12 薄壁箱梁畸变理论

dQ1 dQ2 + = −2 H d + 2q x dz dz
应力与各板元自身内弯矩 M 1 、M 2 和 M 3的关系式
2J1 β D σ DB M1 = b
δ 1b1
12
J1 =
2J 2 M2 = σ DB b 2 J 3 σ DA + σ DB ⋅ M3 = h 2 3 3
J2 =
δ b
12
Vd 1 = H d1
2 Pv b b = = Vd 1 h 2h
竖向反对称荷载的分解
Pv Vd 1 = 2 Pv b b H d1 = = Vd 1 2h h
图所示的水平向偏心荷载 P ，设其与截面扭转中心的距 离为 d ，则按力学原理。扭矩 Pd可用角点反对称荷载 d PH = P h 来代替。经分解后得到刚性扭转荷载和畸变荷载为
θB =
∆v 2 b
将 θ A 、θ B 分别代入 m AD 和
I1 I 2 h 2 ∆h I 2 h I1h 3 2 2 + 2 −2 − I b I 3b I 3b h 3 I1 + I 2 I1 I 2 h 2 h 1+ 2 +3 2 2 b I3 I3 b
I1h 1 + 3 I 3b
y
y
据角点力矩平衡得
m AD = m DA
m AD + m AB = 0 m BA + m BC = 0
− 2m AD = b
m BC = mCB q yA = q yD q yB = q yC q xA = q xD q xB = q xC
由顶板力矩平衡条件得
q yA = q yD
各板元平面外力系 a)框架变形； b)平面外力系
bEJ 3 M3 = − γ ′′ 4
经两次微分得 消去M3得
d M3 bEJ 3 =− γ ′′′′ 2 4 dz
2
bEJ 3 3 + 2(α 1 + α 2 ) + α 1α 2 h h γ ′′′′ − ⋅ 2 + Vd + H d − q y + q x = 0 4 b b 6 +α1 +α 2
相应于畸变翘曲的内外力称为各板元的平面内力系。 用以计算畸变位移的物理量如图所示，角点位移为 ∆ h1 ∆ h 2及 ∆ v ，若令 ∆ +∆
∆h =
h1
h2
2
箱梁、畸变荷截与畸变位移
则得到畸变角 γ D 与畸变位移的关系为
γD
2∆ v 2∆ h = αh + αv = + b h
此畸变角是畸变分析唯一独立变量
2 EI 1 3θ A − 3 v b b ∆ 2 EI 2 = 3θ B − 6 v b b
b qx = q y h ∆
I 式中：i = 12(1 − v 2 ) ——沿轴向单位长度的板横向抗弯惯 性矩， = 1,2,3 。 i θ θ A 、 B ——框架 A 、B节点转角 由 m AD + m AB = 0 得到
m AD
m BC
I1 h I2 6 E 1 + 3 b b I3 ∆h 2∆ v =− +2 2 I1 I 2 h b h h I1 + I 2 1+ 2 +3 2 2 b I3 I3 b I2 h I1 6 E 1 + 3 b b I3 ∆h 2∆ v =− +2 2 I1 I 2 h b h h I1 + I 2 1+ 2 +3 2 b I3 I3 b
此外，在结构分析中还假定： ①组成箱形梁的各板沿自身平面的挠曲满足平截面假定， 可应用初等梁理论计算其挠度和挠曲应力； ②翘曲正应力和剪应力沿壁厚均匀分布。
（2） 各板元平面内力系分析
沿纵向从箱形梁中取出的一微段单元，并把截断处用相 应的内力代替，如下图所示。根据平截面假定，箱梁截面 的翘曲应力可视为各板元平面内的挠曲应力，并沿周边直 线变化，如图a)所示。令 σ D 为翘曲应力，由于翘曲应力 在截面内自相平衡，故应满足以下条件 σ D δds = 0 ∫ 平面内平 σ D xδds = 0 ∫ 衡条件式 ∫ σ D yδds = 0
