量也可写成 : 它的大小乘上它的单位矢量，
如： A Ar 0
A A
A r0 A
(3)矢量的分解
在直角坐标系， A Ax i Ay j Az k
其大小
2 2 A A Ax Ay Az2
Ax A cos 分别是A与X , Y , Z Ay A cos 三个坐标轴的夹角 Az A cos A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
同一方向上的分量的运算如同标量一样。 不同方向上的分量不能合并同类项，要按矢量加法法则叠加。
(4)矢量的坐标表示
Z
（x,y,z） P
r xi yj zk
2 2 2 r r x y z
k O i
y
r
j
z
x
Y
X
90 , A B 0 (5)矢量的标积（点积，点乘） 0 90 , A B 0 A B AB cos ( 为A与B的夹角) 0 若 A为单位矢量， B为B在 A方向的投影。 90 , A B 0 A
Ax Bx Ay By Az Bz
(6)矢量的矢积（叉积、叉乘） C
A B C 是一个轴矢量 大小：平行四边形面积
B A
C A B AB sin
右 手 螺 旋手四指由叉乘号前的矢量方向， 沿小于π的夹角旋转到叉乘号后的 矢量方向时拇指的指向。积矢量垂 直于两叉乘矢量所确定的平面。
标量不能与矢量相等，即 A A
3 矢量的运算法则： (1) 加减法 含平行四边形法则和三角形法则
矢量代数第1讲
27
由于微分dA是导矢A'(t)与增量Dt的乘积, 所 以它是一个矢量, 而且和导矢A'(t)一样, 也在 点M处与A(t)的矢端曲线l相切. 但其指向: 当 dt>0时, 与A'(t)的方向一致; 而当dt<0时, 则 与A'(t)的方向相反.
28
dA(dt<0)
M
dA(dt>0) A'(t) O
dA DA A(t Dt ) - A(t ) A(t ) lim lim . d t Dt 0 Dt Dt 0 Dt (2.2)
21
若A(t)由坐标式给出: A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k, 且Ax(t),Ay(t),Az(t)在点t可导, 则有 dA DA lim d t Dt 0 Dt DAy DAx DAz lim i lim j lim k Dt 0 Dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt d Ay d Ax d Az i j k, d t d t d t 即 A'(t)=A'x(t)i+A'y(t)j+A'z(t)k. (2.3)
dr dx dy dz . dt dt dt dt 由于 ds 和 dt 有相同的符号, 故有
2
2
2
36
d s (d x) (d y ) (d z ) 2 dt (d t )
2 2 2 2
2
dr dx dy dz . dt dt dt dt 由此可知:矢端曲线的切向单位矢量
19
M
A'(t) N
DA Dt
矢量代数
( S1 )
(S2 )
(S)
n
把V分割成很多的块： A Ai
i 1
当 V 0 时:
A dSi
(Si )
Vi
Ai
vv
v
Ò Ai A dSi ( A)i Vi
(Si )
v vn
n
v
A Ò A dS=Ai ( A)i Vi
(S)
i1
i1
A AdV A dS
(V )
i
j
k
x y z
标量场的梯度为矢量，例：电场中电势U为标量场
电场强度：
E gradU
直角坐标式：
U
U
i
U
j
U
k
x y z
三、矢量场的通量和散度 高斯定理
v
A
（1）散度定义
r
通量： A A dS A dS cos
(S)
(S)
A A dS （闭合曲面r外法线方向）
(S)
A B ABcos AxBx AyBy Az Bz
性质： 1) 2) 3)
4)
AB B A A(B C) AB AC
AB 0 A B
A A A2
3、矢量的矢积 S AB
大小：S ABsin（以两个矢量为边组成的平行四边形的面积）
方向： S A ，S B （满足右手螺旋定则）
C
② 和 位置对调
B
A (B C) B (C A) C (A B)
(A B) C (B C) A (C A) B
(B A) C (C B) A (AC) B
A (C B) B (A C) C (B A)
2、三重矢积 A(BC)
矢量基础知识
AAy
y
cos2 cos2 cos2 1 x
2、矢量的运算法则：
B
C
（1）矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量 的叠加，用的是平行四边形法则或 三角形法则。
A
C
B
A
2
（2）矢量的减法运算
矢量的减法运算是加法运算的逆运算。
（3）矢量的乘法运算
矢量 A 、B 形成右手螺旋关系：
伸出右手，使手平面垂直 A 、B所构成的平 面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 A B 于180的角转到矢量 B 的 方向 ，此时姆指 指示的方向，就是矢量 A B 的方向。
B
A
强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，
大家一定要把符 号搞清 楚， 不 要混淆。
Ay
y
i , j, k表示沿x，y，z轴的单位矢量。 x
矢量的模 A | A | Ax2 Ay2 Az2
1
矢量方向：可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
设矢量与x，y，z三轴的夹角为
z
、、。
cos x ,
r
cos y ,
r
此三个角满足关系：
cos z
r
Az
x，y，z轴，对各分量分别进行积分，再对得到的各
分量值进行矢量合成。
Ax dAx , Ay dAy , Az dAz
A Axi Ay j Azk
☜☞5
一、矢量代数的基本知识
标量只有大小，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
电磁场与电磁波基础知识总结