此方程是根据箱形梁在畸变荷载作用下，产生轴向翘 曲位移及相应的力系（各板元平面内力系）平衡条件推导 得到的畸变微分方程。
（3） 各板元平面外力系分析
箱形梁各板元平面外力系为产生横向挠曲的力系（如 下图所示）。箱形梁抵抗横向挠曲的作用称为框架作用， 分析框架作用时，不考虑顶板和底板的悬臂部分。图b)表 示从箱形梁中取出微段单元 dz 的顶板、左腹板、底板的 分离体各自受到角点弯矩和剪力作用的情形。由于截面对 称于 轴，而力反对称于 轴，故可得
而
dQ3 = −Vd + q y dz
ห้องสมุดไป่ตู้
dQ3 = −Vd + q yA + q yB dz
dQ3 h dQ3 dQ2 − dz − 2b dz + dz = 0
再消去Qi并整理得 d2M 3 h d2M1 d2M 2 h h + 2 dz 2 + dz 2 + Vd + H d b − q y + q x b = 0 2b dz 由于角点处顶板与腹板、底板与腹板具有相同的翘曲应力。 根据初等梁理论的挠曲应力公式，可得到角点翘曲
σ
τ
畸变荷载
箱形梁在偏心荷载作用下会产生扭转和畸变效应，能引起这种 变形的荷载不外乎是竖直偏心荷载、水平偏心荷载和在自重作用下 由于支点倾侧（所谓三条腿）产生的扭矩等三种荷载。这三种荷载 都可以通过荷载分解得到刚性扭转荷载和畸变荷载。
(1) 直腹板箱梁
如下图所示的竖向反对称荷载为 Pv ，经荷载分解所得的刚性 扭转荷载和畸变荷载 Pv
3 2 2
J3 =
δ 3h
12
为各板在其自身平面内的惯性矩
应用关系σ DB
，将上式化简得 = σ DA / β D J 1 β D 2h M1 = M3 J3 1+ βD b
J 2 1 2h M2 = M3 J3 1+ βD b
回代并消去M1，M2整理得到 d 2 M 3 3 + 2(α 1 + α 2 ) + α 1α 2 h h 2 + Vd + H d − q y + q x = 0 2 b b dz 6 + α1 + α 2 M3 ∆ ′′ = − v 根据基本假定，箱 EJ 3 形梁各板元沿自身平面 M1 ′ ∆ ′h1 = − 的横向挠曲满足初等梁 EJ 1 理论，所以得到各板元 M2 ′ ∆ ′h 2 = − 内弯矩和位移的关系为 EJ 2
θA =
∆v 2 b I1 I 2 h 2 ∆h I1h I 2 h 3 3 2 + 2 −2 − I b I 3b I 3b h 3 I1 I 2 h 2 h I1 + I 2 1+ 2 +3 2 2 b I3 I3 b I2h 1 + 3 I 3b
2 Pv b2 P4 = (b2 + b1 )h
用静力平衡法推导直腹板箱梁畸变微分方程 （1） 基本假定
畸变荷载是一组自相平衡的力系，因而由畸变变形产 生的内力也是自相平衡的。 箱形梁畸变时，产生了两种畸变变形： ①横向:组成箱形梁的各板元产生了垂直于自身平面的位 移一—畸变横向挠曲； ②纵向:因各板元横向挠曲而产生了相应的与梁轴线方向 平行的翘曲位移——畸变翘曲。前者受到了箱形梁横向框 架刚度的抵抗，而后者则受到了箱形梁翘曲刚度的抵抗 分析时，将箱形梁畸变的两种变形及其相应的力系分开考 虑。 把相应于畸变横向挠曲的内外力称为板元的平面外力系；
1 dM 2 T2 = − + Q2 b dz
dQ2 = −H d + qx dz
得
∑
h dM 3 (T1 + T2 ) − + Q3 = 0 2 dz
令 q y = q yA + q yB 则得 消去T1，T2有 d2M 3 h d2M1 d2M 2 + 2 dz 2 + dz 2 2b dz
b
m AD = m BC m AB m BA
上列两式合并，得到 q x 和 q y 的关系为 框架中的节点是刚性固结的， 因此组成框架的各板元相当于 两端嵌固的梁。根据结构力学 的坡度挠度公式，可得到横向 弯矩m 与横向挠曲位移的关系