电磁场与电磁波总结第一章一、矢量代数 A •B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θ A •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) ()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++le e e d x y z矢量面元=++Se e e x y z d dxdy dzdx dxdy体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ体积元dz d d dVϕρρ= 单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ体积元ϕθθd drd r dVsin 2= 单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x z A A A x y z 11()z A A A z ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕxy z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A 1z z z A A A ρϕρϕρρϕρ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A 21sin sin r r zr r A r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγcos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u u u x y z 1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u -u =∇F六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zyyyx x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ 1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第二章一、麦克斯韦方程组 1. 静电场 真空中：001d ==VqdV ρεε⋅⎰⎰SE S （高斯定理）d 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε0∇⨯=E场与位：3'1'()(')'4'V dV ρπε-=-⎰r r E r r r r ϕ=-∇E 01()()d 4πV V ρϕε''='-⎰r r |r r |介质中：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε ==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ2. 恒定电场电荷守恒定律：⎰⎰-=-=⋅Vsdv dtd dt dq ds J ρ 0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流与运流电流：=J E σ ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0⋅=⎰J l l0∇⋅=J 0∇⨯J =3. 恒定磁场 真空中：0 d ⋅=⎰B l lI μ （安培环路定理）d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场与位：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中：d ⋅=⎰H l lI d 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律() d d in lC dv B dl dt ⋅=-⋅⨯⋅⎰⎰⎰SE l B S + ）（法拉第电磁感应定律 ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l St∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流：d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S lS l SS V Sl tl t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J BE D B t t ρ ()()()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m em e e m m e e m m m e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H DB H J E J D B D B t t &tt ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件1. 一般形式12121212()0()()()0n n S n Sn σρ⨯-=⨯-=→∞⋅-=⋅-=（）e E E e H H J e D D e B B2. 理想导体界面和理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第三章一、静电场分析 1. 位函数方程与边界条件 位函数方程：220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qCφ两导体间的电容：=Cq /U 任意双导体系统电容求解方法：3. 静电场的能量N 个导体： 112ne i i i W q φ==∑ 连续分布： 12e VW dV φρ=⎰电场能量密度：12ω=⋅D E e二、恒定电场分析1.位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ 边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ2. 欧姆定律与焦耳定律 欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E lE l J S E S SSUR G Id d σ （L R =σS ） 4. 静电比拟法：G C —，σε—2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析 2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量N 个线圈：112==∑Nmj j j W I ψ 连续分布：m 1d 2=⋅⎰A J V W V 磁场能量密度：m 12ω=⋅H B第四章一、边值问题的类型（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ（2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ（3）混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ （4）自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
矢量代数与位置矢量
则
A±B = ex(Ax ± Bx) + ey(Ay ± By) + ez(Az ± Bz)
（1-5）
A ± B =[ (Ax ± Bx)2 + (Ay ± By) 2 + (Az ± Bz) 2 ]1/2
（1-6）
标量ƒ与矢量A的乘积定义为一新矢量， 用ƒA表示，它是A的ƒ倍。
由
A = exAx + eyAy + ezAz
A·B= 0； A·A=A2。
直角坐标系中的点积运算 A·B = （exAx + eyAy + ezAz)·(exBx + eyBy + ezBz)
由单位矢量的正交性
ex·ex = ey·ey = ez·ez = 1 ex·ey = ey·ez = ez·ex = 0
得
A·B = Ax Bx + AyBy + AzBz
矢量A的图示: A
2、矢量运算
两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B
B A+B A
A+B B
A
( a ) 平行四边形法则
( b ) 首尾相接法则
图1-1两矢量相加
A-B
A和B相减为新矢量A B
A
-B
B
图1-2 两矢量相减
交换律 A±B = B±A
(1-1)
结合律 A±B±C=A±(B±C)=(A±B) ±C
(1-2)
z
直角坐标系中的矢量及运算 A=ex Ax+ey Ay+ez Az
模： A = ( A2x+ A2y + A2z )1/2
(1-3) (1-4)
若已知
矢量代数公式推导
矢量代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间中的向量及其运算。
在矢量代数中，有许多重要的公式，如向量的加法、减法、数量积和矢量积等。
下面我们来推导一下这些公式。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指两个向量相加或相减的结果仍然是一个向量。
根据向量的定义，我们可以得到以下公式：(a + b) + c = a + (b + c)(a + b) - c = a - c + b(a - b) + c = a + c - b(a - b) - c = a - c - b其中，a、b、c表示任意向量。
2. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量相乘后得到的标量。
根据向量的定义，我们可以得到以下公式：(a·b)² = (a·c)·(b·c)(a·b)·(c·d) = (a·c)·(b·d)(a·b)·(c + d) = (a·c)·b + (a·d)·b(a·b)·(c - d) = (a·c)·b - (a·d)·b其中，a、b、c、d表示任意向量。
3. 向量的矢量积向量的矢量积是指两个向量相乘后得到的向量。
根据向量的定义，我们可以得到以下公式：a ×b = |a| |b| sinθ · na × (b + c) = a × b + a × ca × (b - c) = a × b - a × ca × (b × c) = |b| |c| cosθ · m - |a| |c| sinθ · n + |a| |b| sinθ · p + |a| |b| cosθ · q其中，θ表示两向量之间的夹角，n、m、p、q表示与两向量垂直的单位向量。
第0章—矢量代数与矢量分析_v1
ˆ = (cos a , cos b , cos g ) l
第0章 矢量代数与矢量分析
0-21
证明
S2 ˆ2 n
P x , y, z
S1
P x
x , y y , z z
ˆ1 n
O
V®P
lim
ˆ )dS Ò T (n 蝌
S
V
=
ˆ) 抖 T (x 抖 x
+
ˆ) T (y
y
+
ˆ) T (z
z
第0章 矢量代数与矢量分析
0-22
标量场
0-10
0
第0章 矢量代数与矢量分析
矢量分析
微分：若 D F =
dF D t + O (D t )，则称F 在 t 点是可微的。 dt
在直角坐标系下：
ˆ x+y ˆ dFy + z ˆdFz dF = xdF
如果不以直角坐标系表示，上述微分公式还对吗？
不正确！因为在其它坐标系中单位坐标矢 量也是自变量的函数
a ?b
a x b x + a y b y + a z b z ¹ a b cos (a^ b)
ˆ x ax bx
ˆ y ˆ z
a? b
ay by
az bz
a 垂b
a b sin (a^ b)
第0章 矢量代数与矢量分析
0-7
矢量分析
标量函数：只有大小，没有方向，且随自变量的变化而 变化。
r
O y
l
x
ì ï x = Fx (t ) ï ï 的参数方 ï í y = Fy (t ) ï ï 程： ï z = Fz (t ) ï î
矢量代数
设闭合曲线L围着面积 S , 当 S → 0 时, A 对L的环量 与 S 之比的极限称为 A 的旋度沿该面法线的分量
∫ rotA = lim
s → 0
L
A dl s
= × A
旋度可用以表征矢量在某点附近各方向上环流 强弱的程度，如果场中处处rot A = 0 称为无旋场。 (3)斯托克斯定理（Stoke’s Theorem） 斯托克斯定理（ 斯托克斯定理 ）
i × j =k j ×k = i k ×i = j i ×i = j × j = k × k = 0
一.矢量函数
矢量 A 与变量 t 之间存在一定的关系， 之间存在一定的关系， 如果当变 取定某个值后， 有唯一确定的值（ 量 t 取定某个值后，矢量 A 有唯一确定的值（大小和 方向）与之对应，则 A 称为 t 的矢量函数，即 方向）与之对应， 的矢量函数， A = A(t)
矢量函数导数的正交分量表示
dAy dAz dA dAx = k i+ j+ dt dt dt dt
三.矢量函数的积分
定义
dB = A ， B 称为 A 若 A = A(t) ，B = B(t) ， 且 则 dt 的积分， 的积分，记为