2 EI 3 ∆ h = 2θ A + θ B + 6 h h 2 EI 3 ∆ = 2θ B + θ A + 6 h h h
，
bδ 1 α1 = α hδ 3
3 1
bδ 2 3+α hδ 3 = 3 bδ 1 3 + α1 hδ 3
3 2
b2 α2 = b
各板元平面内弯矩和剪力如图b)所示，根据各板元在其自 身平面内的受力平衡条件，可以得到下列公式
3+α 2 βD = 3+α
bδ 2 α2 =α hδ 3
3 2
b1 α1 = b
δ 13
由
m BA + m BC = 0 得到
I1 h ∆h I1 h ∆ v + 2 + 6 −6 θ B = −θ A 3 I b I3 b b h 3
上列两式合并整理得
I2 h ∆h I2 h ∆v θ A = −θ B 3 + 2 + 6 −6 I b I3 b b h 3
′ ′ ∆ ′′ ∆ ′h1 + ∆ ′h 2 v ′ γ D和畸 γ ′D = 2 b + b 根据畸变角 变位移的关系可得 2M 3 M1 M2 到 = − − bEJ 3 hEJ 1 hEJ 2
在上式中消去M1，M2得
从而得到板元平面弯矩和畸变角的关系式为
4M 3 γ ′′ = − D bEJ 3
水 平 荷 载 的 分 解
PH h Vd 2 = 2b PH Hd2 = = Vd 2 2
b h
对于图所示的简支梁一个支座脱空后的三条腿支承，经 分解后其刚性扭转荷载和畸变荷载为
三 条 腿 支 承 箱 梁
R Vd 3 = 4 Rb H d3 = = Vd 3 4h
b h
底板力矩平衡得
q yB = q yC
2m BC =− b
腹板力矩平衡得
q xA = q xB = q xC = q xD
整理得
m AB + m BA = h
q x = q xA + q xD
q y = q yA + q yB =
2(m AD + m BC ) 2(m AB + m BA ) = =− h 2(m + m ) h AD BC
各板元平面内力系 a)翘曲应力σ D b)各板元平面内力系
因截面对称于 y轴，而应力反对称于 y轴，所以平衡条件式 的第一、三式自然满足，并且上、下板中点处的翘曲应力 为零。令左腹板顶点翘曲应力σ DA与底点翘曲应力 σ DB 之比为 βD ，根据平衡条件式第二式得
σ DA βD = σ DB
令 则
12 薄壁箱梁的畸变理论
畸变荷载 用静力平衡法推导直腹板箱梁畸变微分 方程 用能量变分法推导斜腹板箱梁的畸变微 分方程 畸变微分方程的边界条件及其求解方法 小结 本章参考文献
畸变是伴随扭转而产生的，由于畸变的存在，截面发生翘曲而 在纵向产生翘曲正应力 D和翘曲剪应力 D ，同时在横向还产生 横向框架应力
顶板： M0 由
∑
= 0、
∑X =0
得
1 dM 1 T1 = − + Q1 b dz
令
dQ1 = − H d + q xA + q xD dz
qx = qxA + qxD
dQ1 = −H d + qx 则得 dz
得
底板： 由 M0
∑
=0、
∑X =0
∑Y = 0
左腹板： M0 = 0 、 由
（2） 斜腹板箱梁
如图所示的斜腹板箱梁上承受反对称角点荷载，经分解 后也可得到刚性扭转荷载和畸变荷载。 在假定剪应力沿板厚均匀分布下，箱梁中剪力流为
斜腹板箱梁竖向反对称载的分解
Pv b1 MK MK = q(τ , δ ) = = Ω 2(b2 + b1 )h b2 + b1 2 h 2
刚性扭转荷载：
畸变荷载：
Pv b1 a1 (a1 = a3 ) P1 = P3 = (b2 + b1 )h Pv b1b2 P2 = (b2 + b1 )h Pv b12 P4 = (b2 + b1 )h
Pv a1b2 P1 = P3 = (b2 + b1 )h Pv b1b2 P2 = (b2 + b1 )h