B = ∫ Adt
性质
dt 1） ∫ ( A ± B)dt = ∫ A ± ∫ Bdt
一．标量
定义：只有大小，没有方向的量。 定义：只有大小，没有方向的量。 表示：数字（可带正负号）。 表示：数字（可带正负号）。 加法：代数和。 加法：代数和。
二．矢量
定义：既有大小，又有方向的量。 定义：既有大小，又有方向的量。 表示： 表示：
量的 小矢 的模 大 ( 量 ） A: 矢 1） A = Ae A 向 位 量 e : 沿 方 的单 矢
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x y z
标量场的梯度为矢量，例：电场中电势U为标量场
电场强度：
E gradU
直角坐标式：
U
U
i
U
j
U
k
x y z
三、矢量场的通量和散度 高斯定理
A
（1）散度定义
r
通量： A A dS A dS cos
(S)
(S)
A A dS （闭合曲面r外法线方向）
(S)
(2)散度
A dS
A dS AdV
(S)
(V )
矢量场通过任意闭合曲面S的通量等于它所包围的体积V内散 度的积分
四、矢量场的环量和旋度 斯托克斯定理
1、环度
A dl AdlcosΒιβλιοθήκη A A dl(L)
环路积分方向给定
n
2、旋度n：右旋半径法线方向
A dl
(
A)n
(rotA)n
(curlA)n
lim
( S1 )
(S2 )
(S)
n
把V分割成很多的块： A Ai
i 1
当 V 0 时:
A dSi
(Si )
Vi
Ai
Ai A dSi ( A)i Vi
(Si )
n
n
A A dS= Ai ( A)i Vi
(S)
i1
i1
A AdV A dS
(V )
(S)
高斯定理：
Ax Ay
Ax (x, Ay (x,
y, z) y, z)
Az Az (x, y, z)
流速场
电场
场线：有方向的曲线，切线与该点
A
方向相同，线密值正比
于 A 的大小
例：电场线
二、标量场的梯度
梯度：空间位置函数的变化率
x
y
（分三个坐标的变化率） z
P
n
等值面 l
Q Q
lim
§1 矢量代数
z
一、矢量定 义 A AeA
大小：A
方向： eA
k
eA
j
y
xi
直角坐标下的分量形式： A Axi Ay j Azk
加法：平行四边形法则或三角形法则
例子：力、速度、加速度、电场强度、磁感应强度等
二、矢量的加减
A
C
C AB
( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
B
C B
D
C
A
A
B
D ABC
被减矢量
A
C
B 减矢量
三、矢量的乘积
1、矢量乘以标量
大小：mA
C AB
( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
B mA mAeA
方向：
eA
m( A B) mA mB
2、矢 量的标积（点积）
S1 S2 S
S2 S2 D
A1 A dS1 A dS1 A dS1
(S1) (S1) (D)
A2 A dS2 A dS2 A dS2
(S2 )
(S2 )
(D)
A dS1 A dS2
(D)
(D)
A1 A2 A dS1 A dS2 A dS A
性质：
1）A B B A
2） A (B C) A B A C
3） A B 0 A // B
4） A A 0
分量式：
i
j
k
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
A lim A lim (S) V 0 V V 0 V
坐标表达式：
标量
纳布拉算符
i
j
k
x y z
divA
A
( x
i
y
j
z
k )(Axi
Ay
j
Azk )
Ax Ay Az x y z
矢量场各分量分别沿各自
方向的变化率
（3）高斯定理
各量关系：
V1 V2 V S1 S1 D
BC
A
B
C
A(BC)
§2 矢量分析提要
一、标量场和矢量场
标量场：在空间各点存在着一个标量Φ，它的数值是空间位置
的函数
(x, y, z)
气压场 温度场
等值面：(x, y, z) 常量
例：电场中的等势面
矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的大小和方向是空间位
置的函数
A A(x, y, z)
四、矢量的三重积
1、三重标积 A (B C)
Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz Ax ByCz Az ByCx Ay BzCx Az BxCy Ax BzCy Ay BxCz
物理意义：三个矢量为边的平行六面体的体积
A
BC
θ
恒等公式：① A，B ，C顺序轮换
C
② 和 位置对调
B
A (B C) B (C A) C (AB)
(A B)C (B C) A (C A) B
(B A) C (C B) A (A C) B
A (C B) B (A C) C (B A)
2、三重矢积 A(BC)
A (B C) 1B 2C ( AC)B ( A B)C
l l0 l
：标量场在P点沿 l 方向的方向微商
n ：P点处等值面的法线
n 很小： 和 等值面平行
P
n
等值面 l
P点处沿n 方向的方向微商最大
Q Q
lim n n0 n
标量场的梯度：沿方向微商最大的方向（即等势面法线方
向），数值等于最大的方向微商
直角坐标： grad
i
j
k
(L1 )
M
L2 A dl A dl N A dl
( L2 )
(L2 )
L1 L2 A dl A dl L
( L1 )
( L2 )
n
n
L Li ( A)i Si ( A) dS
i1
i1
(S)
矢量场在任意闭合回路L上的环量等于以它为边界的曲面S上旋
度的积分
A B ABcos AxBx AyBy Az Bz
性质： 1) 2) 3)
4)
A B B A
A(B C) AB AC
AB 0 A B
A A A2
3、矢量的矢积 S AB
大小：S ABsin（以两个矢量为边组成的平行四边形的面积）
方向： S A ，S B （满足右手螺旋定则）
S 0
A S
lim
S 0
A dl
(L)
S
坐标表达式：
i jk
A
x y z
Ax Ay Az
( Az
Ay
)i
( Ax
Az
)j
( Ay
Ax
)k
y z
z x
x y
斯托 克斯公式
A dl ( A) dS
(L)
(S)
M
L1 A dl A dl N A dl
( L1 )